RÊt mong c¸c ý kiÕn ®ãng gãp cña c¸c ®ång chÝ, ®ång nghiÖp, cña Héi ®ång khoa häc huyÖn ®Ó s¸ng kiÕn kinh nghiÖm cña t«i cã thÓ trë thµnh mét tµi liÖu tham kh¶o cho gi¸o viªn bËc THCS tr[r]
Trang 1Mục lục
2.3 Các biện pháp đã tiến hành để giải quyết vấn đề 10
Trang 21 Đặt vấn đề
1.1 Hiện tợng trong trong thực tiễn giảng dạy, giáo dục, công tác đã chọn
để viết sáng kiến kinh nghiệm
Bản thân là một giáo viên giảng dạy môn toán đã đợc công tác ở nhiều trờng khác nhau của huyện tôi nhận thấy : Rất nhiều em học sinh gặp khó khăn trong việc lĩnh hội các kiến thức về giải các bài toán hình học trong trờng hợp để giải đợc ngời
giải phải dựng thêm hình
Để giải các bài toán dạng phải dựng thêm hình học sinh dù có nắm vững kiến thức vẫn cha thể giải đợc mà nó còn đòi hỏi học sinh cần có một kỹ năng giải toán nhất định, có sự sáng tạo nhất định Trong khi đó đối tợng học sinh nói chung đều là học sinh có lực học trung bình
1.2 ý nghĩa và tác dụng của việc dựng thêm hình trong công tác giảng dạy, giáo dục
Việc dựng thêm hình giúp ngời giải nói chung và học sinh nói riêng đa bài toán
từ dạng cha nhận ra về dạng quen thuộc
Dựng thêm hình để giải một bài toán hình về mặt phơng pháp là một biểu hiện ở mức độ cao của kỹ năng, thể hiện các tình huống hình học phù hợp với một định nghĩa, định lý nào đó hay còn gọi là quy lạ về quen ở đó khoảng cách từ lạ đến quen càng xa thì mức độ sáng tạo cần càng lớn Do đó việc học tốt các bài toán hình có lời giải phải dựng thêm hình có tác dụng rất lớn trong việc phát triển năng lực trí tuệ và t duy khoa học của học sinh
Đặc biệt việc các em giải đợc bài toán này chắc chắn sẽ yêu thích môn học hơn, thích tìm tòi khám phá hơn còn đối với giáo viên thì cảm thấy mình đã làm đợc một một điều mà từ trớc đến nay vẫn gặp khó khăn Hơn nữa nó còn giúp mọi giáo viên có thể đa ra các biện pháp để phụ đạo học sinh yếu và bồi dỡng học sinh giỏi ở các khối lớp
1.3 Những mâu thuẫn giữa thực trạng với yêu cầu mới đòi hỏi phải đợc giải quyết
Giải bài toán hình học phải dựng thêm hình đòi hỏi phải thực hiện nhiều các thao tác, t duy Vì vậy đòi hỏi ở học sinh phải rèn luyện về mặt t duy hình học thật phát triển Trong khi đó các định lý ở sách giáo khoa (SGK), để chứng minh định lý
mà phải dựng thêm hình thì SGK rất ít đề cập đến, việc làm các ví dụ về bài toán ở
Trang 3trên lớp cũng rất hiếm khi có loại toán dạng này Tuy nhiên trong các bài tập thì SGK cũng đa ra khá nhiều dạng toán này và nhất là ở các bài tập nâng cao thì các bài toán khó và hay lại là những bài toán khi giải cần phải dựng thêm hình
Trên thực tế, đối với học sinh khi giải các bài toán dạng này cần phải có rất nhiều thời gian để nghiên cứu Do đó việc đi sâu vào nghiên cứu và tìm tòi các cách giải bài toán phải dựng thêm hình đối với học sinh còn rất ít Còn đối với đa số học sinh việc nắm vững về mục tiêu bài học khi phải dựng thêm hình cũng nh kiến thức về một số loại hình phải dựng là còn rất hạn chế Các tài liệu viết riêng về loại toán này cũng rất hiếm cho nên việc tham khảo đối với học sinh còn gặp nhiều khó khăn
Bằng những kinh nghiệm giảng dạy của bản thân tôi mạnh dạn viết thành sáng
kiến kinh nghiệm : “Một vài kinh nghiệm hớng dẫn học sinh dựng thêm hình trong giải toán hình học.” nhằm mục đích cùng trao đổi, học hỏi lẫn nhau trong quá trình
giảng dạy nhằm tháo gỡ khó khăn trong giảng dạy phần bài toán cần phải dựng thêm hình Rất mong các ý kiến đóng góp của các đồng chí, đồng nghiệp, của Hội đồng khoa học huyện để sáng kiến kinh nghiệm của tôi có thể trở thành một tài liệu tham khảo cho giáo viên bậc THCS trong huyện nhà Cũng là để góp một phần nhỏ cho giáo viên có thể dạy tốt hơn, học sinh nắm bài tốt hơn
2 Giải quyết vấn đề
2.1 Cơ sở lí luận của vấn đề
2.1.1 Các yêu cầu khi dựng thêm hình
* Dựng thêm hình phải có mục đích :
Hình dựng thêm phải giúp cho đợc việc chứng minh bài toán Muốn vậy nó phải là kết quả của sự phân tích tổng hợp, tơng tự hoá, mày mò dự đoán theo một mục
đích xác định là gắn kết đợc mối quan hệ của kiến thức đã có với điều kiện đã cho của bài toán và kết luận phải tìm Do đó không đợc dựng thêm hình một cách tuỳ tiện (cho
dù là mày mò, dự đoán) vì nếu hình dựng thêm không giúp ích gì cho việc chứng minh
Trang 4thì nó sẽ làm cho mình vẽ rối ren, làm khó thêm cho việc tìm ra lời giải đúng Vì vậy khi dựng thêm hình phải luôn tự trả lời câu hỏi "Dựng thêm hình này có đạt đ ợc mục
đích mình muốn không?" Nếu "không" nên loại bỏ ngay
* Hình dựng thêm phải là những hình có trong phép dựng hình và phải xác
định đợc
* Lựa chọn cách dựng dựng thêm hình thích hợp :
Hình dựng thêm thờng thỏa mãn các tính chất nào đó, việc lựa chọn hình để dựng thêm là rất quan trọng Tuy cùng là một hình vẽ thêm nhng do các cách dựng khác nhau nên dẫn đến cách chứng minh cũng khác nhau
2.1.2 Một số loại hình dựng thêm hình thờng đợc sử dụng trong giải toán hình ở chơng trình THCS :
* Hình dựng thêm là điểm:
- Vẽ điểm chia trong hay chia ngoài một đoạn thẳng cho trớc theo một tỷ
số thích hợp
- Xác định giao điểm của các đờng thẳng hoặc đờng thẳng với đờng tròn hoặc đờng tròn với đờng tròn
* Hình dựng thêm là đờng thẳng, đoạn thẳng:
- Kéo dài một đờng thẳng cho trớc với độ dài tuỳ ý
- Nối hai điểm cho trớc hoặc hai điểm đã xác định
- Từ một điểm cho trớc dựng đờng song song với một đờng thẳng đã xác
định
- Từ một điểm cho trớc dựng đờng vuông góc với một đờng thẳng xác định
- Dựng đờng phân giác của một góc cho trớc
- Dựng đờng thẳng đi qua một điểm cho trớc hợp thành với đờng thẳng khác một góc bằng góc cho trớc
- Từ một điểm cho trớc dựng tiếp tuyến với đờng tròn cho trớc
- Hai đờng tròn giao nhau thì dựng đợc dây cung chung
- Hai đờng tròn tiếp xúc nhau thì ta có thể kẻ đợc tiếp tuyến chung hoặc đ-ờng nối tâm
Trang 5- Vẽ tia đối của một tia
- Dựng các đờng đặc biệt trong tam giác (trung tuyến, trung bình, phân giác,
đờng cao )
* Hình dựng thêm là đờng tròn
- Vẽ thêm các đờng tròn hoặc cung chứa góc dựa trên các điểm đã có
- Vẽ đờng tròn tiếp xúc với một đờng tròn hoặc đờng thẳng đã có
- Vẽ đờng tròn nội hoặc ngoại tiếp đa giác
Trên cơ sở, các yêu cầu về dựng thêm các hình, giáo viên cần phân dạng đợc các bài toán hình mà lời giải có sử dựng thêm hình
2.1.3 Các cơ sở để xác định hình cần dựng thêm
Ta có thể đa dựa trên các cơ sở sau để xác định hình phải dựng thêm sẽ dựng thêm là đờng gì ? và dựng từ đâu ?
- Dựng thêm hình tạo nên các hình mới rồi sử dụng định nghĩa hoặc tính chất các hình để giải quyết bài toán
- Dựng thêm hình để tạo nên các tình huống phù hợp với một định lý để giải quyết bài toán
- Dựng thêm hình để tạo ra khâu trung gian nhằm liên kết các mối quan hệ để giải quyết bài toán
- Dựng thêm hình để sử dụng phơng pháp chứng minh phản chứng
- Dựng thêm hình để biến đổi kết luận tạo thành các mệnh đề tơng đơng để giải quyết bài toán
2.2 Thực trạng của vấn đề
Trớc khi đa vào thực hiện sáng kiến này tôi đã tiến hành điều tra về nắm bắt kiến thức và kỹ năng giải bài toán hình có lời giải phải dựng thêm hình đối với học sinh nh sau:
- Đối tợng điều tra: Học sinh khối lớp 8 trờng THCS Chiềng Cang, năm học
2010 - 2011
Trang 6- Thời gian điều tra: Bắt đầu từ ngày 16/8/2010.
- Tổng số học sinh đợc điều tra: 170 em
- Thống kê điều tra nh sau:
Tổng
số Giỏi
Tỉ lệ
Tỉ lệ
%
Trung bình
Tỉ lệ
Tỉ lệ
Tỉ lệ
%
* Những thuận lợi khi thực hiện sáng kiến kinh nghiệm
Đa số học sinh trong lớp tôi đợc phân công phụ trách giảng dạy môn toán đề rất yêu thích học tập bộ môn, tập thể các đồng chí trong ban giám hiệu, các đồng chí cùng tổ chuyên môn, đồng chí phụ trách th viện đều nhiệt tình giúp đỡ
* Những khó khăn khi thực hiện sáng kiến kinh nghiệm
Khi chuẩn bị thực hiện SKKN, năng lực giải cỏc bài toỏn phải dựng thờm hỡnh của đa số học sinh là rất yếu Đa số học sinh cho rằng loại này quỏ khú, cỏc em
tỏ ra rất mệt mỏi khi phải làm bài tập loại này Vỡ thế họ rất thụ động trong cỏc buổi học bồi dưỡng và khụng cú hứng thỳ học tập Qua quá trình trực tiếp giảng dạy Toán,
từ các tiết luyện tập, các tiết kiểm tra, các tiết bồi dỡng học sinh yếu kém và ôn thi học sinh giỏi tôi nhận thấy học sinh thờng lúng túng, không tìm ra hớng giải quyết hoặc đã tìm ra nhng không biết làm nh thế nào, làm từ đâu, các bài làm của các em trong các giờ kiểm tra trên lớp cũng nh các bài kiểm tra 1 tiết thờng là không chặt chẽ, không có
Trang 7tính logic nhiều làm cho lời giải một cách rời rạc để nhiều chỗ không hợp lý, đặc biệt
là những bài toán khó
Mặt khỏc, rất ớt học sinh cú sỏch tham khảo về loại bài tập này Nếu cú cũng chỉ là một quyển sỏch “học tốt” hoặc một quyển sỏch “nõng cao’’ mà nội dung viết về vấn đề này quỏ ớt ỏi Lý do chủ yếu là do điều kiện kinh tế gia đỡnh cũn khú khăn hoặc khụng biết tỡm mua một sỏch hay
Bản thõn tụi do năm học này được bổ nhiệm làm cỏn bộ quản lý nờn khụng trực tiếp trải nghiệm đề tài nờn phải thụng qua cỏc giỏo viờn cựng tổ chuyờn mụn để thực hiện
2.3 Các biện pháp đã tiến hành để học sinh giải bài toán cần phải dựng thêm hình
Tôi đã tiến hành phân chia loại bài toán có lời giải cần phải dựng thêm hình thành các trờng hợp sau :
2.3.1 Trờng hợp 1 Dựng thêm hình dựa vào các bài toán đã biết
Dựa vào các bài toán quen thuộc, các định lý và tính chất đã học, học sinh nghiên cứu giả thiết và kết luận của bài toán, tìm ra các điểm tơng đồng rồi từ đó vẽ thêm hình thích hợp để đa bài toán cần giải quyết về bài toán quen thuộc
Ví dụ 1: Cho tam giác cân ABC đáy BC Lấy trên AB kéo dài một đoạn BD =
AB Gọi CE là trung tuyến của tam giác ABC CMR: CE = CD
A
C M
D
B E
Trang 8Ta chỉ phân tích phần nội dung: Dựng thêm hình.
Phân tích:
Từ kết luận của bài toán gợi ý cho ta xét đến trung điểm của CD
Muốn chứng tỏ một đoạn thẳng bằng nửa đoạn thẳng khác thì một trong các cách làm cơ bản là chia đôi đoạn thẳng kia và chuyển về bài toán chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau
Gọi M là trung điểm của CD ta có CM = MD, vậy ta phải chứng minh
CE = CM hoặc CE = DM Chọn chứng minh CE = CM
Từ sự phân tích tổng hợp ta nối B với M ta suy ra nếu chứng minh đợc EBC =
MBC thì ta có đợc CE = CM là điều phải chứng minh
Đến đây điều cần chứng minh đã rõ ràng phải chứng minh EBC = MBC, hai tam giác này bằng nhau theo trờng hợp c.g.c
Việc hớng dẫn học sinh dựng thêm hình ta dựa vào sự phân tích trên, ta có thể
đa ra cho học sinh những câu hỏi gợi mở, chẳng hạn:
- Với M là trung điểm của CD, em nào cho biết CE và CM là các cạnh của tam giác nào?
- Vậy để chứng minh CE = CM ta phải dựng thêm hình nh thế nào và chứng minh điều gì?
- Hoặc với học sinh khá, giỏi ta có thể hỏi: Vậy để chứng minh CE = CM ta phải chứng minh điều gì?
2.3.2 Trờng hợp 2 Dựng thêm hình để tạo ra khâu trung gian nhằm liên
kết các mối quan hệ để giải quyết bài toán
Đối với trờng hợp này (dạng này) thờng là các bài toán chứng minh các đờng thẳng đồng quy, hai đờng thẳng vuông góc, đờng trung tuyến của một tam giác, tam giác cân vì có đờng cao đồng thời là đờng trung tuyến
Ví dụ 2: Bài toán: Cho hình chữ nhật ABCD Gọi M là trung điểm cạnh CD và N là
một điểm trên đờng chéo AC sao cho BNM 90 0 Gọi F là điểm đối xứng của A qua
N, chứng minh : FB AC
C
Trang 9Ta phân tích nội dung dựng thêm hình và gợi ý chứng minh.
Phân tích:
Ta thấy
BFClà một góc của BFC, đối chiếu với định lý: "Tổng 3 góc của một
tam giác bằng 180O thì có FBC BCF BFC 180 0, nhng ta cha thể tính đợc
FBC BCF bằng bao nhiêu độ nên không thể suy ra đợc số đo góc BFC Vậy
không thể vận dụng định lý trên để chứng minh
- Nhng bài toán cho ta các giả thiết liên quan đến góc vuông và trung điểm của
đoạn thẳng, ta có thể liên kết các giả thiết đó lại với nhau để chứng minh bài toán này bằng cách nào?
- Đó là câu hỏi lớn mà giáo viên nên đặt ra cho học sinh và hớng dẫn các em có thể tự đặt ra các câu hỏi nh vậy
- Liệu BF có là đờng cao của BNC đợc không?
- Để chứng minh BF là đờng cao của tam giác BNC ta phải chứng minh BF đi qua điểm nào đặc biệt trong tam giác?
- Dựa vào đó ta hiểu rằng phải chứng minh BF đi qua trực tâm của BNC
- Qua quá trình phân tích, tổng hợp ta đi đến việc dựng NE BC tại E
- Gọi giao điểm của NE với BF là I Ta suy ra rằng nếu chứng minh đợc CI //
MN thì suy ra CI cũng sẽ vuông góc với BN (Vì MN BN) tức CI là một đờng cao của BNC
Vậy I là trực tâm của BNC (Vì I NE CK) Do đó suy ra điều phải chứng minh là:
BF AC Tóm lại việc kể thêm NE BC tại E là nhằm tạo ra điểm I NE BF để chứng minh I là trực tâm của BNC
M
I K
F
D A
N
Trang 10Từ sự phân tích trên ta có thể dựa vào đó đề ra một hệ thống câu hỏi gợi mở cho học sinh tực giác, tích cực tìm lấy lời giải Chẳng hạn có thể sử dụng những câu hỏi nh:
- Để chứng minh BF vuông góc với AC ta có thể chứng minh BF là đờng gì của BNC?
- Để chứng minh BF đi qua trực tâm của BCN thì ta phải có điểm nào?
- Ta cần dựng thêm hình nh thế nào để có một điểm là giao của BF với một đ-ờng cao của BNC?
- Với NE là đờng cao của BNC và NE BF tại I, ta phải chứng minh I là
điểm có tính chất gì?
Ví dụ 3: Cho Δ ABC, M là 1 điểm bất kỳ trong tam giác Nối M với các đỉnh A, B,
C cắt các cạnh đối diện lần lợt tại A’, B’, C’ qua M kẻ đờng thẳng song song với BC cắt A’B’; A’C’ tại K và H
Chứng minh rằng: MK = MH
Đây là một bài toán tơng đối khó với học sinh
Sau khi đã tìm nhiều cách chứng minh không có kết quả Ta chú ý đến giả thiết của bài toán chỉ cho ta các yếu tố đồng quy và song song Giả thiết của bài toán gần với định lý nào nhất ?
Câu trả lời mong đội ở đây là định lý Talet
- ở đây KH // BC Đoạn thẳng BC đợc chia thành mấy đoạn nhỏ ?
- Thiết lập quan hệ giữa MH, MK với các đoạn BA’ và CA’, BC
- Cần phải xác định thêm các điểm nào?
- Điểm P và Q là giao của KH với AB và AC
K H
M A
A'
B' C'
Trang 11Ta có lời giải nh sau :
Giả sử HK cắt AB, AC tại P, Q
Ta có: Theo định lý Talét
MH MQ MP CA' CB BA'
MP MK MQ CB BA' CA'
MH
=> = 1 => MH = MK
MK
2.3.3 Trờng hợp 3 Dựa vào biến đổi đại số để xác hình cần dựng thêm
Bằng các phép biến đổi đại số ta tìm cách dựng thêm hình để từ đó quy bài toán về dạng quen thuộc
Ví dụ 4: Cho Δ ABC có A 2B Chứng minh rằng:
BC2 = AC2 + AC.AB
Hớng dẫn:
- Các định lý hoặc tính chất nào giúp ta các công thức liên quan đến công thức cần chứng minh ?
Câu trả lời đầu tiên sẽ là định lý Pitago vì công thức của nó rất gần với công thức này, ở đây GV cần hớng dẫn học sinh loại bỏ ý định sử dụng định lý Pitago vì không tạo ra đợc các góc vuông có liên quan đến độ dài của cả ba cạnh ngay đợc
- Ngoài định lý Pitago ta còn cách nào khác không ?
Câu trả lời mong đội ở đây là định lý Ta lét và tam giác đồng dạng
- Hãy biến đổi đại số hệ thức cần chứng minh để đa về dạng tỷ số để gắn vào tam giác đồng dạng
BC =AC +AC.AB BC =AC AC+AB
Trang 12Đến đây GV có thể yêu cầu học sinh đa về bài toán quen thuộc của việc chứng minh hệ thức ab = cd dựa vào tam giác đồng dạng bằng cách tạo ra một đoạn thẳng bằng AB + AC
- Từ đó học sinh đa ra hai cách dựng thêm hình là đặt tiếp cạnh AB một đoạn bằng
AC hoặc đặt cạnh AC một đoạn bằng AB
? Nên đặt dựa trên điểm nào ? Chọn đặt kề cạnh nào đẻ vận dụng đợc giả thiết
A = 2B?
Câu trả lời mong đợi là lấy trên tia đối của tia AC một đoạn bằng AB
Từ đó ta có lời giải:
Giải:
Trên tia đối của tia AC lấy D sao cho AD = AB
Khi đó Δ ABC cân tại A nên:
BAC = 2ABD = 2ADB
Xét
Δ
ABC và
Δ
BDC có:
BDC=ABC= BAC
2
C chung nên Δ ABC đồng dạng với Δ BDC (g.g)
Nên ta có
BC AC
= =>BC =AC.CD=AC(AC+AD)=AC(AC+AB)=AC +AC.AB
CD BC
Nh vậy là việc dạy cho học sinh biết cách giải bài toán mà lời giải có kẻ thêm
đờng phụ không chỉ đơn thuần là đa ra một số bài giải mẫu cho học sinh mà phải giúp học sinh nắm vững các yêu cầu khi dựng thêm hình, sau đó phân dạng bài toán rồi mới
đa vào gợi mở để cho học sinh tìm đợc lời giải cho từng bài toán cụ thể Trong quá trình đó dần dần hình thành cho học sinh kỹ năng dựng thêm hình trong giải các bài toán hình học
D
A