KHÔNG GIAN PHỨC HYPEBOLIC và một số vấn đề LIÊN QUAN

Phạm Nguyễn Thu Trang, tôi đã thực hiện đề tài "Không gian phức hyperbolic và một số vấn đề liên quan".. Mặc dù đã có nhiều cố gắng để thực hiện đề tài một cách hoànchỉnh nhất, song do t

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠOTRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠOTRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học: TS Phạm Nguyễn Thu Trang

HÀ NỘI -2015

Lời cảm ơn

Được sự phân công của khoa Toán - Tin trường Đại học Sư phạm HàNội và sự hướng dẫn của TS Phạm Nguyễn Thu Trang, tôi đã thực hiện

đề tài "Không gian phức hyperbolic và một số vấn đề liên quan"

Để hoàn thành bản luận văn này, tôi xin chân thành cảm ơn đếncác thầy cô giáo đã tận tình hướng dẫn, giảng dạy trong suốt quá trìnhtôi học tập, nghiên cứu và rèn luyện ở trường Đại học Sư phạm Hà Nội

Xin chân thành cảm ơn cô giáo hướng dẫn TS Phạm Nguyễn ThuTrang đã tận tình, chu đáo hướng dẫn tôi thực hiện khóa luận này

Mặc dù đã có nhiều cố gắng để thực hiện đề tài một cách hoànchỉnh nhất, song do thời gian và trình độ còn hạn chế nên bản luận vănkhó tránh khỏi những thiếu sót nhất định mà bản thân chưa thấy được.Tôi rất mong nhận được ý kiến đóng góp của các thầy cô giáo và các bạnđồng nghiệp để bản luận văn này được hoàn thiện hơn

Tôi xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, tháng 10 năm 2015

Học viên

Cấn Thị Thu Hiền

Mục lục

1.1 Giả khoảng cách Kobayashi 3

1.2 Không gian phức hyperbolic 6

1.3 Không gian phức hyperbolic đầy 7

1.4 Tính taut và định lý Kiernan 10

1.5 Không gian phức nhúng hyperbolic 14

2 Không gian phức hyperbolic và một số vấn đề liên quan 17 2.1 Tính hyperbolic và tính taut của miền kiểu Hartogs 17

2.2 Tính nhúng hyperbolic 23

PHẦN MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Giải tích phức nói chung và giải tích hyperbolic nói riêng đóng vai tròquan trọng trong giải tích toán học và là lĩnh vực cơ bản của toán học hiệnđại Lý thuyết về không gian phức hyperbolic được S Kobayashi đưa ra từđầu những năm 1970 đã mở ra hướng nghiên cứu mới của giải tích phức.Trong những năm gần đây lý thuyết này đã thu hút được sự quan tâmcủa nhiều nhà toán học trong và ngoài nước Một số kết quả đẹp đẽ của

lý thuyết này đã được chứng minh bởi M Abate, T Barth, H Gaussier,

S Kobayashi, S Lang, Đỗ Đức Thái, Tính hyperbolic, tính taut, tínhnhúng hyperblic là những tính chất quan trọng khi nghiên cứu một miềntrong không gian phức Vì vậy, với việc chọn đề tài

"Không gian phức hyperbolic và một số vấn đề liên quan",tôi mong muốn tìm hiểu và nghiên cứu về một số đặc trưng và tính chấtcủa không gian phức hyperbolic cũng như một số vấn đề liên quan tớikhông gian phức này

2 Định hướng nghiên cứu

Trước hết, luận văn cần phải trình bày một số nội dung chuẩn bị

về không gian phức hyperbolic như: Giả khoảng cách Kobayashi; khônggian phức hyperbolic; tính taut; không gian phức nhúng hyperbolic Trên cơ sở đó tìm hiểu và trình bày sâu hơn về một số vấn đề liên quantới không gian phức hyperbolic

3 Phương pháp nghiên cứu

Đọc và dịch các tài liệu liên quan, phân tích, so sánh, tổng hợp vànghiên cứu lý thuyết

4 Cấu trúc luận văn

Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, luận văn gồmcác chương sau:

Chương 1: Kiến thức chuẩn bị Trình bày những vấn đề cơ bảncủa giải tích phức và giải tích hyperbolic nhằm chuẩn bị cho chương sau:Giả khoảng cách Kobayashi; không gian phức hyperbolic; không gian phứchyperbolic đầy; không gian phức nhúng hyperbolic

Chương 2: Không gian phức hyperbolic và một số vấn đềliên quan Đây là nội dung chính của luận văn Chương này trình bàykhái niệm, tính hyperbolic và tính taut của miền kiểu Hartogs; tính nhúnghyperbolic của miền không bị chặn trong không gian phức

Chương 1

Kiến thức chuẩn bị

1.1 Giả khoảng cách Kobayashi

Giả sử ∆ = {z ∈ C : |z| < 1} là đĩa đơn vị mở trên mặt phẳng phức

ở đó Hol(M, N ) là không gian các ánh xạ chỉnh hình từ không gian phức

M vào không gian phức N được trang bị tôpô compact mở

và định nghĩa dX(p, q) = inf Lγ, ở đó infimum lấy theo tất cả các dâychuyền chỉnh hình γ nối p và q.

Hàm dX : X × X → [0; ∞) được gọi là giả khoảng cách Kobayashitrên không gian phức X

Dễ thấy dX thỏa mãn các tiên đề về giả khoảng cách, tức là:

ii) (Nguyên lý giảm khoảng cách)

Giả sử f : X → Y là ánh xạ chỉnh hình giữa hai không gian phức.Khi đó

Do đó việc chứng minh lim

n→∞dX(pn, qn) = dX(p, q)thực chất đưa vềviệc chứng minh dX(pn, p) → 0 khi pn → p

Giả sử U là một lân cận của điểm p Do dX ≤ dU trong U nên ta chỉcần chứng tỏ rằng dU(pn, p) → 0 khi pn → p trong U

Nếu p là điểm chính quy của X thì ta có thể coi U = ∆n và phépchứng minh được suy ra ngay từ tính chất i)

Ta xét trường hợp p là điểm kỳ dị của X

Giả sử tồn tại δ > 0 sao cho dU(pn, p) ≥ δ với mọi n > 0

Xét dải kỳ dị π : U → Ue

Giả sử {qn} ⊂ Ue sao cho π(qn) = pn, ∀n ≥ 1 Do π là ánh xạ riêngnên bằng cách lấy dãy con nếu cần thiết ta có thể giả sử rằng dãy {qn}

hội tụ tới q ∈ U e

Do π là ánh xạ liên tục nên π(q) = p Giả sử V là lân cận đa đĩa của

q trong eU Do nguyên lý giảm khoảng cách và do dV là liên tục nên ta suy

ra rằng

dU(pn, p) = dU(π(qn), π(q)) ≤ dV(qn, q) → 0khin → ∞

Điều này trái với giả thiết ban đầu của ta

Vậy dX là hàm liên tục trên X × X

1.2 Không gian phức hyperbolic

Định nghĩa 1.2.1 Một không gian phức X được gọi là hyperbolic nếu dX

là khoảng cách, tức là dX(p, q) = 0 khi và chỉ khi p = q

Nhận xét Một số tính chất của không gian phức hyperbolic

i) Nếu X, Y là các không gian phức, thì X × Y là không gian bolic nếu và chỉ nếu cả X và Y đều là không gian hyperbolic

hyper-ii) Giả sử X là không gian con phức của không gian phức Y Nếu Y

là hyperbolic thì X cũng là hyperbolic Hay nói cách khác, không gian concủa một không gian hyperbolic là hyperbolic

Ví dụ 1.2.2 Ta có

a) Đĩa ∆r và đa đĩa ∆mr là hyperbolic

b) Một miền bị chặn trong Cm là hyperbolic

giải tích trong đa đĩa đơn vị của Cn và {pnk} /∈ U với mọi k > 0 Dễ thấy

V là hyperbolic

Giả sử γ là một dây chuyền chỉnh hình tùy ý nối p và pnk

Gọi qnk là giao điểm của γ với ∂U

1.3 Không gian phức hyperbolic đầy

Định nghĩa 1.3.1 Một không gian phức hyperbolic X được gọi là khônggian phức hyperbolic đầy nếu (X, dX) là đầy Cauchy tương ứng với dX

Định lí 1.3.2 (Định lý Kobayashi) Giả sử X là không gian phứchyperbolic Khi đó X là hyperbolic đầy khi và chỉ khi mỗi hình cầu đóngtrong (X, dX) là compact

Chứng minh Ta cần hai bổ đề sau đây

Bổ đề 1 Giả sửX là một không gian phức, r > 0 Với mỗi tập conA ⊂ X

ta đặt U (A, r) = {p ∈ X : dX(p, a) < r với mỗi điểm a nào đó thuộc A}

Khi đó, với mọi a ∈ X, với mọi r > 0 và với mọi r0 > 0 ta có

U (U (a, r), r0) = U (a, r + r0)

Chứng minh bổ đề 1

Dễ thấy U (U (a, r), r0) ⊂ U (a, r + r0)

Ta phải chứng minh U (U (a, r), r0) ⊃ U (a, r + r0).

Giả sử p ∈ U (a, r + r0) và dX(a, p) = r + r0 − 3ε (ε > 0 đủ bé).Khi đó tồn tại a1, a2, , ak ∈ ∆; f1, f2, , fk ∈ Hol(∆, X) sao cho

Do đó p ∈ U (q, r0) ⊂ U (U (a, r), r0) VậyU (U (a, r), r0) = U (a, r +r0)

Bổ đề 2 Giả sử X là không gian phức hyperbolic, a ∈ X, r > 0 Giả

sử tồn tại b > 0 sao cho U (p, b) là compact với mọi p ∈ U (a, r) Khi đó

Giả sử {pn} ⊂ U (a, s + b

2). Chọn {qn} ⊂ U (a, s) sao cho

dX(pn, qn) < 3b

4.

Vì U (a, s) là compact nên ta có thể giả sử rằng {qn} → q ∈ U (a, s)

nên pi ∈ U (q, b) với mọi i đủ lớn

Do U (q, b) là compact nên ta có thể giả sử {pi} → p ∈ U (q, b)

(⇒) Theo bổ đề 2, ta chỉ cần chứng minh rằng tồn tại b > 0 sao cho

U (p, b) là compact với mọi p ∈ X

Giả sử ngược lại, ta có tồn tại p1 ∈ X sao cho U (p1,1

Giả sử {pn} → p ∈ X.Do X là compact địa phương nên tồn tạic > 0

sao cho U (p, c) là compact Nhưng với n đủ lớn thì U (pn, 1

2n) là tập conđóng của U (p, c), do đó U (pn, 1

2n) là compact Điều này là vô lý

Vậy U (p, r) là compact với mọi p ∈ X và với mọi r > 0

(⇐) Khẳng định ngược lại là hiển nhiên

1.4 Tính taut và định lý Kiernan

Định nghĩa 1.4.1 Giả sử X, Y là hai không gian phức

a) Dãy {fk}∞k=1 ⊂ Hol(Y, X) được gọi là phân kỳ compact nếu vớimỗi tập compact K ⊂ Y và với mỗi tập compact L ⊂ X, tồn tại số

j0 = j(K, L) sao cho fj(K) ∩ L = ∅ với mọi j ≥ j0

b) X được gọi là taut nếu mọi dãy {fk}∞k=1 ⊂ Hol(Y, X) chứa mộtdãy con hội tụ hoặc chứa một dãy con phân kỳ compact

Chú ý: Trong định nghĩa trên chỉ cần xét với Y = 4 (xem [Ba]) ,với 4 là đĩa đơn vị mở trong C

Định lí 1.4.2 (Định lý Kiernan)

i) Mỗi không gian phức taut M là hyperbolic

ii) Mỗi không gian phức hyperbolic đầy M cũng là taut

Các khẳng định ngược lại đều không đúng

Để chứng minh định lý Kiernan, ta đưa vào một số khái niệm sau:Giả sử p và q là hai điểm phân biệt của không gian phức M

Không mất tính tổng quát ta có thể giả sử p = 0 và

với mỗi ánh xạ chỉnh hình f : 4 → M với f (0) ∈ Br, ta có f (4δ) ⊂ B.

(ii) Do tính chất giảm khoảng cách của khoảng cách Kobayashi nên

Hol(4, M ) là đồng liên tục Mặt khác M là hyperbolic đầy nên mỗi tậpcon bị chặn trong M là compact tương đối Vì vậy Hol(4, M ) là chuẩntắc, do đó M là taut

*Chú ý: Điều ngược lại nói chung không đúng Ví dụ: 4×4\{(0, 0)}

là hyperbolic nhưng không là taut

Định lí 1.4.3 (Định lý Eastwood về tính taut)

Giả sử π : X → Xe là ánh xạ chỉnh hình giữa hai không gian phứcthỏa mãn điều kiện sau: với mỗi x ∈ X, tồn tại lân cận mở Ux của x saocho π−1(Ux) là taut

Khi đó nếu X là taut thì eX cũng là taut

Chứng minh Giả sử X là taut và dãy { ˜fn} ⊂ Hol(4,X)e là không phân

kỳ compact Không mất tính tổng quát ta có thể giả sử rằng tồn tại dãy

Lấy lân cận mở Up của p sao cho π−1(Up) là taut

Vì dãy {fn} hội tụ tới ánh xạF nên tồn tại tập con mở V của 4 saocho fn(V ) ⊂ Up, ∀ n ≥ N

Mặt khác, vì dãy { ˜fn(zn)} hội tụ tới ˜ và vì π−1(Up) là taut nên ta

có thể giả sử rằng dãy { ˜fn|V} ⊂ Hol(V, π−1(Up)) hội tụ đều tới ánh xạe

F ∈ Hol(V,X).e

Xét họ Υ tất cả các căp (W, Φ), trong đó W là tập con mở 4 và

Φ ∈ Hol(W, ˜X), sao cho tồn tại dãy con { ˜fnk|W} của dãy { ˜fn|W} mà dãy

{ ˜fnk|W} là hội tụ đều tới ánh xạ Φ trong Hol(W, ˜X)

Trong họ Υ ta xét quan hệ thứ tự sau đây:

(W1, Φ1) ≤ (W2, Φ2)nếuW1 ⊂ W2 và từ một dãy con bất kỳ{ ˜fnk|W1}

của dãy { ˜fn|W1} mà nó hội tụ đều tới ánh xạ Φ1 trong Hol(W1,X)e ta cóthể trích ra được một dãy con hội tụ đều tới ánh xạ Φ2 trong Hol(W2,X)e Giả sử rằng {(Wα, Φα)}α∈Λ là tập con sắp thứ tự hoàn toàn của Υ.Đặt

Wk} hội tụ đều tới ánh xạ Φk trong Hol(Wk,X).e

Rõ ràng dãy { ˜fkk} hội tụ tới ánh xạ Φ0 trong Hol(W0,X).e

Như vậy (W0, Φ0) ∈ Υ và vì vậy tập con {(Wα, Φα)}α∈Λ có cận trên.Theo bổ đề Zorn, họ Υ có phần tử cực đại (W, Φ)

Giả sử { ˜fnk|W}là dãy con của dãy { ˜fn|W1}sao cho { ˜fnk|W} hội tụ đềutới ánh xạ Φ trong Hol(W,X).e

Lấy z0 ∈ W và lấy lân cận mở U của F (z0) trong X sao cho π−1(U )

là taut

Vì dãy {fn} hội tụ đều tới ánh xạ F ∈ Hol(4, X) trong Hol(4, X)

nên tồn tại lân cận mở W0 của z0 trong 4 sao cho

(π ◦ ˜fn)(W0) ⊂ U, ∀n ≥ 1

Vì vậy f˜

n(W0) ⊂ π−1(U ), ∀n ≥ 1

Lấy z1 ∈ W0 ∩ W Khi đó dãy{ ˜fnk(z1)} là hội tụ

Do tính chuẩn tắc của họ Hol(W, π−1(U )) và do tính cực đại của

(W, ϕ) ta có W0 ⊂ W và do đó W = 4 Định lý được chứng minh

1.5 Không gian phức nhúng hyperbolic

Định nghĩa 1.5.1 Giả sử F là một họ nào đó các ánh xạ từ không giantôpô X vào không gian tôpô Y Họ F được gọi là liên tục đồng đều từ

x ∈ X đến y ∈ Y nếu với mỗi lân cận U của điểm y đều tìm được mộtlân cận V của x và lân cận W của y sao cho nếu

compact địa phương, Y là không gian Hausdorff Giả sử F là tập con củatập các ánh xạ liên tục C(X, Y ) Khi đó F là compact tương đối trong

C(X, Y ) nếu và chỉ nếu hai điều kiện sau được thỏa mãn

i) F là liên tục đồng đều trên X

ii) Với mỗi x ∈ X, tập hợp Fx = {f (x) : f ∈ F } là compact tươngđối trong Y

Định nghĩa 1.5.3 Giả sử X là không gian con phức của không gianphức Y Khi đó X được gọi là nhúng hyperbolic trong Y nếu với mọi

x, y ∈ X, x 6= y, tồn tại lân cận mở U của x và V của y trong Y sao cho

dX(X ∩ U, X ∩ V ) > 0

Định lí 1.5.4 Giả sử X là không gian con phức của không gian phức Y.Khi đó các điều kiện sau là tương đương

HI1 X là nhúng hyperbolic trong Y

HI2 X là hyperbolic và nếu {xn}, {yn} là các dãy trong X thỏa mãn

xn −→ x ∈ ∂X, yn −→ x ∈ ∂X, dX (xn, yn) −→ 0 thì x = y

HI3 Giả sử {xn}, {yn} là các dãy trong X thỏa mãn xn −→ x ∈

X, yn −→ y ∈ X Khi đó, nếu dX (xn, yn) −→ 0 khi n −→ ∞ thì x = y

HI4 Giả sử H là hàm độ dài trên Y Khi đó, tồn tại hàm liên tục,dương ϕ trên Y sao cho

f∗(ϕH) ≤ H∆, ∀f ∈ Hol (∆, X) ,

trong đó H∆ là metric vi phân Poincaré trên đĩa đơn vị ∆

HI5 Tồn tại hàm độ dài H trên Y sao cho với mọi f ∈ Hol (∆, X),

Chương 2

Không gian phức hyperbolic và một

số vấn đề liên quan

2.1 Tính hyperbolic và tính taut của miền kiểu Hartogs

Giả sử X là không gian phức và ánh xạ H : X × Cm −→ [−∞; ∞)

là nửa liên tục trên sao cho H(z, w) > 0, H(z, λw) = |λ|H(z, w) với mọi

λ ∈C, z ∈ X, w ∈Cm

Định nghĩa 2.1.1 Đặt ΩH(X) := {(z, w) ∈ X ×Cm : H(z, w) < 1} vàvới mỗi z ∈ X, ΩH(z) := {w ∈ Cm : H(z, w) < 1} Miền ΩH(X) được gọi

là miền kiểu Hartogs

Định lí 2.1.2 Ω = ΩH(X) là hyperbolic khi và chỉ khi X là hyperbolic vàhàm H thỏa mãn điều kiện sau:

Nếu {zk}k≥1 là dãy trong X với lim

k→∞zk = z0 ∈ X và {wk}k≥1 là dãytrong Cm với lim

Điều kiện đủ Để chứng minh mệnh đề đảo, xét ánh xạ chiếu

π : ΩH(X) → X cho bởi π(z, w) = z Giả sử U là lân cận hyperbolic của

z0 trong X Khi đó, ∪z∈UΩH(z) là tập có bị chặn trong Cm

Thật vậy, giả sử ngược lại, tức là tồn tại {zk}k≥1 ⊂ U, {wk}k≥1 ⊂ Cm

sao cho lim

k→∞kwkk = ∞ và H(zk, wk) < 1

Đặt wk := rkuk với kukk = 1, ∀k ≥ 1 và |rk| → ∞ khi k → ∞ Khôngmất tính tổng quát, ta giả sử zk → z0 và uk → u0 6= 0 khi k → ∞ Từ

H(zk, wk) = |rk|H(zk, uk) < 1 nên lim sup

k→∞

H(zk, uk) = 0 (Mâu thuẫn vớitính chất (*)) Vì vậy, tồn tại R > 0 sao cho ∪z∈UΩH(z) ⊂ B(0; R) Dễthấy rằng, π−1(U ) ⊂ U × ∪z∈UΩH(z) ⊂ U × B(0; R) Vì vậy, π−1(U ) cũng

là hyperbolic Theo định lý Eastwood, ta suy ra điều phải chứng minh

Mệnh đề 3.2 trong [13] là hệ quả trực tiếp của Định lý 2.1.2 khi X làmiền G ⊂ Cn, H(z, w) = h(w)eu(z), trong đó h : Cm → [−∞, ∞) là nửaliên tục trên, h 6= 0, h(λw) = |λ|h(w), λ ∈ C, w ∈ Cm và u là hàm nửaliên tục trên trên G Ta có hệ quả sau:

Hệ quả 2.1.4 (Mệnh đề 3.2 trong [13]) Miền Ω = ΩH(G) là hyperbolickhi và chỉ khi G là hyperbolic, Dh := {w ∈ Cm : h(w) < 1} b Cm và u là

bị chặn địa phương trên G

Chứng minh Điều kiện đủ để chứng minh tính chất (*) tương đương với

Dh := {w ∈ Cm : h(w) < 1}b Cm và u là bị chặn địa phương trên G.Giả sử H(z, w) = h(w)eu(z) thỏa mãn điều kiện (*)

Trước hết, ta chỉ ra rằng Dh bị chặn trong Cm Thật vậy, giả sử ngượclại, tức là tồn tại dãy {wk}k≥1 ⊂ Dh sao cho kwkk → ∞ Đặt wk = rkuk

với kukk = 1 Khi đó rk → ∞ Rõ ràng

0 ≤ H(z, wk) = h(wk)eu(z) = |rk|h(uk)eu(z) < eu(z) < ∞

Cho k → ∞, ta có lim sup

Giả sử H(z, w) = h(w)eu(z), Dh := {w ∈ Cm : h(w) < 1} b Cm và u

bị chặn địa phương trên G Giả sử tồn tại dãy {zk} ⊂ G, {wk} ⊂ Cm

sao cho zk → z0 ∈ G, wk → w0 6= 0 và lim sup

k→∞

H(zk, uk) = 0 Dễthấy lim sup

Sau đây ta chứng minh định lý chính tiếp theo của luận văn, đây làđịnh lý thể hiện điều kiện cần và điều kiện đủ để miền kiểu Hartogs làtaut

Định lí 2.1.5 Giả sử X là không gian phức Khi đó, ΩH(X) là taut khi

và chỉ khi X là taut, ΩH(z) là taut với bất kỳ z ∈ X và logH là hàm đađiều hòa dưới liên tục

Chứng minh Điều kiện cần Từ X là đẳng cấu với không gian con phứcđóng củaΩH(X), suy ra X là taut Ta chứng minh H liên tục trênX ×Cm.Thật vậy, giả sử tồn tại r > 0, {zk, wk}k≥1 ⊂ X ×Cm sao cho

{(xk, wk)} → (z0, w0) ∈ X ×Cmvà H(xk, wk) < r < H(x0, w0), ∀k ≥ 1.Với mỗi k ≥ 1, ta xác định ánh xạ chỉnh hình fk : ∆ −→ ΩH(X) chobởi fk(λ) = (zk,rwk

r ) Rõ ràng fk(0) = (zk, 0) −→ (z0, 0) ∈ ΩH(X) Từ