Tóm tắt Luận văn Thạc sĩ Khoa học: Trường vô hướng hấp dẫn với hằng số hấp dẫn vũ trụ

Luận văn nghiên cứu phương trình trường của Einstein khi có mặt hằng số vũ trụ để dự đoán về sự tồn tại của một trường vô hướng mà khối lượng liên quan đến hằng số hấp dẫn vũ trụ được nói ở trên, đồng thời bước đầu tìm hiểu về hằng số hấp dẫn vũ trụ theo quan điểm của Vũ trụ học ngày nay. Sau đây là bản tóm tắt của luận văn.

LU N VĂN TH C SĨẬ Ạ

TRƯỜNG VÔ HƯỚNG H P D NẤ Ẫ

V I H NG S  H P D NỚ Ằ Ố Ấ Ẫ

Ngườ ưới h ng d n khoa h c:PGS. TS. Phan H ng Liênẫ ọ ồ

H c viên: Ph m Th  Kim Thoaọ ạ ị

Lý do ch n đ  tài:ọ ề

Mô hình v t lý hi nậ ệ  đ iạ  cho th y có b n lo i tấ ố ạ ương tác c  b n trong t  ơ ả ự nhiên: tương tác h p dấ ẫn, tương tác đi n t , tệ ừ ương tác m nhạ  và tương tác y uế

Cu iố  th p niên 1960, ngậ ười ta đã th ng nh t đố ấ ượ tc ương tác đi n t  và ệ ừ

tương tác y u trong mô hình Glashow­ Weinberg­ Salam (lý thuy t đi n y u). Vế ế ệ ế ề  sau, mô hình này k t h p thêm v i tế ợ ớ ương tác m nh, ta có mô hình chu n ạ ẩ

(Standard model) [5]. Tương tác h p d n hi n v n đang b  n m ngoài s  th ng ấ ẫ ệ ẫ ị ằ ự ố

nh t này. ấ

Lý thuy t tế ương đ i r ng c a Einstein đã có r t nhi u đóng góp cho V t ố ộ ủ ấ ề ậ

lý, gi i thích đả ược chuy n đ ng c a đi m c n nh t sao Th y, tiên đoán để ộ ủ ể ậ ậ ủ ượ ực s  

l ch tia sáng khi đi g n M t Tr i. Sau đó ông còn s  d ng lý thuy t này đ  mô tệ ầ ặ ờ ử ụ ế ể ả 

mô hình c u trúc c a toàn th  vũ tr  khi cho xu t hi n thêm h ng s  vũ tr    ấ ủ ể ụ ấ ệ ằ ố ụ Λ

vào phương trình trường c a mình. M c dù nh ng nghiên c u ngay sau đó đã bác ủ ặ ữ ứ

b  h ng s  này và chính b n thân Einstein cũng bác b  nó nh ng nh ng nghiên ỏ ằ ố ả ỏ ư ữ

c u trong vài th p niên nay l i th y c n thi t nh c l i h ng s  này.ứ ậ ạ ấ ầ ế ắ ạ ằ ố

Xu t phát t  nh ng v n đ  đ  c p   trên, em nh n th y đ  tài “ Trấ ừ ữ ấ ề ề ậ ở ậ ấ ề ường 

vô hướng h p d n v i h ng s  h p d n   ” là m t v n đ  hay và th i s  nên ấ ẫ ớ ằ ố ấ ẫ ộ ấ ề ờ ự

mu n tìm hi u, nghiên c u.ố ể ứ

M c đích nghiên c u: ụ ứ

Nghiên c u phứ ương trình trường c a Einstein khi có m t h ng s  vũ tr     ủ ặ ằ ố ụ

đ  d  đoán v  s  t n t i c a m t trể ự ề ự ồ ạ ủ ộ ường vô hướng mà kh i lố ượng liên quan đ nế  

h ng s  h p d n vũ tr  đằ ố ấ ẫ ụ ược nói   trên, đ ng th i bở ồ ờ ước đ u tìm hi u v  h ng ầ ể ề ằ

s  vũ tr  theo quan đi m c a Vũ tr  h c ngày nay.ố ụ ể ủ ụ ọ

Phương pháp nghiên c uứ

Lu n văn đậ ược nghiên c u d a trên c  s  lý thuy t tứ ự ơ ở ế ương đ i r ng c a ố ộ ủ Albert Einstein xây d ng cùng v i n n t ng toán h c cho nó là hình h c Riemann ự ớ ề ả ọ ọ trong không­th i gian 4 chi u Minkowski. T  hình th c lu n Tetrad xét trờ ề ừ ứ ậ ường vô 

hướng h p d n liên quan đ n h ng s  h p d n vũ tr    .ấ ẫ ế ằ ố ấ ẫ ụ

C u trúc lu n vănấ ậ

Ngoài ph n M  đ u và ph n K t lu n, Tài li u tham kh o, c u trúc c a ầ ở ầ ầ ế ậ ệ ả ấ ủ

lu n văn g m 3 chậ ồ ương 

Ch ươ ng 1.  Gi i thi u t ng quan v  lý thuy t tớ ệ ổ ề ế ương đ i t ng quát c aố ổ ủ   Einstein và tương tác h p d n.ấ ẫ

Ch ươ ng 2. Nghiên c u v  hình th c lu n tetrad, tính đ i ng u hi p bi nứ ề ứ ậ ố ẫ ệ ế  

t ng quát, trên c  s  đó xây d ng các phổ ơ ở ự ương trình cho trường vô hướng h pấ  

d n.ẫ

Ch ươ ng 3. Trình bày khái quát v  h ng s  h p d n vũ tr  liên quan t iề ằ ố ấ ẫ ụ ớ  

nh ng gi i thích c a Vũ tr  h c v  giãn n  vũ tr ữ ả ủ ụ ọ ề ở ụ

Chương 1 Nguyên lý b t bi n tấ ế ương đ i t ng quát kh ng đ nh r ng m i quá trình v tố ổ ẳ ị ằ ọ ậ  

lý đ u di n ra nh  nhau trong m i h  quy chi u quán tính, và do đó các phề ễ ư ọ ệ ế ương  trình v t lý tậ ương  ng ph i b t bi n v i phép bi n đ i t ng quát:ứ ả ấ ế ớ ế ổ ổ

Đ  xây d ng các đ i lể ự ạ ượng v t lý th a mãn nguyên lý b t bi n trên, ta đ aậ ỏ ấ ế ư   vào khái ni m tensor. Đây là khái ni m quan tr ng giúp ta tìm đệ ệ ọ ược Lagrangian 

b t bi n và do đó xây d ng đấ ế ự ược các lý thuy t v t lý th a mãn nguyên lý b t ế ậ ỏ ấ

bi n.ế

Tensor

D a vào phép bi n đ i (1.2.1) tensor đự ế ổ ược đ nh nghĩa nh  sau:ị ư

Tensor   ph n   bi n   (Contravariant)   c p   n   là   t p   h p   các   thành   ph nả ế ấ ậ ợ ầ   )

(

2

T n bi n đ i theo quy lu t:ế ổ ậ

1 2

1 2

n

µ

ν

Tensor   hi p   bi n   (Covariant)   c p   n   là   t p   h p   các   thành   ph nệ ế ấ ậ ợ ầ  

1 2 n( )

Tµ µ µ x  bi n đ i theo qui lu t:ế ổ ậ

1 2

n

ν

µ

=        (1.2.3)

( )

'

M t cách t ng quát, tensor h n h p ph n bi n c p m và hi p bi n c p nộ ổ ỗ ợ ả ế ấ ệ ế ấ   (còn g i là Mixed (m, n) ­ tensor) là t p h p các thành ph n ọ ậ ợ ầ 1 2

1 2

m( )

n

Tν ν µ µ µ ν x bi nế  

đ i theo qui lu t:ổ ậ

'

       (1.2.4) Tensor đ  congộ

Khác v i đ o hàm bình thớ ạ ường, các đ o hàm hi p bi n không giao hoánạ ệ ế  

v i nhau, t c là:ớ ứ

µ ν µ ν ν µ

� �        

Ta hãy tính giao hoán t  c a các đ o hàm hi p bi n khi tác d ng lên m tử ủ ạ ệ ế ụ ộ   vect  hi p bi n:ơ ệ ế

µ ν λ µ ν λ ν µ λ

� �       (1.3.1)

*Tính

( ) ( ( )) ( )( ( )) ( )( ( ))

µ ν λ = µ ν λ − Γµν σ λ − Γµλ ν σ

µ ν λ νλ σ µν σ λ σλ ρ µλ ν σ νσ ρ

µ ν λ µ νλ σ νλ µ σ µν σ λ µν σλ ρ

µλ ν σ µλ νσ ρ

  (1.3.2)

*Tính ��ν µ λG x ( ), tương t  ta có:ự

( )

ν µ λ ν µ λ ν µλ σ µλ ν σ νµ σ λ

νµ σλ ρ νλ µ σ νλ µσ ρ

Thay (1.3.3) và (1.3.3) vào (1.3.1) ta có:

µ ν λ µ ν λ µ νλ σ νλ µ σ µν σ λ

µν σλ ρ µλ ν σ µλ νσ ρ ν µ λ ν µλ σ

µλ ν σ νµ σ λ νµ σλ ρ νλ µ σ νλ µσ ρ

� � � � = �� − Γ � − Γ � − Γ �

suy ra:

µ ν λ ν µλ µ νλ σ µλ νσ νλ µσ ρ

�� �� = �Γ − Γ� + Γ Γ − Γ Γ

       = ( ν µλΓ − Γ + Γ Γ − Γ Γσ µ νλσ ρµλ νρσ νλ µρρ σ )Gσ

(thay σ ρ ρ , σ )

Đ t:  ặ Rσ.λνµ = Γ − Γ + Γ Γ − Γ Γν µλσ µ νλσ ρµλ νρσ νλ µρρ σ     

V y:  ậ � � � �µ, ν� � G xλ( ) = Rσ.λνµ σG x ( )      (1.3.4) trong đó: Rσ.λνµđược g i là tensor đ  cong Riemann.ọ ộ

Phương trình Einstein và tác d ng b t bi nụ ấ ế

Đ  xem s  phân b  v t ch t  nh hể ự ố ậ ấ ả ưởng đ n hình h c không gian hay hìnhế ọ  

h c không gian quy t đ nh đ n n i dung v t lý? Einstein đi tìm m i quan h  đóọ ế ị ế ộ ậ ố ệ  

nh  sau:ư

Trong lý thuy t tế ương đ i h p, khi có Lagrangian b t bi n L(x) thì tácố ẹ ấ ế  

d ng đụ ược đ nh nghĩa b i: ị ở S = d xL x4 ( ) cũng b t bi n.ấ ế

Trong lý thuy t tế ương đ i r ng thì không v y. Đ  xây d ng tác d ng b tố ộ ậ ể ự ụ ấ  

bi n thay vì ế d x4  ta ph i đi tìm ph n t  b t bi n tả ầ ử ấ ế ương  ng.ứ

trong lý thuy t tế ương đ i r ng, t  Lagrangian b t bi n L(x) ta có th  l p ố ộ ừ ấ ế ể ậ tác d ng b t bi n d ng:ụ ấ ế ạ

S = d x −g L x

Lagrangian b t bi n c a h  trấ ế ủ ệ ường v t ch t ậ ấ ϕ ( ) x  và trường h p d n th  ấ ẫ ể

hi n trong metric tensor ệ g(µλ)( ) x  Einstein đã ch n ọ L( , )ϕ g = + R L ( , ϕ µϕ ),  v iớ

g

R L = . Do đó tác d ng b t bi n mô t  h  trụ ấ ế ả ệ ường v t ch t và trậ ấ ường h p d n ấ ẫ

nh  sau:ư

S = d x −g R L+ ϕ �µϕ =S +Sϕ      (1.5.5)

 v i ớ S g = d x4 −g R mô t  b n thân trả ả ường h p d n.ấ ẫ

       Sϕ = d x4 −g L( ,ϕ µϕ) mô t  trả ường v t ch t tậ ấ ương tác v i ớ

trường h p d n.ấ ẫ

Phương trình chuy n đ ng thu để ộ ượ ừc t  nguyên lý tác d ng t i thi u đ i ụ ố ể ố

v i tác d ng (1.5.5):ớ ụ

0

g

S = Sϕ + S =       (1.5.6)

K t qu  là:ế ả

  3 ( 1 . ) 4

g

c

k

µν

µν µν δ π

−

= − + −        [13]  (1.5.14)

Tính   Sϕ nh  sau:ư

4

1 2

c

µν

ϕ = µνδ −        [13]   (1.5.15)

Nh  v y phư ậ ương trình trường Einstein (1916) là:

4

2

k

c

µν = µν − µν = π µν

trong đó Gµν là tensor Einstein, Rµν  tensor Ricci, R là đ  cong vô hộ ướng, 

Tµν tensor năng­ xung lượng (m t t p h p các đ i lộ ậ ợ ạ ượng xác đ nh m t đ  năngị ậ ộ  

lượng, m t đ  xung lậ ộ ượng và m t đ   ng xu t).ậ ộ ứ ấ

Các tensor Gµν và Rµν  là nh ng hàm s  c a ữ ố ủ gµν­ mô t  hình h c ả ọ

c a không th i gian. Bên trái ta có không gian cong, còn bên ph i là s  phân b  ủ ờ ả ự ố

v t ch t và năng lậ ấ ượng [6]

 Các k t qu  này d n đ n k t lu n r ng tính ch t hình h c c a không th iế ả ẫ ế ế ậ ằ ấ ọ ủ ờ   gian được quy t đ nh b i trế ị ở ường v t ch t.ậ ấ

Qui ướ ấc l y các h ng s  c=1, ằ ố h = 1, nh ng gi  nguyên h ng s  Newtonư ữ ằ ố   [24] thì có các phương trình Einstein là:

1

8 2

(thay kí hi u h ng s  h p d n Newton ệ ằ ố ấ ẫ k b i kí hi u ở ệ G)

Sau này Einstein đã s a đ i phử ổ ương trình c a mình b ng vi c đ aủ ằ ệ ư   thêm vào 

h ng s  vũ tr  ằ ố ụ Λ b ng cách thay ằ Lg = − Λ R 2 (không còn d ng ạ Lg = R)  nên phương trình dưới hình th c nh  sau:ứ ư

1

8 2

Đây chính là Phương trình vũ tr  Einstein (1917). Nh  v y trong chụ ư ậ ương  này ta đã nghiên c u đứ ượ ổc t ng quan v  Lý thuy t tề ế ương đ i t ng quát c a ố ổ ủ

Einstein và tương tác h p d n cùng v i n n t ng toán h c là hình h c Riemann ấ ẫ ớ ề ả ọ ọ cong – là c  s  lý thuy t cho các tính toán   chơ ở ế ở ương sau

CHƯƠNG 2 NGUYÊN LÝ Đ I NG U HI P BI N T NG QUÁT VÀ CÁCỐ Ẫ Ệ Ế Ổ  

TRƯỜNG VÔ HƯỚNG H P D NẤ Ẫ

Tetrad

Tetrad (còn g i là Vierbein) là b  b n vector đ c l p tuy n tính, thọ ộ ố ộ ậ ế ườ  ng

được kí hi u là ệ ν( )a ( ) x , trong đó a được g i là ch  s  Vierbein, nh n các giá tr  0,ọ ỉ ố ậ ị  

1, 2, 3. T  bây gi  ta kí hi u các ch  cái Latin thừ ờ ệ ữ ường a, b, c… là các ch  sỉ ố  Vierbein, còn các ch  cái Hi l p ữ ạ µ ν ρ , , v n là các ch  s  Lorentz c a không ­ẫ ỉ ố ủ  

th i gian 4 chi u mà ta kí hi u trong chờ ề ệ ương trước. Vierbein ν( )a ( ) x  có các thành 

ph n ầ νµ( )a ( ) x tho  mãn đi u ki n:ả ề ệ

trong đó ηab là metric ph ng Minkowski:ẳ

(1, 1, 1, 1)

Các phương trình c a trủ ường vô hướng h p d nấ ẫ

T  đ nh đ  tetrad:ừ ị ề

( ) 0

a

D q xα µ =        (2.3.1)

và c u trúc b c b n, cùng các phấ ậ ố ương trình c a trủ ường h p d n ta có:ấ ẫ 1

2

1

2

h B x

h C x

µ

µ

µ

µ

W W

W W

M t cách tộ ương t  cho tensor Ricci, chúng ta có:ự

2

Rµν = µ ν σhσ + W hµν − ν σhσµ − µ σhσν        (2.3.9)

và      R = W hµµ − µ νhµν      (2.3.10)

ta được:

µ σ µν

µ σ µν

W

W

M t khác, t  phặ ừ ương trình Einstein

1 8

2 Rgµν − Rµν = − πγ Tµν + Λ gµν

mà     R 4 8 Tµ

µ

πγ

= Λ +         (2.3.12)

ta được:

( 2 ) ( ) ( )

( 2 ) ( ) ( )

W

W        (2.3.13)

trong đó  1

4 2

µ

µ ν

µν + πγ  

T  các phừ ương trình (2.3.13), chúng ta có th  k t lu n r ng các trể ế ậ ằ ườ  ng B(x) và C(x) nh  là các trư ường vô hướng v i kh i lớ ố ượng bình phương b ng:ằ

m = − m = Λ       (2.3.14)

Đi u này có nghĩa r ng m t trong s  chúng có tính ch t c a h t tachyonề ằ ộ ố ấ ủ ạ   trong lý thuy t dây, tr  khi ế ừ Λ = 0

Trong gi i h n c a lý thuy t hi u d ng trong không – th i gian ph ng,ớ ạ ủ ế ệ ụ ờ ẳ   Lagrangian tương tác cho nh ng trữ ường này và trường h p d n có th  là:ấ ẫ ể

2 int

2 int

1

4 1

4

µ µ

µ µ

µ ν

µ ν

πγ πγ

+

L

L

      (2.3.15)

Chúng ta có th  nói r ng v n đ  để ằ ấ ề ược xem xét trên đây liên quan ch t chặ ẽ 

đ n khái ni m đ i ng u. Đi u đáng l u ý là d  đoán v  s  t n t i c a m tế ệ ố ẫ ề ư ự ề ự ồ ạ ủ ộ  

trường vô hướng mà kh i lố ượng liên quan đ n h ng s  h p d n ế ằ ố ấ ẫ Λ. Chúng có 

b n ch t h p d n và m t trong s  chúng là tachyon ( nh  trong lý thuy t dây ) –ả ấ ấ ẫ ộ ố ư ế  

h t có bình phạ ương kh i lố ượng âm

CHƯƠNG III

V  H NG S  H P D N VŨ TR  ΛỀ Ằ Ố Ấ Ẫ Ụ

V  h ng s  h p d n vũ tr  Λề ằ ố ấ ẫ ụ

H ng s  vũ tr  l n đ u tiên đằ ố ụ ầ ầ ược Einstein đ a ra năm 1917 nh  m t l cư ư ộ ự  

h p d n đ  gi  cho vũ tr    tr ng thái cân b ng tĩnh. Trong ấ ẫ ể ữ ụ ở ạ ằ Vũ tr  h c hi n đ i,ụ ọ ệ ạ  

nó là  ng c  viên hàng đ u cho năng lứ ử ầ ượng t i, gây ra gia t c c a s  m  r ng vũố ố ủ ự ở ộ  

tr  [22].ụ

Có nhi u nhà vũ tr  h c ch  trề ụ ọ ủ ương ph c h i thu t ng  h ng s  vũ trụ ồ ậ ữ ằ ố ụ  trên c  s  lý thuy t. Lý thuy t trơ ở ế ế ường hi n đ i liên k t thu t ng  này v i m tệ ạ ế ậ ữ ớ ậ  

đ  năng lộ ượng c a chân không. M t đ  năng lủ ậ ộ ượng c a chân không ủ ρvac đượ  c

đ nh nghĩa v i ị ớ

8

vac

G

ρ

π

Λ

=  V i m t đ  năng lớ ậ ộ ượng này có th  so sánh v i cácể ớ  

d ng khác c a v t ch t trong Vũ tr , nó s  đòi h i V t lý m i: thêm m t thu tạ ủ ậ ấ ụ ẽ ỏ ậ ớ ộ ậ  

ng  h ng s  vũ tr  có ý nghĩa sâu s c đ i v i v t lý h t và s  hi u bi t c aữ ằ ố ụ ắ ố ớ ậ ạ ự ể ế ủ   chúng ta v  các l c c  b n c a t  nhiên [26]. ề ự ơ ả ủ ự

Các quan sát b ng ch ng cho s  gia t c Vũ trằ ứ ự ố ụ

B ng ch ng vi c quan sát vũ tr  đang gia t c là r t m nh m , v i nhi u ằ ứ ệ ụ ố ấ ạ ẽ ớ ề

th c nghi m khác nhau bao g m kho ng th i gian r t khác nhau, quy mô chi u ự ệ ồ ả ờ ấ ề dài, và quá trình v t lý, trong đó n u coi vũ tr  là ph ng thì s  có m t m t đ  ậ ế ụ ẳ ẽ ộ ậ ộ năng lượng kho ng 4% v t ch t baryon, 23% v t ch t t i, và 73% năng lả ậ ấ ậ ấ ố ượng 

t i (h ng s  vũ tr )ố ằ ố ụ

a, Vũ tr  xu t hi n tr  h n so v i các ngôi sao lâu đ i nh t.ụ ấ ệ ẻ ơ ớ ờ ấ  

      M t vũ tr  ph ng ch  t o b i v t ch t s  ch  có kho ngộ ụ ẳ ỉ ạ ở ậ ấ ẽ ỉ ả  9 tỷ năm tu i ­ổ  

m t v n đ  l n cho r ng đây là vài t  năm tr  h n so v i các ngôi sao lâu đ i ộ ấ ề ớ ằ ỷ ẻ ơ ớ ờ

nh t. M t khác, m t vũấ ặ ộ  tr  ph ng v i 74% h ng s  vũ tr  s  là kho ng 13,7 t  ụ ẳ ớ ằ ố ụ ẽ ả ỷ năm tu i. Do đó, ổ Vũ tr  ụ ph iả  đang gia t c gi i đã quy t đố ả ế ược ngh ch lý tu i.ị ổ

b, Có quá nhi u thiên hà xa xôi.ề  

       S  d ng s  lử ụ ố ượng thiên hà gi a hai d ch chuy n đ  nhữ ị ể ỏ ư m t bi n ộ ệ pháp đo th  tích không gian, các nhà quanể  sát đã đo th  tích   xa dể ở ường nh  quá ư

l n so v i nh ng tiên đoán v  m tớ ớ ữ ề ộ  vũ tr  gi m gia t c. M t vũ tr  gia t c có th  ụ ả ố ộ ụ ố ể

gi i thích nh ngả ữ  quan sát mà không vi n đ n b t k  s  ti nệ ế ấ ỳ ự ế  hóa thiên hà l ạ

  c, Đ  ph ng quan sát độ ẳ ượ ủc c a vũ tr  m c dù không đụ ặ ủ

 v t ch t.ậ ấ  

S  d ng các phép đo bi n đ ng nhi t đ  trong b c xử ụ ế ộ ệ ộ ứ ạ n n vi sóng ề

vũ tr  t  khi vũ tr  ~ 380.000 năm tu i có th  k t lu n r ng vũ tr  là không gian ụ ừ ụ ổ ể ế ậ ằ ụ

ph ng v i m t vàiẳ ớ ộ  ph n trăm. ầ

K T LU NẾ Ậ

Các k t qu  chính c a lu n văn:ế ả ủ ậ

 Đã trình bày t ng quan và có h  th ng phổ ệ ố ương trình t ng quátổ   Einstein cùng v i hình h c không gian Riemann cong.ớ ọ

 Gi i thi u hình th c lu n Tetrad, tính đ i ng u hi p bi n ớ ệ ứ ậ ố ẫ ệ ế

t ng quát, trên c  s  đó xây d ng các phổ ơ ở ự ương trình cho m t lo i trộ ạ ường vô 

hướng h p d n th a mãn phấ ẫ ỏ ương trình Klein – Gordon. D  đoán v  s  t nự ề ự ồ  

t i c a m t trạ ủ ộ ường vô hướng mà bình phương kh i lố ượng liên quan đ n ế

h ng s  h p d n .ằ ố ấ ẫ

 Ch  ra vai trò c a h ng s  h p d n vũ tr  trong m t s  lý ỉ ủ ằ ố ấ ẫ ụ ộ ố thuy t. Thu nh n đế ậ ược m t s  b ng ch ng th c nghiêm gi i thích s  giãn ộ ố ằ ứ ự ả ự

n  vũ tr ở ụ