Tính thể tích lăng trụ ABC.A'B'C' và khoảng cách từ đường thẳng BC đến mặt phẳng AB C theo a.. Xác định tọa độ các đỉnh hình thoi ABCD biết điểm C có hoành độ âm.. Tìm giá trị nhỏ nhất
Trang 1SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
LÂM ĐỒNG
TRƯỜNG THPTNGUYỄN THÁI BÌNH
ĐỀ THI THỬ THPT QUỐC GIA NĂM HỌC
2014-2015 Môn thi: Toán
Thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian phát đề)
Câu 1 (2,0 điểm) Cho hàm số y= − +x3 3x2−4
a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho
b) Dựa vào đồ thị (C) biện luận số nghiệm phương trình x3 − 3x2 + =m 0
Câu 2 (1,0 điểm) Giải bất phương trình: 1
2
3 1
2
x x
−
≤ −
− + ÷
Câu 3 (1,0 điểm)
a) Tính môđun của số phức z= −(1 2 )(2i +i)2
b) Tìm hệ số của x10 trong khai triển biểu thức
10
3 1
x x
+
Câu 4 (1,0 điểm) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = ex , y = e- x và x = 1
Câu 5 (1,0 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng ( ) : 2P x− 2y z+ + = 1 0
và đường thẳng d:
1 3 2 1
= +
= −
= +
Tìm tọa độ điểm M trên đường thẳng d sao cho khoảng cách từ
M đến mặt phẳng (P) bằng 3
Câu 6 (1,0 điểm) Cho lăng trụ đứng ABC A B C có đáy là tam giác cân, AB AC a ' ' ' = = ,
BAC= Mặt phẳng (AB'C') tạo với mặt đáy góc 600 Tính thể tích lăng trụ ABC.A'B'C' và khoảng cách từ đường thẳng BC đến mặt phẳng ( AB C theo a ' ')
Câu 7 (1,0 điểm) Trong mặt phẳng Oxy, cho hình thoi ABCD có đường chéo AC nằm trên
đường thẳng d x y: + − = 1 0 Điểm E( )9;4 nằm trên đường thẳng chứa cạnh AB, điểm
( 2; 5)
F − − nằm trên đường thẳng chứa cạnh AD, AC =2 2 Xác định tọa độ các đỉnh hình thoi
ABCD biết điểm C có hoành độ âm.
Câu 8 (1,0 điểm) Giải bất phương trình x+ 1 −x2 ≥ 2 3 − x− 4 x2
Câu 9 (1,0 điểm)
Giả sử a, b, c là các số thực dương thỏa mãn a b c+ + = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
2
3 ( ) 4
HẾT
-1
Trang 2SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
LÂM ĐỒNG
TRƯỜNG THPT NGUYỄN THÁI BÌNH
HƯỚNG DẪN CHẤM THI THỬ THPT QUỐC GIA NĂM HỌC 2014-2015
Môn thi: Toán
1.a Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số y= − +x3 3x2−4 (C) 1,0
• Tập xác định: D R=
• Giới hạn: xlim→−∞y= +∞; lim
x y
→+∞ = −∞
• Sự biến thiên:
2
y′ = − x + x
′ = ⇔ − + = ⇔ ⇔
0,25
Hàm số đồng biến trong khoảng ( )0; 2 Hàm số nghịch biến trong khoảng (−∞;0) và (2;+∞). Hàm số đạt cực đại tại x=2;y CD =0
Hàm số đạt cực tiểu tại x=0;y CT = −4
0,25
• Bảng biến thiên:
0,25
• Đồ thị:
* Giao điểm của đồ thị với trục Oy là (0 ; 4)
* Giao điểm của đồ thị với trục Ox là (-1 ; 0) và (2 ; 0)
* Điểm uốn: I(1; 2)−
0,25
1.b Biện luận số nghiệm phương trình x3−3x2+ =m 0 (1) 1,0
x
y’
y
0 2
x y’
y
́t5 hoành độ giao điểm kkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkk 0 2
- 0 + 0 -
-4 +∞
Trang 3* Ta có: x3−3x2+ =m 0
3 2
3 2
3
Đây là phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị (C) và đường thẳng
y = m – 4 Số giao điểm chính là số nghiệm phương trình (1)
0,25
• m m− < −44 04⇔m m<04
− > >
Có một giao điểm Phương trình (1) có một nghiệm. 0,25
• m m− = −44 04⇔m m=04
Có hai giao điểm Phương trình (1) có hai nghiệm. 0.25
• − < − < ⇔ < < 4 m 4 0 0 m 4 Có ba giao điểm Phương trình (1) có ba nghiệm 0.25
2
Giải bất phương trình: 1
2
3 1
2
x x
−
≤ −
− + ÷
3
1 0 2
1
3 > ⇔ < <
+
−
−
x x
x
0.25
* Ta có: 1
2
3 1
2
x x
−
≤ −
− + ÷
3 1
2 2
x x
−
5 5
2
x
x x
−
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: S =[1; 2) 0.25
(1 2 )(2 )
(1 2 )(2 ) (1 2 )(4 4 ) (1 2 )(3 4 ) 3 4 6 8 11 2
z= − i +i = − i + +i i = − i + i = + − −i i i = − i 0,25
3b
Tìm hệ số của x10 trong khai triển biểu thức
10
3 1
x x
+
Hạng tử thứ k + 1 trong khai triển biểu thức
10
3 1
x x
+
là
1
k
x
− = ÷ − ≤ ≤ ∈
0,25
Số hạng chứa x10 ứng với 30-4k=10, khi đó k=5
Vậy hệ số của x10 là 5
10 252
4 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = ex , y = e- x và x = 1 1,0
Ta có
1 0
x x
Ta có
1 0 ( x x)
3
Trang 42
e
e
Ta có d(M,(P)) = 3 ⇔ 2(1 3 ) 2(2 ) 1 1 3
3
Suy ra, có hai điểm thỏa bài toán là M1(4, 1, 2) và M2( – 2, 3, 0) 0,25
+ Xác định góc giữa (AB'C') và mặt đáy là ·AKA ' ⇒·AKA' 60= 0
Tính A'K = 1 ' '
a
' ' tan 60
2
a
0,25
3 ' ' '
3
=AA'.S
8
ABC A B C ABC
a
Vì BC//(AB’C’) nên d(BC;(AB'C'))= d(B;(AB'C')) = d(A';(AB'C'))
Chứng minh: (AA'K) ⊥ (AB'C') do B C' '⊥ AK và B C' '⊥AA'
Trong mặt phẳng (AA'K) dựng A'H vuông góc với AK ⇒ A'H ⊥ (AB'C')
⇒ d(A';(AB'C')) = A'H
0,25
Tính: A'H = 3
4
a
Vậy d(B;(AB'C')) = 3
4
a
0,25
+) Gọi E’ là điểm đối xứng với E qua AC
⇒ E’ thuộc AD
Vì EE’ vuông góc với AC và qua điểm E( )9;4
⇒ phương trình EE’: x y− − = 5 0
Gọi I = AC∩EE’, tọa độ I
I
+ − = = −
0,25
Vì I là trung điểm của EE’ ⇒E'( 3; 8) − −
AD qua E'( 3; 8) − − và F( 2; 5) − − ⇒ phương trình AD: 3x y− + = 1 0
0,25
H K
C' B'
A'
C B
A
Trang 5A AC= ∩AD⇒A Giả sử C c( ;1 −c)
Vì AC= 2 2 ⇔c2 = ⇔ = 4 c 2;c= − 2 ⇒C( 2;3) − 0,25
Gọi J là trung điểm AC ⇒ J( 1; 2) − ⇒ phương trình BD: x y− + = 3 0
Do D= AD∩BD⇒D(1; 4) ⇒ −B( 3;0) Vậy A(0;1), B( 3;0), ( 2;3), (1; 4) − C − D 0,25
Điều kiện: 2
2
3 41
8
x
≥
− +
Bất phương trình đã cho tương đương với
x+ − + 1 x2 2 x(1 −x2) ≥ − 2 3x− 4x2 ⇔ 3(x2 + − − +x) (1 x) 2 (x x+ 2 )(1 −x) 0 ≥ 0,25
2
5 34
9
x
x
− +
≥
≤
0,25
Kết hợp điều kiện (*), ta suy ra nghiệm của bất phương trình là
.
9 Giả sử a, b, c là các số thực dương thỏa mãn a b c+ + = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của
biểu thức
2
3( ) 4
Áp dụng bất đẳng thức Côsi, ta có
4 5
4
4
Suy ra
2
b c c a
2 2
2
.
4
0,25
Vì a b c+ + = ⇔ + = − 1 a b 1 c nên
2
c
+
0,25
Xét hàm số
2
2
c
+
với c∈(0; 1).
0,25
5
Trang 6( 3) 1
'( ) 0 ( 1) 64 (3 3) 0
3
f c = ⇔ −c − c+ = ⇔ =c
Bảng biến thiên:
Dựa vào bảng biến thiên ta có f c( )≥ −19 với mọi c∈(0; 1).
(2)
Từ (1) và (2) suy ra P≥ −19, dấu đẳng thức xảy ra khi a b c= = =13.
Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 1,
9
− đạt khi 1.
3
a b c= = =
0,25
HẾT
( )
f c
'( )
f c
c
–
1 9
−
