Bài 1 Tính các tích phân sau:
1) (D – 2003) 2) 3)
4) 5)
6)
Gi i
Cách 1: Ta xét d u trên :
V y
Cách 2: Xét ph ng trình Khi đó ta có:
V y
Cách 1:
Ta s l p b ng xét d u đ b tr tuy t đ i:
1
I
2 2 0
x xdx
2
1
3
4
1
ln
e
e
x
x
1
x dx
1
1
1
I
2
2 0
x xdx
2 ( )
f x x x 0; 2
( )
1
1 1
0
1
x
x
1
1 1
2
2
1
TÍCH PHÂN CH A D U GIÁ TR TUY T I
ÁP ÁN BÀI T P T LUY N
Giáo viên: NGUY N THANH TÙNG
ây là tài li u tóm l c các ki n th c đi kèm v i bài gi ng Tích phân ch a d u giá tr tuy t đ i thu c khóa h c Luy n
thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Nguy n Thanh Tùng) t i website Hocmai.vn có th n m v ng ki n th c
ph n này, b n c n k t h p xem tài li u cùng v i bài gi ng này.
Trang 2
V y
Cách 2: Ta có
V y
Cách 1: Ta có b ng b tr tuy t đ i:
Cách 2:
V y
4)
2
0
2 0
2
2 0
3
3
[ 3; 2]
x x 2 x 2 4 x [ 2; 2] x 2 x 2 2x
3
2
4 dx 2 xdx 4 dx 4x x 4x
3
3 8
I
4
Trang 3V y
5)
Ta có:
6)
Ta có:
V y
Chú ý : Các b n ph i ch ng minh n u mu n s d ng hai tính ch t sau :
Bài 2 Tính các tích phân sau: 1)
2)
3)
4) 2
4 0
1 1 cos 2 sin
6)
7) 8)
9)
10)
Gi i
1
1
1
1
e
e
5
1
x dx
I
2
2
t x dt xdx x: 1 0 t:10 x: 01 t: 01
5
6
1
1
6
3
6
2 2 1 3
( )
f x f( x) f x( )
0
f x dx f x dx
( )
f x f( x) f x( ) f x dx( ) 0
1
I
1 2 0
4x 4x1dx
3
0
2
x x xdx
3
2
sin x dx
2
0
1 sin xdx
6
6
2
1
2
2
2 9
1
e
x
10 0
2 (1 cos 2 )
Trang 4
4
0
1 1 cos 2 sin
+) Tính
+) Thay (1) và (2) vào (*) ta đ c: 4
2
2 3
1
I
1
2 0
4x 4x1dx
24 3 8 15
2
I 24 3 8
15
2
0
2
Trang 5Ta có:
6)
Ta có:
5
2
0
1 sin xdx
2
;
x
2 4
x
x
3 0;
2
x
5
;
x
2 4
x
x
3
; 2 2
x
6
6
2 2
Trang 6*) thì hay khi
V y
7)
V y
Nên
Cách 2:
+) Xét ph ng trình
+) Khi đó
V y
9)
+) Do đó
3 2
x
sin 2cos 2xx00 cos 2 0
sin 2
x
6 4
x
2
2 3
x
sin 2cos 2xx00 cos 2 0
sin 2
x
4 3
x
6
2
2 ln 3
7
2
2
7 6
2
8
2
8
e e x
8
8
2 9
1 1 ln
1; e
9
Trang 7
+) V y
10)
+) Ta có
Khi đó
Bài 3 Tính các tích phân sau:
Gi i
1)
2)
+) Khi đó
Bài 4 Tính các tích phân sau:
3) 4)
2 2
9 1
I
2 10
0
2 (1 cos 2 )
2
10
2
2 2
2 0
2
2 0
2
3 1 3 2
2 0
1 sin
3 0
x x
I e e dx
1
2 2
0
2
ln 3
3
0
x x
x x
e e x
3
I e e dx e e dx e e dx e e dx
2
I e e
4 2 1 2
1
1
x
0
1
x
Trang 85)
7) 8)
9)
Gi i
Cách trình bày 1:
+) Khi đó
+) V y
Cách trình bày 2:
+)
+) V y
+)Ta có b ng phá tr tuy t đ i:
3 5 0
2x 4
0
1 cos 2
9 7 1
x
2 ln 3
2 2 9 1
ln 1
4 10
0
I x x x dx
4
2 1
2
2
3
x
x
1
1
62 3
I
3
x
x
1
1
62 3
I
2
1
Trang 9
+) V y
+) Thay (1) và (2) vào (*) ta đ c:
+) Khi đó
2
7 2
I
2x 1 0 x 1; 2
2
2
2 2 1
ln x
x
2
ln
1
dx
x dx
dv
v x
x
2
B
3
5
1 ln 2 2
I
2 3
4
0
1
x
2
1
x
2
x
x
4
Trang 10+) V y
5)
+) V y
Nh n xét:
bài toán này ta ch n theo cách 2 – là cách không quan tâm t i d u trong giá tr tuy t đ i Song bài
toán này ta c ng d dàng xác đ nh đ c d u c a trên nên các b n có th gi i theo Cách 1
+) V y
7)
+) Khi đó :
+) Suy ra
5
24 ln 2 12 ln 3
2
4
5
24 ln 2 12 ln 3
2
3
5
0
2x 4
5
5
1 4
ln 2
I
2 6
sinx 0 x 0; 2
6
0
6 4 2
9
7
1
x
2 x 0 x 4 1;9 x 2 1; 4 2 x 2 2 0
7
4
3
2
2
I
1 8
2 ln
3
2
3
x
0;1 2
x ex 1 e 1 0
1 0 x
e x 0;1 ex 1 0 ln2; 0
3
8
Trang 11*) Tính ; t
Khi đó
V y
Suy ra
Thay (1) và (2) vào (*) ta đ c:
10)
0
2 ln 3
2
2
x
tdt e dx e dx tdt
ln 3
x x x
1
1
t
1
8
e
9
0 2 1
ln 1
3
dx du
v
2
1
1
0
1
2 2 0
ln 1
3
dx du
v
2
0
1
2
0
9
7 2
ln 2 3ln 3
6 3
2
4 10
0
I x x x dx
Trang 12+) Xét hi u nên ta có b ng d u cho :
Bài 5 Tính tích phân
Gi i
+) Ta có:
+) Khi đó
+) V y
Bài 6 Tính các tích phân :
1) 2)
3) 4)
Gi i
Khi đó ta có b ng d u c a
x
x
4 10
9
9 5
I
2
2 0
1 3 sin 2 2 cos
1 3 sin 2x2 cos xsin x2 3 sin cosx x3cos x sinx 3 cosx
2
2
2
1 3 sin 2 2 cos 2sin
3
0
3
I
2
3 1
0 max ; 2
0 max sin ; cos
9 3 3
4 2
2
3 1
0
max ; 2
I x x dx
h x x x x x x x x x
( )
h x
Trang 13
Nh n xét:
chính
xác đ c bi u th c trong d u tính phân Ph n ti p theo ta đi tính tích phân v a t o ra
Chú ý:
hai tích phân b ng vi c áp d ng tính ch t :
ho c
3 1
21
1
21 4
I
( ) ( ) ( )
h x f x g x ;
( ) 0
h x x D1 ; maxf x g x( ); ( ) f x( ) minf x g x( ); ( )g x( )
( ) 0
h x x D2 ; maxf x g x( ); ( )g x( ) minf x g x( ); ( ) f x( )
max f x g x( ); ( ) minf x g x( ); ( )
D D D1;x0 D2 x0; h x( )0 0
0
x
x
0
x
x
2
2
0
max sin ; cos
h x x x x x
( )
h x
Trang 14+) Khi đó
+) V y
+) Xét hi u
Ta có b ng d u c a :
+) Khi đó
4)
+) Xét hi u
Ta có b ng d u c a :
+) Khi đó
+) V y
Gi i
2 4
4 0
4
9
3
3
2
10
9
x x
x
( )
h x
9 4
3
3
4
2
x
x
( )
h x
4
2
4
20 5 13 6
0
m
6
I
Trang 15+) Xét hi u
Ta có b ng d u c a :
+) Khi đó
2
0
x
( )
h x
2
I x dx xdxxdxx dx
1 2
m
m m
Giáo viên : Nguy n Thanh Tùng
Ngu n : Hocmai.vn
Trang 165 L I ÍCH C A H C TR C TUY N
Ng i h c t i nhà v i giáo viên n i ti ng
Ch đ ng l a ch n ch ng trình h c phù h p v i m c tiêu và n ng l c
H c m i lúc, m i n i
Ti t ki m th i gian đi l i
Chi phí ch b ng 20% so v i h c tr c ti p t i các trung tâm
Ch ng trình h c đ c xây d ng b i các chuyên gia giáo d c uy tín nh t
i ng giáo viên hàng đ u Vi t Nam
Thành tích n t ng nh t: đã có h n 300 th khoa, á khoa và h n 10.000 tân sinh viên
Cam k t t v n h c t p trong su t quá trình h c
Là các khoá h c trang b toàn
b ki n th c c b n theo
ch ng trình sách giáo khoa
(l p 10, 11, 12) T p trung
vào m t s ki n th c tr ng
tâm c a kì thi THPT qu c gia
Là các khóa h c trang b toàn
di n ki n th c theo c u trúc c a
kì thi THPT qu c gia Phù h p
v i h c sinh c n ôn luy n bài
b n
Là các khóa h c t p trung vào
rèn ph ng pháp, luy n k
n ng tr c kì thi THPT qu c
gia cho các h c sinh đã tr i
qua quá trình ôn luy n t ng
th
Là nhóm các khóa h c t ng
ôn nh m t i u đi m s d a
trên h c l c t i th i đi m
tr c kì thi THPT qu c gia
1, 2 tháng