Ôn tập Toán 12

6/ Cho hàm y = a/ Tìm m để hàm số nghịch biến trên các khoảng xác định.. e/ Tính thể tích khối tròn xoay sinh bởi C khi quay quanh 0x trên [1;2] f/ Viết pt tiếp tuyến của C đi qua giao



x x

VD 1: Tính đạo hàm của y= cos2x – sin2x tại x =

Có y’ = -2cosx.sinx - 2cos2x

Nên y’( ) = -2cos sin - 2cos2

 y’( ) = -1

BT tự giải : Tính đạo hàm của hàm số tại điểm

1/ y = sin2x tại x =  b/ y = tgx – cotgx tại x =

2/ y = (2x2 -5x +1)2 tại x = -2 d/ y = tại x = 2

3/ y = cos3 x.sin2 x tại x = - f/ y = tại x =

4/ y =ln(x+ ) tại x = 1 h/ y = e2x+1 .sinx tại x = 0

☺

 HD : Tính y’, rồi thay giá trị x đã cho vào biểu thức y’ để có kết quả

VD 2 : Cho y = x.esinx cmr : y” –y’.cosx + y.sinx –cosx.esinx = 0

Có : y’ = esinx + x.cosx.esinx

y” =cosx.esinx +cosx.esinx -x.sinx.esinx + x.cos2x.esinx

nên y” –y’.cosx + y.sinx –cosx.esinx = 2cosx.esinx -x.sinx.esinx+x.cos2x.esinx–(esinx+x.cosx.esinx )cosx +x.sinx.esinx -cosx.esinx =0 (đpcm)

BT Tự giải :

1/ Cho y = ex cosx cmr : 2y - 2y’ + y” = 0

2/ Cho y = ln2 x cmr : x2 y” +xy’ =2

3/ Cho y = Cmr : x3 y’ = y3

4/ Cho y = (x-x2 ).e giải pt y’ + ex x = 0

5/ Cho y =x2 ln giải pt y’ – x = 0

6/ Cho y = x - Giải bất phương trình y’ > 0

☺

 HD : Tính các đạo hàm (y’, y”…) có mặt trong biểu thức (pt-bpt) cần cm (giải) rồi thay vào biểu thức (pt-bpt), thu gọn lại để có điều cần cm (pt-bpt đã biết cách giải).

II/ HÀM SỐ : Kiến thức : Xét sự biến thiên, tính lồi, lõm-điểm uốn, tiệm cận của 4 hàm số

và phương pháp giải các dạng toán cơ bản liên quan :

4

4



7

3 2 4



 x x

x x

x x

sincos2

2sincos





12



x

A SỰ BIẾN THIÊN CỦA HÀM SỐ

1/ Điều kiện để h.số đơn điệu (đồng biến/nghịch biến)

Hàm số y = f(x) liên tục trên miền D thì

+ Đồng biến trên D  y’ ≥ 0 x D+ Nghịch biến trên D  y’  0 x D

 ’ = 9mm2 +3m  0 (’ là tam thức bậc 2 có hệ số a=9m>0)

 3

-1  m  0Kết luận : -

3

1

 m  0

Bài tập tự giải: Tìm m để hàm số :

a/ y = x3 – 3mx2 (m+2)x –m đồng biến trên TXĐ

b/ y = mx3 +x2 + (2m-1)x + 3m nghịch biến trên TXĐ

c/ y = nghịch biến trên từng khoảng xác định

d/ y = đồng biến trên từng khoảng xác định

e/ y = nghịch biến trên từng khoảng xác định

☺

 HD : + Xét trường hợp đặc biệt nếu có (hệ số của x có mũ cao nhất bằng 0)

+ Giải điều kiện đồng biến, nghịch biến theo đặc điểm của hàm số đó.

2/ Cmr hàm số đơn điêïu (đồng biến, nghịch biến) :

VD : Cmr m hàm số y = -x3 +2mx2 -2m2x +1 nghịch biến trên R

Giải : TXĐ : D= R

Để cm hàm số nghịch biến trên R ta cm y’  0 x  R

Thật vậy : y’ = -3x2 +4mx -2m2 (y’ là tam thức bậc hai có hệ số a = -3 <0)

y’ có ’ = -2m2  0 m

 y’  0 x (đpcm)

Vậy hàm số đã cho nghịch biến trên R

Bài tập tự giải : Cmr m hàm số

a/ y = x3 + x2 + (m2+1)x +m-1 đồng biến trên R

b/ y = nghịch biến trên từng khoảng xác định

c/ y = bb đồng biến trên từng khoảng xác định

☺

 HD : CM y’ ≥ 0 (0)  x trên TXĐ  đpcm

- Hàm y = f(x) có TXĐ D có cực trị  y’ =0 có nghiệm x0 và y’ đổi dấu khi qua x0 đó

Cụ thể y’ đổi dấu từ : “+” sang “-“ thì hàm số đạt CĐ tại x0

m x

m mx





 10 2

1

1 2 2

m x

m mx

“-” sang “+“ thì hàm số đạt CT tại x0 1/

Ghi nhớ :

Hàm y = ax3 +bx2 +cx +d có :

+ CĐ và CT  y’ =0 có 2 nghiệm phân biệt

a = 0 và b0 + Cực trị 

a0 và y’ = 0 có 2 nghiệm phân biệt Hàm y= ax4 +bx2 +c có:

+ CĐ và CT  y’=0 có 3 nghiệm phân biệt(a.b<0)+ Cực trị  







 0

0

b a

Hàm

e dx

c bx ax y

có CĐ và CTGiải : TXĐ : D = R\{1}

2

) 1 (

1 2

Hàm số có CĐ và CT  y’ = 0 có 2 nghiệm phân biệt khác 1

1 (

0 '

m g

m

 m >0Kết luận : m>0

3/ Bài tập tự giải :

Tìm m để hàm số :

a/ y = (m+2)x3 +3x2 +mx -5 có cực đại và cực tiểu

b/ y = x4 + 2(m-2)x2 +m +1 có cực đại và cực tiểu

c/ y = có cực đại và cực tiểu

d*/ y = -x3 +3mx -2m có cực đại tại x = 1

Cmr m, hàm số

a/ y = x3 +mx2 -x +m-2 luôn có cực trị

b/ y = luôn có cực trị

☺

 HD : Cm y’ = 0 có 2 nghiệm phâm biệt thuộc TXĐ

c*/ y = luôn có 2 điểm cực trị Tìm m để khoảng cách giữa hai điểm cực trị là nhỏ nhất

C ĐIỀU KIỆN ĐỂ ĐỒ THỊ H.SỐ CÓ ĐIỂM UỐN THỎA MÃN ĐIỀU KIỆN

- Hàm y=f(x) có điểm uốn tại (x 0 ;y 0 ) 

VD : Tìm m để đồ thị hàm số y = mx3+ 6x+ 2m2 -1 có điểm uốn U(0;1)

1

2 2

m x

mx x





 2 2 2

1

1 ) 1 ( 2

y0 =f(x 0 ) y”(x 0 )=0 y” đổi dấu khi qua x = x 0

1

1 ) 1 ( 2

 Bài tập tự giải

a Tìm a và b để đồ thị hàm y = x3-ax2 +bx -2 có điểm uốn U(32 ; -3)

b Tìm m để đồ thị hàm y = x4 - 2x2 +4m+1 có 2 điểm uốn thuộc trục hoành

c* Cho đồ thị hàm y = ax3 +bx2 +x +1 có điểm uốn U(1;-2), hãy tính (a+b)2

- Tìm các điểm tới hạn của hàm số

- Tính giá trị hàm số tại các điểm tới hạn và ở hai đầu mút của đoạn a, b

- So sánh các giá trị đã tính rồi kết luận về GTLN và GTNN

] 3

; 0 [ 1

x x

Có f(1) = 7 ; f(0) = 5 ; f(3) = -17Vậy trên [0;3] hàm số đạt : GTLN là f(1) = 7 và GTNN là f(3) = -13

 Bài tập tự giải : Tìm GTLN và GTNN của

a/ f(x0) = x3 -6x2+10 trên [-3;3]

b/ f(x) = -x4 +2x2 -4 trên [-2;2]

E/ VIẾT PT TIẾP TUYẾN CỦA ĐỒ THỊ (C) CỦA HÀM SỐ y = f(x)

1/ Dạng 1 : Tiếp tuyến của (C) tại điểm M(x0;yo)

PP: PTTT của (C) tại M có dạng y = y’(x0)(x-x0) +y0

Cần tìm hệ số góc y’(x0) rồi kết luận

(nếu chỉ biết hoành độ x 0 của M thì tìm y 0 =f(x 0 ))

VD : Viết PTTT của (C) : y = x3- 2x tại diểm có x = 2

Giải : Tại điểm x = 2 thì y = 4

PTTT của (C) tại (2;4) có dạng y = y’(2)(x-2) +4Có y’ = 3x2 -2 => y’(2) = 10

KL : PTTT cần tìm là y = 10x-16

2/ Dạng 2 : Tiếp tuyến của (C) biết hệ số góc tiếp tuyến là k

f(0) =1 y”(0)=0 y” đổi dấu khi qua x=0

2m 2 -1 =1 6m.0=0 y”= 6mx đổi dấu khi qua x=0

m =1

m 0

1 2





x x

k x f

) ( ) ( '

- Giải hệ tìm b rồi kết luận

x x x

1

1 )

1

Giải (1) có nghiệm x = 0; x = 2

Thay vào (2) ta có b = 0 ; b = 4

KL : Có 2 tiếp tuyến thỏa mãn đề bài : y = -x và y = -x + 4

Ghi nhớ : - Hai đường thẳng song song thì có hệ số góc bằng nhau

- Hai đường thẳng vuông góc có tích 2 hệ số góc bằng -1

3/ Dạng 3 : Tiếp tuyến của (C) đi qua(xuất phát từ) điểm M(x1;y1)

y x x k x f k x f

- Giải hêï tìm k rồi kết luận

VD : Viết PTTT của (C) :y = x3 -6x2 +3, biết tiếp tuyến đi qua điểm M (6;3)

Giải : Gọi PTTT cần tìm : y = k(x-6) +3

- Do điều kiện tiếp xúc nê hệ sau có nghiệm : 

(1)

12 3

2 3

2

x k x

x

k x x

Từ (1) và (2) ta có : x3-12x2 +36x = 0  x= 0; x =6

Thay vào (1) ta có k = 0; k = 36

KL : có 2 tiếp tuyến thoả mãn dề bài : y = 3 và y = 36x -213

Bài tập tự giải : Viết pt tiếp tuyến của đồ thị hàm số

a/ y = -2x3 + 3x2 -3x + 1 tại điểm có x = 1

b/ y = x3 -3x +3 tại giao của đồ thị với trục tung

c/ y = - x4 + 6x2 -6 tại các điểm cực trị

d/ y = song song với với đt (d) : y = -3x+2

e/ y = -x3 +6x2 -3 vuông góc với đt (d) : y = -19 (x-100)

f/ y = đi qua điểm (1; 25 )

g/ y = xuất phát từ gốc tọa độ

(1)(2)

2

6 3 2

1

2 2 2







x x x

Có dồ thị (C)

(d) cùng phương với ox

Có dồ thị (C)

(d) cùng phương với ox

G/ Biện luận số nghiệm của PT A(x) = 0 qua đồ thị (C) y = f(x) đã vè

- Biến đổi pt đã cho về dạng f(x) = k

- Sô nghiệm của pt đã cho là số giao điểm của 2 đường :







k y

x f

- Dựa vào số giao điểm của (C) và (d) => KL số nghiệm của pt đã cho

VD : y = x3 -3x2 có đồ thị (C) đã vè

Biện luận theo m số nghiệm của pt : x3 -3x –m +1= 0 (1)

(d)

(C) -4

Bài tập tự giải :

a/ Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số y = -x3 +3x2 -1 (C)

Dựa vào đồ thị (C), biện luận theo k số nghiệm pt : x3 -3x2 +k+1 =0

b/ Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số y = x4 -2x2 -1 (C)

Dựa vào đồ thị (C), biện luận theo k số nghiệm pt : x4 -2x2 -k-1 =0

c/ Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số y = (C)

1

2 2 2

Dựa vào đồ thị (C), biện luận theo k số nghiệm pt : k 0

1

2 2 2

d/ Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số y = (C)

1

1 2





x x

Dựa vào đồ thị (C), biện luận theo k số nghiệm pt : (2 - k)x  k  1  0

H/ CM ĐỒ THỊ HÀM SỐ y = f(x) CÓ MỘT TÂM ĐỐI XỨNG, TRỤC ĐỐI XỨNG

- Hàm trùng phương (f(-x) = f(x)) : có đồ thị đối xứng qua trục oy

- Hàm bậc 3 : Có đồ thị đối xứng qua điểm uốn

- Hàm hữu tỉ (2 hàm cơ bản) : có đồ thị đối xứng qua giao điểm của 2 tiệm cận.Để cm hàm số có tâm đối xứng cần thực hiện các bước :

+ Xác định tâm đối xứng I(x0;y0 cần chứng minh

+ Thực hiện phép đổi hệ trục 0xy sang IXY với phép tịnh tiến theo  

y Y y

x X x

+ Thay (1) và hàm số của đồ thị (C) : Y = f(X) (C ’)

+ Cm hàm này là hàm lẻ

 (C ‘) nhận gốc I làm tâm đối xứng => (C) nhận I làm tâm đối xứng

VD : Cm đồ thị (C) của hàm y = x3 -2x -2 có một tâm đối xứng

Giải : TXĐ : D = R

y’ = 3x2 -2

y” = 6x; y” = 0  x = 0 => y = -2

 (C) có điểm uốn U(0;-2 ) làm tâm đối xứng

Ta Cm (C) nhận U(0;-2) làm tâm đối xứng

Thực hiện phép đổi hệ trục 0xy sang UXY với phép tịnh tiến theo  

Y y X x

(1)Thay (1) vào hàm số của (C) : Y = X3-2X (C ‘)

Xét Y = X3-2X có

TXĐ : D’ =Rf(-X) = (-X)3 -2(-X) = -X3 +2X = - f(X)

 Y=f(X) là hàm lẽ nên (C’) nhậïn gốc U(0;-2) làm tâm đối xứng

 (C) nhận U làm tâm đối xứng (đpcm)

Bài tập tự giải : Cm đồ thị (C) của các hàm số sau có một tâm đối xứng

I/ TÌM CÁC ĐIỂM CÓ TỌA ĐỘ NGUYÊN TRÊN ĐỒ THỊ (C) CỦA CÁC

HÀM HỮU TỈ CƠ BẢN y = f(x)

PP : - Thực hiện phép chia đa thức để để có hàm số dạng y = A(x) + B (x k )

- Để y nguyên thì x nguyên và B(x) phải là ước số của k

- Giải B(x) = m, với m là các ước số của k đề tìm x và y tương ứng rồi KL

VD : Tìm các diểm có tọa độ nguyên trên đồ thị (C) của y = 2 32 4

KL : có 4 điểm trên (C) có tọa độ nguyên : (0;-2); (1;-2); (3;4); (4;4)

BÀI TẬP TỔNG HỢP

1/ Cho hàm y = x3 -3x2 +mx

a/ Tìm m để hàm số đạt cực trị tại x = 2

b/ Định m để hàm số nhận điểm U(1;3) làm điểm uốn của đồ thị

c/ Khảo sát và vẽ đồ thị (C ) khi m = 0

d/ Dựa vào đồ thị (C ), biện luận theo k số nghiệm của pt : x3 -3x2 –k = 0

e/ Tính dthf giới hạn bởi (C ) và trục hoành

2/ Cho hàm y = -x3 -mx2 +2mx -m -1 (Cm)

a/ Tìm m để hàm số có cực đại và cực tiểu

b/ Khảo sát và vẽ đồ thị (C ) của hàm số khi m = 0

c/ Viết pt tiếp tuyến của đồ thị (C ) vuông góc với đt (d) : x - 3y - 5 = 0

d/ Tính thể tích khối tròn xoay sinh bời (C ) khi quay quanh 0x trên [-1;0]

e*/ Cmr (Cm) luôn đi qua một điểm cố định và họ các đường cong (Cm) tiếp xúcnhau tại điểm ấy

a/ Định m để đồ thị hàm số đạt cực trị tại điểm có x = 1

b/ Khảo sát và vẽ đồ thị (C ) khi m = -1

c/ Viết pt tiếp tuyến của (C ) đi qua điểm M(2; -8)

5/ Cho hàm y =

a/ Tìm m để hàm số đồng biến trên các khoảng xác định

b/ Khảo sát và vẽ đồ thị (C ) khi m = 1

c/ Viết pt tiếp tuyến của (C ) đi qua điểm trên oy có tung độ là 4

d/Biện luận theo k số giao điểm của (C) và đường thẳng (d) : y = kx+1

e*/ Cmr đường thẳng (d) : y = -x +k luôn cắt (C ) tại hai điểm phâm biệt A và B.Tìm k để đoạn AB ngắn nhất

6/ Cho hàm y =

a/ Tìm m để hàm số nghịch biến trên các khoảng xác định

b/ Định m để tiệm cận đứng của hàm số đi qua điểm (3; 2006)

c/ Khảo sát và vẽ (C ) khi m = 3

d/ Cmr (C) có một tâm đối xứng

e/ Tính thể tích khối tròn xoay sinh bởi (C ) khi quay quanh 0x trên [1;2]

f/ Viết pt tiếp tuyến của (C) đi qua giao điểm của (C) với trục hoành

7/ Cho y =

a/ Tìm m để hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định

b/ Khảo sát và vẽ đồ thị (C ) khi m = 0

c/ Viết pt tiếp tuyến của (C ) đi qua điểm trên (C ) có x = -1

d/ Tìm k để đường thẳng (d): y = kx +1 cắt (C ) tại hai điểm phân biệt A và B Khi đó tìm quĩ tích trung điểm M của đoạn AB

m x

m x

a/ Tìm m để hàm số có cực đại và cực tiểu và các giá trị CĐ và CT trái dấub/ Khảo sát và vẽ đồ thi (C ) khi m = 3

c/ Tìm tất cả các điểm trên (C) mà tọa độ là các số nguyên

d/ Dựa và đồ thị (C ), biện luận theo k số nghiệm pt : 2x2 +(3-k)x -3-2k = 0

e/ Viết pt tiếp tuyến của (C ) song song với đường thẳng (d) : y = 4x + 2006f/Tính dthf giới hạn bởi (C ), ox, x = 1, x = 2

g*/ Cmr tích tích các khoảng cách từ một điểm bất kỳ trên (C ) đến 2 tiệm cậnluôn bằng một hằng số

III/ TÍCH PHÂN :

Kiến thức : Các công thức về nguyên hàm của các hàm số cơ bản (SGK), các phương

pháp tính tích phân cơ bản (Nhận dạng bài toán, định hướng cách giải, linh hoạt trong biến đổi, áp dụng đúng PP và tính toán chính xác)

1/ Tìm nguyên hàm (họ nguyên hàm) cuả hàm số :

PP : Tìm nguyên hàm của hàm số

Tính F(x) = = A(x)+C Giải F(x 0 ) =k (đã cho) tìm C  Kết luận

(Nếu chỉ tìm họ nguyên hàm thì có F(x) = A(x)+C.)

VD : Tìm nguyên hàm F(x) của hàm số :

f(x) =

2

1 3 2

biêt F(1) = 2Giải : Có F(x) = 

dx x

2

1 1 ( )

Có F(1) = 2  C = -12

Vậy F(x) = 21 x2 –x – lnx-2 -21

Bài tập tự giải :

Tìm nguyên hàm F(x) của các hàm số sau :

a/ f(x) = x3 -3x2 +x-2 biết F(2) = ½

b/ f(x) = biết F(-10) = 100

d/ f(x) = sinx – 2 cosx biết F(-/2) = 1

e/ f(x) = 3cos2x + 2 sin3x biết F(0) = -8

d*/ Tìm a,b,c để hàm F(x) = (ax2 +bx+c)-2x là một nguyên hàm của hàm số





x x

2

3 2 2







x x x

2

0

cos.3sin



xdx x

2 1

x

x x

2

1

2 1

2 2ln 6 2ln2 (2 2ln1))

212

e

x x

0 1

f( ) đã biết cách giải ( đã biết nguyên hàm của f(u) dễ dàng)

* Chú ý : Gặp 





dx x v x

u n( ) ( ) thì kiểm tra xem u’(x) = k.v(x) hay không nếu có thìchọn đặt t = u(x)

0

3.cos)1(sin



xdx x

2 0

3.(sin )')

1(sin



dx x

1 0

) '.

1 (si n

u x

u x

dx x

4

15 4

1 du u u

Cách khác : ( Giải trực tiếp, sử dụng d[u(x)] = u’(x).dx )

2 6

4sin.2sin

)32sin(



 dx x

   

4 1

2

1

32

dx x

x x

 

2 1

2 2

32

dx x x x

1

3 2

dx e

e

x x

x x x

CoÙ A = 2   

0

3.(sin )')

1(sin



dx x

0

3 (sin 1))

1(sin



x d x

0 4)1(sin

4



x =154

( Trong 2 cách giải trên có thể bỏ qua bước giải đầu tiên)

Bài tập tự giải

U dV

U . (Trong đó TP ở vế phải đã biết cách giải)

VD : Tính A = 



1 1

2cos

sin.2

1





xdx x

x

=

2

182

cos2

18

IV/ ĐẠI SỐ TỔ HỢP

*KIẾN THỨC : - Các phép toán có bản (cộng, nhân) và điều kiện áp dụng.Các công thức về hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp và dấu hiệu áp dụng trong bài toán

 

1

0

4 ) 1 2

2 1

2 2x 3dx x

 

1

) 1 2 ln(

dx x

x



e

dx x

x

1

3 2ln



e

e

dx x x

2

ln

1

2 6

)ln(sin.cot





dx x gx

cos 2

.sin



dx e

1

0 1

2 dx e

3 2 x dx x

1

ln)

23(

4 0

2sin



xdx x



1

0

2 e dx



e

xdx x

1

2ln

6

0

sin)

1(

.sin



dx e

x x

2 0



dx x

x

2 0

2 sin2cos

x

1

)sin(ln

- Phương pháp giải pt-bpt, chứng minh đẳng thức, bấtđẳng thức - Phân loại các bài toán liên quan đến số tự nhiên

* Hiểu rõ bản chất toán học của những vấn đề gặp trong đời thường, mà cùng một nội dung bản chất lại có rất nhiều cách diễn đạt khác nhau

 HD : - (1,2,3 )khai triển theo công thức điều cần cm hay pt-bpt đã biết cách giải Chú

ý về điều kiện của biến số trong các pt-bpt

4/ Giải hệ pt

☺

 HD : - Khai triển theo công thức hệ 2 ẩn cơ bản (chú ý về điều kiện của các biến số)

5/ Cho các số 1,2,3,4,5,6 Tìm số các số tự nhiên lập từ 6 số trên thỏa mãn :

a/ Có sáu chữ số khắc nhau b/ Chẳn và có 6 chữ số khác nhau

6/ Với các số 0,1,2,3,4 ta có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên thỏa mãn :

a/ Có 5 chữ số khác nhau b/ Chẳn và có 5 chữ số khác nhau

c/ Có 4 chữ số d/ Có 4 chữ số và trong đó có mặt chữ số 27/ Từ các số 0,1,2,3,4 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên thõa mãn :

c/ Có 4 chữ số khác nhau và trong đó chữ số 1 có mặt đúng 1 lần

d/ Có 3 chữ số khác nhau và trong đó không có chữ số 1

8/ Có bao nhiêu số tự nhiên thỏa mãn :

a/ Có 3 chữ số khác nhau b/ Chẳn và có 3 chữ số khác nhau

c/ Có 5 chữ số trong đó 2 số hai chữ số đứng kề nhau phải khác nhau

☺

 HD : (58) : ) : Cần chú ý đến một số vấn đề sau

- Số tự nhiên thì a0

- Đặc điểm của số TN cần tìm : Có bao nhiêu chữ số, khác/giống nhau (dùng Chỉnh hợp-hoán vị/qui tắc nhân), Để chọn phương án giải thích hợp

9m/ Một tổ gồm 12 học sinh, trong đó có 4 nam và 8 nữ Có bao nhiêu cách :

a/ Chọn 6 học sinh từ 12 học sinh trên

b/ Chọn 6 học sinh từ 12 học sinh trên trong đó phải có học sinh nam

c/ Chọn 6 học sinh nữ từ 12 học sinh trên

x x C C

x 6 6 9 2 14

3 2 1

n n

n

C

2 13 13

3 1

30 3

6 : 5 : 2 :

5

90 5

2

y y

y y

C A

C A

1 1 1

k n