Một vài vấn đề về phương trình Diophantine (Luận văn thạc sĩ)

Một vài vấn đề về phương trình Diophantine (Luận văn thạc sĩ)Một vài vấn đề về phương trình Diophantine (Luận văn thạc sĩ)Một vài vấn đề về phương trình Diophantine (Luận văn thạc sĩ)Một vài vấn đề về phương trình Diophantine (Luận văn thạc sĩ)Một vài vấn đề về phương trình Diophantine (Luận văn thạc sĩ)Một vài vấn đề về phương trình Diophantine (Luận văn thạc sĩ)Một vài vấn đề về phương trình Diophantine (Luận văn thạc sĩ)Một vài vấn đề về phương trình Diophantine (Luận văn thạc sĩ)Một vài vấn đề về phương trình Diophantine (Luận văn thạc sĩ)Một vài vấn đề về phương trình Diophantine (Luận văn thạc sĩ)Một vài vấn đề về phương trình Diophantine (Luận văn thạc sĩ)Một vài vấn đề về phương trình Diophantine (Luận văn thạc sĩ)Một vài vấn đề về phương trình Diophantine (Luận văn thạc sĩ)

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

VŨ NGỌC KHÁNH

MỘT VÀI VẤN ĐỀ VỀ PHƯƠNG TRÌNH DIOPHANTINE

LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC

THÁI NGUYÊN - NĂM 2015

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

VŨ NGỌC KHÁNH

MỘT VÀI VẤN ĐỀ VỀ PHƯƠNG TRÌNH DIOPHANTINE

LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC

Mục lục

1.1 Phương trình Diophantine 3

1.1.1 Vành chính Z 3

1.1.2 Phép chia với dư 4

1.1.3 Khái niệm phương trình Diophantine 5

1.1.4 Phương trình Diophantine có điều kiện 8

1.1.5 Tổng các số chính phương 11

1.2 Một vài phương pháp giải phương trình Diophantine 13

1.2.1 Phương pháp phân tích thành nhân tử 13

1.2.2 Phương pháp đồng dư 15

1.2.3 Phương pháp đánh giá 16

1.2.4 Phương pháp tham số hóa 18

1.2.5 Phương trình nghiệm hữu tỷ qua tham số hóa 21

1.2.6 Chứng minh phương trình nhiều vô hạn nghiệm 26

1.2.7 Công thức tính nghiệm 28

1.3 Một vài phương trình cổ điển 29

1.3.1 Phương trình Pythagoras 29

1.3.2 Phương trình Mordell 32

1.3.3 Phương trình Pell 34

2 Hệ phương trình Pell 40 2.1 Hệ phương trình Pell 40

2.1.1 Tiêu chuẩn Legendre 40

2.1.2 Hệ phương trình Pell 41

2.2 Phương trình ba hệ số tổ hợp liên tiếp 42

ii

MỞ ĐẦU

Số học nói chung và Phương trình Diophantine nói riêng là những lĩnh vực

cổ xưa nhất của Toán học, và cũng là lĩnh vực còn tồn tại nhiều những bàitoán, giả thuyết chưa có câu trả lời Trong suốt quá trình phát triển của Toánhọc, phương trình Diophantine luôn thu hút được nhiều người quan tâm nghiêncứu và tìm hiểu Chính việc đi tìm lời giải cho các bài toán hay chứng minh cácgiả thuyết về phương trình Diophantine đã làm nảy sinh các lý thuyết, phươngpháp khác của Toán học Các bài toán về phương trình Diophantine không cóquy tắc giải tổng quát, hoặc nếu có cũng chỉ là đối với các dạng đơn giản Mỗiphương trình với dạng riêng của nó đòi hỏi một cách giải đặc trưng phù hợp.Điều này có tác dụng rèn luyện tư duy mền dẻo, linh hoạt hơn cho người làmtoán.Chính vì thế, trong hầu hết các kỳ thi quan trọng như thi học sinh giỏiToán quốc gia, quốc tế, thi Olympic toán , các bài toán liên quan đến phươngtrình Diophantine cũng hay được đề cập đến và thường là những bài toán khó.Việc hệ thống một cách tương đối các phương pháp giải phương trình Dio-phantine và đưa ra các vấn đề mở về phương trình Diophantine là cần thiếtđối với việc giảng dạy và nghiên cứu toán học, đặc biệt là công tác ôn luyệnhọc sinh giỏi Với lý do đó, trong luận văn này, tôi trình bày khái niệm phươngtrình Diophantine, hệ phương trình Pell và tổng hợp một số phương pháp giảiphương trình và hệ phương trình này

Ngoài phần Mở đầu và Kết luận, luận văn được chia làm hai chương đề cậpđến các vấn đề sau:

Chương 1: Giải phương trình Diophantine

1.1 Phương trình Diophantine

1.2 Một vài cách giải phương trình Diophantine

1.3 Một vài phương trình cổ điển

Chương 2: Hệ phương trình Pell

2.1 Trình bày Hệ phương trình Pell

2.2 Trình bày Phương trình ba hệ số tổ hợp liên tiếp

Luận văn được hoàn thành với sự hướng dẫn nhiệt tình của PGS.TS ĐàmVăn Nhỉ Tôi bày tỏ lòng kính trọng và biết ơn sâu sắc đến Thầy, người đã dànhcho tôi sự hướng dẫn chu đáo, nghiêm túc trong qua trình học tập, nghiên cứu

và thực hiện luận văn

Tôi xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới các Thầy Cô khoa Toán trường Đại HọcKhoa Học - Đại Học Thái Nguyên,các Thầy, Cô tham gia giảng dạy khóa Caohọc 2013 - 2015,Trường THPT Lý Tự Trọng và bạn bè đồng nghiệp đã giúp đỡtạo điều kiện cho tôi hoàn thành bản luận văn này

Thái Nguyên, ngày 20 tháng 4 năm 2015

Vũ Ngọc Khánh

(1) Với mọia, b ∈ R∗ và a|b thì δ(a)6δ(b).

(2) Với mọia, b ∈ R, b 6= 0, có tồn tại q, r ∈ R sao cho a = qb + r với hoặc r = 0

hoặc δ(r) < δ(b) khi r 6= 0

được gọi là một ánh xạ Euclide

Định nghĩa 1.1.3 Miền nguyên R được gọi là một vành Euclide nếu có mộtánh xạ Euclide tác động lên tập R∗.

Bổ đề 1.1.4 Mỗi vành Euclide đều là một vành chính

Chứng minh: Giả sử R là vành Euclide với ánh xạ Euclide δ : R∗ →N. Vì R

là vành Euclide nên nó là một miền nguyên Giả sử I là một iđêan của R. Nếu

I = 0 thì I = (0) là một iđêan chính Nếu I 6= 0 thì có phần tử a ∈ I, a 6= 0. Đặt

I∗ = I \ {0}. Vì δ(I∗) ⊂ N nên có a0 ∈ I∗ thỏa mãn δ(a0)6 δ(x) với mọi x ∈ I∗.

Vì a0 ∈ I nên iđêan (a0) ⊆ I. Bây giờ ta chỉ ra I = (a0). Thật vậy, giả sử a ∈ I.

Do a 0 6= 0 và R là vành Euclide nên tồn tại q, r ∈ R sao ch a = qa 0 + r với r = 0

hoặc δ(r) < δ(a0). Nếu r 6= 0 thì r ∈ I∗ và δ(r) < δ(a0) : mâu thuẫn Vậy r = 0 và

a = qa0. Từ đây suy ra a ∈ (a0). Do a được lấy tùy ý nên I = (a0) và như vậy R

Định nghĩa 1.1.6 Cho hai số nguyên a, b ∈Z, b 6= 0. Số a được gọi là chia hếtcho số b hay b chia hết a nếu có c ∈Z thỏa mãn a = bc.

Trong nhiều trường hợp, thay cho việc nói a chia hết cho b ta viếta . b hoặc nói

b chia hết a và viết b|a. Khi a = bc thì b được gọi là một ước của a.

Ví dụ 1.1.7 Chứng minh rằng, tồn tại vô số số nguyên n thỏa mãn n4+ 1871

chia hết cho 1952

Bài giải: Vì n4+ 1871 = n4− 81 + 1952 nên n4+ 1871 chia hết cho 1952 khi vàchỉ khi n4− 81 chia hết cho 1952 hay(n − 3)(n + 3)(n2+ 9) chia hết cho 1952 Tachỉ cần lấy n = 1952k ± 3 với k ∈Z.

Định lý 1.1.8 Với mỗi cặp số nguyên a, b ∈ Z, b 6= 0, luôn luôn tồn tại duynhất một cặp số nguyên q, r ∈Z sao cho a = qb + r, trong đó 06r < |b|.

Chứng minh: Sự tồn tại: Đặt T = {n|b|sao chon|b|6a, n ∈Z}. Vì|b|> 1nên

−|a||b|6 −|a| 6 a. Do đó −|a||b| ∈ T. Vậy T 6= ∅. Vì T là tập bị chặn trên nên

T có một số lớn nhất m|b|. Từ m|b| 6 a ta suy ra r = a − m|b| > 0 và r ∈ Z.

Ta lại có (m + 1)|b| = m|b| + |b| > m|b|. Do tính lớn nhất của m|b| trong T nên

(m + 1)|b| > a. Như vậy |b| > a − m|b| = r và ta có a = qb + r với 06r < |b|.

Tính duy nhất: Giả sử có hai sự biểu diễna = qb + r với06r < |b|và a = q1b + r1

với 06r1 < |b|. Trừ vế cho vế, ta cór − r1= b(q1− q). Từ |r − r1| < |b| ta suy ra

|q 1 − q||b| < |b|. Vậy q = q 1 và hiển nhiên r = r 1

Vậy 2a n = (n + 2)d + 2, d ∈N∗ và ta suy ra a n không chia hết cho n + 2.

Một vấn đề khá cổ điển trong Số học là giải phương trình đa thức với hệ sốnguyên trong tập Z. Đó là giải phương trình nghiệm nguyên hay còn gọi làphương trình Diophantine Để hiểu rõ bài toán này, trước tiên ta nhắc lại mộtvài khái niệm

Định nghĩa 1.1.11 Cho đa thức f (x1, , xn) với các hệ số là các số hữu tỉhoặc các số nguyên Phương trình f (x1, , xn) = 0 được gọi là phương trìnhDiophantine Giải phương trình Diophantine f (x 1 , , x n ) = 0 tức là tìm tất cảcác số hữu tỉ, các số nguyên hay các số nguyên không âm α1, , αn để sao cho

f (α1, , αn) = 0.

Chob, a1, a2, , an ∈Z và các số ai không đồng thời bằng 0 Phương trình dạng

a 1 x 1 + a 2 x 2 + · · · + a n x n = b, (D 1 ), được gọi là phương trình Diophantine bậc nhấthay phương trình Diophantine tuyến tính Ta có ba kết quả chính và một vấn

đề mở sau đây

Định lý 1.1.12 Phương trình (D1) có nghiệm nguyên (zi) khi và chỉ khi b chiahết cho d = (a 1 , , a n ). Có thể chọn nghiệm nguyên (z i ) thỏa mãn điều kiện

|zi| 6 |b| + (n − 1) max{|aj| | j = 1, , n}, ∀i. Đặc biệt, nếu (a1, , an) = 1 thì

(D1) có nghiệm nguyên với mọi số nguyên b.

Chứng minh: Đặt (a1, , an) = d. Nếu (D1) có nghiệm thì b phải chia hếtcho d; còn nếu b không chia hết cho d thì (D 1 ) vô nghiệm Vậy, không làm mấttính tổng quát, ta có thể giả thiết d = 1, b 6= 0. Vì vành Z là vành các iđêanchính và (a1, , an) = 1 nên tồn tại các số nguyên α1, , αn ∈ Z thỏa mãn

a1α1+ a2α2+ · · · + anαn = 1 và như thế a1bα1 + a2bα2+ · · · + anbαn = b. Điều

aixi =

n−1Pi=1

ai(qian+ zi) + an(zn −

n−1Pi=1

aiqi) =

nPi=1

aizi.

Điều này chứng tỏ(zi)là nghiệm của(D1).Ta có|zi| < |an|cho mọii = 1, , n−1;

còn cho z n ta có |a n z n | = |b −

n−1Pi=1

a i z i | 6 |b| + (n − 1)|a n | max{|a j | | j = 1, , n}.

Chia cho |an|, ta được |zi|6|b| + (n − 1) max{|aj| | j = 1, , n}, i = 1, , n.

Định lý 1.1.13 Cho b, a 1 , a 2 , , a n ∈ Z và các số a i không dồng thời bằng 0.Nếu b chia hết cho (a1, a2, , an) thì phương trình (D1) có nhiều vô hạn nghiệmnguyên

Chứng minh: Theo Định lý 1.1.12, khibchia hết cho(a1, a2, , an)thì phươngtrình (D 1 )có nghiệm nguyên(α 1 , , α n ). Vìa 1 , a 2 , , a n không đồng thời bằng

0 nên tồn tại ai 6= 0. Không hạn chế có thể giả thiết an 6= 0. Xét x1 = α1 +

ant1, , xn−1 = αn−1 + antn−1 và xn = αn −

n−1Pi=1

aiti với các ti ∈ Z. Khi đón

x = −1 + 3t + 4u, y = 1 − t − 3u, z = 1 − t với t, u ∈Z.

Ví dụ 1.1.15 Số nghiệm nguyên không âm của phương trình tuyến tính x1+

· · · + xk = n bằng n+k−1k−1
.

Bài giải: Ký hiệu số nghiệm nguyên không âm của phương trình là Nk(n). Ta

có N 1 (n) = 1. Tính N 2 (n), tức là tính số nghiệm nguyên không âm của phươngtrình x1+ x2= n. Phương trình này có các nghiệm (0, n), (1, n − 1), , (n, 0) nên

N2(n) = n + 1 = n+11
. Để tính N3(n) ta xét phương trình x1+ x2+ x3 = n. Cho

Luận văn đầy đủ ở file: Luận văn full