Đề thi thử THPT Quốc Gia môn Toán 2015 trường Bùi Thị Xuân Lâm Đồng

a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị C của hàm số.. Hình chiếu vuông góc của A' trên mặt phẳng ABC trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.. Góc giữa cạnh bên và mặt phẳng AB

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO LÂM ĐỒNG

TRƯỜNG THPT BÙI THỊ XUÂN

(Đề thi gồm có 01 trang)

ĐỀ THI THỬ THPT QUỐC GIA VÀ TUYỂN SINH ĐẠI HỌC CAO ĐẲNG (2014 - 2015)

Môn thi: TOÁN

Thời gian làm bài: 180 phút (Không kể thời gian phát đề)

Câu 1: (2,0 điểm) Cho hàm số y=x3- 3x2+2 có đồ thị ( )C

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( )C của hàm số.

b) Tìm m để đường thằng ( )d y: =mx+2 cắt đồ thị ( )C tại ba điểm phân biệt.

Câu 2: (1,0 điểm)

a) Giải phương trình sinx- 1 cos= 2x

b) Gọi z z là hai nghiệm của phương trình -1, 2 z2 2z+ =2 0 trên tập số phức

Tìm mođun của số phức : w=(z1- 1)2015+(z2- 1)2016

Câu 3: (0,5 điểm) Giải phương trình log2 35x - 20.log5 x + 1 = 0 trên tập hợp số thực

Câu 4: (1,0 điểm) Giải hệ phương trình ìïï + + = - + +

ïïí

ïï - = -ïïî

x

Câu 5: (1,0 điểm) Tính tích phân

p

/ 2

0 (2015 ).cos d

Câu 6: (1,0 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho bốn điểm A(- 1;1;2 , B 1;0;1 , ) ( )

C(- 1;1;0 và) D 2; 1; 2 ( - - )

a) Viết phương trình mặt phẳng ( P ) đi qua ba điểm B, C, D

b) Viết phương trình mặt cầu ( )S có tâm A và tiếp xúc với mặt phẳng ( )P

Câu 7: (1,0 điểm) Cho hình lăng trụ ABC A B C ' ' 'có đáy ABC là tam giác đều cạnh a Hình chiếu

vuông góc của A' trên mặt phẳng (ABC trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ) ABC Góc giữa cạnh bên và mặt phẳng (ABC bằng 60) 0 Tính theo a thể tích khối lăng trụ ABC A B C ' ' ' và khoảng

cách giữa hai đường thẳngAA' với BC

Câu 8: (0,5 điểm) Cho 10 bông hồng trắng và 7 bông hồng nhung khác nhau Tính xác suất để lấy được 5

bông hồng trong đó có ít nhất 3 bông hồng nhung

Câu 9: (1,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình thoi ABCD với AC có phương trình là:

+7 - 31 0=

x y , hai đỉnh B,C lần lượt thuộc đường thẳng d x y1:   8 0; d x2:  2y 3 0 Tìm tọa độ

các đỉnh của hình thoi biết rằng diện tích hình thoi bằng 75 và đỉnh A có hoành độ âm.

Câu 10:(1,0 điểm) Cho , ,a b c là các số thực dương thỏa mãn + + = 1

2

a b c Tìm giá trị lớn nhất của

biểu thức =(1- )(1- ) (+ 1- )(1- ) (+ 1- )(1- )

P

-Hết -Họ tên thí sinh:……… ; Giám thị 1: Ký tên:

Số báo danh:………… ; Giám thị 2: Ký tên:

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO LÂM ĐỒNG

TRƯỜNG THPT BÙI THỊ XUÂN

ĐỀ THI THỬ THPT QUỐC GIA VÀ TUYỂN SINH ĐẠI HỌC CAO ĐẲNG (2014 - 2015)

Mơn thi: TỐN

HƯỚNG DẪN CHẤM ( Đáp án gồm có 06 trang)

L u ý: D i đây ch là m t trong nh ng cách gi i, n u thí sinh làm cách khác đúng thì v n cho đi m t ng ng.' '( ) * + ải, nếu thí sinh làm cách khác đúng thì vẫn cho điểm tương ứng ếu thí sinh làm cách khác đúng thì vẫn cho điểm tương ứng ẫn cho điểm tương ứng ểm tương ứng 'ơng ứng ứng

Câu 1:

(2 điểm)

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số = y x3- 3x2+2 1 điểm +) TXĐ: D= ¡

Sự biến thiên:

+) Giới hạn: lim®- ¥ = - ¥; lim®+¥ = +¥

0.25

+) Chiều biến thiên:

ê

ê

x = 2

' = 3x 6x ; y' = 0

y

Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng (-¥ ; 0) và (2; +¥ ),

hàm số nghịch biến trên(0; 2)

Hàm số đạt cực đại tại x = 0, y CĐ = 2; hàm số đạt cực tiểu tại x = 2, y CT = - 2

0.25

+) Bảng biến thiên

0.25

+) Đồ thị

4

2

-2

-4

y

x

0.25

b)Tìm m để đường thằng ( )d y: =mx+2 cắt đồ thị ( )C tại ba điểm phân biệt

1điểm +) Phương trình hồnh độ giao điểm của hai đường

+) Û x x( 2- 3x m- ) =0 é =ê

0

x

+) (d) cắt (C) tại 3 điểm phân biệt khi và chỉ khi phương trình g(x)=0 cĩ hai

nghiệm số phân biệt khác 0

0.25

+)

ìï ¹

ïD > ï >

0 (0) 0

9 0

4

m g

Giải phương trình: sinx- 1 cos= 2x

0,5 điểm

x

'

y

y



2









2

Câu 2:

(1 điểm)

0.25

+) (sinx- 1) (+ sinx- 1 sin)( x+ = Û1) 0 (sinx- 1 sin)( x+2) =0

2

0.25

2

Gọi z z là hai nghiệm của phương trình -1, 2 z2 2z+ =2 0 trên tập số phức

Tìm mođun của số phức : w=(z1- 1)2015+(z2- 1)2016. 0,5 điểm

+) z2- 2z+ =2 0.Có D = -, 1 2= - =1 i2

0.25

+) Giải phương trình ta được nghiệm là é = -ê

ê = + ê

1

2

1 1

+) Thay vào w ta được w= -( )i 2015+i2016 = +1 i

+) Vậy w = 2

Câu 3

(0,5

điểm)

Giải phương trình 2 3

logx - 20.log x + 1 = 0 trên tập hợp số thực. 0,5 điểm

9log - 10log + 1=0x x

0.25

9

+) t= Þ1 log5x= Û1 x=5

0.25

1 9 5

Câu 4

(1 điểm)

( )

ïïí

ïï - = -ïïî

2

x

1 điểm

+) ĐK:

ìï ¹ ïï

ï é

ï ê

í ³

-ï ê

ï ê

ï £

-ï ê î

0 1 2 1

x x x

(*)

( )2 Û e x+ =x e y+y

Xét f t( ) =e t +t có f t/( ) =e t + > "1 0, t ; nên từ (2) ta có x=y

Từ (1), ta có 2x2+3x+ = -1 4x+ +1 3

x

0.25

+) Nếu x> 0 thì phương trình tương đương với 2+ +3 12 = - + +4 3 12

Đặt =t 2+ +3 12 (t³ 0)

0.25

Phương trình (1) trở thành ìï ³ïï

íï = -ïïî 2

0

3 6

t

t

+) Với t= 3, ta có

ê = ê ê

-ê = ê

2 2

3 37( )

3 37( ) 14

+) Nếu x< 0 thì phương trình tương đương với 2+ +3 12 = -4 3- 12

Đặt =t 2+ +3 12

x x , ³(t 0) Phương trình ( )2 trở thành ìï ³ïï

íï =

0

2 6

t

t

Với t= 2, ta có

ê = ê ê

-ê = ê

2 2

3 17( )

3 17( ) 4

0.25

+) Kết hợp với điều kiện (*) suy ra hệ phương trình đã cho có hai nghiệm là:

3 37 3; 37

3 17 3; 17

0.25

Câu 5:

(1 điểm

Tính tích phân

p

/ 2

0 (2015 ).cos d

I x x x 1 điểm

+) Đặt: ìï =ïíï = +

ïî

2015 cos

+)

p

/ 2 0

(2015 ).cos d (2015 ).sin sin

+) = + p/ 2+ p/ 2

(2015 ).sin cos

+) Kết quả: p

=2014+

2

Câu 6:

(1 điểm)

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho bốn điểm A(- 1;1;2 , B 1;0;1 , ) ( )

C 1;1;0 v  D 2; 1; 2 à

1 điểm

a) Viết phương trình mặt phẳng ( P ) đi qua ba điểm B, C và D 0,5 điểm

+) BCuuur = -( 2 ;1 ; 1  - ) , BDuuur=(1; 1; 3- - )

Véc tơ pháp tuyến của (P) là =éê ùú= -( - )

ur uuur uuur

, D 4; 7;1

0,25

+) Phương trình mặt phẳng (P): - 4 x 1( - )- 7 y 0( - ) (+ - z 1) =0

Vậy phương trình mặt phẳng (P) : 4x+7y z 3- - = 0 0,25

b) Viết phương trình mặt cầu (S) tâm A, tiếp xúc với mặt phẳng (P). 0,5 điểm

+) Bán kính = ( ( ) ) = - + - - =

+ +

4.( 1) 7 2 3 2

R d A, P

66

+) Phương trình mặt cầu (S): (x 1+ ) (2+ y 1- ) (2+ -z 2)2= 2

Câu 7:

(1 điểm)

Cho hình lăng trụ ABC A B C ' ' 'có đáy ABC là tam giác đều cạnh a Hình chiếu

vuông góc của A' trên mặt phẳng (ABC) trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp tam

giác ABC Góc giữa cạnh bên và mặt phẳng (ABC) bằng 60 0 Tính theo a thể tích

khối lăng trụ ABC A B C ' ' ' và khoảng cách giữa hai đường thẳng AA' với BC.

1 điểm

H

B

B'

+) Gọi H là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác đều ABCÞ A H' ^(ABC )

+) HA là hình chiếu A’A trên mặt phẳng (ABC) nên

ëA'A, ABC û A'A,AH A'AH 600

025

+ ) = 2 3, =2 3 = 3; ' = 3 3=

ABC

+) V ABC A B C. ' ' ' =S ABC 'A H = 3 3

4

a

(đvtt)

025

+) AA ’ //(BB ’ C ’ C) Þ ( ) = ( ) = ' ' ' = ' ' '

' ' ' '

+) Chứng minh BC ^AH BC, ^A H' Þ BC ^AA'Þ BC ^BB'

025

+) Þ ' " = =

2

3

BB C C

a

+) Vậy ( ', ) =3

4

a

d AA BC

025

Câu 8

(0,5

điểm

Cho 10 bông hồng trắng và 7 bông hồng nhung khác nhau Tính xác suất để lấy

+) Để lấy được ít nhất 3 bông hồng nhung trong 5 bông hồng ta có các TH sau:

TH1: 3 bông hồng nhung, 2 bông hồng trắng có: 3 2 =

7 10 1575

C C cách

0.25 +) TH2: 4 bông hồng nhung, 1 bông hồng trắng có: 4 1 =

7 10 350

TH3: 5 bông hồng nhung có: 5=

7 21

C cách +) Þ có 1575 + 350 + 21 = 1946 cách

0.25

+) Số cách lấy 4 bông hồng thường 5 =

17 6188

C Þ =1946» 31,45%

6188

P

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hình thoi ABCD với AC có phương trình là:

+7 - 31 0=

x y , hai đỉnh B,C lần lượt thuộc đường thẳng d x y1: + - 8=0;

d x- y + = Tìm tọa độ các đỉnh của hình thoi biết rằng diện tích hình thoi

bằng 75 và đỉnh A có hoành độ âm

1 điểm

Câu 9

(1 điểm)

+) B thuộc d1Þ B t( 1;8- t và D thuộc 1) d2Þ D t(22- 3;t2)

(22 1 3; 2 1 8)

-+) Do BD vuông góc AC suy ra:

( ) ( )

2 1

1;7

13 8 13 1

BD cuøng phöông n

0.25

+) Khi đó trung điểm I của BD : æçç + - - + ÷ö÷

÷

1 22 3 8 1 2

;

I

+) I thuộc d : Û + - + æçç - + ÷ö÷- =

÷

Û 9t2- 6t1= Û9 3t2- 2t1=3

ì

+) Từ đó suy ra : =5 2;uuur=( ) ( )1;7 Þ : = - 8Û 7 - + =8 0

0.25

+) Gọi C thuộc AC

Þ = 31 7 ;- Û êë; úû= 7 31 7 8 = 5 9 2

+) Từ giả thiết :

=2 =21 C;BDêë úû=5 2 5 9 2- =75Û 9 2- =3

é

é - = - ê= ® = -ê

Û ê -ê = Û êêë= Þ =

0.25

+) Mặt khác A dối xứng với B qua I cho nên ta tìm được tọa độ A

Với C(-11;6 ) và = -æçç ö÷÷Þ =( )

÷

çè ø

2

I A ( loại vì A có hoành độ âm ).

Với C(10;3 ) 1;3

2

I = -æççç ö÷÷÷

÷

çè ø thì A= - 11;3( ) ( chọn )

+) Vậy các đỉnh hình thoi thỏa mãn là A(-11;3), B(0;8), C(10;3) và D(-1;1)

0.25

A

B

C

D

x+7y-31=0 x+y-8=0

x-2y+3=0

I

Câu 10

(1 điểm)

Cho , ,a b c là các số thực dương thỏa mãn + + = 1

2

a b c Tìm giá trị lớn nhất biểu thức =(1- )(1- ) (+ 1- )(1- ) (+ 1- )(1- )

P

1 điểm

+) Ta có æ öç ÷

÷

Î çç ÷÷

çè ø

1 , , 0;

2

a b c ; Đặt x= -a 1,y= -b 1,z= -c 1

Từ điều kiện suy ra æç ö÷

÷

Î - -çç ÷÷

1 , , 1;

2

2

x y z+ + =

-0.25

+) Áp dụng Cô si cho 3 số dương - x y z,- ,- , ta có

6

Mặt khác (1- a)(1- b) (= a- 1)(b- 1) =ab a b- - +1

2

-Do đó:

2

c

xy

-Tương tự: (1 )(1 ) 1 22 3;(1 )(1 ) 1 22 3

-0.25

2

P

Xeùt

2x 3 2y 3 2z 3

Q

2

Q

2 2 2 3

2

x y z Q

xyz

-³

0.25

6

t= xyz tÎ -éêê ö÷÷÷÷

ø

ë , ta có

2 3

12 15 2

t Q

t

-³

Xét hàm số ( ) 2 3

12 15 2

t

g t

t

6

tÎ -éêê ö÷÷÷÷

ø ë

4

6 2

t

t

= > " Î -ê ÷÷

ø ë Suy ra g t là hàm đồng biến với mọi ( ) 5;0

6

tÎ -éêê ö÷÷÷÷

ø ë Suy ra Q³ g t( ) ³ gæ öççç- 56÷÷÷÷=14425

çè ø Suy ra 3 72 3

25 25

max

25

x= = = -y z Û a= = = b c

0,25