Đề thi thử THPT Quốc Gia môn Toán 2015 trường Nguyễn Viết Xuân Lâm Đồng

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị C của hàm số 2.. Biết điểm E-1;2 nằm trong đoạn thẳng AB và đỉnh B có hoành độ âm.. Tìm tọa độ các đỉnh của hình chữ nhật.. Chứng minh d2 và d3 chéo n

TRƯỜNG THPT NGUYỄN VIẾT XUÂN ĐỀ THAM KHẢO THI THPT QUỐC GIA 2015

TỔ TOÁN- TIN Môn: TOÁN

 Thời gian: 180 phút (không kể thời gian phát

đề )

Câu 1:( 2,0 điểm) Cho hàm số: y= f x( ) =x4−2x2+3

1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số

2. Dùng đồ thị (C) để tìm tất cả các số thực m sao cho phương trình − +x4 2x2+3m− =5 0 có bốn nghiệm thực phân biệt

Câu 2: (1,0 điểm)

1) Giải phương trình:2cos3x(2cos2x+1)=1

2) Giải phương trình sau trên tập số phức: z+2z= +3 4i

Câu 3: (0,5 điểm) Giải phương trình sau: 4x+ 1+2x+ 2− =3 0

Câu 4: (1 điểm) Tính tích phân sau: I=

2 5

1

(6x +x)lnxdx

∫

Câu 5: (1 điểm) Giải bất phương trình sau: 7x−13 − 3x−9 ≤ 5x−27

Câu 6: (1 điểm) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh bằng a ,tam giác SAB

cân tại S và thuộc mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng (ABC).Hai mặt phẳng (SCA) và (SCB) hợp với nhau một góc bằng 600.Tính thể tích của khối chóp S.ABC theo a

Câu 7: (1 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có đường phân

giác trong của góc ·ABC đi qua trung điểm của cạnh AD và có phương trình x y− + = 2 0; đỉnh D nằm trên đường thẳng có phương trình x+y-9=0 Biết điểm E(-1;2) nằm trong đoạn thẳng AB và đỉnh B có hoành độ âm Tìm tọa độ các đỉnh của hình chữ nhật.

Câu 8: (1 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho 3 đường thẳng 1: 2 2 1

− Chứng minh d2 và d3 chéo nhau Viết phương trình đường thẳng ∆ vuông góc với d1, cắt d2 và d3 tại hai điểm A, B sao cho AB= 3

Câu 9: (0,5 điểm) Gọi S là tập hợp tất cả số tự nhiên gồm ba chữ số phân biệt được chọn từ các

số 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7 Xác định số phần tử của S Chọn ngẫu nhiên một số từ S, tính xác suất để số được chọn là số chẵn

Câu 10 : (1 điểm) Cho các số thực dương x,y,z thỏa mãn : y2 ≥xz z; 2 ≥xy Tìm GTNN của biểu thức: P x y 2015.z

-Hết -TRƯỜNG THPT NGUYỄN VIẾT XUÂN HƯỚNG DẪN CHẤM Môn: TOÁN

TỔ TOÁN- TIN THAM KHẢO THI THPT QUỐC GIA 2015  Thời gian: 180 phút (không kể thời gian phát

đề )

Ghi chú: - Hướng dẫn chấm gồm 6 trang

- Thí sinh có thể làm cách khác không như hướng dẫn chấm, nếu đúng vẫn cho trọn điểm

Cho hàm số y= f x( ) =x4−2x2+3 (1).

1a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1).

1điểm

+) Tập xác định D= ¡

+) Đạo hàm :

3

′ = −

′ = ⇔ = ∨ = ±

0.25

+) các giới hạn : xlim→−∞y= +∞; limx→+∞y= +∞( Đồ thị không có tiệm cận) 0.25 +) Bảng biến thiên:

x −∞ −1 0 1 +∞

y′ − 0 + 0 − 0 +

y +∞ 3 +∞

2 2

Hàm số đồng biến trên (−1;0 ; 1;) ( +∞), nghịch biến trên (−∞ −; 1 ; 0;1) ( ) Cực

đại ( )0;3 , cực tiểu

0.25

+) Đồ thị :

0.25

2 Dùng đồ thị (C) để tìm tất cả các số thực m sao cho phương

trình − +x4 2x2+3m− =5 0 có bốn nghiệm thực phân biệt

1 điểm ( )

4 2 2 3 5 0 4 2 2 3 3 2 *

(*) là phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị (C) và đường thẳng

d y= m−

Số giao điểm của đồ thị (C) và đường thẳng d là số nghiệm của phương

0.5

trình (*)

+) Để (*) có bốn nghiệm phân biệt thì (C) cắt d tại 4 điểm phân biệt

⇔ < − < ⇔ < <

0.5

2

2a) Giải phương trình 2cos3x(2cos2x+1)=1.(1) 0.5điểm

PT⇔ 2cos3x(4cos2 x−1)=1⇔ 2cos3x(3−4sin2x)=1 0.25đ Nhận xét x=kπ,k∈Zkhông là nghiệm của phương trình đã cho nên ta có:

1 ) sin 4 3 ( 3

cos

2 x − 2 x = ⇔ 2cos3x(3sinx−4sin3 x)=sinx

⇔ 2cos3xsin3x=sinx ⇔ sin6x sin= x

0.25đ

⇔ 66x x==πx+−m x2+πm2π ⇔













+

=

=

7

2 7

5 2

π π

π

m x

m x

Xét khi =

5

2mπ

π

k ⇔2m=5k⇔m= 5t , t∈Z

Xét khi

7

2 7

π

π + m =kπ ⇔1+2m=7k⇔k=2(m-3k)+1 hay k=2l+1& m=7l+3,

Z

l∈

Vậy phương trình có nghiệm:

5

2mπ

x= (m 5≠ t);

7

2 7

π

x= + (m≠ 7l+ 3) trong

đó m,t,l∈Z

0.25đ

2b) Giải phương trình sau trên tập số phức: z+2z= +3 4i 0.5 Đặt z a bi a b= + ( , ∈¡ ) ⇒ = −z a bi

Phương trình trở thành 3a bi− = +3 4i

0.25

Vậy z= −1 4i

0,25đ

3

Giải phương trình 1 2

4.4x 4.2x 3 0 4.2 x 4.2x 3 0

Đặt t=2x (t>0)

1 ( ) 2 3 ( ) 2

t t

=

−

=









0,25

x

t= ⇔ = ⇔ = −x

0.25

Tính tích phân

2 5

1

Đặt 5 2

6

1 ln

(6 +2x)dx

2

du dx x

x



0,25

2

1 1

x

ln (x + )dx

x

I =x +  x −

2

1

66ln 2

45 66ln 2

4

5

Giải bất phương trình sau: 7x−13− 3x−9 ≤ 5x−27

1điểm

Điều kiện: x ≥275

Bất phương trình đã cho tương đương với:











− +

−

≤

−

≥

9 3 27 5

13 7

5 27

x x

x

x

0,25

27 5

x

 ≥



⇔ 

27 5

x

 ≥



⇔ 

2

27

23 5

59

59 458 443 0

x

x

+





0.25

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh bằng a ,tam giác SAB

cân tại S và thuộc mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng (ABC).Hai mặt phẳng

(SCA) và (SCB) hợp với nhau một góc bằng 600.Tính thể tích của khối chóp

S.ABC theo a

1 điểm

6

Gọi H là trung điểm của AB⇒SH⊥AB⇒SH⊥(ABC) 0.25

Kẻ AK SC⊥ ⇒SC⊥(AKB) ⇒SC⊥KB

(SAC ; SBC) ( ) (KA; KB) 600

⇒ = = ⇒ ∠AKB 60= 0∨ ∠AKB 120= 0

Nếu ⇒ ∠AKB 60= 0 thì dễ thấy ∆KABđều ⇒ KA KB AB AC = = = (vơ lí) Vậy

0

AKB 120

0.25

∆ΚΑΒcân tại K⇒ ∠AKH 60= 0 0

KH tan 60 2 3

Trong ∆SHC vuơng tại H,đường cao

KH cĩ 1 2 12 12

KH = HC +HS thay KH a

2 3

= và HC a 3

2

= vào ta được

a 6

SH

8

=

0.25

7

Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD cĩ đường phân

giác trong của gĩc ·ABC đi qua trung điểm của cạnh AD và cĩ phương trình

− + = 2 0

x y ; đỉnh D nằm trên đường thẳng cĩ phương trình x+y-9=0 Biết

điểm E(-1;2) nằm trong đoạn thẳng AB và đỉnh B cĩ hồnh độ âm Tìm tọa độ

các đỉnh của hình chữ nhật

1 điểm

4

2

5

E' O B

A

C

D M

E



0 0

Gọi '( ; ) là điểm đối xứng của E qua phân giác ta có hệ

, '(0;1)

E x y

E

0.25

Gọi B(t; t+2), t < 0,do ABCD là hình chữ nhật và E nằm trong đoạn AB

nên E' nằm trên đoạn BC BE BE'

1 1 0 1 do t<0 hay B(-1;1)

phương trình đường thẳng BE là x=-1, pt của đt BE

' là y=1

0.25

− − + − + = ⇔ − + =

Gọi A(-1;a),a 2 và D(d;9-d) ta có tọa độ trung điểm của AD là

0.25

⇔ + − =

⇒

9 0 (2) Từ (1) và (2) ta có a=4 và d=5 hay A(-1;4) và D(5;4) C(5;1)

8 Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho 3 đường thẳng

1

:

− Chứng minh d2 và

d3 chéo nhau Viết phương trình đường thẳng ∆ vuơng gĩc với d1, cắt d2 và d3

tại hai điểm A, B sao cho AB= 3

= +







=





 = +



uur

uur

1 : 1 2 , đi qua M 1; 1;0 và có vtcp 1;2;1 ;

' : 1 ' , đi qua M 0;1;2 và có vtcp 1;1;2

2 2 '

z t

x t

0.25

uuuuuuur uur uur uuuuuuur uur uur

M M 1;2;2 ; , 3; 3;3 ;M M , 3 0

nên d và d chéo nhau

∆

uuur

uuur

1

Giả sử A(1+t;-1+2t;t) và B(-t';1+t';2+2t') ' 1;2 ' 2; 2 ' 2

là vtcp của ,

do d nên 2 ' 1 2 ' 2 2 2 ' 2 0

' 2 , 3 1; 2; 3 2

Mặt khác, BA=3 nên 3 1 2 3 2

=



⇔ 2+ = ⇔  = −

9 0

1

t

t

0.25

−

∆

uuur uuur

1

Với t=0 ta có A(1;-1;0); 1; 2; 2 Ptct của :

Với t=-1 ta có A(0;-3;-1); 2; 2;1 Ptct của :

1 Vậy có hai đường thẳng thỏa mãn bài toán đó là :

1

BA

BA

2

:

0.25

Gọi S là tập hợp tất cả số tự nhiên gồm ba chữ số phân biệt được chọn từ các

số 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7 Xác định số phần tử của S Chọn ngẫu nhiên một số từ S, 0,5 điểm

tính xác suất để số được chọn là số chẵn

Số các số tự nhiên chẵn có trong S là : 3.6.5=90

0.25

Số phần tử của S là : 5.6.7=210

10

Cho các số thực dương x,y,z thỏa mãn : y2 ≥xz z; 2≥xy Tìm GTNN của biểu

thức: P x y 2015.z

1 điểm

P

+ + + , đặt a= y x;b= z y;c= x z , kết hợp với điều kiện ta có

≥ ≥ > ≥ >

P

0,25

c

1

P

c

+

0.25

F(t) là hàm nghịch biến trên

t

t

+

+

0.25

2017 minP

2

0.25