Tiêu chuẩn ổn định của phương trình vi phân đại số với trễ bội và nghiệm số của chúng

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM NGÔ THỊ LAM TIÊU CHUẨN ỔN ĐỊNH CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN ĐẠI SỐ VỚI TRỄ BỘI VÀ NGHIỆM SỐ CỦA CHÚNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

NGÔ THỊ LAM

TIÊU CHUẨN ỔN ĐỊNH CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN ĐẠI SỐ VỚI TRỄ BỘI

VÀ NGHIỆM SỐ CỦA CHÚNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

THÁI NGUYÊN - 2016

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

NGÔ THỊ LAM

TIÊU CHUẨN ỔN ĐỊNH CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN ĐẠI SỐ VỚI TRỄ BỘI

VÀ NGHIỆM SỐ CỦA CHÚNG

Chuyên ngành: Toán giải tích

Mã số: 60 46 01 02

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học: TS Đào Thị Liên

THÁI NGUYÊN - 2016

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi, các kết quả nghiên cứu là trung thực và chưa được công bố trong bất kỳ công trình nào khác

Thái Nguyên, tháng 9 năm 2016

Tác giả luận văn

Ngô Thị Lam

LỜI CẢM ƠN

Luận văn được hoàn thành tại khoa Toán, trường Đại học sư phạm – Đại học Thái Nguyên dưới sự hướng dẫn tận tình, tỉ mỉ và khoa học của cô giáo -Tiến sĩ Đào Thị Liên Qua đây tôi xin bày tỏ lời cám ơn chân thành và lòng biết ơn sâu sắc đến cô đã không quản thời gian và công sức hướng dẫn tôi hoàn thành luận văn Tôi xin cảm ơn Ban Giám Hiệu, các phòng ban chức năng, các thầy cô giáo trong trường Đại học sư phạm – Đại học Thái Nguyên

đã tạo điều kiện tốt nhất để tôi hoàn thành luận văn Sau cùng tôi xin được bày tỏ tình cảm tha thiết dành cho gia đình, các bạn đồng nghiệp đã động viên, tạo điều kiện cho tôi được yên tâm học tập và nghiên cứu

Mặc dù đã hết sức cố gắng, song luận văn khó tránh khỏi các hạn chế

và thiếu sót Chúng tôi rất mong nhận được những ý kiến đóng góp để luận văn hoàn thiện hơn

Học viên cao học Ngô Thị Lam

M C L C

Trang

Trang bìa phụ

Lời cam đoan i

Lời cảm ơn ii

Mục lục iii

Danh mục các kí hiệu viết tắt iv

MỞ ĐẦU 1

Chương 1 KIẾN THỨC CƠ SỞ 4

1.1 Một số khái niệm và kết quả về hệ phương trình vi phân đại số 4

1.2 Phép chiếu, chỉ số của ma trận 4

1.3 Chỉ số của phương trình vi phân đại số 6

1.4 Phương trình vi phân đaị số tuyến tính với hệ số hằng 7

1.5 Sự ổn định (Lyapunov) của phương trình vi phân đại số 9

1.6 Tính giải được của DDAE chính quy 13

1.7 Phương trình DAEs có trễ dạng Hessenberg 17

Chương 2 TIÊU CHUẨN ỔN ĐỊNH CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN ĐẠI SỐ VỚI TRỄ BỘI VÀ NGHIỆM SỐ CỦA CHÚNG 21

2.1 Tiêu chuẩn ổn định 21

2.1.1 Tính ổn định tiệm cận của hệ có trễ độc lập 22

2.1.2 Tiêu chuẩn ổn định đại số thực hành 31

2.2 Tính ổn định của nghiệm dạng số 43

2.2.1 Phương pháp θ 43

2.2.2 Phương pháp BDF 45

2.2.3 Phương trình vi phân đại số có trễ chính quy yếu 46

KẾT LUẬN 50

TÀI LIỆU THAM KHẢO 51

DANH M C CÁC KÍ HIỆU VIẾT TẮT

ODE: Phương trình vi phân thường

DAE: Phương trình vi phân đại số

DDAE: Phương trình vi phân đại số có trễ

DODE: Phương trình vi phân thường có trễ

NDODE: Phương trình vi phân thường có trễ trung tính NDDAE: Phương trình vi phân đại số có trễ trung tính UDODE: Phương trình vi phân thường cơ bản có trễ

UDDAE: Phương trình vi phân đại số cơ bản có trễ

MỞ ĐẦU

Các phương trình vi phân đại số (DAEs) đóng vai trò quan trọng trong việc mô phỏng các bài toán ứng dụng thực tế, ví như trong ứng dụng của ngành cơ học đa vật thể, điều khiển quỹ đạo theo lệnh, thiết kế mạng điện, hệ thống phản ứng hóa học, sinh học và y học lâm sàng.(xem [4,18] và các tài liệu tham khảo trong đó) Trong nhiều bài toán, các hệ được chú ý đến nhiều là hệ chứa trễ, (xem [3,6-8,12,20,21,22,25-27]) Lý thuyết và các nghiệm dạng số của các phương trình vi phân thường có trễ (DODEs) được biết đến và bàn luận hàng thập kỷ qua,(xem [14] và các bài tham khảo trong đó), có rất ít các kết quả nghiên cứu về hệ phương trình vi phân đại số có trễ (DDAEs) Lý do chính

là vì ngay cả đối với các DDAEs tuyến tính, cơ chế động học của chúng vẫn chưa được tìm hiểu kỹ, đặc biệt khi cặp ma trận {A,B} trong (0.1) là không chính quy Vấn đề khó nhất là tồn tại dạng không bị nén để trong đó một bộ nhiều hơn hai ma trận có thể được đồng thời biến đổi

Hầu hết các kết quả nghiên cứu trước đây đều chỉ dành cho phương trình

vi phân đại số có trễ (DDAEs) chính quy tuyến tính với thời gian không đổi (xem [12,25]), hoặc các DDAEs dạng đặc biệt (xem [3, 20, 26, 27]) Cho tới thời điểm đăng bài báo này, chỉ mới có hai công trình nghiên cứu liên quan tới phương trình vi phân đại số không chính quy (xem [8, 21]) Kết quả tổng quan

về tính giải được và tính ổn định của DDAE vẫn còn khá ít

Ví dụ dưới đây minh họa một vài sự khác biệt quan trọng giữa ODEs có trễ, DAEs không trễ và DAEs có trễ

trong đó, x1 và x2 được cho bởi các hàm liên tục trên (-1,0] Động lực học của

x1 bị chi phối bởi một toán tử vi phân và sự liên tục của x1 được kỳ vọng Động

lực học của x2 được quy định bởi một toán tử vi phân và không giống x1, thành

tố này nhìn chung chỉ cần là liên tục từng khúc

Ví dụ 2 Xét hệ không thuần nhất dưới đây

1

( ) ( )

( 0)( ) ( 1) ( )

trong đó, C là hằng số Hệ động lực này không phải ngẫu nhiên Không những

x2 được xác định trên (-1,0], mà nghiệm cũng phụ thuộc và những lần tích phân sau này của hàm đầu vào f(t) Hiện tượng thú vị này cần được lưu ý thêm rằng ngoài những lý thuyết đã biết trước đây về DAE là nghiệm có thể phụ thuộc vào đạo hàm của hàm đầu vào

Điều kiện đủ cho tính ổn định tiệm cận độc lập với trễ của DAEs với trễ đơn được đưa ra trong [26] Theo đó, tính ổn định tiệm cận của phương pháp , phương pháp BDF, phương pháp đa bước tuyến tính tổng quát, cũng như phương pháp Runge-Kutta ẩn đều được phân tích Không may, trong thực tế rất khó kiểm tra những điều kiện này Mục đích chính của luận văn này là trình bày các kết quả bổ sung cho lý thuyết về tính ổn định của các DDAEs đã được các tác giả đề xuất trong [26] Cụ thể là, chúng ta có ý định đưa các tiêu chuẩn

về tính ổn định cho DDAEs độc lập dạng (0.1) và (0.2) Chúng ta tập trung vào các tiêu chuẩn ổn định mà thực tế có thể dễ dàng kiểm tra được Kết quả của chúng ta đạt được là mở rộng các tiêu chuẩn dành cho DODEs (xem [15,16]) sang các DDAEs trung tính Theo những tiêu chuẩn này, chúng ta sẽ chỉ ra rằng, các nghiệm dạng số có được bằng phương pháp và phương pháp BDF đều bảo toàn tính ổn định tiệm cận của DDAE Kết quả này cũng chỉ ra rằng kết quả của DAE có trễ đơn trong [26] là một trường hợp đặc biệt Hơn nữa,

chúng tôi cũng nghiên cứu tính giải được và tính ổn định của một lớp đặc biệt các DDAE không chính quy

Luận văn gồm 60 trang, ngoài phần mở đầu, kết luận và danh mục tài liệu tham khảo, nội dung chính gồm có hai chương

Chương 1 Kiến thức cơ sở

Nội dung chương này trình bày một số khái niệm và kết quả về các phương trình vi phân đại số, phương trình vi phân có trễ, lí thuyết ổn định của phương trình vi phân sẽ được sử dụng trong chương 2

Chương 2 Tiêu chuẩn ổn định của phương trình vi phân đại số với trễ bội

và nghiệm số của chúng

Nội dung chương này trình bày một số kết quả nghiên cứu về tiêu chuẩn

ổn định của phương trình vi phân đại số với trễ bội và nghiệm số của chúng mà các tác giả Stephen L Campbell và Vũ Hoàng Linh đã đề cập trong bài báo:

“Stability criteria for differential-algebraic equations with multiple delays and their numerical solutions” đăng trên “Applied Mathematics and Computation ”

vào năm 2009

Chương 1 KIẾN THỨC CƠ SỞ 1.1 Một số khái niệm và kết quả về hệ phương trình vi phân đại số

Xét phương trình vi phân dạng

( , ( ), ( )) 0

F t x t x t  (1.1) trong đó: x I:  n,I a,  

F I D:   n  n

( , , )t x x F t x x( , , )

D là tập mở trong n,F (I D n, n),F x ,F y (I D n, (L n))

Định nghĩa 1.1.1 Phương trình vi phân (1.1) được gọi là phương trình vi phân

đại số (DAEs) nếu hàm F thỏa mãn kerF t x t x( , ( ) , ( )) x t 0 với mọi ( , , )t x x   I D n

Hệ quả 1.1.2 Phương trình vi phân tuyến tính

Định nghĩa 1.2.1 Cho PL( n). P được gọi là một phép chiếu nếu

Nhận xét 1.2.2 Cho P là phép chiếu Khi đó, ta có: KerP ImP n

Mỗi phân tích n

  tồn tại duy nhất một phép chiếu P sao cho imP = U

và KerP = V, khi đó P được gọi là phép chiếu lên U dọc theo V

Đặt Q:= I-P thì Q cũng là một phép chiếu lên V dọc theo U

Định nghĩa 1.2.3 (Chỉ số của ma trận)

ChoA L ( n) Số tự nhiên k được gọi là chỉ số của ma trận A kí hiệu là indA,

Định nghĩa 1.2.5 Cặp ma trận {A,B} được gọi là chính quy nếu  c sao cho det(cA B )0

Định nghĩa 1.2.6 Giả sử cặp ma trận {A,B} chính quy, c thỏa mãn

det(cA + B) Chỉ số của cặp ma trận {A,B} là chỉ số của ma trận

1

(cA B ) A, kí hiệu là ind(A,B), tức là ind A B( , )ind cA B(  )1A

(định nghĩa này không phụ thuộc vào việc chọn giá trị của c)

Định lý 1.2.7 Nếu QL( n) không suy biến thì

ind QA QB ind AQ AB ind A B

Nếu A và B là giao hoán được thì ind A B( , )indA

Định lý 1.2.8 Giả sử cặp ma trận {A,B} chính quy, c sao cho cA B khả

( )

Q cA B  Khi đó QA QB, là giao hoán được

Định lý 1.2.9 Giá sử cặp ma trận {A,B} chính quy, chỉ số k và

2) xker A và BximA suy ra x0

3) Cặp ( A B, ) chính quy và deg PrankA với P z( ) : det( zA B ) 4) Cặp( A B, AW) chính quy và ind{ A B, AW}=1 với mọi W L( n)

5) G:  A BQ không suy biến với Q là phép chiếu lên ker A

6) Với S: {x  n: Bx imA} thì S kerA n.

7) Bằng cách nhân ma trận không suy biến thích hợp EL( n) thỏa

,

B EB B

 

  

  ta nhận được ma trận không suy biến

1 2

( n)

A

L B

 



 

1.3 Chỉ số của phương trình vi phân đại số

Chỉ số của phương trình vi phân đại số là một số nguyên dương cung cấp những thông tin hữu ích về cấu trúc toán học và những phức tạp tiềm ẩn trong phân tích và tìm nghiệm của phương trình vi phân đại số

Nhìn chung, chỉ số càng cao, sẽ càng khó khăn hơn trong việc tìm nghiệm cho phương trình vi đại số Có nhiều cách định nghĩa khác nhau về khái niệm chỉ số này Ví dụ: chỉ số Kronecker, chỉ số vi phân (Brenan và đồng nghiệp, 1986), chỉ số nhiễu (Hairer và đồng nghiệp, 1996), chỉ số mềm (Griepentrog và đồng nghiệp, 1986), chỉ số hình học (Rabier và đồng nghiệp, 2002), hay chỉ số lạ (Kunkel et al 2006), Vì một phương trình vi phân là hỗn hợp của các phép vi phân và tích phân, nên có người cho rằng việc lấy đạo hàm các điều kiện ban đầu và thay thế khi cần thiết trong các phương trình vi phân, lặp lại nếu cần, thì

sẽ dẫn tới kết quả của một phương trình vi phân thường cho tất cả các ẩn hàm

Số lần lấy đạo hàm cần thiết trong phép biến đổi từ phương trình vi phân đại số về phương trình vi phân thường gọi là chỉ số vi phân của phương trình vi phân đại số Như vậy, phương trình vi phân thường là phương trình vi phân đại

Tiếp theo ta đề cập đến khái niệm chỉ số (mềm) của phương trình vi phân đại số

1.4 Phương trình vi phân đaị số tuyến tính với hệ số hằng

Xét phương trình vi phân đại số dạng

Định nghĩa 1.4.1 Không gian hạch N t( ) được gọi là trơn trên I nếu có ma trận hàm khả vi liên tục Q l( , (I L n)) sao cho 2

( ) ( ),

Q t Q t imQ t( ) N t( ),  t I. Khi đó Q t( ) là phép chiếu lên N(t) Đặt P t( )  I n Q t( ) suy ra P l( , (I L n)).

Ta có

1 0

Đặt S t x y( , , ) {z   n: F (t,x,y)zx F y (t,x,y)}

G t x y1( , , ) : F t x y y ( , , ) F t x y Q t x ( , , ) ( )

A t x y1( , , ) : G t x y1( , , ) F t x y P t Q t y ( , , ) ( ) ( ) 

N t x y1( , , ) : ker  A t x y1( , , )

S t x y1( , , ) : {z   n: F (t,x,y)P(t)z imA (t,x,y)}x  1

Định nghĩa 1.4.2 Phương trình vi phân đại số (1.3) được gọi là có chỉ số 1

Phương trình vi phân đại số tuyến tính (1.4) có chỉ số 1 trên I khi và chỉ khi

det ( ) 0, det ( ) 0,

A A





 



1.5 Sự ổn định (Lyapunov) của phương trình vi phân đại số

Xét phương trình vi phân đại số tuyến tính sau

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

A t x t B t x t q t (1.6)

trong đó x I:  n, A B, L( n), detA 0, ( )q t  ( ,I n)

Rõ ràng hệ (1.6) có nghiệm tầm thường x t( )  0

a Phương trình vi phân đại số tuyến tính chỉ số 1

Giả sử (1.6) có chỉ số 1 và KerA(t) trơn Gọi Q(t) là phép chiếu khả vi liên tục lên KerA(t), đặt P t( ) :  I n Q t( )

Ký hiệu x t t x( , ,0 0) là nghiệm của (1.6) thỏa mãn điều kiện đầu

‖x t t x( , ,0 0)‖

b Phương trình vi phân đại số tuyến tính chỉ số 2

Giả sử hệ (1.6) có chỉ số 1 và ker ( )A t trơn Các phép chiếu P t P t( ), 1( ) như ở mục (1.4) Ký hiệu x t t x( , ,0 0)là nghiệm của (1.6) thỏa mãn điều kiện đầu

( ) ( )

P t P t x   thì ‖x t t x( , ,0 0)‖ với mọi

Định nghĩa 1.5.4 Nghiệm tầm thường x t( )  0 của hệ (1.6) được gọi là ổn định tiệm cận nếu nó ổn định và tồn tại số ( ) sao cho nếu

Cặp ma trận {A,B} được gọi là chính quy nếu tồn tại λ sao cho det(λA+B) 0

Hệ (1.7) là giải được nếu và chỉ nếu {A,B} là chính quy

Nếu det(λA+B) =0 với λ , chúng ta nói rằng {A,B} là không chính quy Nếu {A,B} là chính quy, thì λ là giá trị riêng hữu hạn của {A,B} khi det(λA+B) = 0

Tập hợp tất cả các giá trị riêng được gọi là phổ của cặp {A,B} và được kí hiệu bằng σ{A,B}

Giá trị lớn nhất của giá trị riêng hữu hạn được gọi là bán kính phổ của cặp {A,B} và được kí hiệu bằng ρ{A,B} Những khái niệm này cũng được mở rộng cho trường hợp bộ n+1 ma trận cho trước * + tức là các giá trị riêng của bộ

ma trận này có được bằng cách định nghĩa    0

Giả sử rằng, A là suy biến và cặp {A,B} là chính quy Khi đó tồn tại các

ma trận không suy biến W, T sao cho

1 0 0

0 0

d

m d

B I

Nếu cặp{A, B} là chính quy, chỉ số lũy linh của N trong (1.8) được gọi là chỉ

số của cặp ma trận {A,B} và chúng ta viết index{A,B}=k

Nếu A không suy biến, chúng ta viết index{A,B}=0

Định nghĩa 1.5.5 Giả sử {A, B} là chính quy Gọi Q là một phép chiếu lên

không gian con của A với điều kiện đầu tương thích Đặt P= I - Q

Nghiệm không của (1.7) là ổn định nếu: với sao cho với một vector tùy ý thỏa mãn ‖ ‖ , nghiệm của bài toán giá trị ban đầu

 

0

0, 0, ( (0) ) 0

tồn tại duy nhất và thỏa mãn‖ ‖ với t

Nghiệm không được gọi là ổn định tiệm cận nếu nó ổn định và ‖ ‖ với nghiệm x của (1.7)

Nếu nghiệm không của (1.7) là ổn định và ổn định tiệm cận , chúng ta nói rằng hệ (1.7) là ổn định, ổn định tiệm cận

Nếu index{A,B}=1 ta có thể chọn Q là phép chiếu lên ker(A) (xem [13]) Sự khác biệt giữa các ODEs và DAEs là đối với ODEs thì điều kiện x(0) x0 là

tùy ý cón đối với DAEs thì không kì vọng vào điều đó mà điều kiện đầu

0

(0)

x x là tương thích Nói cách khác, với DAEs, chúng ta cần giá trị ban đầu

tương thích xo sao cho (1.7) thỏa mãn, với các điều kiện ban đầu x(0) x0, sẽ

đúng cho trường hợp nghiệm trơn Chúng ta không xem xét các trường hợp phát sinh trong luận văn này và vì lý do đó chúng ta sẽ thường xuyên đưa ra các giả thiết về chỉ số Đối với hệ bất biến tuyến tính, các khái niệm về sự ổn

định tiệm cận và ổn định mũ là tương đương Các hệ (1.7) là ổn định nếu và chỉ nếu cặp ma trận{A, B} là ổn định, tức là, ( ) trong đó nửa mặt phẳng phức vế trái là mở (xem [24]) Rõ ràng (WAT,WBT) = ( ) đối với các W, T không suy biến

1.6 Tính giải đƣợc của DDAE chính quy

Lý thuyết về phương trình vi phân thường có trễ (DODEs) đã được biết đến khá nhiều (xem [14]), khi ma trận đầu ra A trong (1.7) là ma trận đơn vị, những hệ phương trình dạng này được phân loại theo dạng của chúng Đối với một DODE vô hướng a ̇ + bx + c ̇( ) ( ) ( ), hệ phương trình là loại có trễ nếu a , là loại trung tính nếu a , và là loại cải tiến nếu a=0, b và c Một thuộc tính quan trọng của các lớp phương trình ta phân loại ở trên là nó phân loại các DODEs gián đoạn lan truyền đến các khoảng trễ trong tương lai (giả thiết của bài toán điều kiện ban đầu) Các điểm gián đoạn xuất hiện trong hệ trễ trở nên trơn hơn trong mỗi khoảng thời gian kế tiếp, trong khi đó các gián đoạn trong các hệ cải tiến trở nên kém trơn trong mỗi khoảng thời gian kế tiếp Gián đoạn trong hệ trung tính được thực hiện vào khoảng thời gian trễ kế tiếp với cùng một độ trơn Do

đó, chúng ta sẽ nghiên cứu riêng rẽ DDAEs gồm có phần trễ và DODEs trung tính, nhưng việc tránh hoàn toàn những điều kiện dẫn đến DODEs cải tiến Đối với một số ví dụ thú vị về DDAEs và một số DAEs không trễ nhưng thực sự là loại trung tính hoặc cải tiến, (xem [7,8])

Trong phần này, chúng ta xét DAEs có trễ đơn

( ) 0

DDAE dạng (1.9) được gọi là chính quy (xem [8]) nếu cặp ma trận {A.B} được gọi là chính quy và chính quy yếu nếu tồn tại α, β, γ sao cho

det(α β γ ) tức là bộ ba {A, B, D} là chính quy Chúng ta giả sử

rằng {A,B} là chính quy và có chỉ số k Chú ý rằng các DAEs có độ trễ đơn

( ) ( ) 0

Ax Bx Cx t     Dx t   (1.10)

luôn có thể biến đổi được về dạng (1.9) Thật vậy, bằng cách định nghĩa một biến mới y qua phương trình y(t) = x(t- ), chúng ta có được một DAE có trễ mới AxBxDx t(  ) 0 (1.11)

Mệnh đề 1.6.1 Cặp ma trận { ̃, ̌} là chính quy nếu và chỉ nếu {A,B} là chính

quy Tuy nhiên, index A B{ , }=k hoặc index A B ,  k 1

, trong đó index(A,B)=k

Chứng minh Sự tương đương giữa tính chính quy của 2 cặp ma trận là rõ

ràng Chúng ta kiểm tra khẳng định về chỉ số của cặp A B, Không làm mất tính tổng quát, chúng ta giả đỉnh rằng cặp {A,B} được cho dưới dạng chuẩn Kronecker (1.8) Theo đó, C và D được cho sẵn dưới dạng khối:

Hệ quả 1.6.2 Giả sử rằng cặp {A,B} là chính quy chỉ số 1 và giả sử các ma

trận có dạng khối (1.19) Khi đó, cặp ma trận mới { ̃, ̃} có chỉ số 1 khi và chỉ

khi

Hệ quả 1.6.2 có nghĩa là (1.11) có chỉ số 1 nếu và chỉ nếu index{A, B}=1 và đạo hàm của không xuất hiện trong " phần đại số"

Bây giờ, chúng ta quay trở lại DDAE chính quy (1.9) với điều kiện đầu

x(t) = ( ) với mọi t , - trong đó là một hàm liên tục được xác định trên , -Tính giải được của DDAE chính quy được trình bày chi tiết trong các tài liệu [6],[7] Bằng việc sử dụng những phép biến đổi tọa độ hằng số tương thích, trước tiên chúng ta chuyển bộ ba ma trận A, B, D thành dạng khối (1.8), (1.12) Khi đó, hệ (1.9) được phân rã như sau

Trong đó x được phân rã thành các biến vi phân z và các biến đại số w.Sử dụng

lũy linh của N,

Đặt t= 0 trong (1.15), chúng ta có được một điều kiện ban đầu tương thích

Bài toán giá trị ban đầu cho hệ (1.9) với một điều kiện ban đầu tương thích là không đổi cho một nghiệm duy nhất (xem [6,7,11]) và có thể giải được bởi

nghiệm dạng (1.14) với z,w đệ quy trên   l 1 ,  l  ,l 1, 2, (Định nghĩa về

tính ổn định tiệm cận của DDAEs trong hệ (1.9) cũng tương tự như của

DODEs

Định nghĩa 1.6.3 [13,24,25] Nghiệm tầm thường của phương trình DDAE

(1.9) được gọi là ổn định nếu với mỗi , tồn tại ( )sao cho với tất cả các hàm liên tục thỏa mãn điều kiện đầu tương thích và

Định nghĩa 1.6.4 Nghiệm tầm thường của phương trình DDAE (1.9) được

cho là ổn định tiệm cận nếu nó ổn định và ‖ ( )‖

Với các bài toán chỉ số cao hơn (k>1), công thức đối với w liên quan đến đạo hàm nghiệm thu được trong phần trước Kết quả trong [6] cho thấy rằng các nghiệm của (1.9) có thể liên tục nhưng với các khoảng hữu hạn nào đó, thậm chí nếu điều kiện đầu  là không khả vi hữu hạn Ngoài ra các điểm gián đoạn không nhất thiết phải trơn như các bài toán không suy biến khác

Ví dụ 1.6.5 Xét một DDAE trong không gian 2 chiều

Đối với trường hợp đơn giản nhất khi k = 1, tình hình có phần tốt hơn Sự tiến hóa của z được xác định bởi một phương trình có trễ khác, trong khi đó một toán tử vi phân xác định được động thái của w Nếu hàm ban đầu liên tục được cho trước, thì z là liên tục và w là liên tục từng khúc Hơn nữa, z là khả vi và w là liên tục trừ trường hợp tại những bội nguyên của Dáng điệu

hệ (1.9) giống như một hệ có trễ trung tính

Việc mở rộng tất cả các kết quả trong phần này cho các DAEs với trễ bội dạng (0.1) hoặc (0.2) là khá dễ dàng và đơn giản Chúng ta lưu ý rằng tính trơn của các nghiệm hiện nay có thể còn kém đi Ngay cả trong các bài toán có chỉ

số 1 khoảng cách giữa điểm nhảy có thể trở nên nhỏ tùy ý khi t tăng trừ trường hợp khi tất cả các tỷ lệ  i j, i  jlà số hữu tỷ Thực tế này làm nảy sinh

những khó khăn cho thực hành các phương pháp giải số

1.7 Phương trình DAEs có trễ dạng Hessenberg

DDAEs phát sinh trong các ứng dụng thường có cấu trúc đặc biệt Một trong những lớp quan trọng nhất của dạng này là các hệ DDAEs dạng Hessenberg được khái quát hóa từ các DAEs không trễ dạng Hessenberg (xem [4])

Định nghĩa 1.7.1 DDAEs tuyến tính dạng

trong đó B3B2 không suy biến,được gọi là DDAE tuyến tính chỉ số 2 nửa hiện hay DDAE tuyến tính chỉ số 2 dạng Hessenberg Ở đây cặp ma trận

Đạo hàm của hàm chưa biết tại một thời điểm trễ có thể xuất hiện trong (1.16), (1.17) và (1.18), cũng như (1.19) Cụ thể, DDAEs dạng

1 dạng Hessenberg Hơn nữa, DDAEs có dạng

2 dạng Hessenberg DDAEs trung tính dạng (1.24), (1.25) và (1.26), (1.27) có thể được biến đổi thành DDAEs dạng (1.16), (1.17), và (1.18), (1.19) bằng việc

bổ sung các biến mới như đã trình bày trong phần trước Mệnh đề 1 cho thấy chỉ số mềm của DDAEs là cùng chỉ số với DDAE trung tính thông thường

Một trong những đặc trưng quan trọng nhất của DDAEs dạng Hessenberg

là ta có thể dễ dàng nhận được DODE cơ bản tương ứng Ví dụ, đối với các hệ (1.16), (1.17) ta có thể giải được nghiệm từ (1.17) sau đó thay vào (1.16),

và nhận được DODEs cơ bản

1 1 1 1

1 ( 1 2 4 3 ) 1 ( 1 2 4 3 2 4 3 ) ( 1 ) 2 4 3 1 ( 2 ) 0,

x  B B B B x  D D B B B B D x t  D B D x t   (1.28) Lưu ý rằng các UDODE (1.28) bây giờ có trễ kép trong khi DDAE dạng (1.16), (1.17) chỉ có trễ đơn Hơn nữa, dễ thấy rằng các DDAE chỉ số 1dạng (1.16) và (1.17) là ổn định tiệm cận nếu và chỉ nếu UDODE của nó (1.28) là ổn định tiệm cận Tương tự như vậy, chúng ta có thể thu được các kết quả tương

tự cho DDAE trung tính chỉ số 1 dạng (1.24) và (1.25)

Ta có DODE cơ bản đối với DDAE có trễ nửa hiện chỉ số 2 dạng (1.18) và (1.19) là phức tạp hơn trường hợp chỉ số 1 một chút Trước hết khảo sát điều

đó bằng cách lấy vi phân của (1.19) rồi chèn kết quả vào (1.18) ta được một ràng buộc ẩn

R    có các dòng chuẩn hóa độc lập tuyến tính cơ bản cho

không gian không của 2

T

B Khi đó RB2 0và ma trận

3

R B

 

 

  là khả nghịch Đặt biến mới u = R , chúng ta có thể tính được từ u nhờ

phương trình DODE trung tính cơ bản đối với phương trình DDAE trung tính

chỉ số 2 dạng (1.26) và (1.27’’)

Từ những đặc trưng của DDAE dạng Hessenberg nói trên, chúng ta có thể

kết luận rằng muốn khảo sát tính ổn định của các DDAEs dạng Hessenberg, ta

cần phải xem xét tính ổn định của DODEs cơ bản tương ứng của chúng

Chương 2 TIÊU CHUẨN ỔN ĐỊNH CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN ĐẠI SỐ

VỚI TRỄ BỘI VÀ NGHIỆM SỐ CỦA CHÚNG

Trong luận văn này, chúng ta xét phương trình vi phân đại số tuyến tính với trễ bội dạng

m×m Thời gian trễ được sắp xếp tăng dần 0  1 m Ma trận A được giả

thiết là suy biến với rank A = d < m Chúng ta sẽ quan tâm tới một lớp đặc biệt

giá trị dương µ, các bất đẳng thức

Re( ) i     0 (2.2)

Thỏa mãn Chú ý, (2.1) có thể có các nghiệm vô hạn và chúng có thể hội tụ ở

một điểm hữu hạn trên mặt phẳng phức hoặc ở vô cùng Trong phần này chúng ta

sẽ xác định một số điều kiện đủ cho (2.2) Chúng ta sẽ cần dùng đến định nghĩa và

hệ quả được biết đến trong thuyết ma trận không âm (xem [19]) như sau

Định nghĩa 2.1.1 Cho W  n n với các phần tử w ij và | |là ma trận không

âm trong n n với các phần tử | | Cho 2 ma trận U V,  n n chúng ta viết U

≤ V nếu u ij ≤ w ij với mỗi i, j  {1,2 , n} Trong thực tế (W) ≤ (| |)

Khi đó Q(s, z) ≠ 0 với s, z  C sao cho Re( )s  0, z  1.

Chứng minh Giả sử ngược lại, tức là tồn tại s, Re(s) ≥ 0 và z, z  1 thỏa mãn

Q(s, z) = 0 Điều này kéo theo tồn tại một vector v ≠ 0 sao cho

sA B  sC D z



   , kéo theo

Điều này mâu thuẫn với (2.6)

Chú ý trong trường hợp trễ đơn, ví dụ M = 1, mệnh đề này đúng mà không cần

lấy giá trị tuyệt đối trong (2.6), (tham khảo trong [26]) Hơn nữa, do nguyên lý cực đại trong giải tích phức, nó đạt được cận trên đúng trên trục ảo Re(s) = 0 trong giả thiết( 2.6)

Định lý 2.1.1.2 Giả sử rằng các giả thuyết (2.5) và (2.6) trong bổ đề 2 là

đúng Khi đó hệ (0.1) ổn định tiệm cận với tất cả các tập hợp trễ  i M i1, tức là

tính ổn định tiệm cận của (0.1) là không phụ thuộc vào trễ độc lập

Chứng minh Tương tự như phần chứng minh ở Bổ đề 2.1.1.1, không khó để

chứng minh rằng phương trình P(s) = 0 chỉ có nghiệm với phần thực âm Tiếp

theo, chúng tôi chứng minh rằng phần thực của các nghiệm bị chặn bởi 0 Giả

sử rằng nguyên lí này không đúng Khi đó tồn tại một dãy {Sn} sao cho ( )n 0