MỘT số vấn đề cơ bản về dãy số

Để đáp ứng cho việc giảng dạy lâu dài cũng như sự quan trọng của nhữngbài toán về dãy số, trong luận văn này, tác giả xin tập trung vào nghiên cứumột số chủ đề về dãy số, được thể hiện b

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠOTRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS Dương Quốc Việt

Hà Nội - 2003

Lời nói đầu

Dãy số là một nội dung hay và khó, nó được các nhà toán học nghiên cứu từrất lâu Các vấn đề liên quan đến dãy số là một phần quan trọng của đại số Nókhông chỉ như là đối tượng để nghiên cứu mà còn đóng vai trò như là một công

cụ đắc lực của các mô hình rời rạc của giải tích trong lý thuyết phương trình,

lý thuyết xấp xỉ, lý thuyết biểu diễn

Trong các kỳ thi học sinh giỏi quốc gia, Olympic toán quốc tế, Olympic sinhviên giữa các trường đại học và cao đẳng, cũng thường xuất hiện các bài toán

về dãy số Ngay trong chương trình sách giáo khoa phổ thông thì dãy số cũng

là một phần quan trọng được đề cập nhiều

Để đáp ứng cho việc giảng dạy lâu dài cũng như sự quan trọng của nhữngbài toán về dãy số, trong luận văn này, tác giả xin tập trung vào nghiên cứumột số chủ đề về dãy số, được thể hiện bởi ba chương sau đây:

Chương 1: Dãy số và một số dãy truy hồi cơ bản, trình bày khái niệm

và một số tính chất về dãy số, một số dãy truy hồi cơ bản, hệ thống bài tậpchương 1

Chương 2: Phương pháp sử dụng hàm sinh, trình bày phương pháp dùnghàm sinh là đa thức, dùng hàm sinh là chuỗi lũy thừa vô hạn, hệ thống bài tậpchương 2

Chương 3: Những tổng vô hạn không thể biểu diễn được qua các

hàm đại số, trình bày về tiêu chuẩn cho những tổng không thể biểu diễn đượcqua các biểu thức hữu tỉ, biểu thức đại số, hệ thống bài tập chương 3.

Thông qua việc hoàn thành luận văn, tác giả nhận thấy rằng các vấn đề được

đề cập trong luận văn là rất rộng lớn mà trong khuôn khổ của luận văn chỉ thểhiện được một phần nào Tuy nhiên những vấn đề được trình bày trong luậnvăn sẽ là những kiến thức khởi đầu định hướng cho tác giả tiếp cận các vấn đềsau này

Luận văn này được hoàn thành dưới sự hướng dẫn của PGS.TS Dương QuốcViệt, tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành và sâu sắc nhất tới thầy Tác giả xincảm ơn các thầy cô trong hội đồng phản biện đã có những ý kiến đóng góp chotác giả.Tác giả cũng xin bày tỏ lòng biết ơn tới các thầy cô trong khoa Toán-Tin trường Đại học Sư phạm Hà Nội, đặc biệt là các thầy cô trong tổ Đại số và

lý thuyết số đã nhiệt tình dạy dỗ, truyền thụ kiến thức cho tác giả trong thờigian học tập tại trường Cảm ơn bạn bè, đồng nghiệp và gia đình đã luôn độngviên và giúp đỡ tác giả trong thời gian học tập và nghiên cứu

Hà Nội, tháng năm 2013

Học ViênPhạm Thị Hiền

Mục lục

1.1 Định nghĩa và các tính chất cơ bản về dãy số 5

1.1.1 Các định nghĩa 5

1.1.2 Các định lý cơ bản về dãy số 7

1.2 Một số dãy truy hồi cơ bản 8

1.2.1 Dãy afine 8

1.2.2 Dãy truy hồi tuyến tính cấp hai thực với hệ số hằng 9

1.2.3 Phương pháp sai phân và phương trình sai phân 10

1.2.4 Dãy truy hồi dạng un+1 =f(un) 15

1.3 Bài tập 16

2 Phương pháp sử dụng hàm sinh 17 2.1 Dùng hàm sinh là đa thức 17

2.2 Dùng hàm sinh là các chuỗi lũy thừa vô hạn 18

2.3 Bài tập 19

3 Những tổng hữu hạn không thể biểu diễn được qua các hàm đại

số 203.1 Tiêu chuẩn cho những tổng không biểu diễn được qua các biểuthức hữu tỉ 213.2 Tiêu chuẩn cho những tổng không biểu diễn được qua biểu thứcđại số 223.3 Bài tập 22

1.1 Định nghĩa và các tính chất cơ bản về dãy số

chất của một hàm số.

Định nghĩa 1.2 Dãy số (xn) được gọi là dãy tăng (giảm) nếu với mọi n ta có

xn+1 >xn (xn+1 6xn) Dãy số tăng hoặc dãy số giảm được gọi chung là dãy sốđơn điệu

Dãy số (xn) được gọi là bị chặn trên nếu tồn tại số thực M sao cho với mọi

Dãy số tuần hoàn với chu kỳ 1 được gọi là dãy hằng

Định nghĩa 1.3 Ta nói dãy số (xn) có giới hạn hữu hạn a khi n dần đến vôcùng nếu với mọi ε >0, tồn tại số tự nhiên No (phụ thuộc vào dãy số (xn) và ε)sao cho với mọi n > No ta có |xn− a| < ε

Ta nói dãy số (x n) dần đến vô cùng khi n dần đến vô cùng nếu với mọi số thựcdương M lớn tùy ý, tồn tại số tự nhiên No (phụ thuộc vào dãy số xn và M) saocho với mọi n > No ta có |xn| > M

Định nghĩa 1.4 Dãy (xn) được gọi là dãy Cauchy nếu ∀ε > 0, ∃No ∈ N:

Ta có các công thức cơ bản sau:

xn = x0+nd;

S n = x 0+x 1+ +x n−1=n(x 0+x n−1)/2Định nghĩa 1.6 Dãy số (x n) được gọi là một cấp số nhân khi và chỉ khi tồntại q sao cho:

∀n ∈ N, xn+1=qxn.

Số q được gọi là công bội của cấp số nhân, x0 là số hạng đầu,xn là số hạng thứ

n+ 1 Ta có các công thức cơ bản sau:

xn = qnx0;

Sn = x0+x1+· · ·+xn−1= q

n −1

q −1 x0.Nếu |q| < 1 thì (xn) được gọi là cấp số nhân lùi vô hạn Tổng của cấp số nhânlùi vô hạn được tính theo công thức :

S = x0

1− q.

Định lí 1.7 (Tổng, hiệu, tích, thương các dãy hội tụ) Nếu (xn), (yn)

là các dãy hội tụ và có giới hạn tương ứng là a và b thì các dãy số (xn+yn),(xn−yn), (xnyn) và (xn

yn) cũng hội tụ và có giới hạn tương ứng là a+b, a−b, a.b,a

b.(Trong trường hợp dãy số thương, ta giả sử yn và b khác không)

Định lí 1.8 (Chuyển qua giới hạn trong bất đẳng thức) Cho dãy (xn)

có giới hạn hữu hạn l, nếu ∃N0 ∈N :∀n > N0 ta có a6xn 6 b thì a 6l6b.Định lí 1.9 (Định lý kẹp) Cho ba dãy số (xn),(yn),(zn) Trong đó xn, zn cócùng giới hạn hữu hạn là a, và N 0 ∈ N :∀n > N 0 ta có x n 6 y n 6z n Khi đó y n

cũng có giới hạn là a

Định lí 1.10 (Dãy đơn điệu) Một dãy tăng và bị chặn trên hay một dãygiảm và bị chặn dưới thì hội tụ Nói ngắn gọn hơn, một dãy số đơn điệu và bịchặn thì hội tụ.

Định lí 1.11 (Về dãy các đoạn thẳng lồng nhau) Cho hai dãy số thực(an),(bn) sao cho:

a) ∀n ∈N, an 6bn;

b) ∀n ∈N,[a n+1 , b n+1]⊂[an, bn];

c)bn− an →0 khi n → ∞

Khi đó tồn tại duy nhất số thực a sao cho ∩[an, bn] ={a}

Định lí 1.12 (Bolzano Veierstrass) Từ một dãy bị chặn luôn có thể trích

ra một dãy con hội tụ

1.2 Một số dãy truy hồi cơ bản

Các bài toán về dãy số thường rất đa dạng và phức tạp Dưới đây chúng ta

sẽ xem xét một số dạng dãy số đặc biệt và nghiên cứu các tính chất về chúng.Tuy nhiên, ta có thể sử dụng hai nguyên lý chung để giải các bài toán dãy số

đó là: Viết ra các số hạng đầu tiên của dãy số và tổng quát hóa bài toán

Kí hiệu Da,b là tập tất cả các dãy thực này thì ta có mệnh đề sau:

Mệnh đề 1.15 Da,b là một R - không gian véc tơ hai chiều

Số hạng tổng quát

Số hạng tổng quát của dãy (1.1) được xác định như sau:

+ Giải phương trình đặc trưng tương ứngđể tìm t:

t2− at − b= 0 (1.2)+Tìm nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất tương ứng:

Trường hợp 1: Nếu (1.2) có hai nghiệm phân biệt: t = t 1;t = t 2 thì dễ thấy

{(tn1),(tn2)} là cơ sở của Da,b nên nghiệm tổng quát của (1.3) sẽ là

un =rn(x.cosnθ+y.sinnθ).

Chú ý: x và y được xác định khi biết u 0 , u 1

Định nghĩa 1.16 Sai phân cấp một của hàm số un (Đặt un = u(n)) là đạilượng: ∆u n =u n+1 − u n Sai phân cấp k của hàm số u(n) là sai phân cấp (k −1)của hàm số đó:

∆k un = ∆k−1 un+1−∆k−1 un.

Sai phân có những tính chất cơ bản sau:

Mệnh đề 1.17 Sai phân mọi cấp đều có thể biểu thị theo các giá trị của hàm

Mệnh đề 1.18 Sai phân mọi cấp của hàm số là một toán tử tuyến tính.Mệnh đề 1.19 Sai phân mọi cấp của hằng số bằng 0.

Mệnh đề 1.20 (Sai phân của đa thức) Sai phân cấp k của đa thức bậc m là

đa thức bậc (m − k) nếu k < m, là hằng số nếu k =m và bằng 0 nếu k > m.Mệnh đề 1.21 (Tổng các sai phân)

f(un,∆un, ,∆kun) = 0.

Ta biết rằng, sai phân mọi cấp đều có thể biểu thị theo giá trị của hàm sốnên ta có một dạng khác của phương trình sai phân tuyến tính bậc k là:

a0un+k+a1un+k−1+· · ·+akun = f(n) (1.4)trong đó a 0 , , ak là các hệ số hằng, a 0 6= 0 và f(n) là một biểu thức đã biết.Nếu f(n) = 0, ta có phương trình:

a 0 un+k+a 1 un+k−1+· · ·+aku n = 0 (1.5)gọi là phương trình sai phân tuyến tính thuần nhất bậc k, trường hợp f(n) 6= 0

ta gọi là phương trình sai phân tuyến tính không thuần nhất Ta có khái niệmnghiệm của phương trình sai phân tuyến tính:

- Hàm số (hay dãy) un phụ thuộc k tham số thỏa mãn (1.4) được gọi lànghiệm tổng quát của phương trình sai phân tuyến tính không thuần nhất(1.4).

- Hàm số ˜un phụ thuộc k tham số thỏa mãn (1.5) được gọi là nghiệm tổngquát của phương trình sai phân tuyến tính thuần nhất (1.5)

- Một nghiệm cụ thể ˆun thỏa mãn (1.4) gọi là một nghiệm riêng của phươngtrình sai phân tuyến tính không thuần nhất (1.4)

Giải phương trình sai phân tuyến tính và tìm số hạng tổng quát của dãy truyhồi tuyến tính là hai việc làm gần như tương đồng nhau Xét bài toán: Tìm sốhạng tổng quát của dãy số:

un+k =a0un+k−1+· · ·+ak−1un Ta có mệnh đề sau:

Mệnh đề 1.24 Tập hợp U tất cả các dãy thỏa mãn phương trình:

un+k =a0un+k−1+· · ·+ak−1un

là một không gian véctơ k chiều

Phương trình: λk − a0λk−1− · · · − ak−2λ − ak−1 = 0 được gọi là phương trìnhđặc trưng của phương trình sai phân thuần nhất:un+k =a0un+k−1+· · ·+ak−1un,căn cứ vào các nghiệm của phương trình đặc trưng có thể tìm ra một cơ sở củakhông gian nghiệm dựa vào các mệnh đề sau:

Mệnh đề 1.25 Nếu phương trình λk − a 0 λk−1 − · · · − ak−2λ − ak−1 = 0 có

k nghiệm phân biệt λ1, λ2, , λk thì không gian nghiệm U của phương trình

un+k =a0un+k−1+· · ·+ak−1un có một cơ sở là {(λn1), ,(λnk)}

Mệnh đề 1.26 Nếu phương trình λk− a0λk−1− · · · − ak−2λ − ak−1 = 0 có nghiệm

λ 1 bội sthìs dãy (λn1),(nλn1), ,(ns−1λn1) thuộc không gian nghiệmU của phươngtrình un+k =a0un+k−1+· · ·+ak−1un

Nhận xét 1.27 Xét trong trường số phức C, vì phương trình đặc trưng luôn có

đủ k nghiệm tính cả nghiệm bội, và bằng việc thay s dãy (λni),(nλni), ,(ns−1λni)nếu nghiệm λ i bội s, ta luôn tìm được một cơ sở tường minh của không giannghiệm U và giải được phương trình sai phân tuyến tính thuần nhất

Với phương trình sai phân tuyến tính không thuần nhất ta tìm nghiệm tổngquát dựa vào mệnh đề sau:

Mệnh đề 1.28 Nếu ˜un là nghiệm tổng quát của phương trình:

a0un+k+a1un+k−1+· · ·+akun = 0 (1.5)

và ˆu n là một nghiệm riêng của phương trình:

a0un+k+a1un+k−1+· · ·+akun =f(n) (1.4)thì un = ˜un+ ˆun là nghiệm tổng quát của (1.4)

Vậy ta có lời giải cho bài toán tìm SHTQ ban đầu bằng cách giải phươngtrình sai phân tuyến tính không thuần nhất với các bước:

- Bước 1: Tìm nghiệm tổng quát ˜un của phương trình sai phân tuyến tínhthuần nhất tương ứng bằng cách giải phương trình đặc trưng

- Bước 2: Tìm một nghiệm riêng ˆun của phương trình sai phân tuyến tínhkhông thuần nhất

- Bước 3: Nghiệm tổng quát của phương trình sai phân tuyến tính khôngthuần nhất có dạng un = ˜un+ ˆun

- Bước 4: Căn cứ vào các số hạng đầu tiên ta tìm được SHTQ của dãy (un).

Dựa vào việc tìm nghiệm của phương trình sai phân ta có thể tìm số hạng tổngquát của dãy truy hồi tuyến tính cấp 2 như sau

Phương pháp tìm số hạng tổng quát của dãy truy hồi tuyến tính cấp

2 dựa vào sai phân

Bài toán: Tìm số hạng tổng quát của dãy số

un+2 = aun+1+bun, ∀n ≥0.

Trong đó a và b là các hằng số thực

+ Giải phương trình đặc trưng tương ứngđể tìm t:

t2− at − b= 0 (1.2)+ Tìm nghiệm tổng quát của phương trinh thuần nhất tương ứng:

u n+2 − au n+1 − bun = 0 (1.3)Trường hợp 1: Nếu (1.2) có hai nghiệm phân biệt: t = t1;t = t2 thì dễ thấy

{(tn1),(tn2)} là cơ sở của Da,b nên nghiệm tổng quát của (1.3) sẽ là

un =rn(x.cosnθ+y.sinnθ).

Chú ý: x và y được xác định khi biết u0, u1

Ví dụ 1.29 Tính số hạng tổng quát của dãy số (un), biết:

un+2 =un+1− un, ∀n ≥0.

1.2.4 Dãy truy hồi dạng un+1 = f ( un)

Dãy số này hoàn toàn xác định khi biết f và giá trị ban đầu x0 Sự hội tụcủa dãy số sẽ phụ thuộc vào tính chất của hàm số f(x) và x0

Giả sử f :D → D là một ánh xạ cho trước và u 0 ∈ D.

f đơn điệu tăng trên D

Do un+1− un =f(un)− f(un−1), nên (un+1− un) cùng dấu với (un− un−1) và vìvậy (u n+1 − u n) cùng dấu với (u 1 − u 0). Từ đó, nếu u 0 ≤ u 1 thì (u n) là một dãytăng; nếu u0 ≥ u1 thì (un) là một dãy giảm

f đơn điệu giảm trên D

Lúc đó ánh xạ tích f2 = f ◦ f là một hàm tăng trên D Từ đó, nếu u0 ≤ u2 thìdãy con (u 2n) là một dãy tăng và (u 2n+1) là một dãy giảm; nếu u 0 ≥ u −2 thìdãy con (u2n) là một dãy giảm và (u2n+1) là một dãy tăng

f liên tục trên D và D là đóng trong R

Khi đó nếu (u n) hội tụ vềa thìa ∈ D và a là nghiệm của phương trình f(x) = x.Đặc biệt Nếu hàm f thỏa mãn : |f(u)− f(v)| ≤ q|u − v|, ∀u, v ∈ D; 0 < q < 1,thì dãy (un) hội tụ và giới hạn của dãy số là nghiệm duy nhất của phương trình

f(x) =x

Ví dụ 1.32 Hãy khảo sát dãy số (un) với u0 = 1, un+1 = un

Tìm tất cả các số a1 sao cho dãy số trên hội tụ và tìm giới hạn của dãy

Ví dụ 1.34 Hãy khảo sát dãy số (u n) với

Chương 2

Phương pháp sử dụng hàm sinh

Cho dãy số hữu hạn hay vô hạn u 0 , u 1 , u 2 , , u n , thì chuỗi lũy thừa hữuhạn hay vô hạn f(t) =u0+u1t+· · ·+untn +· · · được gọi là hàm sinh của dãy

Ví dụ 2.3 Cho các số nguyên dương m ≤ n Tính tổng

n

X

k=m

CnkCkm

2.2 Dùng hàm sinh là các chuỗi lũy thừa vô

hạn

Phép màu của hàm sinh nằm ở chỗ ta có thể chuyển các phép toán thựchiện trên dãy số thành các phép toán thực hiện trên các hàm sinh tương ứngcủa chúng Cơ sở lí thuyết của phương pháp này là vành A = R[[x]] các chuỗilũy thừa hình thức trên trường số thực R có dạng X

n≥0

anxn với phép cộng vàphép nhân chuỗi thông thường Đặc biệt là X

hệ thức truy hồi, tìm được một phương trình cho F(x), giải phương trình, sẽtìm đượcF(x) Khai triển F(x) theo lũy thừa x (khai triển Taylor), ta tìm được(un) với mọi n

Ví dụ 2.4 Tìm số hạng tổng quát của dãy Fibonacci (f n) xác định bởi:



u v



= 0 nếu u < v hoặc v <0.

Ví dụ 2.6 Có n(n > 1) thí sinh ngồi xung quanh một bàn tròn Hỏi có baonhiêu cách phát đề sao cho hai thí sinh ngồi cạnh nhau luôn có đề khác nhau,biết rằng trong ngân hàng đề có đúng m(m >1) đề và mỗi đề có nhiều bản

2.3 Bài tập

Chương 3

Những tổng hữu hạn không thể biểu diễn được qua các hàm đại số

thức S(n) không nằm trong lớp các biểu thức quen thuộc của chúng ta.

3.1 Tiêu chuẩn cho những tổng không biểu

diễn được qua các biểu thức hữu tỉ

Chỉ trừ những học sinh phổ thông mới làm quen với việc tính tổng hữu hạncủa một dãy số, chắc sẽ ít ai lại dại dột đeo đuổi việc tính các tổng:

Ví dụ 3.3 Biểu thức của biến số nguyên dương n: g(n) =

3.2 Tiêu chuẩn cho những tổng không biểu

diễn được qua biểu thức đại số

Bây giờ ta bàn đến một loại tổng khác như

có các biểu thức đại số trên trường hữu tỉ nào biểu diễn chúng

Ta biết rằng biểu thức f(x) với biến x được gọi là một biểu thức đại số trêntrường K nếu tồn tại các dạng đa thức P0(x), P1(x), , Pn(x) trên K, khôngđồng thời bằng 0 để

Định lí 3.5 Nếu biểu thức f(x) với biến x có lim

x→∞ f(x) là một số siêu việt thì

f(x) không phải là một biểu thức đại số trên Q

Ví dụ 3.6 Biểu thức của biến số nguyên dương n: h(n) =

Ví dụ 3.7 Biểu thức của biến số nguyên dương n: g(n) =

3.3 Bài tập

Chương 2: Trình bày phương pháp dùng hàm sinh là đa thức, dùng hàm sinh làchuỗi lũy thừa vô hạn, hệ thống một số bài tập cùng lời giải.

Chương 3: Trình bày về tiêu chuẩn cho những tổng không thể biểu diễn đượcqua các biểu thức hữu tỉ và biểu thức đại số Hệ thống một số bài tập cùng lờigiải

Tài liệu tham khảo

[1] Lê Đình Định, Bài tập phương trình sai phân, NXB Giáo dục Việt Nam,(2011)

[2] Phan Huy Khải, Các chuyên đề số học bồi dưỡng học sinh giỏi toán trunghọc - Chuyên đề 2: Số học và dãy số, NXB Giáo dục, (2008)

[3] Nguyễn Văn Mậu (Chủ biên), Trần Nam Dũng, Nguyễn Minh Tuấn, Cácchuyên đề bồi dưỡng học sinh chuyên toán - Chuyên đề chọn lọc: Dãy số và

áp dụng, NXB Giáo dục, (2008)

[4] Dương Quốc Việt (Chủ biên), Đàm Văn Nhỉ, Giáo trình đại số sơ cấp, NXBĐại học sư phạm, (2007)

[5] Dương Quốc Việt (Chủ biên), Lê Văn Đính, Bài tập đại số sơ cấp phần một

số nguyên lý cơ bản, NXB Đại học sư phạm, (2012)

[6] Jean-Marie Monier, Đại số 2, NXB Giáo dục Việt Nam, (2009)

[7] W J Kaczkor, M T Nowak, Đoàn Chi (Biên dịch), Bài tập giải tích: Sốthực - Dãy số và chuỗi số, NXB Đại học sư phạm, (2003)