Chọn ra từ đó 4 người.. Tính xác suất để trong 4 người được chọn có nữ và có đủ 3 môn.. Chứng minh rằng:... Hay tam giác ABD đều.Từ giả thiết hai mặt phẳng SAC và SBD cùng vuông góc với
Trang 1TRƯỜNG THPT LỘC PHÁT ĐỀ THI THỬ KÌ THI THPT QUỐC GIA 2015
MÔN TOÁN Thời gian làm bài : 180 phút
Câu 1 ( 2 điểm )Cho hàm số y = -x3 + 3x2 + 1
a/ Khảo sát vẽ đồ thị (C) của hàm số
b/ Dựa vào (C) tìm m để phương trình x3 – 3x2 + m = 0 có 3 nghiệm phân biệt
Câu 2 (1 điểm)
a/ Giải phương trình
0 ) cos )(sin
cos 2 1 ( 2 cos x+ + x x− x =
b/ Giải phương trình sau đây trên tập số phức:
2
4 8
z + z= i
Câu 3 (0,5 điểm) Giải phương trình sau đây:
0 5 3 log 6 log3 x+ x − =
Câu 4 (1 điểm ) Giải hệ phương trình :
2
9
x y
¡
Câu 5 (1 điểm ) Tính tích phân:
=
+
∫1
0
6x+7
3x 2
Câu 6 (1 điểm ) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi ; hai đường chéo AC =
2 3a
,
BD = 2a và cắt nhau tại O; hai mặt phẳng (SAC) và (SBD) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD) Biết
khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng (SAB) bằng
3 4
a
, tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a
Câu 7 (1 điểm ) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hình thang cân ABCD đáy AD các đỉnh
A(0; 1), B(1;2), C(4;3).Tìm tọa độ đỉnh D
Câu 8 (1 điểm ) Trong không gian với hệ toạ độ
( , , , )O i j kr r r
, cho
OIuur = ir+ jr- kr
và mặt phẳng ( )P
có phương trình:
2 2 9 0
x- y- z- =
Viết phương trình mặt cầu
( )S
có tâm là điểm I và tiếp xúc với mặt phẳng
( )P
Trang 2
Câu 9 (0,5 điểm ) Một đội ngũ cán bộ khoa học gồm 8 nhà toán học nam, 5 nhà vật lý nữ, và 3 nhà
hóa học nữ Chọn ra từ đó 4 người Tính xác suất để trong 4 người được chọn có nữ và có đủ 3 môn
Câu 10 (1 điểm ) Cho các số dương
,
a b,c thỏa mãn điều kiện ab bc ca+ + =3.
Chứng minh rằng:
1 a b c( ) 1+ b c a( ) 1+ c a b( )≤abc
.…….hết……
TRƯỜNG THPT LỘC PHÁT ĐÁP ÁN - KÌ THI THPT QUỐC GIA 2015
MÔN TOÁN
Câu 1
b/ PT x3 – 3x2 + m = 0 ⇔
-x3 + 3x2 + 1 = m + 1
Số nghiệm pt là số giao điểm của (C) và d : y = m + 1
Để pt có 3 nghiệm phân biệt thì d cắt (C) tại 3 điểm ⇔
1 < m + 1 < 5
⇔
0 < m < 4
0,25 0,25 0,25 0,25
Câu 2
1 điểm a/cos 2x+ ( 1 + 2 cosx)(sinx− cosx) = 0 ⇔(sinx− cosx)(cosx− sinx+ 1 ) = 0
+
= +
=
+
=
⇔
=
−
=
−
⇔
= +
−
=
−
⇔
π π π π
π π π
π
2 ,
2 2
4 1
4 sin 2
0 4 sin 2 0
1 sin cos
0 cos sin
k x
k x
k x
x
x x
x
x x
0,25 0,25
b/ Đặt
2
z= +a bi Þ z = a +b Þ z =a +b
Thay vào phương trình trên ta được:
2
2
2 2
a
b b
ï
ïî
Vậy, z = –2 +2i
0,25
0,25
Trang 3Câu 3
0,5 điểm
điều kiện
≠
>
1
0
x x
(log ) 5 log 6 0 0
5 log
1 6
3 3
x x
Đặt t =log3x(t ≠0)
Ta có phương trình
=
=
⇒
= +
−
2
3 0
6 5 2
t
t t
t
với
27 3
log
3⇔ 3 = ⇔ =
t
(nhận) với
9 2
log
2⇔ 3 = ⇔ =
t
(nhận) Vậy phương trình có hai nghiệm x = 27, x = 9
0,25
0,25
Câu 4
1 điểm
Đặt
0 2 2 0
x y u
z
x y v
z
Thay vào hệ pt ta được:
( 2 2)( 2 2) ( 2 2) 2 2
3 3
9
0, 0
+ =
≥ ≥
( ) ( 3 3 )
3 3
9
0, 0
+ − − =
⇔ + =
≥ ≥
3 3
0 9
0, 0
u v
+ =
⇔ + =
≥ ≥
hoặc
3 3
3 3
7 0 9
0, 0
+ − =
+ =
≥ ≥
3 3
0 0 9
u v
=
⇔ =
+ =
hoặc
3 3
3 3
7 0 9
0, 0
u v
u v
+ − =
+ =
≥ ≥
0,25
0,25
0,25
Trang 4A
H C
O
I D
3a
a
3 3
8
2 1
1
0, 0
u
u v
v
=
=
⇔ ≥ ≥= ⇔ =
Với
2 1
u v
=
=
thì
2
1
x y
z
x y z
0,25
Câu 5
+
∫1
0
6x+7
+
∫1
0
(6x+4)+3 dx
+
∫1
0
3
3x 2
+
∫1 ∫1
3
+
∫1 ∫1
1
3x 2
2x ln 3x 2
= +2 ln5
2
0,25 0,25
0,25 0,25
Câu 6
1 điểm
Từ giả thiết AC = 2a 3; BD = 2a và AC ,BD vuông góc với nhau tại trung
điểm O của mỗi đường chéo.Ta có tam giác ABO vuông tại O và AO = a 3
; BO = a , do đó
· 600
A DB =
0,25
Trang 5Hay tam giác ABD đều.
Từ giả thiết hai mặt phẳng (SAC) và (SBD) cùng vuông góc với mặt phẳng
(ABCD) nên giao tuyến của chúng là SO ⊥ (ABCD)
Do tam giác ABD đều nên với H là trung điểm của AB, K là trung điểm của
HB ta có DH ⊥ AB và DH = a 3; OK // DH và
a
OK = DH =
⇒ OK
⊥ AB ⇒ AB ⊥ (SOK)
Gọi I là hình chiếu của O lên SK ta có OI ⊥ SK; AB ⊥ OI ⇒ OI ⊥ (SAB) ,
hay OI là khoảng cách từ O đến mặt phẳng (SAB)
Tam giác SOK vuông tại O, OI là đường cao ⇒
2
a SO
OI = OK + SO ⇒ =
Diện tích đáy
2
D S
ABC ABO
;
đường cao của hình chóp 2
a
SO =
Thể tích khối chóp S.ABCD:
3
.
S ABC ABC
a
V = S SO=
0,25
0,25
0,25
Câu 7
1 điểm
Ta có AD//BC nê phương trình đường thẳng AD: x – 3y + 3 = 0
Gọi D(3y – 3; y) thuộc đường thẳng AD nên CD =
( ) (2 )2
3y−7 + −y 3
( ) (2 )2
3y−7 + −y 3
Do ABCD là hình thang cân nên CD = AB nên
( ) (2 )2
3y−7 + −y 3
= 2
2
14
27 14
5 5 2
y
y
=
Phương trình đường thẳng AB: x – y + 1 = 0 và D,C nằm cùng phía với AB
nên 1
D D≡
0,25 0,25
0,25 0,25
Câu 8
1 điểm OI =2i +3j - 2k Þ I(2;3; 2)
Tâm của mặt cầu: I(2;3; 2)
-0,25 0,25
Trang 6 Bán kính của mặt cầu:
2 2.3 2.( 2) 9 9
3
1 ( 2) ( 2)
R =d I P = - - - - = =
+ - +
- Vậy, pt mặt cầu ( )S là:
(x a- ) +(y b- ) + -(z c) =R
(x 2) (y 3) (z 2) 9
0,25
0,25
Câu 9
0,5 điểm KGM: chọn 4 trong 16 người : n(Ω) =
4 16
C
1820 Gọi A là biến cố chọn được 4 người trong đó có nữ và có đủ 3 môn
Th1 chọn 2 T, 1 L, 1 H có
2
8.5.3
C
cách Th2 chọn 1 T, 2 L, 1 H có
2 5
8 .3 C
cách Th3 chọn 1 T, 1 L, 2 H có
2 3
8.5.C
cách n(A) =
2
8.5.3
C
+
2 5
8 .3 C
+
2 3
8.5.C
= 780
P(A) =
( ) 780 3 ( ) 1820 7
n A
Ω
0,25
0,25
Câu 10
1 điểm Áp dụng BĐT Cauchy cho 3 số dương ta có:3 2
3=ab bc ca+ + ≥3 (abc) ⇒abc≤1
Suy ra:
2
2
2
3 (1
3
) )
a b c abc a b c a ab bc c
a
a
a b c
a
≤
⇒
Tương tự ta có:
2
2
(2)
≤
≤
Cộng (1), (2) và (3) theo vế với vế ta có:
ab bc ca
+ +
.
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi
0,25
0,25
0,25
0,25
Trang 71, 3 1, ( , , 0).
abc= ab bc ca+ + = ⇒ = = =a b c a b c>