SKKN một số PP viết số thập phân vô hạn tuần hoàn

Vậy vấn đề đặt ra là để học sinh có đợc những kiến thức và kỹ năng giải đợc thành thạo các loại toán dạng này, đáp ứng đợc mục tiêu t duy tìm hiểu tốt nhất của học sinh đề tài này sẽ cun

A Đặt vấn đề I: lời mở đầu:

Trong trờng THCS việc nâng cao chất lợng dạy và học là vấn đề th-ờng xuyên, liên tục và cực kỳ quan trọng Để chất lợng học sinh ngày càng

đợc nâng cao yêu cầu ngời giáo viên phải có một phơng pháp giảng dạy phù hợp và hệ thống bài tập đa dạng, phong phú đối với mọi đối tợng học sinh

Vậy vấn đề đặt ra là để học sinh có đợc những kiến thức và kỹ năng giải đợc thành thạo các loại toán dạng này, đáp ứng đợc mục tiêu t duy tìm hiểu tốt nhất của học sinh đề tài này sẽ cung cấp cho các bạn đọc đặc biệt là các bạn học sinh một cách nhìn bao quát về dạng toán này, cung cấp cho các em một số phơng pháp giải cơ bản về loại toán này

Tôi mong rằng qua đề tài này đã góp phần làm tăng thêm khả năng t duy khoa học, khả năng thực hành, kỹ năng giải toán về cách viết số thập phân vô hạn tuần hoàn dới dạng phân số

II Thực trạng của vấn đề nghiên cứu

Trong chơng trình môn toán THCS - Toán 7, tiết 13 (PPCT) đã đề cập

đến bài dạy “số thập phân hữu hạn, số thập phân vô hạn tuần hoàn”, song với thời lợng 1 tiết đó tôi nghĩ rằng cha đủ để giúp học sinh đào sâu, nắm bắt đợc cách viết số thập phân vô hạn tuần hoàn dới dạng phân số Bởi vì, trong chơng trình chỉ mới đa ra 1 số ví dụ điển hình và các nhận xét Và qua các ví dụ này chỉ có những em ham học hỏi, thông minh mới tìm ra lời giải Còn đa số học sinh vẫn cha hiểu đợc lời giải Qua thực tế điều tra ban

đầu tại 3/4 lớp 7, Trờng THCS Đa Lộc trên tổng số 150 học sinh Thông qua bài tập, viết số 0,2(5) dới dạng phân số Thì kết quả thật là ngạc nhiên

Số em làm đợc: 35/150 em; số em cha làm đợc 115/150 em Trên cơ sở đó qua một thời gian 2 năm bản thân tiếp cận đối tợng, nghiên cứu tài liệu, học hỏi và đã mạnh dạn đa ra 1 số phơng pháp để giúp tất cả các em biết cách giải dạng toán này

Tôi mạnh dạn đa ra đề tài:

Hớng dẫn học sinh khối lớp 7 “Một vài phơng pháp viết số thập phân vô hạn tuần hoàn dới dạng phân số ”

B Giải quyết vấn đề

I Các giải pháp thực hiện:

Đề tài đợc thực hiện trong thời gian hạn hẹp, thiếu các phơng tiện nghiên cứu cần thiết, năng lực bản thân còn hạn chế Do vậy mà đề tài chỉ dám đề cập đến một số nội dung chính sau:

1 Nghiên cứu tâm lý học tập của học sinh THCS

2 Dạy học sinh một vài phơng pháp viết số thập phân vô hạn tuần hoàn dới dạng phân số

3 Dạy học sinh giải một số bài toán liên quan đến số thập phân vô hạn tuần hoàn

4 Theo dõi kết quả học tập bộ môn của học sinh khối 7 trong hai năm học 2006-2007 và 2007-2008

5 Thống kê kết quả và rút ra kết luận

Với những nội dung trên đề tài đợc thực hiện theo các phơng pháp sau:

II Các biện pháp thực hiện:

Một vài phơng pháp viết số thập phân vô hạn tuần hoàn dới dạng phân số.

Trớc hết ta giúp học sinh hiểu đợc khi nào phân số viết đợc dới dạng

số thập phân hữu hạn hoặc số thập phân vô hạn tuần hoàn

* Nếu một phân số tối giản với mẫu dơng mà mẫu không có ớc nguyên

tố khác 2 và 5 thì phân số đó viết đợc dới dạng số thập phân hữu hạn

Ví dụ:

a 6 0, 24

25 = mẫu 25 = 52 không có ớc nguyên tố khác 2 và 5

b 3 0,1875

16

− = − mẫu 16 = 24 không có ớc nguyên tố khác 2 và 5

* Nếu một phân số tối giản với mẫu dơng mà mẫu có ớc là số nguyên tố khác 2 và 5 thì phân số đó viết đợc dới dạng số thập phân vô hạn tuần hoàn

Ví dụ:

a 7 0, 2333 0, 2(3)

30 = = mẫu 30 = 2.3.5 có thừa số nguyên tố 3 khác 2

và 5

b 4 0, 444 0,(4)

9 = = mẫu 9 = 32 khác 2 và 5

Số trong dấu ngoặc đơn gọi là chu kỳ

* Số thập phân vô hạn tuần hoàn gọi là đơn nếu chu kỳ bắt đầu ngay sau dấu phẩy

Ví dụ : 0,(12); 0, (4) gọi là vô hạn tuần hoàn đơn.

* Số thập phân vô hạn tuần hoàn gọi là tạp nếu chu kỳ không bắt đầu ngay sau dấu phẩy, phần thập phân đứng trớc chu kỳ gọi là phần bất thờng

Ví dụ 1: 0,2(3) -> số thập phân VHTH tạp.

Chu kỳ là 3; phần bất thờng là 2

1 Phơng pháp 1: Viết số thập phân vô hạn tuần hoàn dới dạng phân

số dựa vào quy tắc sau:

1.1 Quy tắc 1: a , b( ) = a +

9

b

; (b≠ 9); Số trong ngoặc tròn là chu kỳ

Ta đi chứng minh quy tắc 1: Từ

9 )

( , b a b

a = + ; (b≠9)

Đặt M = a,(b)

⇔ M = a,b b b b b b

⇔ M = a + 0,b b b b b

⇔ M -a = 0,b + 0,0b + 0,00b + 0,000b + b (1)

Nhân 2 vế của (1) với 10 ta có:

10 (M-a) = b + 0,b + 0,0b + 0,00b + + b (2)

Theo (1) ta có: a, b + 0,0b + 0,00b + b = M – a

Thay vào (2) ta đợc:

⇔ 10 (M - a) = b + (M - a)

⇔ 9 (M - a) = b ⇔ M - a =

9

b

⇔ M = a +

9

b

Ví dụ 1:

a 3,(2) 3 2 29

9 9

= + =

b 0,(4) = 0 + 4 4

9 = 9

c 12,(4) = 12 +

9

112 9

4 =

Bài tập tự giải 1: Viết các số thập phân sau dới dạng phân số:

0,(5); 0,(6); 2,(7); 8,(3); 15,(6)

* Trên cơ sở quy tắc 1 ta cũng chứng minh đợc các quy tắc sau:

1.2 Quy tắc 2:

Ví dụ:

a 2, (42) =2 42 2 14 80

99 33 33

+ = + =

b 1, (25) = 1 25 124

99 99

+ =

Bài tập tự giải 2 : Viết các số thập phân sau dới dạng phân số:

3,(24); 0,(12); 12,(45); 4,(03)

1.3 Quy tắc 3:

Ví dụ 1: 1, (123)= 1 123 1 41 374

999 333 333

+ = + =

Ví dụ 2: 0,(245) = 0 + 245 245

999 = 999

Bài tập tự giải 3 : Viết các số thập phân sau dới dạng phân số:

) (

, bc

a = a +

99

bc

) (

, bcd

a = a +

999

bcd

2,(256); 0,(801); 14,(245); 0,(422)

Tổng quát :

Quy tắc: Muốn viết số thập phân vô hạn tuần hoàn đơn( chu kì sau dấu phẩy) thành phân số Ta lấy chu kì làm tử , còn mẫu số là các chữ số 9 (

số chữ số 9 bằng các chữ số của chu kì)

Ví dụ: Viết các số thập phân sau dới dạng phân số

a 2,(2345) = 2+ 2345 22343

9999 = 9999

b 0,(123456) = 0 + 123456 41152

999999 = 33333 Bài tập tự giải 4 : Viết các số thập phân sau dới dạng phân số.

Câu 1: 3,(12) ; 2,(29); 5, (57) ; 1, (95);

Câu 2: 6, (763); 5, (134); 6, (241); 1, (302)

Câu 3: 0,(12345678); 12, (3456); 26, (1375); 1, (0647)

2 Phơng pháp 2: Viết số thập phân vô hạn tuần hoàn dới dạng phân

số dựa vào quy tắc sau:

2.1 Quy tắc 5:

Ta đi chứng minh quy tắc 5:

Đặt N = a,b(c)=a + 0,bc……….c

⇔ N – a = 0,bc… c

⇔ N –a = 0,bc + 0,00c + 0,000c + … + 0,……c (1)

⇔10(N -a) = b,c + 0,0c + 0,00c + ……+0,… c (2)

Mà: N- a – 0,bc = 0,00c + ….+0,….c

⇔10(N -a) = b,c + 0,0c + (N - a - 0,bc)

⇔

n a a

a

a, ( 1 2 ) = a +

9

999

3 2

1a a a n a

n chữ số 9

(a , b ( c )) = a +

10 9.

b

bc −

⇔ 9.10(N - a) = bc + 0,c - b,c

= bc + 0,c - b - 0,c

= bc - b

⇒ N - a =

9.10

bc b− ⇔

N + 9.10

bc b−

Ví dụ:

a 1,3 (4) = 1 + 34 3 1 31 121

9.10 − = + = 90 90

b 2,4 (6) = 2 + 46 4 2 42 111

9.10 − = + = 90 45

Bài tập tự giải 5 : Viết các số thập phân sau dới dạng phân số

2,2(3); 0,4(6); 12,4(8); 8,0(1)

* Trên cơ sở quy tắc 5 ta cũng chứng minh đợc quy tắc sau:

2.2 Quy tắc 6

Muốn viết số thập phân vô hạn tuần hoàn tạp ( chu kì không bắt

đầu ngay sau dấu phẩy)

Ví dụ:

a 4,3 (42) = 4 +

990

3

342 −

= 4359 1453

990 = 330

b 0,2 (56) = 0 +

990

2

256 −

= 990

254

= 495 127

Bài tập tự giải 6: Viết các số thập phân sau dới dạng phân số

4,0(44); 3,2(12); 7,9(24); 0,0(12)

(a , b ( cd )) = a +

10 99.

b bcd −

2.3 Quy t¾c 7: ( c¸ch kh¸c cña quy t¾c 5)

Ta cã: (a , b ( c )) = ,( ) 0,( ) 1 ( )

ab

+

VÝ dô 1: 2.3 ( 6) =

10

1

x (23 + 6) 71

9 = 30

VÝ dô 2: 2,4 (6) =

10

1

x (24 +

9

6 ) = 15 37

Bµi tËp tù gi¶i 7 : ViÕt c¸c sè thËp ph©n sau díi d¹ng ph©n sè

2,9(4); 9,1(2); 5,7(4); 3,1(6)

2.4 Quy t¾c 8: ( c¸ch kh¸c cña quy t¾c 7)

VÝ dô 1: 1,2 (43) =

10

1

x (12 +

99

43 ) = 990 1231

VÝ dô 2: 5,4 (75) =

10

1

x (54 +

99

75 ) = 330 1807

Bµi tËp tù gi¶i 8: 3,3(23); 0,1(12); 14,2(24); 10, 3(25)

2.5 Quy t¾c 9:

VÝ dô 1: 2,35 (7) =

100

1

x (235 +

9

7 ) = 450 1061

VÝ dô 2: 3,45 (296) =

100

1

x (345 +

999

296 ) = 2700 9323

Bµi tËp tù gi¶I 9: ViÕt c¸c sè thËp ph©n v« h¹n tuÇn hoµn sau díi

d¹ng ph©n sè

(a , b ( c )) =

10

1

x (ab , ( c )) =

10

1









 +

9

c ab

a , cd b( ) =

10

1

x (ab , ( cd )) =

10

1

x  +99 

cd ab

) d ( bc ,

100

1

x (abc , ( d )) =

100

1

x  +9 

d abc

1 6,7 (5); 2,5 (2); 2,3 (12);

2 12,31 (2); 3,44 (11); 2,231 (214);

3 Tính ( ) ( ) ( )

( )45 123 4

31 1 2 71 3 5 2 ,

, , + +

3 Phơng pháp 3: Viết số thập phân vô hạn tuần hoàn dới dạng phân

số dựa vào số đã biết 0, (1) =

9

1

; 0,(01) 1

99

= ; 0,(001) 1

999

=

3.1 Quy tắc 10:

+ 0, (b) = 0, (1).b =

9

1 b = 9 b

+ a, (b) = a + 0, (b) = a + 0, (1).b = a +

9 b

+ a, (bc) = a + 0, (bc) = a + 0, (01) bc

= a +

99

1 bc = a +

99 bc

999

bcd a

= +

3.2 Bài tập tự giải 10 : Viết các số thập phân dới dạng phân số.

4 Một số dạng bài tập liên quan

4.1 Dạng 1: Viết số thập phân vô hạn tuần hoàn dới dạng phân số

0, (9); 0,(26); 0,(123); 4,01(8); 0,12(63)

4,41(3); 0,12 (63); 0,1 (25); 0,(12); 0,(6789)

4.2 Dạng 2: Thực hiện phép tính

Câu 1:

a 0,(32) + 0,(67)

b 10,(3) +0,(4) - 8,(6)

c.[12,(1) - 2,3(6)]: 4, (21)

d 12, (31) -

990

1219 + 1,2 (31)

4.3 Dạng 3: So sánh số thực sau:

a 0,123 và 0,(123); c 2,3 (496) và

20 47

b

7

3

và 0,(4); d [0,(5)]2 và (0,5)2

e [0,(24)]2 và (0,24)2; g [0,3 (54)]2 và

121 16

4.4 Dạng 4: Tìm x, y biết.

a 0, (12): 1,(6) = x : 0,(3) ; Đs : x =10

b [0,(37) 0,(62) + ] x= 10 ; Đs: x = 1

55

c

3

0, (3) 0,(384615) 50

13 0,0(3) 13 85

x

= + ; Đs: x =

1 30 9

c 0 , x ( y ) − 0 , y ( x ) = 0,00(1).8 và x + y = 9

Gợi ý:

90

0 , x ( y )= xy−x

90

0 , y ( x )= yx−y

Qua các phơng pháp, ví dụ, các dạng bài tập trên chúng ta thấy đợc rằng việc nắm vững kiến thức về số thập phân vô hạn tuần hoàn không những phục vụ cho cách giải các bài toán về số thập phân mà còn cực kỳ quan trọng, là công cụ đắc lực cho việc giải quyết các dạng bài tập liên quan Với phơng pháp này chúng ta có thể giải quyết hàng loạt các bài toán tơng tự và phơng pháp này có thể áp dụng đợc trong mọi điều kiện của nhà trờng

C Kết Luận:

Trên đây là một số phơng pháp thờng dùng và có hiệu quả ở trờng học cơ sở Cùng với phơng pháp đó trong quá trình giảng dạy cho học sinh tôi thấy các em học tập có kết quả tốt hơn, có hứng thu hơn trong khi tiếp thu kiến thức mới Đó là việc giải quyết vấn đề nhanh chóng, hiệu quả, chủ

động tìm ra phơng án đúng để giải quyết Do vậy mà bớc đầu đã thu đợc một số kết quả

Sau 2 năm nghiên cứu thực hiện đề tài với đối tợng là học sinh khối 7

là 4 lớp tổng số là 150 học sinh Với hình thức kiểm tra nhanh 10 phút với kết quả đợc nh sau

Điểm

Trong quá trình viết đề tài tôi đã nghiên cứu tài liệu, tham khảo ý kiến đóng góp của các đồng nghiệp Mặc dù đề tài đã thu đợc một số kết quả nhng do năng lực, điều kiện, thời gian nghiên cứu còn hạn chế Nên tôi rất mong đợc sự đóng góp ý kiến dể đề tài có hiệu quả hơn trong công tác giảng dạy

Tôi xin chân thành cảm ơn!

Đa Lộc, ngày 20/01/2011

Ngời viết

Trần Văn Thắng