Đề + Đáp án HSG Toán 9

a, Tính diện tích tam giác ABC.. b, Gọi P là điểm tùy ý trên cung nhỏ BC và M , N lần lượt là điểm đối xứng của P qua các đường thẳng AB và AC.. Xác định vị trí của điểm P sao cho độ dà

PHÒNG GD & ĐT Phú Vang ĐỀ THI CHỌN DỰ TUYỂN HỌC SINH GIỎI TỈNH

NĂM HỌC 2010 – 2011

MÔN TOÁN ( Thời gian làm bài 150 phút )

Bài 1 : ( 4 điểm )

a , Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n thì n5 - n M 10

b , Giải phương trình : x2 + x + 12 x+ 1 = 36

Bài 2 : ( 6 điểm )

a, Giải hệ phương trình :

2

2

x y

xy xy

 + + + =





 + =



b, Cho 3 số không âm x , y , z thỏa mãn x + y + z = 3

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :

A = x2 +xy y+ 2 + y2 +yz z+ 2 + z2 + +zx x2

Bài 3 : ( 5 điểm )

a , Tìm một nghiệm của đa thức Q ( x ) = x 3 + a x2 + b x + c

Biết rằng đa thức có nghiệm và a + 2b + 4c = - 1

2

b, Cho a, b, c là ba cạnh của một tam giác Chứng minh rằng :

P = 4a 9b 16c 26

Bài 4 : ( 5 điểm )

Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn tâm O bán kính R = 2 cm

Có ∠ BAC = 600 , đường cao AH = 3 cm

a, Tính diện tích tam giác ABC

b, Gọi P là điểm tùy ý trên cung nhỏ BC và M , N lần lượt là điểm đối xứng của P qua các đường thẳng AB và AC Xác định vị trí của điểm P sao cho

độ dài MN đạt giá trị lớn nhất Tính độ dài lớn nhất đó

_HẾT _

Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm

ĐÁP ÁN TÓM TẮT VÀ BIỂU ĐIỂM BÀI Ý NỘI DUNG ĐIỂM

1

4 đ

a

2 đ

Ta có : n5 - n = n ( n4 – 1 ) = n ( n2 – 1 ) ( n2 + 1 ) 0,25 đ = ( n – 1 ) n ( n+1 ) ( n2 + 1 ) M 2 ( 1 )

( Vì ( n – 1 ) n là hai số tự nhiên liên tiếp )

0,5 đ

Mặt khác : n5 - n = n ( n4 – 1 ) = n ( n2 – 1 ) ( n2 + 1 ) 0,25 đ + Nếu n = 5k thì n5 - n M 5 ( 2 ) 0,25 đ + Nếu n = 5k ± 1 thì n2 - 1 = (5k ± 1)2 – 1 = 25k2 ± 10kM 5

⇒ n5 - n M 5 ( 3 )

0,25 đ

+ Nếu n = 5k ± 2 thì n2 + 1 = (5k ± 2)2 + 1 = 25k2 ± 20k + 5 M 5 ⇒ n5 - n M 5 ( 4 )

0,25 đ

Kết hợp ( 1 ) với ( 2 ) , ( 3 ) và ( 4 ) ⇒ n5 - n M 10 với ∀ ∈n N 0,25 đ Điều kiện : x ≥ -1 0,25 đ Đặt t = x+ 1 ≥ 0 ⇔ x = t2 - 1 0,25 đ Phương trình đã cho trở thành : t4 - t2 + 12t – 36 = 0 0,25 đ

⇔ ( t - 2 ) ( t + 3 ) ( t2 – t + 6 ) = 0 0,25 đ

 + =  = − <

( Vì t2 – t + 6 = ( t- 1

2 )2 + 23 0

4 ≥ với ∀ t

0,25 đ

Với t = 2 ⇒ x = 3 ( thỏa mãn ) 0,25 đ

Vậy phương trình đã cho có một nghiệm x = 3 0,25 đ

2

a

3đ

Điều kiện xy ≠ 0 0,25 đ

2

2

x y

xy xy

 + + + =





 + =



⇔

2

9

2 5

2

x y

x y

xy

+







0,5 đ

2

2 5

2

x y

xy







⇔

2

x y

xy





⇔

2 2

1 2

x y

xy xy

xy



 =





 =





⇔

2 (1) 3 1

2 (2) 3 2

xy

x y xy

x y

 =



 + =



 =



 + =



0,75 đ

Giải ( 1) ta được

1 2 2 1

x y x y

 = 







 = 

 =





; Giải ( 2) ta được

1 1 2 1 2 1

x y x y

 = 



 =





 = 



 =



0,5 đ

Vậy hệ đã cho có 4 nghiệm : ( 1 ;2 ) , ( 2 ; 1 ) , ( 1 ; 1

2 ) , ( 1

2 ; 1 )

0,25 đ

x +xy y+ = x y+ + x y− ≥ x y+ = x y+ ( 1) ( Vì 1 2

Tương tự : 2 2 3

2

y +yz z+ ≥ y z+ ( 2 ) 0,5 đ

2 2 3

2

z + +zx x ≥ z x+ ( 3 ) 0,5 đ Cộng hai vế của ( 1 ) , ( 2 ) và ( 3 ) ta được A ≥ 3(x y z+ + = ) 3 3 0,5 đ

Dấu bằng xảy ra khi

3 0

1 0

0

x y z

x y

y z

z x

+ + =



 − =

 − =



 − =



0,25 đ

Vậy Giá trị nhỏ nhất của A = 3 3 khi x = y = z = 1 0,25 đ Bài 3 :

a

2đ

Từ a + 2b + 4c = - 1

2 ⇔ 1

2 + a + 2b + 4c = 0 0,5 đ Chia cả hai vế cho 4 ta được :

0

  +   +  + =

      ⇔ P (

1

2) = 0 1,0 đ Vậy x = 1

2 là một nghiệm của đa thức 0,5 đ

b

3đ

Đặt x = b + c – a ; y = c + a + - b ; z = a + b - c 0,25 đ Khi đó : ;

2

y z

2

z x

;

2

x y

Ta có : 2P = 4(y z x+ ) 9(+ z x y+ ) 16(+ x y z+ ) 0,25 đ

= 4y 9x 4z 16x 9z 16y

0,5 đ

Áp dụng Bất đẳng thức CoSi ta có :

2P ≥ 2 4 9y x 2 4 16z x 2 9 16z y

x y + x z + y z = 52

0,5 đ

N K

M O

A

N K

P

Dấu “ = ” xảy ra khi













⇔

 =





 = ⇔ = = ⇔ = =





 =



0,75 đ

Bài 4 :

Vẽ đúng hình : 0,5 đ

a ,

b,

Ta có : AK = AN ( = AP ) ⇒ ∆AKN cân tại A 0,25đ Lại có : ∠AKN = ∠ 2( BAP+ ∠PAC) = 2 600 = 1200 0,25đ

⇒ KN lớn nhất khi AK lớn nhất ( Do KN là cạnh đáy của một tam giác cân có góc ở

đỉnh không đổi )

0,5đ

Mà AK = AP ≤ 2R ⇒ KN lớn nhất khi và chỉ khi AP = 2R = 4 hay AP là đường kính 0,5đ

⇒ ∠ABP= ∠ACP⇒ B,C lần lượt là trung điểm của PK và PN 0,5đ

⇒ BC là đường trung bình của tam giác PKN ⇒ KN = 2 BC = 4 3 0,5đ

Lưu ý : - Các cách giải đúng mà khác với đáp án vẫn cho điểm tối đa

- Hình vẽ sai hoặc không vẽ hình thì không chấm điểm bài hình /

Goị M là trung điểm của BC ta có : ∠MOC = ∠BAC = 600

( theo tính chất đường kính và dây với tính chất góc ở tâm )

0,5đ

Do OC = R = 2 nên MC = OC Sin 600 = 3 0,5đ

Vì vậy S∆ABC= 1