Trên tia AD lấy điểm E sao cho AD = DE.. b, Gọi M là chân đờng phân giác dựng từ đỉnh A của tam giác ABC.
Trang 1Phòng giáo dục Bình xuyên
Kỳ thi học sinh giỏi THCS
Vòng 1 năm học 2006-2007
-đề thi học sinh giỏi lớp 9
Môn: Toán
Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
-Câu 1:
a, Cho 3 số hữu tỉ a, b, c thoả mãn: ab + ac + bc = 1
Chứng minh rằng: (a2 + 1)(b2 +1)(c2+1) là bình phơng của một số hữu tỉ
b, Cho x, y là các số thực sao cho x + y = 2
Chứng minh: x4 + y4 ≥ 2
Câu 2: Với n là số nguyên dơng, chứng minh: n2+11n+39 không chia hết cho
49
Câu 3: Tìm các số x, y, z thoả mãn phơng trình:
x + y + z + 4 = 2 x− 2 + 4 y− 3 + 6 z− 5
Câu 4: Tìm nghiệm nguyên của phơng trình:
x2 + xy + y2 = x2y2
Câu 5: Cho tam giác ABC có AB > AC, D là trung điểm của BC Trên tia AD
lấy điểm E sao cho AD = DE
a, So sánh các góc CAE; AEC; DAB
b, Gọi M là chân đờng phân giác dựng từ đỉnh A của tam giác ABC
Chứng minh M nằm giữa C và D
Phòng giáo dục Bình xuyên
vòng 1 năm học 2006-2007
Trang 2Vòng 1 năm học 2006-2007
Câu 1: (2,25 điểm).
a, Ta có: (a2 + 1)(b2 +1)(c2+1) =
= (a2 + ab + ac + bc)( b2 + ab + ac + bc)( c2+ ab + ac + bc) (0,5 đ)
= [(a+b)(a+c)][(a+b)(b+c)][(c+a)(b+c)] = [(a+b)(a+c)(b+c)] 2
Do a, b, c là số hữu tỉ nên (a2 + 1)(b2 +1)(c2+1) là số hữu tỉ
(0,5 đ)
b, Đặt x = 1 + k, khi đó từ x + y = 2 ta có y = 1- k
(0,25 đ)
x4 + y4 = (1 + k)4 + (1 - k )4 = 2k4 + 12k2 + 2 = 2(k4 + 6k2) + 2
(0,5 đ)
Vì k4 + 6k2 ≥ 0 nên 2(k4 + 6k2) + 2 ≥ 2 tức là x4 + y4 ≥ 2
(0,25 đ)
Dấu đẳng thức xảy ra khi k4 + 6k2 = 0 hay k = 0, hay x = y = 1
(0,25 đ)
Câu 2: (1,25 điểm).
Ta có n2 + 11n + 39 = (n2 + 11n + 18) + 21 = (n + 9)(n + 2) + 21
(0,5 đ)
Vì hiệu của (n + 9) và (n + 2) là 7 nên chúng cùng chia hết cho 7 hoặc
(0,25 đ)
- Nếu (n + 9) và (n + 2) cùng chia hết cho 7 thì (n + 9)(n + 2) chia hết cho 49 nhng 21 không chia hết cho 49 nên n2 + 11n + 39 không chia hết cho
49 (0,25 đ)
- Nếu (n + 9) và (n + 2) cùng không chia hết cho 7 thì (n + 9)(n + 2) không chia hết cho 7 , nhng 21 chia hết cho 7 nên n2 + 11n + 39 không chia hết cho 49
(0,
25 đ)
Câu 3: Từ x + y + z + 4 = 2 x− 2 + 4 y− 3 + 6 z− 5 (1)
Ta có: x + y + z + 4 - 2 x− 2 - 4 y− 3 - 6 z− 5 = 0
(0,25 đ)
⇔ [( x− 2 ) 2 − 2 x− 2 + 1] + [( y− 3 ) 2 − 2 ( y− 3 ) 2 + 4]+
[( z− 5 ) 2 − 2 ( z− 5 ) 3 + 9] = 0
(0,5 đ)
) 2
3 −
−
y + ( z− 5 − 3 ) 2 = 0
Trang 3V× mçi sè h¹ng cña tæng kh«ng ©m nªn vÕ tr¸i kh«ng ©m V× vËy:
(0,25 ®)
x− 2 − 1 = 0 x = 3
y− 3 − 2 = 0 ⇔ y = 7
z− 5 − 3 = 0 z = 14
(0,25 ®)
VËy c¸c sè cÇn t×m lµ x = 3; y = 7; z = 14. (0,25 ®)
C©u 4:
Tõ x2 + xy + y2 = x2y2 (1)
⇔ x2 + 2xy + y2 = x2y2 + xy
⇔ (x+y)2 = xy(xy+1)
(0,5 ®)
V× xy vµ xy + 1 lµ 2 sè nguyªn liªn tiÕp cã tÝch lµ mét sè chÝnh ph¬ng nªn tån t¹i mét sè b»ng 0 (0,5 ®)
+ NÕu xy = 0 , thay vµo (1) cã x2 + y2 =0 ⇒ x = y = 0
(0,5 ®)
+ NÕu x + y + 1 = 0 ⇒ xy = 1 th×
x = 1 y= -1
x = -1 y= 1 Thö vµo (1) tho¶ m·n VËy (x ; y) = (0 ; 0) (1 ; -1) (-1 ; 1)
(0,25 ®)
C©u 5: