Phương pháp ẩn phụ giải một số PTHPT

Một số lưu ý. • Bạn cần thành thạo các kỹ năng như phân tích đa thức thành nhân tử, nhẩm nghiệm của đa thức, phương trình hay lược đồ Horner,… • Tài liệu không nhắc lại cách giải các phương trình, hệ phương trình quen thuộc như bậc nhất, bậc hai, đối xứng loại 1, loại 2 hay các phương trình chứa căn, trị tuyệt đối cơ bản. • Các bài toán được sắp xếp để thuận tiện trình bày hướng tư duy, không sắp xếp theo mức độ từ dễ đến khó. • Tài liệu tập trung vào phương pháp ẩn phụ và các phương pháp truyền thống như phương pháp thế, cộng hay bình phương hai vế; không đề cập các phương pháp khác như liên hợp, hàm số, ứng dụng casio hay đánh giá. • Ngoài các lời giải đúng, tài liệu còn trình bày một số cách làm, hướng đi... không ra kết quả.

Phương pháp ẩn phụ trong một số phương trình, hệ phương trình

 Ngoài các lời giải đúng, tài liệu còn trình bày một số cách làm, hướng đi không ra kết quả

Phần I Một số bài toán mẫu

Câu 1 Giải phương trình 2 8 10 81 2 1

Câu hỏi đặt ra là, có nên quy đồng để đưa về bậc 6 hay không?

Nhẩm nghiệm thủ công hoặc sử dụng máy tính, nhận được một nghiệm nguyên t 2, do đó

có thể (không chắc chắn) xử lí được phương trình bậc cao khi quy đồng Ta sẽ thử!

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x5

Câu 2 Giải hệ phương trình

Đây hệ đối xứng loại 1, giải được ngay a b 3

Thay lại biến được

2 2

Nhận thấy hệ số của x2 trong hai căn thức bằng nhau, nên phương trình này có thể giải bằng

cách bình phương thông thường (hệ số bằng nhau thì sẽ triệt tiêu 2

 Theo lý thuyết, cần đặt điều kiện 2

VP x x   x trước khi bình phương

Tất nhiên có thể giải BPT điều kiện trên, nếu bạn có đủ kiên nhẫn hoặc không thể nghĩ được cách nào hay hơn!

 Cách thứ 2, thay vì giải BPT dài dòng trên, ta sẽ tạm bỏ qua điều kiện và bình phương; nhưng phương trình thu được chỉ là hệ quả, không phải phương trình tương đương Do vậy sau khi ra nghiệm cuối cùng, cần thay lại nghiệm vào phương trình (hoặc điều kiện) để loại bỏ các nghiệm ngoại lai Đọc qua có vẻ dài, nhưng

chắc chắn vẫn ngắn và đơn giản hơn so với cách truyền thống Cụ thể,

2 2x    x 6 x 2 x   x 3 4 2x  x 6  x2 x  x 3

 Cách thứ 3 (không phải bài nào cũng làm được), là thử tìm điều kiện cho VP, hoặc

cho biến x (là thành phần duy nhất chưa xác định dấu) Để ý từ đề bài một chút, xét

7x 30x 36x720 vô nghiệm nên được nghiệm duy nhất x2 Bài toán được giải quyết hoàn toàn

Trở lại với phương trình 2 a b x, với

Tuy nhiên phương trình 2 ẩn này không có nhân tử chung, nên phương án này… fail

Đi đến lời giải hoàn thiện

22

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x2

Câu 5 Giải hệ phương trình 3   2

Hướng dẫn

Hệ gồm hai phương trình ở dạng đa thức không chứa căn ; hai phương pháp dễ liên tưởng

nhất là thế trực tiếp hoặc ẩn phụ để thu gọn phương trình

Nhìn thấy ngay ta có thể thế y    x2 x 7 từ phương trình 2 lên phương trình 1, nhưng sẽ dẫn đến phương trình bậc 4, có lẽ không phải phương án tối ưu Ta sẽ thử phương án đặt ẩn

phụ trước, bắt đầu bằng việc khai triển phương trình 1 (do phương trình 2 không thể phân tích thành các nhân tử) Cụ thể,

Đi đến lời giải hoàn thiện theo phương pháp này

17122

173

92

0239

y x

x y

x x x

y

x x

x y

x x x

y

x x

0932

;2

173

;1712

;2

173

Với nghiệm lẻ như thế này thì việc thế y   x2 x 7 từ phương trình thứ 2 lên phương

trình 1 chắc chắn là một phương án tệ hại ! (Tất nhiên bạn vẫn có thể thử nếu muốn!)

Câu 6 Giải hệ phương trình





 hay

17

x y

x





 để

thế xuống phương trình 2, trừ khi bạn không nghĩ được cách nào khác!

Một phương án khác là biến đổi phương trình 2 theo xy1 (vì ẩn này có ở cả 2 phương

Ngoài ra, nếu để ý tới hệ số và bậc ở hai phương trình, ta có thể nghĩ đến việc triệt tiêu ẩn y ở

cả hai phương trình và thu được

2 2

a b hpt

1212

Câu 7 Giải phương trình 2   2

pt x  x  x x  x  x  x  x 

Vấn đề tiếp theo, phương trình bậc 4 tổng quát này không có nghiệm nguyên! Một cách thủ

3x 17x 2x  2 0 x axb 3x cxd , bằng phương pháp đồng nhất thức tìm được a2; b 1; c 6; d  2

Bạn cũng có thể sử dụng hỗ trợ của máy tính để tìm được nhân tử là x22x1 hoặc

Cũng giống trường hợp có 2 căn thức ở bài số 2, 3 và 4, liên tưởng ngay đến việc sử dụng 2

Vậy phương trình có nghiệm 1 2; 3 15

x  x  x x nên bạn có thể nghĩ đến ngay việc đặt ẩn phụ dạng tổng

và tích thường thấy ở các phương trình, hệ phương trình đối xứng

Cụ thể, đặt t  x 3 x  1 0 t2 2x2 x2 2x3

Vấn đề là ngoài đại lượng x2 2x3 thì còn lượng 2x không có trong phương trình Nói

cách khác, không biến đổi hoàn toàn được phương trình theo ẩn t x 3 x1 Phương

Với những trường hợp này, cần xây dựng thêm một phương trình nữa mà thông thường chính

là một biểu thức liên hệ giữa a và b không phụ thuộc vào biến x

Đối với 2 căn thức của bài toán này, dễ dàng thấy ngay 2 2

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x2

Câu 9 Giải phương trình 5x2 14x 9 x2  x 20 5 x1

Đối với tôi thì phương án này đến đây… fail

Không tìm được cách nào khác, ta quay lại với phương pháp truyền thống: Bình phương Cụ thể, pt  5x2 14x 9 x2  x 205 x1,dk x: 5

11

pt  a  b   ab Điều tệ hại là phương trình này không ở dạng đẳng cấp, cũng

không phân tích được thành nhân tử Nói đơn giản, cách này…fail!

Chưa muốn quay lại việc bình phương, tôi sẽ thử một lần nữa do nhận thấy có thể biến đổi

Đi đến lời giải hoàn thiện theo phương pháp này :

8  

 x

Nếu cảm thấy quá phức tạp, hay phiền toái khi phải thử nhiều lần để tìm ra ẩn phụ như trên,

dĩ nhiên bạn có thể sử dụng việc bình phương ngay từ đầu Lời giải như sau :

Thay vì khai triển cụm bình phương với căn bậc 3 (tạo ra số mũ 2

3 không xử lí được), tôi sử dụng ngay phương trình đề bài để có 3x 1 3x 1 x32 (cũng là lí do ở bước trên đã

1

3 3

3 3

3 3

b a

x b a x

b

x a

x x

Dạng của hai phương trình gợi cho ta ngày việc thế ab2 2b xuống phương trình thứ 2

(vấn đề là bậc thu được khá cao) Ta sẽ thử !

Vậy phương trình có nghiệm x1; x5

Câu 12 Giải hệ phương trình

Ấn tượng đầu tiên hẳn là hệ này quá to và khó xử lí !!!

Nhìn kĩ hệ hơn một chút, tôi thấy ngay cụm

năng là ẩn phụ Điều này gợi đến một kĩ thuật đã sử dụng ở bài số 6 : chia 2 vế phương trình

1 cho y2 0 để tạo ra đại lượng x

Bước tiếp theo tôi nghĩ đến chính là khai triển phần còn lại

của phương trình 2 do nhìn nó có vẻ rắc rối nhất!

Với biến đổi này, nhận thấy ngay ẩn phụ thứ 2 là b 22 1

 , tuy nhiên tôi sẽ để nguyên dạng này

(đặt ẩn phụ không hoàn toàn) và thế a b 3 x2

x y

3 0 3

3

3

0 3

3

3

3

2 2

2 2

2 2

2 2

2

2

x

a y

x a y

x b y

x b a

y

x b a

y

x b b a b a

y

x b a

y

x b

VN x

y x

y

x y

x a

1

00

00

11

0233

y x

x x x x

x

x

Vậy, hệ có nghiệm    1;1, 2;2

Phần II Bài tập rèn luyện

Câu 13 Giải phương trình x2 9x202 3x10