ĐÁP ÁN THANG ĐIỂM ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN
NĂM HỌC 2009 – 2010 Môn thi: TOÁN Đáp án, thang điểm này có 3 trang
1
a
ĐK: x0,x 1
A =
1
) 1 )(
1 (
x x
x x x x
- 2 x 1 2 ( x 1 )
= x - x 1
0,25
0,5 0,25
b Ta có: x - x + 1 = ( x-
2
1 )2 +43 A
4
3 , dấu bằng xảy ra khi
x = 14 Vậy giá trị nhỏ nhất của A là 43 , tại x = 14
0,25 0.25
c
Ta có B =
A
x
2
x
x = M2 , với M = 1 1
x x
Với x 0, x 1 thì 1 1
x
x 1, do đó 0 B 2, nên B nguyên khi B = 1
Khi đó tìm ra được: x =
2
5 3
0,25 0,25
2
xy yz zx
Nhân vế với vế của các phương trình ta được
2 2 3 6 (4)
x y z hay xyz 6 so sánh (4) với (1), (2) và (3) rồi suy ra
hệ có hai nghiệm ( 6, 6, 6)
2 3 v à ( 6, 6, 6)
0,5 0,5
Trang 2b 2 2 2 2
1 1
| | 1
| | 2
x x x x
Vậy phương trình có 4 nghiệm:
1 1; 2 1; 3 2; 4 2
0,25 0,25
0,25 0,25
c Áp dụng bất đẳng thức côsi cho 2007 số 1 và 2 số x2009, ta có:
2009
2009 2.2009 2
2007 2 2009
x
(1) Tương tự:
2009
2.2009 2 2009
2007 2 2009
y
(2)
2009
2009 2.2009 2
2007 2 2009
z
(3)
Cộng từng vế của (1) (2) và (3) ta có:
2009 2009 2009
3 2009
Như vậy F Max 3 đạtđược khi x y z 1 vì ( , ,x y x 0)
0,25 0,25
0,25
0,25
3
13
4 20 '
3
Gọi quãng đường AC là x (km) , x>0
Gọi quãng đường CB là y (km) , y>0
Khi đi từ A đến B:
- Thời gian lên dốc:
10
x
(h)
- Thời gian xuống dốc:
15
y
(h)
Ta có phương trình: 13 (1)
10 15 3
0,25
0,25
0,25
Trang 3Khi đi từ B về A:
- Thời gian lên dốc:
10
y
(h)
- Thời gian xuống dốc:
15
x
(h)
Ta có phương trình : 4 (2)
15 10
Từ (1) và (2) ta có hệ:
13
10 15 3
4
15 10
Giải hệ ta được nghiệm x=30 và y=20 Vậy Quãng đường AC là 30 km, quãng đường CB là 20 km
0,25 0,25
0,5 0,25
4
a MO, MO’ lần lượt là tia phân giác của hai góc kề bù AMT và
AMT’
nên góc OMO’=90o
0,5
0,5
b Tam giác OMO’ vuông ở M có MA O O ' nên:
MA2 = OA.OA’(HTL trong tam giác vuông) Suy ra : MA = OA.OA ' R.R '
0,5 0,5
c Chứng minh:
SO’M ~ SMO suy ra: SO ' SM 2
hay SO.SO '= SM
SM SO
SAT~ ST’A suy ra: ST SA 2
hay ST.ST' = SA
SA ST '
0,5 0,5 Chú ý: Học sinh có cách giải khác đúng thì cho theo thang điểm của bài
T
M
’
’
O
’
S T
’