Chương IV - Bài 3: Hàm số liên tục

Hàm số liên tục I... Hàm số liên tục tại một điểmII.. Hàm số y =fx đ ợc gọi là liên tục trên khoảng a,b nếu nó liên tục tại mọi điểm của khoảng đó.. Nhân xét: Hàm số y =fx đ ợc gọi là l

KiÓm tra bµi cò

2

 





§Ò bµi

a) TÝnh Lim f(x), Lim f(x)?

b) Víi gi¸ trÞ nµo cña m th× hµm sè f(x)

cã giíi h¹n khi x   2.

§¸p ¸n

x 2

x 2

(x 3)(x 2) a) ) Lim f(x) Lim 5

x 2 ) Lim f(x) Lim (mx 1) 2m 1



 



I Hàm số liên tục tại một điểm

Hàm số liên tục

2

x 1 nếu x -1 Cho hàm số f(x) = -x (C)và g(x) = (C')

x nếu x 1

có đồ thị nh hình vẽ









a) Tính giá trị của mỗi hàm số tại x=-1và so sánh với giới hạn (nếu có) của mỗi hàm số

b) Nêu nhận xét về đồ thị của mỗi hàm số khi đi qua

điểm có hoành độ x =-1

x

y

0 x

y

0

-1

-1

(C)

1 -1

(C’)

Hàm số liên tục

I Hàm số liên tục tại một điểm

Định nghĩa1:

 Hàm số y=f(x) không liên tục tại điểm x0 đ ợc gọi là gián đoạn tại

điểm đó

Xét tính của hàm số f(x) = tại điểm

x-liên t

2

Lời giải:

+) Hàm số f(x) xác định trên khoảng ch \ 2  ứa x0 = 3.

x ) Limf (x) Lim 3, f (3) 3

x 2



Vậy: Hàm số f(x) liờn tục tại x = 3



x 3

Lim f(x) f(3)

0

x x

0

Cho hàm số y= f(x) xác định trên khoảng K và x K

Hàm số y= f(x) đ ợc gọi là liên tục tại x nếu lim f(x)=f(x )





I Hàm số liên tục tại một điểm

II Hàm số liên tục trên một khoảng

Định nghĩa2:

Hàm số liên tục

Chú ý: Khái niệm hàm số liên tục trên nửa khoảng, nh (a;b],

[a;- ) , … đ ợc định nghĩa t ơng tự

Hàm số y =f(x) đ ợc gọi là liên tục trên khoảng (a,b) nếu nó liên tục tại mọi điểm của khoảng đó.

Nhân xét:

Hàm số y =f(x) đ ợc gọi là liên tục trên khoảng [a,b] nếu nó liên tục tại mọi điểm của khoảng (a,b) và Lim f(x) f(a), Lim f(x) f(b).

III Một số định lý cơ bản

Định lý1:

Hàm số liên tục

a) Hàm số đa thức liờn tục trờn toàn bộ tập xác định

b) Hàm số phõn thức hữu tỉ và cỏc hàm số lượng giỏc liờn tục trờn từng khoảng của tập xỏc định của chỳng

Định lý2:

Nếu hai hàm số y = f(x) và y = g(x) liờn tục tại x0 thỡ:

a) Cỏc hàm số y = f(x)  g(x), y = f(x).g(x) liờn tục tại x 0

f(x) Hàm số y= liên tục tại x nếu g(x ) 0

b)

Hàm số liên tục

2

nếu x 2 Cho hàm số h(x) = x 2













Ví dụ 2:

III Một số định lý cơ bản

Xột tớnh liờn tục của hàm số trờn tập xỏc định của nú.

Lời giải:

 Tập xỏc định: D = 

 Nếu x ≠ 2 thì

2 2 ( )

2







h x

x cú tập xỏc định là:

D = (- ; 2)  (2; + )

Suy ra h(x) liên tục trên (- ; 2)  (2; + )





x(x 2) Mặt khác: Lim h(x) Lim Lim x 2

x 2

 Nếu x = 2 thì h(2) =-3

Vậy hàm số khụng liờn tục tại x = 2 2



Kết luận: Hàm số liờn tục trờn (-; 2) , (2;+ ) , (2) , (2;+ ;+ ) và giỏn đoạn tại x = 2) , (2;+

Hàm số liên tục

III Một số định lý cơ bản

2) , (2;+ Trong biểu thức xác định h(x) cho ở Ví dụ 2, cần thay số -3 bằng số nào để đ ợc một hàm số liên tục trên tập số thực?

Hàm số liên tục

III Một số định lý cơ bản

Trong biểu thức xác định h(x) cho ở Ví dụ 2, cần thay số -3 bằng số nào để đ ợc một hàm số liên tục trên tập số thực?

2) , (2;+

3 Giả sử hàm số y= f(x) liên tục trên [a;b] với f(a) và f(b) trái dấu Hỏi đồ thị hàm số có cắt trục hoành tại điểm thuộc (a;b) không?

Bạn H ng trả lời: Sai

Bạn Lan trả lời: Đúng

Bạn Tuấn trả lời: Sai

Vì : y2 = x không phải là hàm số

biến x

Hàm số liên tục

Định lý3:

III Một số định lý cơ bản

Nếu hàm số y = f(x) liờn tục trờn [a;b] và f(a).f(b) < 0, thỡ tồn tại

ớt nhất một điểm c(a;b) sao cho f(c) = 0

y

a 0

f(a)

f(b)

x



Hàm số liên tục

III Một số định lý cơ bản

Định lý3:

Nếu hàm số y = f(x) liờn tục trờn [a;b] và f(a).f(b) < 0, thỡ ph ơng trình f(x) = 0 có ớt nhất một nghiệm nằm trong (a;b)

Chứng minh pt: x3 + 2x – 5 = 0 cú ớt nhất một nghiệm

 Ta có: f(1) = 13 + 2.1 – 5 = -2, f(3) = 33 + 2.3 – 5 = 28

 f(1).f(3) = (-2).28 < 0

Ví dụ 3:

Lời giải:

Hàm số f(x) = x3 + 2x – 5 là hàm đa thức nờn nú liờn tục trờn , suy ra nú liờn tục trờn [0;2] 

Vậy ph ơng trình f(x) = 0 cú ớt nhất một nghiệm x 0  (1; 3).

Hàm số liên tục

4

III Một số định lý cơ bản

Trong vớ dụ 3 , hóy tỡm hai số a, b thoả món 1< a < b < 3 sao cho phương trỡnh (1) cú nghiệm thuộc (a; b).

Ví dụ 3: Chứng minh rằng phương trỡnh: x3 +2x – 5 = 0 (1)

cú ớt nhất một nghiệm

Củng cố

nếu x 1 Cho hàm số

a+3 nếu x=1









Đề bài

Đáp án

+) Hàm số f(x) xác định trên khoảng ch ứa x0 = 1

x 3

x 1

x 1









Để hàm số f(x) liên tục tại x=1 a+3 = 1 a= -2. 