PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ 1... Giải phương trình bằng cách ñặt ẩn phụ ñưa về hệ 1.
Trang 1PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ
1 Biến ñổi tương ñương
*2 n f x ( ) = 2 n g x ( ) ⇔ f x ( ) = g x ( ) 0 ≥
2
g x
n
≥
* 2 n + 1 ( ) f x = g x ( ) ⇔ f x ( ) = g 2 n + 1 ( ) x
* 2 n + 1 ( ) f x > g x ( ) ⇔ f x ( ) > g 2 n + 1 ( ) x
* 2 n + 1 ( ) f x < g x ( ) ⇔ f x ( ) < g 2 n + 1 ( ) x
*2 n f x ( ) < g x ( ) ⇔
( ) 0 ( ) 0
2
f x
g x
n
≥
≥
<
* 2n f(x)>g(x)⇔
( ) 0
2
( ) 0 ( ) 0
g x
n
g x
f x
≥
>
<
≥
Ví dụ 1: Giải các phương trình sau
1) x − 2 x + = 3 0
2) x+ −4 1− =x 1 2− x
3) 2x+ 6x2 + = +1 x 1
4)
2
x
− 5) 4x− +1 4x2 − =1 1
Ví dụ 2:Giải các bt sau
1) 2x -6x+1-x+2>0 2
2) (x +5)(3x+4) >4(x−1)
3) (x2 −3 ) 2x x2 −3x− ≥2 0
4) x+ −2 x+ ≤1 x
5)
2
x
x
x > − + +
6)
2
3
x
− + − > −
Bài tập:
Giải các phương trình và bất phương trình sau
1) 7x−13− 3x− ≤9 5x−27
2)
2 2
2
x
− =
+ +
( − +1) ( +2) =2
4) 3(2+ x−2)=2x+ x+6
5) 1 + − x 1 − ≥ x x
6) 5x− −1 x− >1 2x−4 7) 2 x+ +2 2 x+ −1 x+ =1 4
Trang 28) x+12≥ x − +3 2x+1
9) 8x2 −6x+ −1 4x+ ≤1 0
10) 3x− −3 5− =x 2x−4
11) 2x+ −7 5− ≥x 3x−2
12) (x−3) x2 + ≤4 x2 −9 13) 1+ −x 1− ≥x x
14) x2 −4x+ −3 2x2 −3x+ ≥ −1 x 1
2 ðặt ẩn phụ ñưa về phương trình
Ta thường ñặt ẩn phụ cho các biểu thức ñồng dạng
Ví dụ 1: Giải các phương trình sau
1) (x+5)(2− =x) 3 x2 +3x
2) x2 + x2 +11=31
3) 3+ +x 6− = +x 3 (3+x)(6−x)
4) 2x+ + 3 x+ = 1 3x+ 2 (2x+ 3)(x+ − 1) 16
5
x
x+ − x− = +
6) x2 +3x+ = +1 (x 3) x2 +1
Ví dụ 2: Giải các bpt sau
5x 10x 1 7 2x x
2) 7x+ +7 7x− +6 2 49x2 +7x−42≤181 14− x
3) 324+ +x 12− ≤x 6
Bài tập: Giải các pt và bpt sau
1) x + +1 4− +x (x+1)(4−x) =5
2) 3x− + 2 x− = 1 4x− + 9 2 3x2 − 5x+ 2
3) x x( −4) − +x2 4x +(x−2)2 =2
4) x− +1 x3 +x2 + + = +x 1 1 x4 −1
5) 2x2 + x2 −5x− >6 10x+15
6) x2 −2x+ −8 4 (4−x x)( +2) ≥0
8) x + 9− = − +x x2 9x+9
3
x
x
+
−
10) 4 x− x2 − +1 x+ x2 − =1 2
Bài 2: Tìm m ñể các pt và bpt sau có no: 1) x − x− >1 m
2) m+ = −x m m−x
3) x2 +2x+m 5−2x−x2 = m2
4) 2
x − mx+ = −m
5) x+ +3 6− −x (3+x)(6−x) =m
x − x+ = m+ − x + x
Bài 3: Tìm m ñể pt: 2x2 +mx − = +3 x 1
có hai nghiệm phân biệt
Bài 4: Cmr với ∀ ≥m 0 thì pt sau luôn có nghiệm:
3
x + m − x + + −m =
Bài 5: Tìm m ñể pt sau có nghiệm:
m +x − −x + = −x + +x − −x
Trang 3
HỆ PHƯƠNG TRÌNH
I Hệ ñối xứng loại 1
1 ðịnh nghĩa: Là hệ có dạng ( ; )
( ; )
=
=
(I) trong ñó f(x;y),g(x;y) là các biểu thức ñối xứng
2 Cách giải: ðặt S=x+y, P=xy biểu diễn f(x;y),g(x;y) qua S và P ta có hệ
( ; ) 0
( ; ) 0
F S P
G S P
=
=
giải hệ này ta tìm ñược S,P Khi ñó x,y là no của pt: X
2
-SX+P=0 (1)
3 Một số biểu diễn biểu thức ñối xứng qua S và P
4 Chú ý: *Nếu (x;y) là nghiệm của hệ (I) thì (y;x) cũng là nghiệm của hệ
* Hệ có nghiệm khi (1) có nghiệm hay S2 −4P≥0
5 Các ví dụ
Ví dụ 1: Giải các hệ phương trình sau
8
x y xy
x y
+ =
2)
6
Ví dụ 2: Tìm m ñể hệ pt sau có nghiệm
1)
+ =
2)
2
1 3
6
x y m
+ =
+ = − +
nghiệm Tìm Max và Min của F=xy+2(x+y)
Ví dụ 3: Cho x+y=1 Tìm GTNN của A=x3 + y3
Trang 4Ví dụ 4: Cho x y, ≠0thỏa mãn: (x + y xy) =x2 + y2 −xy Tìm Max
A
x y
= +
Bài tập:
Bài 1: Giải các hệ phương trình sau
2 1)
26
x y
x y
+ =
+ =
2 2)
4
x xy y
x xy y
+ + =
30 3)
35
x y y x
x x y y
13 6 4)
5
x y
y x
x y
+ =
+ =
2 2
2 2
5 5)
9
+ + + =
4 4
6)
2
y
+ =
Bài 2: Tìm m ñể hệ pt sau có nghiệm
1)
2)
Bài 3: Cho x,y thỏa mãn x−3 y+ =2 3 x 1+ −y.Tìm gtln và gtnn của x+y
II Hệ ñối xứng loại 2
1 ðịnh nghĩa:Là hệ có dạng ( ; )
( ; )
f x y a
f y x a
=
=
2 Cách giải: Trừ hai pt của hệ cho nhau ta ñược f x y( ; )− f y x( ; )=0
( ; ) 0
x y
x y g x y
g x y
=
=
3 Các ví dụ
Ví dụ 1: Giải các hệ phương trình sau
2
2
1)
= +
2
2
3
2
2)
3
2
x y
x
y x
y
= +
3)
+ + − =
2 2 2 2
2 3
4)
2 3
y y x x x y
+
Trang 5Ví dụ 2: Tìm m ñể hệ pt sau có nghiệm
1)
+ − =
2)
Chú ý: Nếu hệ (II) có nghiệm (x 0 ;y 0 ) thì (y 0 ;x 0 ) cũng là nghiệm của hệ nên hệ (II) có nghiệm duy nhất thì ñiều kiện cần là x 0 =y 0
Ví dụ 3: Tìm m ñể hệ pt sau có nghiệm duy nhất
2
2
y x x m
= − +
2)
Bài tập:
Bài 1: Giải các hệ phương trình sau
3
3
2
1)
2
2)
3
3
1 2
3)
1 2
+ =
+ =
2
2
1
2
4)
1
2
y
x
= +
5)
6)
1 1 7)
1 1
2
2
2 1 8)
2 1
y x
y x y
x
=
=
Bài 2: Tìm m ñể hệ pt sau có nghiệm
3 1)
3
+ − =
m
≥
+ + − =
Trang 6Bài 3:Tìm m ñể hệ pt sau có nghiệm duy nhất
4 1)
4
2 2
2 2
2
2)
2
m
x y
y m
y x
x
= +
2 2
( 1) 3)
( 1)
+ = +
3 3
2 4)
2
= + +
III Hệ ñẳng cấp
1.ðịnh nghĩa:
*Biểu thức f(x;y) gọi là hệ ñẳng cấp bậc k nếu f mx my( ; )=m f x y k ( ; )
*Hệ: ( ; )
( ; )
=
=
trong ñó f(x;y) và g(x;y) ñẳng cấp gọi là hệ ñẳng cấp
2 Cách giải:
*Xét x=0 thay vào hệ kiểm tra
* với x≠0 ñặt y=tx thay vào hệ ta có: ( ; ) (1; )
k
k
f x tx a x f t a
g x tx b x g t b
⇔
=
f t g t t x y
b
3 Các ví dụ
Ví dụ 1: Giải các hệ pt sau
1)
2
2)
19
x y y
x y
− =
2
3)
x xy y
y xy
Ví dụ 2:Tìm a ñể hệ bpt sau có nghiệm
x xy y
a
x xy y
a
+
Bài tập: Giải các hệ pt sau
1)
x xy y
x xy y
2)
x xy y
x xy y
3)
x y x y
x y x y
Trang 7IV Một số hệ khác
Ví dụ 1: Giải các hệ phương trình sau
3
3
1)
12
x y x y
x y x y
2)
3)
6
x y x
y xy x
+ = −
4)
1
x y
+ =
3
16 5)
x y
x y
+ =
3
6)
− = −
Bài tập: Giải các hệ pt sau
3
1)
2
3
2)
3)
V Giải phương trình bằng cách ñặt ẩn phụ ñưa về hệ
1 Các dạng thường gặp
*x n + =b a ax n −b ñặt t=n ax−b ta có hệ
n
n
x b at
t b ax
+ =
* n a− f x( ) ±m b+ f x( ) =c ñặt u= n a− f x( ), v=m b+ f x( )ta có: u n v m c
± =
+ = +
2 Các ví dụ
Ví dụ 1: Giải các phương trình sau
1) x + =1 2 2x−1
2) x + 17− =x 3
3
3) x − +2 x+ =1 3
4) x = x+ −1 x−1
16
x
x + x− = +
Ví dụ 2:Tìm m ñể pt sau có nghiệm
1) 1 2− x + 1+2x =m 2) x+ +3 6− −x (3+x)(6−x) =m
Trang 8Bài tập Bài 1 Giải các phương trình sau
1) (2-x) + (x+7) - (2-x)(x+7) =3
2
x
x + x= +
3
3) 2−x = x −2
4) 1 2− x + 1+2x =2
5) x 35−x (x+ 35−x )=30
6) x − +1 x + x + + = +x 1 1 x −1
x + − = +x − x
3
8) 17−x − 2x − =1 1
2
x
x + x + = +
2
10) x− +2 4− =x x −6x+11
11) 3 (2x + 9x + +3) (4x +2)(1+ 1+ +x x )=0
Bài 2:giải các hệ sau
2 1)
4
2)
6
x y x
y xy x
+ = −
6 3)
y xy x
x y x
2
4)
3 5)
3
2
2
1
3 6)
1 3
x x
y y
x
x
2 7)
1
1
8)
1
y
x y
y
+ + =
x
x y y
2
2
10)
1
x y
3
3
11)
12
x y x y
x y x y