Một số vấn đề về hằng số hấp dẫn vũ trụ

Trên cơ sở vấn đề đã trình bày, chúng tôi nghiên cứu đề tài “ Một sốvấn đề về hằng số hấp dẫn Vũ trụ”, trong đó tập trung làm rõ quan điểm hằng số Vũ trụ được đồng nhất với năng lượng tố

LỜI CẢM ƠN

Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới PGS TS Phan Hồng Liên, PGS

TS Nguyễn Quỳnh Lan – Cô đã tận tình hướng dẫn, giúp đỡ, động viên emtrong suốt quá trình nghiên cứu và thực hiện luận văn

Em xin cảm ơn các Thầy, Cô giáo trong Bộ môn Vật lý lý thuyết,Khoa Vật lý, Phòng Sau đại học, Trường Đại học Sư phạm Hà Nội đã tạo mọiđiều kiện thuận lợi cho em trong quá trình học tập, nghiên cứu và hoàn thànhluận văn

Xin trân trọng cảm ơn sự giúp đỡ và những tình cảm quý báu mà giađình, đồng nghiệp và bạn bè đã dành cho tôi

Hà Nội, tháng 09 năm 2013

Học viên

Đỗ Thị Thịnh

MỤC LỤC

MỞ ĐẦU

1 Lí do chọn đề tài

Thuyết tương đối hẹp do Einstein xây dựng năm 1905 với hai tiên đề:

1 Vận tốc ánh sáng là như nhau trong mọi hệ quy chiếu

2 Các hiện tượng vật lí cũng diễn như nhau trong mọi hệ quy chiếu quán tính Einstein tin tưởng mãnh liệt vào tính quy luật của thế giới tự nhiên.Hơn ai hết, ông muốn mở rộng thuyết tương đối hẹp để áp dụng cho mọi hệquy chiếu

Thuyết tương đối rộng được xây dựng sử dụng rộng rãi những kháiniệm cơ bản và công cụ toán học của hình học Riemann Đó là lí thuyết xâydựng cho trường hấp dẫn Phương trình cho trường hấp dẫn trên cơ sở cácnguyên lý được sử dụng như: nguyên lý tương đương, nguyên lý Mach… thểhiện mối quan hệ giữa vật chất và không – thời gian Vật chất đã làm congkhông – thời gian quanh nó và hình học không - thời gian thì quyết định sựphân bố vật chất Tuy vậy phương trình trường hấp dẫn ban đầu cho giá trịnghiệm không tĩnh Einstein cho rằng Vũ trụ luôn tĩnh, vì vậy ông đã sửa đổiphương trình ban đầu của mình bằng cách thêm vào một số hạng mới – hằng

số hấp dẫn Vũ trụ Λđể ngăn chặn việc mở rộng [19]

Tuy vậy, bằng các minh chứng do quan sát: sự dịch chuyểnHUBBLE… đã cho thấy Vũ trụ thực tế đang mở rộng Khi đó, Einstein đã hốitiếc việc sửa chữa của mình và xem thuật ngữ hằng số hấp dẫn Vũ trụ là: “Sailầm lớn nhất của mình”

Sau này các nhà Vũ trụ học chủ trương phục hồi thuật ngữ hằng số Vũtrụ trên cơ sở lý thuyết Lý thuyết trường hiện đại liên kết thuật ngữ này vớimật độ năng lượng chân không Mật độ năng lượng chân không được định

Ngày nay, hằng số Vũ trụ cho biết rằng mô hình chuẩn của Vũ trụ giãn

nở lạm phát đòi hỏi sự có mặt của một loại năng lượng của chân không lượng

tử đang tràn ngập Vũ trụ của chúng ta, năng lượng tối (dark energy) Năng

lượng tối được giả thuyết như là một dạng của năng lượng và tạo ra áp suất

âm Thuyết tương đối rộng chỉ ra rằng áp suất âm này có tác dụng ngượcchiều với lực hấp dẫn ở thang đo khoảng cách lớn, chính vì vậy nó là nguyênnhân gây ra gia tốc của sự giãn nở Vũ trụ

Các dữ liệu quan sát của các vụ nổ sao siêu mới (Saul Permulter,Adam Riess, Brian Schmidt – giải Nobel Vật lý 2011 về những đóng góp vàoviệc nghiên cứu sao siêu mới loại Ia từ năm 1998) cho thấy sự giãn nở của Vũtrụ đang có xu hướng tăng tốc, do đó khẳng định sự tồn tại của một thànhphần năng lượng có áp suất âm và có tác dụng chống lại sự co lại do hấp dẫn,đồng thời gây ra sự tăng tốc đó [14]

Trên cơ sở vấn đề đã trình bày, chúng tôi nghiên cứu đề tài “ Một sốvấn đề về hằng số hấp dẫn Vũ trụ”, trong đó tập trung làm rõ quan điểm hằng

số Vũ trụ được đồng nhất với năng lượng tối – năng lượng gây ra sự giãn nởcủa Vũ trụ - vấn đề mang tính thời sự và mới của Thiên văn và Vũ trụ học

2 Mục đích nghiên cứu của đề tài:

Tiếp cận vấn đề năng lượng tối – năng lượng chân không của Vũ trụ từhằng số hấp dẫn Vũ trụ trên cơ sở Thuyết tương đối tổng quát và Mô hình Vũtrụ chuẩn Đồng thời, chúng tôi tính toán một số thông số Vũ trụ cụ thểΛ

Ω , Ωb, tuổi của Vũ trụ theo mô hình Vũ trụ chuẩn trong trường hợp Vũtrụ phẳng

3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu:

• Tìm hiểu hằng số hấp dẫn Vũ trụ từ phương trình Einstein

• Phạm vi tìm hiểu là Mô hình Vũ trụ chuẩn có hằng số hấp dẫn

Vũ trụ và Vũ trụ được xem là phẳng Ngoài ra, chúng tôi cũngxét giá trị của hằng số hấp dẫn Vũ trụ trong một số lý thuyết

4 Phương pháp nghiên cứu, tiếp cận

 Dựa trên các phương trình cơ bản của Lý thuyết tương đối tổngquát (phương trình Einstein) và của Vũ trụ học (phương trìnhFriedmann)

 Dựa trên các bằng chứng quan sát thực nghiệm

5 Cấu trúc luận văn:

Luận văn có tiêu đề là “Một số vấn đề về hằng số hấp dẫn Vũ trụ”

gồm các phần: Mở đầu, Nội dung, Kết luận, Phụ lục và Tài liệu tham khảo Dựa trên các kết quả nghiên cứu, nội dung được viết thành ba chương

* Chương 1: Trình bày về bất biến tương đối rộng và phương trình Einstein

* Chương 2: Trình bày về Hằng số hấp dẫn Vũ trụ Λ trong các phương trình

Vũ trụ học và các bằng chứng quan sát thực nghiệm Giá trị của Λtrong một

số mô hình vật lý

* Chương 3: Trình bày một số mô phỏng từ dữ liệu thực nghiệm Trên cơ sở

mô hình Vũ trụ phẳng có hằng số hấp dẫn Vũ trụ, chúng tôi tính toán cácthông số Vũ trụ Ω Λ, Ωb, tuổi của Vũ trụ

CHƯƠNG I BẤT BIẾN TƯƠNG ĐỐI RỘNG VÀ PHƯƠNG TRÌNH EINSTEIN

Khi đề cập đến những khoảng cách lớn, vận tốc lớn thì những địnhluật mà ta đã biết trong cơ học cổ điển không còn áp dụng được nữa Nói cụthể hơn, quan hệ giữa không gian, thời gian, vật chất, vận động trở nên khác

đi, không còn đơn giản như trước đây

Cơ học được mở rộng để áp dụng cho phạm vi mới: đó là môn Cơ học

tương đối tính, tức là môn cơ học có kể đến các hiệu ứng của thuyết tương đối

[2] Cha đẻ của lý thuyết này là nhà bác học người Đức Albert Einstein [1]

Thuyết tương đối đặc biệt (hẹp) dựa trên hai nguyên lý cơ bản mà

Einstein nêu ra (1905), trên cơ sở kết quả thực nghiệm của Mikenson về sựkhông phụ thuộc vào hệ quy chiếu quán tính của vận tốc ánh sáng trong chânkhông và các thí nghiệm khác trong thiên văn trước đó, nội dung như sau:

1 Các quy luật vật lý học cơ bản đều diễn ra như nhau trong hệ quychiếu quán tính (nguyên lí tương đối)

Nói cách khác, các phương trình mô tả các định luật vật lý bất biến đốivới phép biến đổi tọa độ và thời gian từ hệ quán tính này sang hệ quán tínhkhác (hệ quy chiếu không gia tốc) Tổng quát hơn nguyên lí Galilei trong cơhọc cổ điển, ở đây không những chỉ các định luật cơ học, mà cả các định luậtvật lý đều bất biến trong các hệ quy chiếu quán tính

2 Vận tốc ánh sáng (vận tốc truyền tương tác) trong chân không đềubằng nhau đối với mọi hệ quy chiếu quán tính, giá trị của nó bằng

c=2,99793.108m s/ ≈3.108m s/

Cũng cần nói rõ thêm là ánh sáng với góc độ hạt là các photon không

khối lượng, các photon này luôn chuyển động với vận tốc tối đa c, không phụ

thuộc vào người quan sát Nói rộng hơn, các hạt có khối lượng m= 0 đều

chuyển động với vận tốc c Còn những hạt có khối lượng m≠ 0 sẽ chuyển

động với vận tốc V luôn luôn nhỏ hơn c, dù có thể rất gần với c.

Phép biến đổi tọa độ và thời gian từ hệ quán tính này sang hệ quán tínhkhác chính là phép biến đổi Lorentz

Thuyết tương đối hẹp đã loại bỏ khỏi khoa học các khái niệm khônggian tuyệt đối, thời gian tuyệt đối và ête đứng yên trong không gian tuyệt đối

Nó đã mở rộng nguyên lí tương đối Galilei (các quy luật cơ bản của cơ học

đều diễn ra như nhau trong các hệ quy chiếu quán tính khác nhau) thành

nguyên lí tương đối Einstein (các quy luật vật lí học cơ bản đều diễn ra như

nhau trong hệ quy chiếu quán tính) [5] Einstein là người tin tưởng mãnh liệtvào tính quy luật và tính thống nhất của thiên nhiên Ông đã nêu lên rằngtrong thiên nhiên không có cái gì là tùy tiện, thiên nhiên tuân theo một sốkhông nhiều các quy luật rất tổng quát và rất đơn giản, lý tưởng cao nhất củakhoa học là xuất phát từ những quy luật bộ phận có vẻ như rời rạc, lẻ tẻ, phảitìm ra những quy luật tổng quát nhất đó Với tư tưởng đó, ngay sau khi xâydựng được những luận điểm cơ bản của thuyết tương đối hẹp, ông đã tiếp tụcsuy nghĩ tìm cách mở rộng lý thuyết của mình, cụ thể là mở rộng nguyên lýtương đối thêm một mức nữa và áp dụng nó cho các hệ quy chiếu khôngquán tính Einstein tiếp tục nghiên cứu phát triển những ý tưởng trên và

xây dựng một lý thuyết mới mà ông gọi là thuyết tương đối rộng (thuyết

tương đối tổng quát)

Dựa trên hai định luật: Định luật vạn vật hấp dẫn của Newton 1 2

2

.

F r

µ µ

=

, với µ là khối lượng hấp dẫn và định luật Newton thứ hai F =m.ω, với m làkhối lượng quán tính – một quy luật thiên nhiên cơ bản được xác lập bằngthực nghiệm là đối với mọi vật tỉ lệ giữa khối lượng hấp dẫn µ và khối lượng

quán tính m là như nhau:

m

µ

là một hằng số nào đấy Người ta mở rộng tínhchất cơ bản của trường hấp dẫn: Tất cả các vật, không phụ thuộc vào khốilượng của chúng, chuyển động trong trường hấp dẫn đều giống nhau (với cácđiều kiện ban đầu cho trước) Sự đồng nhất của khối lượng hấp dẫn và khốilượng quán tính, cũng như tính chất nêu trên dẫn đến một hệ quả sâu sắc đã

được Einstein lấy làm cơ sở của lí thuyết tương đối rộng Đó là nguyên lí

tương đương:

Nguyên lí Các tính chất của chuyển động trong hệ quy chiếu không

quán tính cũng giống như trong hệ quy chiếu quán tính với sự có mặt củatrọng trường Nói một cách khác, hệ quy chiếu không quán tính tương đươngvới một trọng trường (trọng trường hấp dẫn) nào đó

Điều này có nghĩa là thiết lập được sự tương tự giữa chuyển động củacác vật trong trọng trường với chuyển động của các vật không đặt trong mộtngoại trường nào, nhưng được khảo sát dưới quan điểm của hệ quy chiếukhông quán tính Chú ý rằng các trường tương đương với hệ quy chiếu khôngquán tính không hoàn toàn đồng nhất với các trường hấp dẫn “ thực”, tồn tạingay cả trong hệ quán tính Trường tương đương với hệ quy chiếu khôngquán tính sẽ biến mất khi ta chuyển về hệ quán tính

Mối quan hệ giữa vật chất với không – thời gian là nội dung cơ bản của

thuyết tương đối tổng quát, mà Einstein hoàn thành vào năm 1915 Ở đây ông

đã sử dụng rộng rãi những khái niệm cơ bản và công cụ toán học của hình họcRiemann Trong trường hấp dẫn bất kì (biến thiên theo tọa độ và thời gian),

thì trong một miền không gian dV và một khoảng thời gian dt vô cùng nhỏ, bao giờ ta cũng có thể chọn được một hệ tọa độ H 0 tương đương với một hệ

quán tính ở nơi không có trường hấp dẫn Đối với hệ H 0 đó thì khoảng cách

giữa hai điểm lân cận trong không gian bốn chiều được xác định bởi:

và là một bất biến với mỗi điểm của không gian 4 chiều Trong tất cả các hệ

H (trừ H 0), các hiện tượng vật lý diễn ra không giống nhau như trong các hệquán tính Theo cơ học Newton, đó là do tác dụng của trường hấp dẫn Theothuyết tương đối rộng, đó là do không gian 4 chiều bị cong đi Tensor G gọi làtensor metric, xác định độ cong của không gian 4 chiều tại từng điểm của nó

Ở miền có trường hấp dẫn lớn thì không gian bị cong nhiều Ở miền không cótrường hấp dẫn thì không gian là phẳng Ở miền có trường hấp dẫn yếu thìkhông gian được coi gần đúng là phẳng Trường hấp dẫn là yếu khi nó làm

cho vật rơi tự do với vận tốc v << c Theo định nghĩa đó thì không gian ở lân

cận trái đất được coi là không gian phẳng Không gian 4 chiều phẳng bao gồmkhông gian 3 chiều Ơclit và thời gian trôi đều đặn như trên Trái Đất Khônggian 4 chiều cong bao gồm không gian 3 chiều phi Ơclit và thời gian trôichậm hơn Không gian 4 chiều càng cong nhiều thì hình học của nó càng khác

xa hình học Ơclit và thời gian càng chậm hơn thời gian trên Trái Đất Nhưvậy thuyết tương đối rộng nêu lên rằng trường hấp dẫn có tác dụng làm chokhông gian 4 chiều cong đi Người ta còn gọi thuyết này là lí thuyết trườnghấp dẫn tương đối tính, là một bước mở rộng lí thuyết trường hấp dẫn củaNewton, có kể đến các hiệu úng của thuyết tương đối [6]

1.1 Bất biến tương đối rộng và Metric Riemann

Nguyên lí bất biến tương đối tổng quát khẳng định rằng mọi quá trình

vật lý đều diễn ra như nhau trong mọi hệ quy chiếu và do đó các phương trìnhvật lý tương ứng phải bất biến với phép biến đổi tổng quát:

1.1.1 Tensor

Dựa vào phép biến đổi (1.1.1) tensor được định nghĩa như sau:

Tensor phản biến (contravariant) cấp n là tập hợp các thành phần

s r

r s s

s r

Một số trường hợp của tensor:

Đại lượng ( )φ x được gọi là vô hướng – tensor hạng (0,0) nếu bất biếnvới phép biến đổi (1.1.1):

φ '( ') x = φ ( ) x (1.1.8) Đại lượng F xµ( ) được gọi là tensor phản biến – tensor hạng 1 nếu nóbiến đổi theo quy luật:

1 nếu nó biến đổi theo quy luật:

' ( ') ( )

'

v v

1.1.2 Metric Riemann không – thời gian cong

Trong thuyết tương đối rộng, metric Minkowski , v

v µ µ

phải là tensor Vì vậy, trong trường hợp biến đổi tổng quát (1.1.1) thay vì ηµv

ta dùng tensor metric gµv( )x cũng có tính đối xứng:

g xµv( ) = g xvµ( ) (1.1.14)biến đổi theo qui luật tensor:

(dựa theo công thức (1.1.6) ở trên)

Bình phương yếu tố độ dài dạng tổng quát là một đại lượng bất biến:

ds2 = gαβ(x dx dxµ) α β

Thật vậy:

ds '2 = gµν' ( ) x dx dx' 'µ 'ν

Theo (1.1.15)

v F ( )x F v ; v G x( ) G v

µ

µ µ

Vậy ∂v F xµ( ) và ∂v G xµ( ) không phải là tensor.

Để tạo được tensor ta phải lập đạo hàm hiệp biến ∆νFµ( )x biến đổi

theo qui luật (1.1.4) Cụ thể như sau:

∇νF xµ( ) ≡ ∂νF xµ ( ) + Γνσµ ( ) ( )x F xσ

Trong đó Γνσµ ( )x được gọi là liên thông Affine hoặc kí hiệu

Christoffel Γνσµ không phải là tensor mà được chọn sao cho ∆νFµ( )x làtensor, tức là khi chuyển sang hệ tọa độ khác, ta có:

Trong trường hợp tổng quát khi tensor metric gµν phụ thuộc x ta có không –

thời gian cong Riemann Trường hợp đặc biệt khi:

gµν ( ) x = ηµν = diag ( 1, 1, 1, 1 − − − )

ta có không – thời gian phẳng Minkowski

Đặt: R.σλνµ = ∂ Γ −∂ Γ + Γ Γ −Γ Γν σµλ µ νλσ µλ νρρ σ νλ µρρ σ

Vậy: ∇ ∇µ, ν G xλ( )= R G x.σλνµ σ ( ) (1.2.4)trong đó: R.σλνµ được gọi là tensor độ cong Riemann

Một số tính chất của tensor độ cong Riemann:

 Tính phản xứng:

R.σλνµ = − R.σλµν (1.2.5)

 Tính chất hoán vị vòng:

R.σλνµ + R.σµλν + R.νµλσ = 0 (1.2.6) Bên cạnh R.σλνµ ta cũng thường dùng Rρλνµ liên hệ với nhau bởi tensor

1.3 Trường hấp dẫn

Tương tác hấp dẫn là tương tác rất yếu so với các tương tác mạnh,

yếu, điện từ Điều đó cho phép ta đặt:

gµν ( )x =ηµν +hµν ( )x (1.3.1) Trong đó hµν ( )x là đối xứng: hµν =hνµ, rất bé

hµν ( )x <<1 (1.3.2)

và được đồng nhất với trường hấp dẫn

Chú ý hµν ( )x là tensor hạng 2 đối với phép biến đổi Lorentz, nhưng

không phải là tensor đối với phép biến đổi tổng quát, cụ thể là h xµν ( ) biến đổitheo quy luật:

hµν ( )x =η ηµρ νσhρσ ( )x (1.3.5) Xuất phát từ phương trình trắc địa:

τ +Γ τ τ = (1.3.6)trong “giới hạn Newton” khi:

2 2

12

d x

h dt

1.4 Phương trình Einstein và tác dụng bất biến

Để xem sự phân bố vật chất ảnh hưởng đến hình học không gian hay

hình học không gian quyết định đến nội dung vật lí? Einstein đi tìm mối quan

hệ đó như sau:

Trong lí thuyết tương đối hẹp, khi có Lagrangian bất biến L(x) thì tác

dụng được định nghĩa bởi: S =∫d xL x4 ( ) cũng bất biến

Trong lí thuyết tương đối rộng thì không vậy Để xây dựng tác dụng bấtbiến thay vì d x4 ta phải đi tìm phần tử bất biến tương ứng

Từ qui luật biến đổi của tensor metric gµν ( ) x :

ν µ

δ δ

Sϕ =∫d x4 −g L(ϕ,∇µϕ) mô tả trường vật chất tương tác với trườnghấp dẫn.

Phương trình chuyển động thu được từ nguyên lí tác dụng tối thiểu đốivới tác dụng (1.4.5):

Thay vào biểu thức sau: dgµα =dgσα.gµτ.gτσvà sử dụng đồngnhất thức:

Để tính δRµν ta dùng hệ qui chiếu quán tính định xứ, tại đó liên thông

Affine: Γ =λµν 0 Từ đó suy ra:

∇λgµν = ∂λgµν + Γµλσgσν − Γνλσgµσ = 0 (1.4.13) Nên ∇λgµν = 0 trong mọi hệ qui chiếu, do đó vế phải của (1.4.12)

có thể đưa gµν vào trong ∇ và viết:

∫d x4 −g g{ µν.δRµν} = ∫d x4 − ∇g.{ ν (gµνδΓ − ∇σσµ) (σ gµνδΓνµσ ) } (1.4.14) Tiếp tục biến đổi vế phải:

2

4 1

∂ = ∫ − (1.4.16)

ở đây Tµνlà tensor năng – xung lượng của vật chất.

trong chân không Tµν =0 dẫn đến Rµν = 0

Như vậy phương trình trường Einstein (1916) là:

Trong đó Gµν là tensor Einstein, Rµν tensor Ricci, Rlà độ cong vô hướng, Tµν

tensor năng – xung lượng (một tập hợp các đại lượng xác định mật độ nănglượng, mật độ xung lượng và mật độ ứng xuất)

Các tensor Gµν và Rµν là những hàm số của gµν- mô tả hình học củakhông – thời gian Bên trái ta có không gian cong, còn bên phải là sự phân bốvật chất và năng lượng.

Các kết quả này dẫn đến kết luận rằng tính chất hình học của không thời gian được quyết định bởi trường vật chất

Qui ước lấy các hằng số c =1, h = 1, nhưng giữ nguyên hằng sốNewton – các phương trình Einstein là:

1 8

2

Rµν − Rgµν = πGTµν

(thay kí hiệu hằng số hấp dẫn Newton k bởi kí hiệu G)

Sau này Einstein đã thêm hằng số vũ trụ Λ vào phương trình củamình bằng cách chọn L g = − ΛR 2

.2

CHƯƠNG II HẰNG SỐ VŨ TRỤ ΛTRONG MỘT SỐ MÔ HÌNH VẬT LÝ

Xét một tập hợp N phân tử trong một khối chất lưu với xung lượng 4chiều của mỗi phân tử là P iµ, tương ứng với quỹ đạo r r t= i( ) Mật độ năng –xung lượng được định nghĩa:

Dễ dàng thấy rằng Tensor năng – xung lượng là đối xứng

Tµν = Tνµ Giả thiết rằng Vũ trụ là đồng nhất, đẳng hướng và chứa đầychất lưu lý tưởng nên Tijvới i≠ j phải triệt tiêu Trong hệ quy chiếu tự do,

Tensor năng xung lượng của yếu tố chất lưu có dạng:

T = p δ , Ti0 = 0 , T00 = ρ (2.1.3)với ρ , p lần lượt là mật độ năng lượng, áp suất được đo trong hệ quy

chiếu tự do Rõ ràng chất lưu đẳng hướng trong hệ quy chiếu nào thì metriccũng đẳng hướng trong hệ quy chiếu đó Gọi Uµ là vận tốc 4 chiều của chấtlưu Khi vũ trụ giãn nở kéo theo toàn bộ chất lưu, vì vậy chất lưu sẽ ở trạngthái nghỉ trong hệ quy chiếu đồng chuyển động, vector vận tốc 4 chiều sẽ là(1,0,0,0)

Uµ = Khi đó Tensor năng – xung lượng sẽ là:

Tµν = ( ρ + p u u ) µ ν + pgµν (2.1.4)

Hay

ij

0 0 00

00