giáo án phụ đạo toán lớp 11

tài liệu phụ đạo toán 11 được biên soạn theo từng chủ đề, mỗi chủ đề gồm phần lý thuyết và bài tập vận dụng, bám sát nội dung sách giáo khoa và giảm tải của bộ.Tài liệu này dùng để phụ đạo cho các em học sinh trung bình,yếu. hi vọng tài liệu này giúp ích nhiều cho các em.

TUẦN 1 (2 tiết):

CHỦ ĐỀ 1: ÔN TẬP CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC

A KIẾN THỨC CẦN NHỚ:

I Hàm số lượng giác của các cung (góc) có liên quan đặc biệt:

Các cung (góc) có liên quan đặc biệt:

1 Cung đối nhau : và -α α (tổng bằng 0) (Vd: &

454

603

902

1203

1354

1506

π π(1800)

2

22

3

2

22

5 Công thức biến đổi tích thành tổng:

6 Công thức biến đổi tổng thành tích:

a) cosα=0 b) sinα=0 c) sinα cosα=0

Bài 3: Không dùng bảng số và máy tính ,hãy xác định dấu của sinαvà cosα:

a) α = 1350 ; b) α = 2100 c) α = 3340 ;

e) α = 12800 ; f) α = -2350 ; g) α = 18760 ;

Bài 4: Không dùng bảng số và máy tính:

sin135 ; b) cos 215 ;0 c) tan750 ;

d) cot 7500 ; e) cos 2250 ; f) tan(-3300) ;

Bài 10: Chứng minh các đẳng thức:

a) cos( ) cot cot 1

cos( ) cot cot 1

e)

1 2sin cos tan 1

tan tan

tan tan ;cot cot

sin10 − = ; b) cos140 +cos1340 +cos1060 =0;

c) sin 200 +2sin 400 −sin1000 =sin 40 ;0 d)

Bài 1: Cho hình bình hành ABCD Dựng ảnh của tam giác ABC qua phép tịnh tiến theo vecto BCuuur

Bài 2: Cho hình chữ nhật ABCD tâm O E, F, G, H, I, J theo thứ tự lần lượt là trung điểm của các

cạnh AB, BC, CD, DA, AH, OG Chứng minh rằng hai hình thang AIOE và GJFC bằng nhau

Bài 3: Tìm ảnh của các điểm A(0; 2), B(1; 3), C(–3; 4) qua phép tịnh tiến T vr ở các trường hợp sau:

Bài 6: Trong mpOxy, cho đường thẳng (d): 2x − y + 5 = 0 Tìm phương trình của đường thẳng (d’)

là ảnh của (d) qua phép tịnh tiến theo vr trong các trường hợp sau:

a) Hãy xác định ảnh của điểm M qua phép tịnh tiến T vr

b) Hãy xác định ảnh của d qua phép tịnh tiến T vr

c) Hãy xác định ảnh của (C) qua phép tịnh tiến T vr

Bài 9: Trong mp tọa độ Oxy cho điểm A(1;2),B(-2; 3) và v (0;5)

a) Tìm tọa độ ảnh A’của A qua phép tịnh tiến theo vr

b) Tìm ảnh của đường thẳng (d): 2x + y -1 = 0 qua phép tịnh tiến theo uuurAB

Bài 10: Trong mp tọa độ Oxy cho điểm M(1;-2), và đường thẳng (d): 2x – y + 1 = 0

a) Tìm ảnh của M và (d) qua phép tịnh tiến theo vr = (2; 3) −

b) Tìm tọa độ của điểm C sao cho M là ảnh của điểm C qua phép tịnh tiến theo vr= (2; 3) −

Bài 11: Trong mp Oxy cho vr= − ( 2;1) và đường tròn (C): x2 + y2 – 2x + 4y – 4 = 0 Viết phương trìnhảnh (C’) của (C) qua phép tịnh tiến theo vr= − ( 2;1)

Bài 12: Trong hệ tọa độ Oxy cho điểm A(-3; 3) và đường thẳng (d): x – y + 3 = 0

a) Tìm tọa độ điểm A1 sao cho A là ảnh của A1 qua phép tịnh tiến theo vr = (2; 3) −

b) Tìm ảnh (d1) của (d) qua phép tịnh tiến theo vr=(2; 3)−

c) Cho đường tròn (C): (x - 2)2 + (y + 3)2 = 1 Tìm ảnh của (C) qua phép tịnh tiến theo ur=(2; 1)−

Bài 13: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn tâm I(2;-3), bán kính R=5

Viết phường trình đường tròn ảnh (I’,R’) của đường tròn (I,R) qua phép tịnh tiến theo vec tơ

▪ Tuần hoàn với chu kỳ 2π ;

Chú ý: Để gọn ,ta quy ước không bắt buộc viết k∈Z

x − ; 6) y = cos

11

x x

Dạng 2: Tìm GTLN, GTNN của các hàm số lượng giác

Chú ý: 1 s− ≤ inx 1 ; -1 cosx 1; 0 ≤ ≤ ≤ ≤sin 2 x ≤1 ; 0 ≤cos 2 x ≤1; A 2 + B ≥B

Bài tập Tìm GTLN, GTNN của các hàm số sau

2

1 4cos2

10)y = 29 + 9cosx; 11) y=sin2x−3cos 2x;

12) y = 12 + 10sinx trên đoạn 0;[ π] ;

* sin(-X) = -sinX (còn dấu -)

* cos(-X) = cosX (mất dấu -)

Bài tập Xét tính chẵn lẻ của hàm số sau:

1)y= f x( ) sin= x−2015 tanx; 2) y=20sin 3x+10 tanx

3) f x ( ) = x3cos 3 tanx x ; 4) y = 2sin3xcos 5x

+ a > 1, phương trình (1) vô nghiệm

+ a ≤1, Công thức nghiệm phương trình (1) arcsin 2 ;

Dạng 2: cosx = a Cách giải tương tự dạng 1

Đặc biệt: cosx=cosα ⇔ = ±α + π ∈x k2 ;k ¢

Dạng 3: tanx = a

Đặc biệt: tanx=tanα ⇔ = α + π ∈x k k; ¢

Dạng 4: cotx = a

Đặc biệt: cotx=cotα ⇔ = α + π ∈x k k; ¢

2/Phương trình đặc biệt: Cần chú ý một số dạng như: sinx = ±1, sinx = 0, cosx = ±1…

Bài 3: Giải các phương trình sau:

1) tan 2x= 3; 2)tan 2 tan2

Bài 5: Giải các phương trình sau:

1) sin(x+20 ) 10 = ; 2) sin 3x= −1; 3)sin(2 3) 4

5)sin 6x=sin 4x+sin 2x; 6) tan tan 2x x= −1;

Bài 2: Cho lục giác đều ABCDEF tâm O Tìm ảnh của tam giác ABO qua phép quay tâm O góc 1200

Bài 3: Cho hình vuông ABCD tâm O, M là trung điểm của AB , N là trung điểm của OA Tìm ảnh

của tam giác AMN

a) Qua phép quay tâm O góc 900

b) Qua phép quay tâm O góc 1800

Bài 4: Cho lục giác đều ABCDEF , O là tâm đối xứng của nó ,I là trung điểm của AB

a) Tìm ảnh của tam giác AIF qua phép quay tâm O góc 1200

b) Tìm ảnh của tam giác AOF qua phép quay tâm E góc 600

Bài 5: Tìm ảnh của các điểm A(2; 3), B(–2; 3), C(0; 6), D(4; –3) qua phép quay tâm O góc α với: a) α = 900 b) α = –900 c) α = 1800 d) α = 3

Bài 8: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho A(-5; 1); đường thẳng (d): 2x – 3y + 6 = 0 Tìm ảnh

của A và đường thẳng (d) qua phép biến hình sau:

a) Phép quay tâm O, góc quay 900

b) Phép quay tâm O, góc quay

x− + +x = Tìm ảnh của N, (d) và đường tròn (C) qua phép biến hình sau:

a) Phép quay tâm O, góc quay 900

b) Phép quay tâm O, góc quay

a/ Viết phương trình ảnh của (C) qua phép quay tâm O góc -900

b/ Tìm (d’) là ảnh của (d) qua phép quay tâm O góc -900

Bài 11: Trong hệ tọa độ Oxy cho điểm B(-1;3) và đường thẳng (d): 3x – 2y + 6 = 0

a/Tìm ảnh B’ của B và ảnh (d’) của (d) qua phép quay tâm O góc 900

b/ Vẽ (d) và (d’) trên cùng một hệ trục tọa độ

TUẦN 6+7+8 (8 tiết):

CHỦ ĐỀ 6: PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP DẠNG 1: PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT ĐỐI VỚI 1 HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC

A KIẾN THỨC CẦN NHỚ:

Định nghĩa: phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác là phương trình có dạng at b+ =0

t trong đó a,b là các hằng số (a≠0)và t là một trong các hàm số lượng giác

Bài 2: Giải các phương trình sau:

1) sin(x+20 ) 1 00 − = ; 2) 2sin 3x= 2; 3)3sin(2x− − =3) 5 0 ;

2

x− π + =

; 8) 2cos 2( x−350)+ 2 0= ; 9) (1 2cos 2 )(5 3cos3 ) 0− x − x = ;

Bài 4: Giải các phương trình sau:

Bài 5: Giải các phương trình sau:

62

sin(

3cos(

4) 8cosx−2sin 2x=0; 5 ) sin 5x+sin 3x=sin 4x; 6) 2cosx−sin 2x=0;

7) cos 2x− sinx− = 1 0; 8) tan 2x− 2 tanx= 0; 9) 8sin cos cos 2x x x= − 1

10) cos3x− cos 4x+ cos 5x= 0 ; 11)sin 7x− sin 3x= cos 5x ; 12) cos2x−sin2x=sin 3x+cos 4x

DẠNG 2: PHƯƠNG TRÌNH BẬC 2 ĐỐI VỚI 1 HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC

at + + =bt c , trong đó a, b, c là các hằng số (a≠0) và t là một trong các hàm số lượng giác

Chú ý: Nếu t =sinX, t=cosX thì điều kiện 1− ≤ ≤t 1

B BÀI TẬP ÁP DỤNG:

Bài 1: Giải các phương trình sau:

1) 4sin2 x−5sinx+ =1 0; 2) cos2x+cosx-2=0;

3) cos22x – 3cos2x + 2 = 0 4) sin23x-2sin3x-3=0 5)

11)3 tan2 x−4 3 tanx+ =3 0 ; 12) 2sin 42 x+sin 4x− =3 0

Bài 2: Giải các phương trình sau:

1) 2 cos 22 x+3sin2 x=2 ; 2) cos 2x+2cosx=sin2 2x ;

3) 2 cos− 2 x=sin4 x ; 4) 3tanx= 3 cotx− −3 3

5) 4 cos2 x+3sin cosx x−sin2 x=3 ; 6) 2sin2−sin cosx x−cos2 x=1

7) 3sin 22x+7 cos 2x− =3 0 8)7 tanx− 4 cotx= 12

Bài 3: Giải các phương trình sau:

1) 6cos2x + 7sinx – 7 = 0 2) 4sin22x+8cos2x-8=0

3) 5 4sin2 8cos2 4

2

x x

5) 2cos2x+cosx-1= 0 6) cos2 x+sinx+ =1 0

7)2 cos2 x+ 2 cosx− =2 0; 8) 4sin2 x−2( 3 1) sin+ x+ 3 0= ;

DẠNG 3: PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT ĐỐI VỚI SINX VÀ COSX

ac

x

b b

ac

cos(x- = (3)

a

Bài 2: Giải các phương trình sau:

1) 3cos 2x− 3 sin 2x= −3 2) 3 sin(x−300)+cos(x−300) =1 3) 3sin2x + 4 cos2x = 5 4) 2 cos(− +x) 2 sin(π +x) = 3 5) sinx + cosx = 2 6) sin 2x+2 3 cos2 x=0

7) sin 4x= 3 cos 4( x−1) 8) tan150 cosx + sinx -1 = 0

9) sin 2 sin2 1

2

CHỦ ĐỀ 7: PHÉP DỜI HÌNH - PHÉP VỊ TỰ VÀ PHÉP ĐỒNG DẠNG

A KIẾN THỨC CẦN NHỚ:

1 Phép dời hình là phép biến hình bảo toàn khoảng cách giữa 2 điểm bất kì

• Các phép tịnh tiến,đối xứng trục, đối xứng tâm,và phép quay đều là phép dời hình

• Nếu thực hiện liên tiếp hai phép dời hình thì được một phép dời hình

2 Hai hình được gọi là bằng nhau nếu có một phép dời hình biến hình này thành hình kia

3 Phép vị tự

• V(I,k): M a M′⇔ IMuuur'=k IM.uuur (k ≠ 0)

• V(I,k)(M) = M′, V(I,k)(N) = N′⇒ M Nuuuuuur' '=k MN.uuuur

• Cho I(a; b) V(I,k): M(x; y) a M′(x′; y′) Khi đó: ' (1 )

B BÀI TẬP ÁP DỤNG:

Bài 1: Cho hình chữ nhật ABCD tâm O E, F, G, H, I, J theo thứ tự lần lượt là trung điểm của các

cạnh AB, BC, CD, DA, AH, OG Chứng minh rằng hai hình thang AIOE và GJFC bằng nhau

Bài 2: Cho hai hình vuông bằng nhau Chứng minh rằng có một phép dời hình biến hình vuông này

thành hình vuông kia

Bài 3: Trong mặt phẳng Oxy Tìm ảnh của điểmA(−3;2),B(0;5),C(1;-2) , đường thẳng d:

2x-3y+4=0 qua các phép dời hình có được bằng việc thực hiện liên tiếp phép quay tâm O góc 900, vàphép tịnh tiến theo vr=(3; 1)−

Bài 4: Trong mặt phẳng Oxy Tìm ảnh của điểm M(2;3) ,N(-1;4),P(1;1) và đường thẳng d: 2 x + y –

4 = 0 và đường tròn ( ) :C x2+y2−4x+2y− =4 0 qua các phép dời hình có được bằng việc thực hiệnliên tiếp

a) Phép quay tâm O góc 900, và phép tịnh tiến theo vr=(5; 2)−

b) Phép quay tâm O góc -900, và phép tịnh tiến theo vr=(4; 3)−

Bài 5: Trong hệ trục Oxy, cho điểm M(-4;1) , rv(2; 2− ),đường thẳng d: 5x + y – 3 = 0 Đường tròn

Bài 6: Cho tam giác ABC Gọi M và N tương ứng là trung điểm của AB và AC Tìm một phép vị tự

biến tam giác ABC thành tam giác AMN

Bài 7: Cho tam giác ABC Gọi M , N và P tương ứng là trung điểm của AB , AC và BC Tìm một

phép vị tự biến tam giác MNP thành tam giác ABC

Bài 8: Cho hình thang ABCD có đáy CD = 3AB Hãy xác định các phép vị tự biến uuurAB

thành DCuuur

;biến uuurAB thành CDuuur

Bài 9: Cho hình bình hành ABCD tâm 0 Tìm ảnh của tam giác ABO qua phép vị tự tâm O, tỉ số 1

2

−

Bài 10: Cho hình bình hành ABCD Gọi E,F lần lượt là trung điểm của AB và CD BD cắt CE và À

lần lượt tại K và H Xác định phép vị tự biến D thành B

Bài 11: Trong mặt phẳng Oxy cho I(1;2), điểm M(-2;3), đường thẳng d: 3x – y + 9 = 0 và đường

tròn (C): (x + 1)2 + (y – 1)2 = 9

a) Hãy xác định ảnh của điểm M qua phép vị tự tâm I, tỉ số 2

b) Hãy xác định ảnh của d qua phép vị tự vị tự tâm I, tỉ số 2

c) Hãy xác định ảnh của (C) qua phép vị tự vị tự tâm I, tỉ số 2

Bài 12: Trong mặt phẳng Oxy Tìm ảnh của các điểm A(2; 3), B(–2; 3), C(0; 6), D(4; –3) qua phép

các phép vị tự sau:

a) phép vị tự tâm O, tỉ số 2 b) phép vị tự tâm O, tỉ số -2

c) phép vị tự tâm I(1 ;2), tỉ số -2 d) phép vị tự tâm I(1 ;2), tỉ số 3

Bài 13: Trong mặt phẳng Oxy Tìm ảnh của các đường thẳng sau:

a) 2x – y = 0 b) x + y + 2 = 0 c) 2x + y – 4 = 0 d) y = 2 e) x = –1

qua phép các phép vị tự:

a) phép vị tự tâm O, tỉ số 2 b) phép vị tự tâm O, tỉ số -2

c) phép vị tự tâm I(1 ;2), tỉ số -2 d) phép vị tự tâm I(-1 ;2), tỉ số 3

Bài 14: Tìm ảnh của các đường tròn sau:

a) (x + 1)2 + (y – 1)2 = 9 b) x2 + (y – 2)2 = 4

c) x2 + y2 – 4x – 2y – 4 = 0 d) x2 + y2 -6x + 4y -12 = 0

qua phép các phép vị tự:

a) phép vị tự tâm O, tỉ số 2 b) phép vị tự tâm O, tỉ số -2

c) phép vị tự tâm I(1 ;2), tỉ số -2 d) phép vị tự tâm I(1 ;2), tỉ số 3

Bài 15: Cho điểm M ( 1;3) , đường thẳng d: x – 3y + 4 = 0 và đường tròn (C):

2 2 2 4 20 0

x + +y x+ y− =

a) Tìm ảnh của M, đường thẳng d và đường tròn C qua phép vị tự tâm O, tỉ số -2

b) Tìm ảnh của M, đường thẳng d và đường tròn C qua phép vị tự tâm I (2 ;-5) tỉ số 2

Bài 16: Trong hệ trục Oxy, cho điểm M(1;2) , vr(2; 1− ),đường thẳng d: x + y – 2 = 0 Đường tròn(C): ( ) (2 )2

Bài 17: Tìm ảnh của lần lượt điểm A(−3;2), đường tròn ( ) :C x2+y2−4x+2y− =4 0 và đường thẳng d: 2x - 3y + 4 = 0 qua các phép biến hình sau:

Bài 19: Cho điểm A thuộc đường tròn C đường kính BC như hình 4 4 Dựng về phía ngoài của tam

giác ABC tam giác ABD vuông cân ở D Gọi I là trung điểm của DB, tìm tập hợp các điểm I khi Achạy trên nửa đường tròn

* Để có thể dùng phép biến hình giải các bài toán tìm tập hợp điểm ta xem tập hợp điểm đó là ảnh của một hình đã biết qua một phép biến hình xác định

TUẦN 10 (2tiết):

CHỦ ĐỀ 8: MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ PHÉP DỜI HÌNH VÀ PHÉP ĐỒNG DẠNG TRONG

MẶT PHẲNG Bài 1: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho điểm M(5; –3) Tìm ảnh của điểm M qua phép biến

hình sau:

a/ Phép tịnh tiến theo vectơ ur=(2; 1)− b/Phép quay tâm O, góc quay 900

c/ Phép quay tâm O, góc quay

2

π

− d/Phép vị tự tâm O, tỉ số -3e/ Phép vị tự tâm I(-3;1), tỉ số ½

f/ Phép dời hình bằng cách thực hiện liên tiếp phép tịnh tiến theo vectơur=(2; 3)− và Phép quay tâm

Bài 2 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho đường thẳng (d): 2x – 3y + 6 = 0 Viết phương trình

đường thẳng (d’) là ảnh của đường thẳng (d) qua phép biến hình sau:

a/ Phép tịnh tiến theo vectơ ur= −( 3;1) b/ Phép quay tâm O, góc quay 900

c/ Phép quay tâm O, góc quay

a/Phép tịnh tiến theo vectơ ur=(2; 3)− b/Phép quay tâm O, góc quay 900

c/ Phép quay tâm O, góc quay

2

π

− d/Phép vị tự tâm O, tỉ số -3e/ Phép vị tự tâm I(-3;1), tỉ số ½

f/ Phép dời hình bằng cách thực hiện liên tiếp phép tịnh tiến theo vectơur=(2; 3)− và Phép quay tâm

Bài 4 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho đường tròn (C): x2 + y2 + 2x - 4y – 2 = 0 Viết

phương trình đường tròn (C’) là ảnh của đường tròn (C) qua phép biến hình sau:

a/Phép tịnh tiến theo vectơ ur=(0; 3)− b/Phép quay tâm O, góc quay 900

c/ Phép quay tâm O, góc quay

2

π

− d/Phép vị tự tâm O, tỉ số -2e/ Phép vị tự tâm I(-3;1), tỉ số 2

f/ Phép dời hình bằng cách thực hiện liên tiếp phép tịnh tiến theo vectơur=(2; 3)− và Phép quay tâm

a/ Tìm ảnh của tam giác AM1F qua Q( ,120 )O 0

b/ Tìm ảnh của tam giác AOF qua Q( ,120 )O 0 ;Q( ,60 )E 0 ;T FOuuur;V( ; 1)o−

c/ Tìm ảnh của tam giác AOF qua phép dời hình bằng cách thực hiện liên tiếp phép quay tâm O góc quay -600Phép tịnh tiến theo vectơ uuurAO

Bài 7: Cho hcn ABCD Gọi I là giao điểm của AC và BD Gọi E,F lần lượt là trung điểm của

AD,BC Chứng minh rằng hai hình thang AEIB và CFID bằng nhau

Bài 8: Cho hcn ABCD Gọi O là tâm của nó; E,F,G,H,I,J lll trung điểm của các cạnh

AB,BC,CD,DA,AH,OG Chứng minh rằng: hai hình thang AIOE và GJFC bằng nhau

Bài 9: Cho hình chữ nhật ABCD ;AC và BD cắt nhau tại I Gọi H,K,L,J là trung điểm các cạnh

AD;BC;KC;IC CMR hai hình thang JLKI và IHDC đồng dạng với nhau

Bài 10: Cho điểm M ( 1;3) , vr(−1;2) và đường thẳng d: x – 3y + 4 = 0

a) Tìm ảnh của M qua phép tịnh tiến theo vec tơ vr: T vr

b) Tìm ảnh của M qua phép quay tâm O, góc quay – 900

c) Tìm ảnh của M qua phép vị tự tâm O, tỉ số -2

Bài 11: Cho điểm M ( 2;1) , vr( )3;2 và đường tròn (C): x2+ +y2 2x+4y−20 0=

a) Tìm ảnh của M qua phép tịnh tiến theo vec tơ vr: T vr

b) Tìm ảnh của M qua phép quay tâm O, góc quay 900

c) Tìm ảnh của M qua phép vị tự tâm O, tỉ số 2

d) Tìm ảnh của (C) qua phép tịnh tiến theo vec tơ vr: T vr

Bài 12: Trong hệ trục Oxy, cho điểm M(1;2) , vr(2; 1− ), đường thẳng d: x + y – 2 = 0 Đường tròn(C): ( ) ( )2 2

1 Quy tắc cộng

Một công việc được hoàn thành bởi 2 phương án Nếu phương án 1 có m cách làm, phương

án 2 có n cách làm thì công việc đó có: (m+n) cách làm

2 Quy tắc nhân:

Một công việc được hoàn thành bởi 2 công đoạn (bước) Nếu công đoạn 1 có m cách làm,

công đoạn 2 có n cách làm thì công việc đó có: (m n) cách làm

B BÀI TẬP ÁP DỤNG:

Phương pháp giải: Cần phân biệt công việc phải làm được tiến hành theo phương án A hoặc B

để chọn quy tắc cộng, hoặc bao gồm công đoạn A và B để chọn quy tắc nhân

Bài 1: Từ thành phố HCM đi Cần Thơ có hai công ty xe khách A và B A có 5 xe khác nhau, B có 6

xe khác nhau Anh Giao đi bằng xe công ty này và về bằng xe của công ty kia Hỏi có mấy cách để Anh Giao đi như vậy ?

Bài 2: Cô Huỳnh Nhi có 5 bộ đồ, 4 đôi giầy, 3 cái bóp và 2 cái mũ, tất cả đều khác kiểu Hỏi cô ấy

có mấy cách chọn lựa để đi ra phố ?

Bài 3: Có 4 con đường nối trường với nhà, 3 con đường nối trường với chợ Bạn Thùy muốn đi từ

nhà đến trường rồi đến chợ, xong trở về trường rồi về nhà Có bao nhiêu lối đi và về nếu bạn nàymuốn lượt đi và lượt về theo các đường khác nhau ?

Bài 4: Cho 6 chữ số 2, 3, 5, 6, 7, 9 Lấy ra 3 chữ số khác nhau để lập thành một số M Hỏi:

a có bao nhiêu số có thể tạo được ?

b có bao nhiêu số nhỏ hơn 400 ?

c có bao nhiêu số chẵn?

Bài 5: Từ các số 0, 1, 2, 4, 5, 6 Hãy tìm tất cả các số có 4 chữ số khác nhau ?

Bài 6: Tìm các số tự nhiên có 6 chữ số khác nhau ?

Bài 7: Tổ 3 có 4 học sinh nam và 5 học sinh nữ Hỏi có bao nhiêu cách chọn ra 1 học sinh để làm tổ

trưởng?

Bài 8: Trong một lớp có 18 bạn nam,12 bạn nữ Hỏi có bao nhiêu cách chọn

a Một bạn làm lớp trưởng ?

b Hai bạn,trong đó có một bạn nam và một nữ ?

Bài 9: Trên giá sách có 10 quyển sách tiếng Việt khác nhau,8 quyển tiếng Anh khác nhau và 6 quyển

tiếng Pháp khác nhau Hỏi có bao nhiêu cách chọn

a Một quyển sách?

b Ba quyển sách tiếng khác nhau?

Thực hiện quy tắc cộng hoặc quy tắc nhân

1 Trong phòng học có 2 bàn dài, mỗi bàn có 5 ghế Người ta muốn xếp chổ ngồi cho 10 học sinh

gồm 5 nam và 5 nữ Hỏi có bao nhiêu cách xếp chổ ngồi trong các trường hợp sau:

b Tất cả học sinh nam ngồi vào cùng một bàn, nữ ngồi một bàn ? ĐS: 28800

2 Một học sinh có 12 cuốn sách đôi một khác nhau, trong đó có 2 cuốn sách môn Toán, 4 cuốn

sách môn Văn và 6 cuốn Sách môn Anh văn Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp tất cả các cuốn sách lênmột kệ sách dài, nếu mọi cuốn sách cùng môn được xếp gần nhau ? ĐS: 207360

3 Xét các số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau lập nên từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5 Hỏi trong các số

1 Với các số 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể lập bao nhiêu số gồm 4 chữ số khác nhau ? ĐS: 120

2 Có bao nhiêu số gồm 6 chữ số tạo thành từ các số 1, 2, 3, 4, 5, 6 Có thể tạo ra bao nhiêu số gồm 4

chữ số khác nhau Trong đó có bao nhiêu số chia hết cho 5 ? ĐS: 360 / 60

3 Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau chia hết cho 10 ? ĐS: 3024

4 Với 5 nghệ sĩ có 2 nam và 3 nữ, tham gia một buổi biểu diễn, với mỗi người là một tiết mục Hỏi:

a.Có bao nhiêu cách sắp xếp chương trình ? ĐS: 120

b Có bao nhiêu cách sắp xếp chương trình mà tiết mục đầu và cuối đều do nữ nghệ sĩ biểu diễn ?

ĐS: 36

5 Phải bầu 1 lớp trưởng, một lớp phó và một thủ quỹ trong một lớp gồm 30 học sinh Hỏi có bao

6 Để tạo những tín hiệu, người ta dùng 2 lá cờ màu khác nhau cắm thành hàng ngang Mỗi tín hiệu

được xác định bở số lá cờ và thứ tự sắp xếp Hỏi có thể tạo ra bao nhiêu tín hiệu nếu:

a Cả năm lá cờ đều được dùng?

1 Một lớp học có 40 học sinh với 20 nam và 20 nữ GVCN muốn chia lớp thành 4 tổ: 1, 2, 3, 4.

Mỗi tổ có 5 nam và 5 nữ Hỏi có bao nhiêu cách chia tổ ? ĐS: ( 5 5 5 5)2

20 15 10 5

C C C C

2 Một lớp học có 40 học sinh gồm 25 nam và 15 nữ GVCN muốn chọn 4 em vào ban trật tự Hỏi

có bao nhiêu cách chọn như thế, nếu:

3 Một hộp đựng 4 viên bi đỏ, 5 viên bi trắng và 6 bi vàng Người ta lấy 4 viên bi từ hộp đó Hỏi có

bao nhiêu cách chọn trong số viên bi lấy ra không có đủ cả 3 màu ? ĐS: 1665 – 720

4 Giả sử X là một tập hợp gồm 6 điểm của mặt phẳng Trong đó không có điểm nào thẳng hàng:

a.Hỏi có bao nhiêu đường thẳng đi qua 2 điểm thuộc X ? ĐS: 15

b Có bao nhiêu tam giác với các đỉnh thuộc X ? ĐS: 20

5 Một tổ gồm 8 nam 2 nữ Cần lấy nhóm 5 người trong đó có 2 nữ Hỏi có bao nhiêu cách chọn ?

ĐS: 840

6 Một bộ đề thi gồm 15 câu hỏi Mỗi thí sinh phải rút ra 4 câu Hỏi có bao nhiêu khả năng có thể

7 Một người muốn chọn 6 bông hoa từ 3 bó hoa cắm vào một bình bông Bó hoa thứ nhất có 10

bông hồng, bó hoa thứ hai có 6 bông thược dược, có hoa thứ ba có 4 bông cúc:

a.Hỏi người ấy có thể chọn bao nhiêu bông hoa tùy ý ? ĐS: 38760

b Nếu người ấy muốn chọn đúng 2 bông hồng, 2 thược dược và 2 cúc thì có bao nhiêu cách

8 Một người muốn chọn 7 bông hoa từ 5 bông hồng vàng, 3 bông hồng trắng, 4 bông hồng đỏ(các

bông hoa đôi một khác nhau) để làm một bó hoa:

a Hỏi người ấy có thể chọn một bó hoa chỉ có đúng 1 bông hồng đỏ ? ĐS: 1848

b Hỏi người ấy có thể chọn một bó hoa trong đó có ít nhất 3 bông hồng vàng và ít nhất 3 bông

1

x x

4

2

x x

5 2

x x

x x

Bài 6: Tìm hệ số của x y trong khai triển: 12 13 (2x+3 )y 25

Bài 7: Tìm số hạng không chứa x trong khai triển (x2 + 1

x)12

Bài 8: Biết hệ số của x trong khai triển của (1 3 )2 + x n là 90 Hãy tìm n

Bài 9: Tìm số hạng không chứa x trong khai triển của

10 3

2

1

x x

a) Tìm hệ số của x20 trong khai triển bt trên

b) Tìm hệ số không phụ thuộc vào x của khai triển

c) Tìm hệ số thứ 8 của khai triển

Bài 11 Trong khai triển

12

1

x x

  hãy tìm số hạng tự do

Bài 12:

a. Khai triển (x - 2y)5

b. Tìm số hạng không chứa x trong khai triển (x + 3

 + 

• Không gian mẫu Ω: là tập các kết quả có thể xảy ra của một phép thử

• Biến cố A: là tập các kết quả của phép thử làm xảy ra A A ⊂Ω

• Biến cố không: ∅ • Biến cố chắc chắn: Ω

• Biến cố đối của A: A=Ω\A

• Hợp hai biến cố: A ∪ B • Giao hai biến cố: A ∩ B (hoặc A B)

• Hai biến cố xung khắc: A ∩ B = ∅

B BÀI TẬP ÁP DỤNG

Bài 1: Gieo con súc sắc cân đối ,đồng chất và quan sát số chấm xuất hiện

a Mô tả không gian mẫu

b Xác định các biến cố sau:

A: “ Xuất hiện mặt chẵn chấm”; B: “Xuất hiện mặt lẻ chấm”

C: “Xuất hiện mặt có số chấm không nhỏ hơn 3”

c Trong các biến cố trên ,hãy tìm các biến cố xung khắc

Bài 2: Trong bình có 6 viên bi kích thước khác nhau, trong đó có 4 viên bi trắng, và 2 viên bi vàng

Lấy ngẫu nhiên 3 viên bi

a Mô tả không gian mẫu

b Mô tả biến cố: có 2 viên bi trắng

c Mô tả biến cố: có nhiều nhất 2 viên bi trắng

Bài 3: Gieo ngẫu nhiên một đồng tiền 3 lần và quan sát sự xuất hiện mặt sấp ngửa:

a Mô tả không gian mẫu

b Mô tả biến cố: lần đầu xuất hiện mặt sấp

c Mô tả biến cố: có đúng 3 lần xuất hiện mặt ngửa

d Mô tả biến cố: có đúng 2 lần xuất hiện mặt sấp

e Mô tả biến cố: có ít nhất 1 lần xuất hiện mặt ngửa

(Hd: gieo n lần thì N( )W =2n )

Bài 4: Gieo ngẫu nhiên một con súc sắc 2 lần trên mặt phẳng :

a Mô tả không gian mẫu

b Mô tả biến cố: Hai lần xuất hiện đều mặt lẻ

c Mô tả biến cố: Tổng số chấm trên 2 mặt ngửa trong 2 lần gieo bằng 10

d Mô tả biến cố: Lần gieo đầu tiên xuất hiện mặt 1 chấm

Bài 5: Từ một hộp chứa 3 quả cầu trắng ,2 quả cầu đỏ,lấy ngẫu nhiên đồng thời 2 quả cầu

a Xây dựng không gian mẫu

b Xác định các biến cố:

A: ” Hai quả cầu cùng màu trắng”; B: ” Hai quả cầu cùng màu đỏ “

C: ” Hai quả cầu cùng màu”; D: ” Hai quả cầu khác màu “

c Trong các biến cố trên ,hãy tìm các biến cố xung khắc ,các biến cố đối nhau

Bài 6: Một con súc sắc được gieo 3 lần Quan sát số chấm xuất hiện

a Xây dựng không gian mẫu

b Xác định các biến cố sau:

A: “Tổng số chấm trong ba lần gieo là 6”

B: “Số chấm trong lần gieo thứ nhất bằng tổng các số chấm của lần gieo thứ hai và thứ ba”

Bài 7: Gieo một đồng tiền,sau đó gieo một con súc sắc Quan sát sự xuất hiện mặt sấp (S),mặt ngửa

(N) của đồng tiền và số chấm xuất hiện trên con súc sắc

a Xây dựng không gian mẫu

b Xác định các biến cố sau:

A: “ Đồng tiền xuất hiện mặt sấp và con súc sắc xuất hiện mặt chẵn chấm”

B: “ Đồng tiền xuất hiện mặt ngửa và con súc sắc xuất hiện mặt lẻ chấm”

• Hai biến cố độc lập: nếu việc xảy ra biến cố này không ảnh hưởng đến việc xảy ra biến cố kia.

• Qui tắc nhân: Nếu A, B độc lập thì P(A B) = P(A) P(B)

B BÀI TẬP ÁP DỤNG

Bài 1 Trong bình có 6 viên bi kích thước khác nhau, trong đó có 4 viên bi trắng, và 2 viên bi vàng

Lấy ngẫu nhiên 3 viên bi:

a Mô tả không gian mẫu; b Mô tả biến cố: có 2 viên bi trắng

c Mô tả biến cố: có nhiều nhất 2 viên bi trắng; d Tính xác suất của các biến cố trên

Bài 2 Gieo ngẫu nhiên một đồng tiền 3 lần và quan sát sự xuất hiện mặt sấp ngửa:

a Mô tả không gian mẫu; b Mô tả biến cố: lần đầu xuất hiện mặt sấp

c Mô tả biến cố: có đúng 3 lần xuất hiện mặt ngửa; d Mô tả: có đúng 2 lần xuất hiện mặt sấp

e Mô tả biến cố: có ít nhất 1 lần xuất hiện mặt ngửa; f Tính xác suất của các biến cố trên

Bài 3 Gieo ngẫu nhiên một con súc sắc 2 lần trên mặt phẳng Tính xác suất sao cho:

a Hai lần xuất hiện đều mặt lẻ

b Tổng số chấm trên 2 mặt ngửa trong 2 lần gieo bằng 10

c Lần gieo đầu tiên xuất hiện mặt 1 chấm

Bài 4 Trong bình có 6 viên bi kích thước khác nhau, trong đó có 4 viên bi trắng, và 2 viên bi vàng

Lấy ngẫu nhiên 3 viên bi Tính xác suất sao cho trong 3 viên bi có:

a Có 2 viên bi trắng; b Có nhiều nhất 2 viên bi trắng

Bài 5 Ghi các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 lên 9 tấm phiếu như nhau, sau đó xếp thứ tự ngẫu nhiên

thành một hàng ngang Tính xác suất để được một số chẵn

Bài 6 Gieo đồng thời 2 con súc sắc Tính xác suất để:

a Tổng số chấm xuất hiện là 8 ; b Tổng số chấm xuất hiện là chẵn

Bài 7: Gieo đồng thời 3 con súc sắc Tính xác suất để:

a.Tổng số chấm xuất hiện là 8; b Tổng số chấm xuất hiện là 10

Bài 8: Cho một bát giác đều, chọn ngẫu nhiên một đường chéo của đa giác Tính xác suất để đường

chéo có độ dài nhỏ nhất

Bài 9: Công ty Tin Học cần tuyển 2 nhân viên Có 6 người nộp đơn, trong đó 4 nam và 2 nữ Giả sử

khả năng các ứng viên là như nhau Tính xác suất để:

a Người trúng tuyển là nam; b Người trúng tuyển là nữ; c Người trúng tuyển có ít nhất 2 nữ

Bài 10 Một bình đựng 3 bi xanh và 2 bi trắng Lấy ngẫu nhiên lần 1 một viên bi (không bỏ vào lại),

rồi lần 2 một viên bi Tính xác suất để lần 1 lấy một viên bi xanh, lần 2 lấy một viên bi trắng

Bài 11: Từ một hộp chứa 3 bi trắng và 2 bi đỏ, lấy ngẫu nhiên đồng thời hai bi

a) Xác định không gian mẫu

b) tính xác suất các biến cố sau: A: ”Hai bi cùng màu trắng”; B: ”Hai bi cùng màu đỏ”;

C: ”Hai bi cùng màu”; D: ”Hai bi khác màu”

Bài 12: Gieo cùng lúc 4 đồng xu cân đối đồng chất Tính xác suất của biến cố:

1 Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (α) và (β)

*Để tìm giao tuyến của 2 mặt phẳng ta cần tìm 2 điểm chung của 2 mặt phẳng

* ( α ), (β ) chứa 2 đường thẳng a//b:

* ( α ) chứa đường thẳng a // (β ):

2 Xác định giao điểm của đường thẳng a và mặt phẳng (α)

- Chọn mặt phẳng (β) chứa a

- Tìm giao tuyến của 2 mặt phẳng (α) và (β) là b

- Tìm giao điểm của a và b thì đó là giao điểm cần tìm

3 Chứng minh ba điểm thẳng hàng

4 Tìm thiết diện của hình chóp và mặt phẳng (α):

5 Chứng minh hai đường thẳng a và b song song:

B BÀI TẬP ÁP DỤNG

Bài 1: Cho hình chóp S ABCD có đáy là hình bình hành ABCD Tìm giao tuyến của các cặp mặt

phẳng sau:

a) (SAC) và (SBD); b) (SAB) và (SCD); c) (SAD) và (SBC)

Bài 2: Trong mphẳng (α ) cho tứ giác ABCD có các cặp cạnh đối không song song và điểm S∉(α)

a Xác định giao tuyến của (SAC)và (SBD)

b Xác định giao tuyến của (SAB) và (SCD)

c Xác định giao tuyến của (SAD) và (SBC)

Bài 3: Cho bốn điểm A,B,C,D không cùng thuộc một mặt phẳng

Trên các đoạn thẳng AB, AC, BD

lần lượt lấy các điểm M, N, P sao cho MN không song

song với BC Tìm giao tuyến của (BCD) và (MNP)

Bài 4: Cho tứ diện ABCD , M là một điểm bên trong tam giác ABD , N là một điểm bên trong tam

giác ACD Tìm giao tuyến của các cặp mp sau

Bài 6: Cho tứ diện SABC Gọi L, M, N lần lượt là các điểm trên các cạnh SA, SB và AC sao cho

LM không song song với AB, LN không song song với SC

a Tìm giao tuyến của mp (LMN) và (ABC)

b Tìm giao điểm I = BC ∩ (LMN) và J = SC ∩ (LMN)

c Chứng minh M , I , J thẳng hàng

Bài 7 Cho hình chóp S ABCD có đáy là một hình bình hành tâm O Gọi M và N lần lượt là trung

điểm của SA và SC Gọi (P) là mặt phẳng qua 3 điểm M,N và B

a) Tìm các giao tuyến (P) ∩ (SAB) và (P) ∩ (SBC)

b)Tìm giao điểm I của đường thẳng SO với mặt phẳng (P) và giao điểm K của đường thẳng

SD với mặt phẳng (P)

c)Xác định các giao tuyến của mặt phẳng (P) với mặt phẳng (SAD) và mặt phẳng (SDC)d)Xác định các giao điểm E, F của các đường thẳng DA,DC với (P) Chứng minh rằng E ,B ,Fthẳng hàng

Bài 8 Cho hình chóp S ABCD có đáy là hình thang đáy lớn AB Gọi I và J lần lượt là trung điểm

của SB và SC

a)Xác định giao tuyến (SAD) ∩ (SBC)

b)Tìm giao điểm của SD với mặt phẳng (AIJ)

c)Dựng thiết diện của hình chóp với mặt phẳng (AIJ)

Bài 9 Cho hình chóp SABCD có AB và CD không song song Gọi M là 1 điểm thuộc miền

trong của tam giác SCD

a Tìm giao điểm N của đường thẳng CD và mp(SBM)

b tìm giao tuyến của 2 mp(SBM) và mp(SAC)

c Tìm giao điểm P của SC và mp(ABM)

Bài 10: Cho tứ diện ABCD G ọi M,N theo thứ tự là trung điểm của AB,BC và Qlà môt điểm nằm

trên cạnh AD và P là giao điểm của CD với mặt phẳng (MNQ) Chứng minh rằng PQ//MN và

b) Tìm thiết diện của hình chóp với (BDI)

Bài 14: Cho hình chóp S ABCD có ABCD là hình bình hành ,điểm M thay đổi trên cạnh SD

a) Dựng giao tuyến (SAD) (SBC)

b) Dựng giao điểm N của SC và mặt phẳng(ABM); ABMN là hình gì ? Có thể là hbh không ?

Bài 15: Cho hình chóp S ABCD có đáy là hình bình hành ABCD Tìm giao tuyến của các cặp mặt

Bài 1: Viết 5 số hạng đầu tiên của các dãy số sau:

a

2 2

1

n

n u n

a) Viết năm số hạng đầu của dãy số;

b) Tìm công thức truy hồi ;

c) Chứng minh dãy số tăng và bị chặn dưới

Bài 7: Cho dãy số (u ) được xác định bởi công thức: n

b) Chứng minh dãy số tăng

Bài 1: Xác định cấp số cộng có công sai là 3, số hạng cuối là 12 và có tổng bằng 30

Bài 2: Cho dãy số (u n) với u n= 9 – 5n

a Viết 5 số hạng đầu tiên

=

−+26

106

4

3 5 2

u u

u u u

Tìm số hạng đầu và công sai của nó

Bài 4: Tìm cấp số cộng có 5 số hạng biết tổng là 25 và tổng các bình phương của chúng là 165 Bài 5: Tìm 3 số tạo thành một cấp số cộng biết số hạng đầu là 5 và tích số của chúng là 1140

Bài 6: Tìm chiều dài các cạnh của một tam giác vuông biết chúng tạo thành một cấp số cộng với

Tìm tổng S15 của 15 số hạng đầu tiên của cấp số cộng đó

Bài 9: Một cấp số cộng có 11 số hạng Tổng của chúng là 176 Hiệu của số hạng cuối và số hạng đầu

là 30 Tìm cấp số đó

Bài 10: cho cấp số cộng (an) có a1 = 4, d = -3 Tính a10

Bài 11: Cho cấp số cộng (un) có u3 = -15, u14 = 18 Tính tổng của 20 số hạng đầu tiên

Bài 2: Cho cấp số nhân có: u3 = 18 và u6 = -486

Tìm số hạng đầu tiên và công bội q của cấp số nhân đó

Bài 3: Tìm u1 và q của cấp số nhân biết:

723 5

2 4

u u

u u

Bài 4: Tìm u1 và q của cấp số nhân (un) có: u3=12, u5=48

Bài 5: Tìm u và q của cấp số nhân (un) biết:







=++

=++

351

136 5 4

3 2 1

u u u

u u u

Bài 6: Tìm cấp số nhân (un) biết cấp số đó có 4 số hạng có tổng bằng 360 và số hạng cuối gấp 9 lần