Ôn tập Toán 12

Xác định m để các hàm số sau có cực đại và cực tiểu : y có hai cực trị có hoành độ dương.. Khảo sát và vẽ đồ thị C của hàm số.. Viết phương trình các tiếp tuyến của C song song với đường

CHỦ ĐỀ I

ĐẠO HÀM – ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM – KHẢO SÁT HÀM SỐ

Bài 1 : Tìm đạo hàm của các hàm số sau:

1 y = sin2x + cos3x 2 y = xsinx 3 y = sin3x

4 y = cos54x 5 y = cosx – cos3x 6 y = xcosx – sinx

1 y = x2ex 2 y = ex(sin x – cosx) 3 y = ecos2x

Bài 4: Chứng minh rằng với hàm số:

1 y = xsinx ta có xy – 2(y’ – sinx) + xy’’= 0

2 y = esinx ta có y.cosx – ysinx – y’’ = 0

3 y = ln(1+x ta có ey(1- xy’) = 1

4 y = e-xsinx ta có y’’+2y’ +2 y = 0

Bài 5: Cho hàm số: y = sin4x + cos4x

1 Tính y’ và y’’

2 Giải phương trình y’= -1

Bài 6: Cho hàm số: y = ln 1sincosx x

3 Tính y’ và y’’

4 Giải phương trình: y’- y’’ = 0

Bài 7: Cho hàm số: y = sin2x

1 Tính y’ và y’’

2 Tìm hệ thức liên hệ giữa y’ và y’’ độc lập với x

3 Tìm GTLN, GTNN của hàm số: f(x) = sin3x – cos2x - sinx +2

4 Tìm GTLN, GTNN của hàm số y (x 2 ) 4  x2

5 Tìm GTLN và GTNN của hàm số: ( 3 ) 2 1

7 Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số:

2

2 cos cos 1cos 1

mx x y







đạt cực đại tại x = 2

2 Xác định m để các hàm số sau có cực đại và cực tiểu :

y có hai cực trị có hoành độ dương

5 Cho hàm số y= f(x = x3 – 3mx2+ 3(m2-1.x + m.Tìm m để hàm số đạt cực tiểu tại x0 = 2

6 Tìm m để hàm số y = f(x = mx3 + 3x2 +5x +m đạt cực đại tại x0 = 2

7 Chứng minh rằng hàm số:

2

2

2 2

y luôn có một cực đại và một cực tiểu với mọi m

Bài 10: Cho hàm số y = x2- x3

1 Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số

2 Đthẳng d qua A(-1;2 và có hệ số góc k Xác định k để d tiếp xúc với (C) Xác định tiếp điểm.Bài 11:

1 Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số: 2 3 1

x có hai 3 nghiệm phân biệt

3 Tìm tiếp tuyến của (C) có hệ số góc lớn nhất và cho biết đặc điểm của tiếp tuyến này

4 Viết phương trình các tiếp tuyến của (C) song song với đường thẳng:

a y = 2x b y = x

4 3

Bài 12: Cho hàm số: y = f(x = x3 – 3mx2+3(2m – 1.x +1 (1

1 Xác định m để hàm tăng trên tập xác định

2 Xác định m để hàm số có cực đại và cực tiểu Tính toạ độ điểm cực tiểu

3 Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = 1

Bài 13: Cho hà số: y = f(x = x3 - 3x2 + 3mx + 3m +4 ( m là tham số ), đồ thị (Cm)

1 Xác định m để (Cm) tương ứng nhận điểm I(1;2) làm điểm uốn

2 Xác định m để hàm số có cực trị

3 Xác định m, để (Cm) tương ứng tiếp xúc với trục Ox

Bài 14: Cho hàm số y = f(x) = x3+3x2 1)

1 Khảo sát vẽ đồ thị (C) của hàm số

2 Viết phương trình các tiếp tuyến của (C) đi qua góc tọa độ

3 Giải bất phương trình f(x – a < 21 với a là hoành độ điểm uốn của (C)

Bài 15: Cho hàm số y = x( 2 )

1 Khảo sát vẽ đồ thị (C) của hàm số

2 Tiếp tuyến của (C) tại góc tọa độ cắt (C) tại M Tìm tọa độ của điểm M

3 Biện luận theo k vị trí tương đối của (C) và đường thẳng d có phương trình y = kx

Bài 16:Cho hàm số: y x 3x

4

1 3



1 Khảo sát vẽ đồ thị (C) của hàm số

2 Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm thuộc (C) có tung độ bằng 20

3 Biện luận bằng đồ thị số nghiệm của phương trình: x  9x 12 3 m

4

1 3

Bài 17: Cho hàm số: y = x3 -2x2+x

1 Khảo sát vẽ đồ thị (C) của hàm số

2 Biện luận bằng đồ thị số nghiệm của phương trình x3 -2x2 –m = 0

Bài 18: Cho hà số ( 1 ) 3 ( 2 ) 31

1 Khảo sát vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = 2

2 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) và trục hoành

3 Dựa vào đồ thị (C) giải bất phương trình: 2x3 -3x2 +1 < 0

4 Tìm giá trị của m để hàm số có cực đại và cực tiểu

Bài 19: Cho hàm số y = x4 +2(m – 2.x2 +m2 – 5m + 5, (Cm)

1 Tìm m để (Cm) cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt

2 Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = 1

3 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) và đường thẳng y = 1

4 Tìm a để phương trình x4 – 2x2 – a = 0 có 4 nghiệm phân biệt

Bài 20: Cho hàm số 4 2 2 2 1

1 Khảo sát vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = 1

2 Xác định m sao cho đồ thị hàm số cắt Ox tại bốn điểm có các hoành độ lập thành một CSC Bài 21: Cho hàm số 1

2 Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi mn21

3 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi © và trục hoành

Bài 22: Cho hà số y ax x b d

2 Khảo sát hàm số với a,b d vừa tìm được

3 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (H), trục hoành và các đường thẳng x= -3 ; x = 1

Bài 23: Cho hàm số: y mx x n

2 Khảo sát vẽ đồ thị (H) với m, n vừa tìm được.

3 M là giao điểm của (H) với Ox, N là giao điểm của (H) với trục tung Viết phương trình MN

4 Viết phương trình tiếp tuyến với (H) tại M và N ; tìm giao điểm của các tiếp tuyến này

Bài 24: Cho hàm số y x x m







 1 4

1 Tìm m để hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định của nó

2 Khảo sát và vẽ đồ thị của hàmsố khi m = 4

3 Đường thẳng d đi qua A(-1; 0) có hệ số góc k Biện luận theo k số giao điểm của d và (C)

4 Tính tể tích khối tròn xoay sinh ra khi cho hình phẳng giới hạn bởi (C), trục Ox và các đườngthẳng x =2, x = 4

Bài 25: Cho hàm số 12

y (1 có đồ thị là (C)

1 Khảo sát hàm số (1

2 Tìm tất cả các điểm trên (C) cách đều hai điểm A(0;0) và B(2;2)

3 Tìm các điểm trên (C) có toạ độ là các số nguyên

Bài 26: Cho hàm số:

2

3 3

1 Khảo sát hàm số (1

2 Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số (1., biết rằng tiếp tuyến này vuông góc với đườngthẳng 3y x 6  0

Bài 27: Cho hàm số

1 Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (1

2 Viết phương trình tiếp tuyến đi qua điểm A(-1;0 tới đồ thị hàm số (1

Bài 28: Cho hàm số

2

5 4

1 Khảo sát hàm số

2 Tìm M trên đồ thị để khoảng cách từ M đến đường thẳng y+3x+6=0 nhỏ nhất

3 Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số biết tiếp tuyến song với đường thẳng y = x

4

3+ 2Bài29:Cho hàm số:

m x

m x m x y

1 Chứng minh rằng với m bất kì hàm số luôn luôn có cực trị

2 Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 1

3 Viết phương trình tiếp tuyến với (C) đi qua điểm A(-1;0)

Bài 30: Cho hàm số

1

2 4 )

1 Khảo sát hàm số (1 khi m = 0

2 Xác định các giá trị của m để hàm số có cực trị Tìm m để tích các giá trị cực đại và cực tiểu đạtgiá trị nhỏ nhất

Bài 31: Cho hàm số

3

15 5

1 Tìm M  (C) để M có tọa độ nguyên

2 Tìm M  (C) để khoảng cách từ M đến Ox gấp 2 lần khoảng cách từ M đến Oy

3 Khảo sát hàm số.

Bài 32: Cho hàm số 2

1

y x

 



 , (Cm)

1 Khảo sát và vẽ đồ thị với m = 1

2 Tìm m để hàm số có cực đại và cưc tiểu

3 Tìm m để (Cm) cắt Ox tại hai điểm phân biệt A, B sao cho các tiếp tuyến với đồ thị tại A, Bvuông góc

y  

h y = x2(5 – x)4 i

2

2 3

2 F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) Tính d(F(x)) và F’(x) biết:

a f(x) = x – cos2x b f(x) = 5.sin2cos2x c y = cos5x sịnx

3 Tìm nguyên hàm F(x) của f(x):

a f(x) =2x2  x3 và F(1 = 4 b f(x) = cos5x.cos3x và F(4 ) = 1 ;

c f(x) =

2

2 2

y và F(2) = 2ln2 d)

12

133)

2 3

x x x x

0 x 2

x

e

dx e

)ln1

)(

ln

3

(

sin cosx e x dx 18 



dx x

2sin



dx x

2sin



dx x

x 7 

4

0

4 sincos



xdx x





dx x

x

x 4.

2 0

cos



xdx x

cos



dx x

e

dx x

x

1 3

Bài 5: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bới các đường sau:

y , tiệm cận xiên của (C ) và các đường thẳng x =2, x = 4,

4 (C): y = x3 – 3x +2, (d) y = x +2 và trục hoành

Bài 6: Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh ra khi cho hình phẳng giới hạn bởi:

1 y =2x – x2 ; y = 0 quay xung quanh Ox

2 y = lnx ; y = 1 ; x = 1 quay xung quanh Oy

3 y = (x – 2)2 và y = 4 quay xung quanh Ox

4 y = 2x2, y = x3 quay xung quanh Ox

5 y = sin x ; y = 0 ( 0 ≤ x ≤ π ) quay xung quanh Ox

CHỦ ĐỀ III

ĐẠI SỐ TỔ HỢP

Bài 1: Từ các chữ số 3,4,7,9 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có bốn chữ số dộ một khácnhau

Bài 2: Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 5, 7 có thể lập được bao nhiêu số, mổi số gồm 4 chữ số khác nhau và không chia hết cho 5 ?

Bài 3: Cho 8 chữ số 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7 Từ 8 chữ số đó có thể lập được bao nhiêu số, mổi số gồm

4 chữ số khác nhau và không chia hết cho 10 ?

Bài 4: Có bao nhiêu số chẳn có 6 chữ số khác nhau đôi một trong đó chữ số đầu tiên là số lẻ ?.Bài 5:

1 Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số mà các chữ số đều lớn hơn 4 và đôi một khác nhau ?

2 Hãy tìm tổng tất cả các số tự nhiên nói trên ?

Bài 6:Có bao nhiêu số tự nhiên chẵn có 4 chữ số mà các chữ số đó đều khác nhau ?

Bài 7: ư4số: 1; 2; 3; 4; 5

1 Có thể lập được bao nhiêu số lẻ có 4 chữ số khác nhau từ 5 chữ số trên ?

2 Có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên chia hết cho 3 có 3 chữ số khác nhau từ 5 chữ số trên ?Bài 8: Từ các chữ số 0; 1; 2; 3; 4; 5 có thể lập đực bao nhiê số tự nhiên có 4 chữ số khác nhau:

1 Sao cho số được lập là số lẻ ?

2 Sao cho số được lập là số chẳn ?

Bài 9: Trong phòng có hai bàn dài mổi bàn có 5 ghế Người ta muốn xếp chổ ngồi cho 10 học sinh gồm 5 nam và 5 nữ Hỏi có bao nhiêu cách xếp chổ ngồi trong các trường hợp sau:

1 Nam và nữ ngồi tuỳ ý ?

2 2 Tất cả các học sinh nam ngồi một bàn và các học sinh nữ ngồi một bàn ?

Bài 10: Có bao nhiêu cách xếp 4 người nam và 4 nữ ngồi vào một dãy bàn có tám chổ ngồi saocho:

1 Nam và nữ sắp tùy ý:

2 Nam và nữ ngồi xen kẻ nhau

3 4 nữ ngồi kề nhau

Bài 11: Một lớp học có 20 nam, 10 nữ Có bao nhiêu cách chọn 3 người trực lớp

1 Một cách tùy ý 3 Có đúng một nữ

2 Có ít nhất một nữ 4 Có nhiều nhất hai nữ

Bài 12: Một lớp học có 20 nam, 10 nữ Có bao nhiêu cách chọn một ban cán sự gồm 1 lớp trưởng, 1lớp phó học tập, 1 lớp phó phong trào

1 Một cách tuỳ ý 3 Lớp trưởng là nữ

2 Có đúng một nữ 4 Có ít nhất một nữ

Bài 13: Có bao nhiêu cách xếp năm bạn học sinh A; B; C; D; E vào một ghế dài sao cho:

1 Bạn C ngồi chính giữa ?

2 Hai bạn A và E ngồi ở hai đầu ghế ?

Bài 14: Một học sinh có 12 cuốn sách khác nhau, trong đó có 2 cuốn sách Toán, 4 cuốn sách Văn và 6 cuốn sách Anh văn.Hỏi có bao nhiêu cách xếp các cuốn sách đó trên một kệ dài, nếu mọi cuốn sách cùng môn được xếp kề nhau ?

Bài 15: Người ta viết các số có 6 chữ số bằng các chữ số: 1 ; 2; 3; 4 ; 5 như sau:Trong các số được viết có 1 chữ số xuất hiện hai lần,còn các chữ số khác có mặt một lần

Bài 16: Cho n điểm A1,A2,).,An thuộc đường thẳng a và một điểm B không thuộc đường thẳng a.Nối B với A1,A2,).,An Hỏi có bao nhiêu tam giác được tạo thành?

Bài 17: Trên đường tròn cho n điểm A1,A2,).,An.Hỏi nếu lấy các điểm này làm đỉnh thì:

1 Xác định được bao nhiêu tam giác 2 Xác định được bao nhiêu tứ giác lồi

Bài 18: Cho hai đường thẳng song song (d1., (d2) Trên (d1. lấy 17 điểm phân biệt, trên (d2) lấy 20điểm phân biệt Tính số tam giác có các đỉnh là 3 điểm trong số 37 điểm đã chọn trên (d1. và (d2) KQ:5950Bài 19: Với 6 chữ số phân biệt 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể lập được bao nhiêu số có các chữ số phân biệttrong đó mỗi số điều phải có mặt số 6 KQ: 1630Bài 20: Có 6 bao thư khác nhau và 5 tem thư khác nhau.Hỏi có bao nhiêu cách chọn 3 bao thư vàø 3tem thư để dán lên 3 bao thư đó

Bài 21: Cho 10 chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,8,9.Có thể lập được bao nhiêu số lẻ có 6 chữ số khác nhau và nhỏ hơn 600000 từ 10 chữ số đó

Bài 22: Từ 10 chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,8,9.Có thể lập được bao nhiêu số có 6 chữ số khác nhau, sao cho trong các số đó phải có mặt hai số 0 và 1

Bài 23: Có 9 viên bi xanh, 5 viên bi đỏ, 5 viên bi vàng có kích thứơc đôi một khác nhau

1 Có bao nhiêu cách chọn ra 6 viên bi trong đó có đúng 2 viên bi đỏ ? KQ:10.010

2 Có bao nhiêu cách chọn ra 6 viên bi trong đó số bi xanh bằng số bi đỏ? KQ:4.665 Bài 24: Cho tập X = 0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 7 Có thể lâp được bao nhiêu số tự nhiên n gồm 5 chữ sốđôi

một khác nhau ( chữ số đầu tiên phải khác 0 trong các trường hợp sau:

1 n là số chẵn 2 Một trong ba chữ số đầu tiên phải bằng 1 Bài 25: Giải phương trình:

a 2 72 6 ( 2 2 )

x x x

2 4





9 2 72 6 ( 2 2 )

x x x

P    , 10 4 3 2

4 Cn  4 Cn  5 An  0 Bài 27: Giải các bất phương trình sau:

4

143

1 2

15)!

k n

3 1

x x

x x

A C

C C

Bài 30: Tìm các số nguyên dương m, n thỏa mãn: : : 1 5 : 5 : 3

1 1

m n

Bài 32: Biết tổng hệ số của ba số hạng đầu tiên trong khai triển

n

x x

Bài 33: Cho khai triển

x 1

12

( n là số nguyên dương có

số hạng thứ 3 và thứ 5 có tổng bằng 135, còn các hệ số của ba số hạng cuối của khai triển đó cótổng bằng 22

Bài 35: Tìm số hạng không chứa x trong khai triển:

9 2

1 2 1 )

P

Bài 36: Chứng minh rằng: k

n

k n

k n

k n

.3

3 1

C k C

C C

C

n

n n k

n

k n n

n n

n n

n

n n

n n

n n

n C 2 7 C 2 7 C 7 C 9

2 0   1 1 1   2 2 2   Bài 39: Chứng minh rằng: 2  1 0 ( 1 ) 2  2 3 1 ( 2 ) 2  3 3 2 2 3  1  1 5  1

2

3

2 2

C

n

n n

n n

2005

2 2005

1 2005

1 2

2 1 2

1 1

2 1

2

1 1

1

.3.2.1

n n

A

C n A

C A

C A

Bài 44: Khai triển biểu thức n

x)

2 1 (  ta được đa thức có dạng n

n x a x

a x a

2 1

số của x5, biết a0a1a2  71

Bài 45: Tìm hệ số của x29y8 trong khai triển của  3 15

 Biết tổng của ba hệ số của ba số hạng đầu bằng 11 Hãy tìm sốhạng chứa x2 trong khai triển

Bài 48: Tìm số hạng không phụ thuộc x trong khai triển

n

x x

Bài 49: Trong khai triển ( 3  4 5 ) 124 có bao nhiêu số hạng hửu tỉ

có tổng hệ số của ba hạng tử cuối bằng 22 và tổng các hạng tử thứ ba và thứ năm là 135.Bài 50: Với n là số nguyên dương, gọi a3n-3 là hệ của x3n-3 trong khai triển đa thức (x2 1)n(x + 2)n.Tìm n để a3n –3 = 26n

Bài 51: Gọi a1, a2,…, a11 là hệ số của khai triển sau:

(x + 1)10(x + 2.= x11 + a1x10 + a2x9 + … + a11 Hãy tìm a5

Bài 52: Tìm hệ số của số hạng chứa x4 trong khai triển [x +( x1)]6

Bài 53: Trong khai triển 13 23 10

CHỦ ĐỀ IV

PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG

Bài 1:Trong mp Oxy cho điểm B trên đường thẳng x + 4 = 0 và điểm C trên đường thẳng x–3 =0a) Xác định tọa độ B và C sao cho tam giác OBC vuông cân đỉnh O

b) Xác định tọa độ B; C sao cho OBC là tam giác đều

Bài 2: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho các điểm A( 5 ; 5), B( 1 ; 0), C( 0; 3) Viết phương trìnhđường thẳng d trong các trường hợp sau:

a) d đi qua A và cách B một khoảng bằng 4

b) d đi qua A và cách đều hai điểm B, C

c) d cách đều ba điểm A; B ; C

d) d vuông góc với AB tại A

e) d là trung tuyến vẽ từ A của tam giác ABC

Bài 3:Trong mặtt phẳng tọa độ Oxy cho hai điểm A(3;1), B( -1 ; 2) và đường thẳng d có phươngtrình: x – 2y +1 = 0

a Tìm tọa độ điểm C trên đường thẳng d sao tam giác ABC cân tại A

b Tìm tọa độ điểm C trên đường thẳng d sao tam giác ABC vuông tại C

Bài 4:Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hai đường thẳng d và d’ có phương trình:

d: x + 2y – 6 = 0 , d’: x – 3y +9 = 0

a Tính góc tạo bởi d và d’

b Tính khoảng cách từ M(5;3) đến hai đường thẳng d và d’

c Viết phương trình các đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường d và d’

d) Tìm tọa độ giao điểm của d và d’

Bài 5: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hai đường thẳng a và b có phương trình:

a:3x – 4y + 25 = 0, b: 15x +8y – 41 = 0

a) Viết phương trình các đường phân giác của các góc hợp bởi hai đường thẳng a, b

b) Gọi A,B lần lượt là giao điểm của a, b với Ox, I là giao điểm của a,b Viết phươngbtrình phân giác trong góc AIB

c) Viết phương trình đường thẳng đi qua I và tạo với Ox một góc 60 0

d) Viết ptrình đường thẳng đi qua I sao cho khoảng cách từ O tới đường thẳng đó bằng7

3

Bài 6 :Tam giác ABC có A( -1 ; - 3), các đường cao có phương trình BH: 5x + 3y –25 = 0;

CH: 3x + 8y – 12 = 0.Viết phương trình các cạnh của tam giác ABC và đường cao còn lại.Bài 7: Trong hệ tọa độ Oxy cho hai đểm A(1 ; 6), B(-3; -4) và đường thẳng d: 2x – y – 1 = 0

1 Chứng minh rằng A, B nằm về cùng một phía đối với đường thẳng d)

2 Tìm điểm A’ đối xứng với A qua d)

Bài 8: Cho A(1;1., B(-1;3) và đường thẳng d: x + y + 4 = 0

a Tìm điểm C trên d cách đều hai điểm A,B

b Với C vừa tìm được.Tìm D sao cho ABCD là hình bình hành.tính diện tích hình bìnhhành

Bài 9: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường trón (T) có phương trình: x2 + y2 – 4x – 2y – 4 =0

a) Tìm tọa độ tâm và tính bán kính của đường tròn (T)

b) Với giá trị nà của b thì đường thẳng y = x + b có điểm chung với đường tròn (T)

c) Viết phương trình tiếp tuyến với đường tròn song song với đường phân giác góc x’Oy,với Ox’ là tia đối của tia Ox