Luận văn một số tính chất của phương trình vi phân đại số với hệ số biến thiên

Lí do chọn đề tà i Lý thuyết phương trình vi phân đại số DAEs có lịch sử nghiên cứu từ lâu nhưng phải tới những năm 1960, các nhà toán học và kỹ sư mới bắt đầu nghiên cứu các khía cạnh k

Lời cảm ơn

Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới TS Nguyễn Văn Hùng, thầy đã định hướng chọn đề tài và tận tình hướng dẫn, giảng giải để tôi có thể hoàn thành luận văn này

Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới phòng Sau đại học, các thầy cô giáo dạy cao học chuyên ngành Toán giải tích, trường Đại học

Sư phạm Hà Nội 2 đã trang bị kiến thức, giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập

Nhân dịp này tôi cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè đã luôn động viên, cổ vũ, giúp đỡ tôi trong quá trình học tập và hoàn thành luận văn

Hà Nội, tháng 06 năm 20ỉ 5

Tác giả

N g u y ễ n T h ị H u y ề n T ra n g

Lời cam đoan

Tôi xin cam đoan dưới sự hướng dẫn của TS Nguyễn Văn Hùng luận

văn: M ộ t số t í n h c h ấ t c ủ a p h ư ơ n g t r ì n h v i p h â n d ại số với h ệ

số biến t h i ê n là công trình nghiên cứu của tác giả.

Trong quá trình nghiên cứu viết luận văn, tác giả đã kế thừa những thành tựu của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn, các thông tin trích dẫn trong luận văn đã được chỉ rõ nguồn gốc

Hà Nội, tháng 06 năm 20ỉ 5

Tác giả

N g u y ễ n T h ị H u y ề n T ra n g

Phương trình vi phân đại số với hệ số hằng

Đặc trưng của phương trình vi phân đại số với hệ số hằng

3

37

11

11

18

1

P h ư ơ n g tr ìn h vi p h â n đ ại số với hệ số b iế n th iê n

Phương trình vi phân đại số với hệ số biến thiên 50

Đặc trưng phương trình vi phân đại số chính quy bởi dãy phépchiếu chấp nhận được

M ở đầu

1 Lí do chọn đề tà i

Lý thuyết phương trình vi phân đại số (DAEs) có lịch sử nghiên cứu từ lâu nhưng phải tới những năm 1960, các nhà toán học và kỹ sư mới bắt đầu nghiên cứu các khía cạnh khác nhau của DAEs, chẳng hạn như các vấn đề về lý thuyết và các ứng dụng của nó Cho tới nay lý thuyết DAEs

đã phát triển và có nhiều mối liên hệ chặt chẽ với các lĩnh vực toán học khác như đại số, giải tích hàm, giải tích số, và tỏ ra có nhiều ứng dụng rộng rãi trong thực tiễn

Phương trình vi phân đại số bắt đầu thu hút được các nghiên cứu thú

vị và tinh tế trong các ứng dụng và giải tích số từ những năm đầu thập niên 80 của thế kỉ trước Trong một thời gian tương đối ngắn, phương trình vi phân đại số đã trở thành một công cụ được thừa nhận rộng rãi trong các mô hình có đối tượng ràng buộc để mô hình hóa và để điều khiển các quá trình đó theo các lĩnh vực ứng dụng khác nhau

Với mong muốn tìm hiểu lí thuyết phương trình vi phân đại số nói chung

và nhằm bổ sung và nâng cao kiến thức đã học trong chương trình đại

học và cao học, tôi chọn đề tài M ộ t số t í n h c h ấ t c ủ a p h ư ơ n g t r ì n h

v i p h â n đ ại số vớ i h ệ số biến t h i ê n làm luận văn cao học của mình.

2 M ục đích nghiên cứu

Nghiên cứu về phương trình vi phân đại số với hệ số biến thiên

3 N h iệm vụ nghiên cứu

Nghiên cứu lí thuyết phương trình vi phân đại số với hệ số biến thiên

4 Đ ối tư ợng và phạm vi n ghiên cứu

Đối tượng nghiên cứu: Nghiên cứu các đặc trưng của phương trình vi phân đại số với hệ số biến thiên

Phạm vi nghiên cứu: Các cuốn sách, các bài báo và các tài liệu liên quan đến lí thuyết phương trình vi phân đại số, chủ yếu là cuốn sách [Ẹị

5 P hư ơng pháp n ghiên cứu

Sử dụng công cụ của đại số tuyến tính, giải tích số và giải tích hàm để tiếp cận và giải quyết vấn đề Thu thập, nghiên cứu và tổng hợp các tài liệu liên quan, đặc biệt là các bài báo và các sách mới về vấn đề mà luận văn đề cập tới

6 Đ ó n g góp của luận văn

Xây dựng luận văn thành một tài liệu tổng quan và tham khảo tốt cho sinh viên và học viên cao học về phương trình vi phân đại số với hệ số biến thiên

với các phần tử ở vị trí * là tùy ý, khi đó ma trận Q là một phép chiếu lên không gian con một chiều span bởi vector cột đầu tiên của Q dọc theo

không gian con (ra — 1) chiều

{ v : v = [Vị v 2 V m ] T , Vi = 0 }

B ổ đ ề 1.1 Cho p và p là hai phép chiếu và Q := I — p, Q = I — p là

phép chiếu bù Khi đó, các tính chất sau là đúng:

(6) Mỗi phép chiếu p là chéo hóa được Các giá trị riêng là 0 và 1 Bội của giá trị riêng 1 là r = rankP.

B ổ đề 1.2 (Lemma A.9, [5]) Cho A , B e L{R m), và rankA = r <

m , N = Ker^i, và s = {z e Rm : B z e Imyl} Khi đó, các điều sau là tương đương:

(1) Nhân với một ma trận không suy biến E e L{Rm) sao cho

, E B = , rankAi = r

thì thu được một ma trận không suy biến

(5) Cặp {A, B } là chính quy với chỉ số Kronecker 1;

(6) Cặp { A , B + A W } là chính quy với chỉ số Kronecker 1 vối mỗi

BỔ đ ề 1.4 (Lemma A ll, [Ị5 ị |) Cho trước ma trận Ả e

incL4, r = rankj4fc và cho S i, , sr G Rm và sr+ 1, , sm G

ứng là các cơ sở của ỉ m A k và K e i A k Khi đó, với s = [si

S ^ A S có cấu trúc đặc biệt

) , k =

Rm tương sm] tích

S~1A S = M 0

0 N trong đó M e L ( w ) là không suy biến và N e L{Rm r) là ỉũy ỉinh,

N k = 0 5 N k - 1 ^ Q

Với hai hàm ma trận khả vi liên tục F : 1 —>■ L ( w nì Rfc) và G : X —ì

L{Rỉ,R m), I c M Tích FG : 1 -> L(Rỉ,R fc) được xác định bởi

(FG )(í) := F (í)G (í), í e l

(2) Nếu một không gian con L (t) ç Rm,t G X, với số chiều r span bởi các hàm T)i, ,T)r G с г(1, Rm), tức là L (t) = span{ĩỊi(t) , , ĩỊr(t)} thì không gian con này trở thành không gian con của không gian các hàm khả vi liên tục;

(3) Cho hàm ma trận Ả £ C k(I, L{Rm)) có hạng к , khi đó, tồn tại một hàm ma trận M G c k( l , L(Rm)) không suy biến sao cho

A{t)M{t) = [Ẩ(t) 0], ra n kà (t) = r Ví G X.

1.2 M ột số không gian hàm

a K h ôn g gian định chuẩn

Cho X là một không gian vectơ trên trường p (p = R hoặc C).

Đ ịn h n g h ĩa 1.2 Một chuẩn trên X là một ánh xạ đi từ X vào R, kí

hiệu là II • II và thoả mãn các điều kiện:

ì ) IMI > 0 với mọi X e X \

2) ||íc|| = 0 khi và chỉ khi X = 6 (6 là kí hiệu phần tử không của X );

3) IIArrII = |À| ||íc|| vối mọi số A e p và mọi X e X \

ị ) ||íc + y\\ < ||íc|| + II 2/ II với mọi x ,y e X.

Một không gian vectơ X cùng với một chuẩn xác định trong không gian

ấy được gọi là một không gian định chuẩn (thực hoặc phức, tuỳ theo p

Đ ịn h n g h ĩa 1.4 Dãy {ícn} trong không gian định chuẩn X được gọi là

một dẫy cơ bản (hay dẫy Cauchy) nếu

Đ ịn h n g h ĩa 1.5 Không gian định chuẩn X gọi là không gian Banach,

nếu mọi dẫy cơ bản trong X đều hội tụ.

Đ ịn h n g h ĩa 1.6 Cho hai không gian tuyến tính X và Y trên trường p

Ánh xạ Ả từ không gian X vào không gian Y được gọi là tuyến tính nếu thoả mãn:

1) A ( x + y) = A x + Ảy với mọi x , y £ X \

2) Ả (a x ) = a A x với mọi X e X , a e p.

Ánh xạ tuyến tính Ả còn được gọi là toán tử tuyến tính.

Đ ịn h n g h ĩa 1.7 Cho không gian định chuẩn X và Y Toán tử tuyến

tính Ả từ không gian X vào không gian Y gọi là bị chặn nếu tồn tại

hằng số c > 0 sao cho:

II Ac|| < c ||íc|| vối mọi X £ X

Đ ịn h n g h ĩa 1.8 Cho hai không gian định chuẩn X và Y Kí hiệu

L ( X , Y ) là tập tất cả toán tử tuyến tính bị chặn từ không gian X vào không gian Y Ta đưa vào L ( x , Y ) hai phép toán:

một không gian tuyến tính trên trường p Ta trang bị một chuẩn như sau trên L (X , Y )

P l l = sup P z | | , VA e L { X , Y )

II 35 II < 1

Khi đó, tập L ( x , Y ) trở thành một không gian tuyến tính định chuẩn.

Đ ịn h lý 1.1 Nếu Y là một không gian Banach thì L ( X , Y ) là không

gian Banach.

b K hôn g gian ơ[a, b]

Xét tập hợp tấ t cả các hàm số giá trị thực xác định và liên tục trên đoạn [a, 0], (—00 < a < b < +oo) Các phép toán cộng và nhân với vô hướng trên C[a,b] xác định bởi

Phép cộng:

+ : C[a,b] X C[a,b] — > C [ a , b ]

(x,y) I - >x + y xác định bởi (X + y)(t) = x(t) + y(t), Ví G [a,b].

Phép nhân với vô hướng:

• : R x C[a,b] — > C[a,b]

(À, x) I— > Xx xác định bởi (Xx)(t) = Xx(t), Ví e [a,b].

Khi đó, ta thấy rằng tập hợp C[a, b] cùng với hai phép toán cộng và

nhân với vô hướng ở trên lập thành một không gian vector trên trường

số thực R

Với mọi X G C[a,tí\ ta đặt

||a;|| = max |a;(í)|, (1 -1)

a<t<b

khi đó công thức (1 1 ) xác định một chuẩn trên C[a, 6].

Đ ịn h lý 1.2 Không gian C[a,b] với chuẩn (1.1) là một không gian Banach.

Kí hiệu c 1 [ữ, 0] là tập hợp các hàm số giá trị thực xác định và khả vi liên tục tới cấp 1 trên đoạn [ữ, 0] Với X e c 1[aì b] đặt

||íc|| = max |rr(í)I + max |rr/(í)I (1 2)

Chương 2

Phương trình vi phân đại số với hệ

số hằng

2.1 P hư ơng trìn h vi phân đại số với hệ số hằng

Xét phương trình vi phân đại số dạng

Ex'{t) + Fx{t) = q(t), t e X, (2.1)

ở đây { E , F } là cặp ma trận vuông cỡ m X m giá trị thực Với các hàm

q : X —>■ Rm là liên tục trên đoạn I c M, ta tìm các nghiệm liên tục

X : X —>■ Rm có thành phần E x khả vi liên tục Ta sử dụng kí hiệu Ex'{t) thay cho (Ex)'{t) Trước tiên, ta xét phương trình thuần nhất

Từ đó, X* là một nghiệm riêng không tầm thường của phương trình

vi phân đại số (2.2 ) nếu À* là một không điểm của đa thức p(x) :=

det(Ai? + F) và z* Ỷ 0 thỏa mãn (\*E + F)z* = 0 Khi đó, A* và z*

tương ứng được gọi là giá trị riêng suy rộng và vector riêng suy rộng

V í d ụ 2.1 Xét phương trình vi phân đại số sau:

Giá trị À* = 1 là một giá trị riêng suy rộng và vector 2* = (1 0 0)T là

vector riêng suy rộng Rõ ràng, x*(t) = ex*tz* = (et 0 0)T là một nghiệm

không tầm thường của phương trình vi phân đại số trên

Nếu E là ma trận không suy biến thì phương trình thuần nhất (2.2)

có dạng là một phương trình vi phân thường dạng ẩn và hệ nghiệm cơ

bản của phương trình đó là một không gian con m chiều của c Km)

Đ ịn h n g h ĩa 2.1 Cho trước bất kì cặp ma trận { E , F } với E , F e

L{Rm), ma trận \ E + F gọi là chính quy nếu đa thứcp(x) := det(AE + F )

không đồng nhất bằng không Trái lại ta nói ma trận XE + F là kì dị.

Cặp ma trận { E , F } và phương trình (2.1) được gọi là chính quy nếu

XE + F ma trận là chính quy, trái lại ta gọi là không chính quy (kì dị).

Ta thấy rằng, một cặp ma trận {E, F} với một ma trận không suy biến E luôn là chính quy và đa thức p(À) của nó có bậc ra Trong trường hợp có một ma trận E suy biến, đa thức p(À) sẽ có bậc nhỏ hơn m như

của các khối N và w được xác định duy nhất bởi cặp { E , F }

C h ứ n g m in h Nếu E không suy biến, ta có thể đặt ỉ = 0, L = E -1, K =

và do đó N cũng có tính lũy linh như N Do đó, N 11 = 0 và Ỷ 0-

Đặt ỉ := m — r Ta còn phải kiểm tra rằng, các số nguyên ỉ và fl cũng

So sánh các phần tử tương ứng của các ma trận trên ta có U12N = Ví2

và U 12 = w v 12, nên từ đó U 12 = W U i 2 N = • • • = W ụ‘Ui 2 N ụ‘ = 0 Tương

tự, ta suy ra U 21 = 0 Khi đó, các khối Un = Vn, U 22 = V 22 phải không

Ta gọi cặp ma trận cho trong (2.3) được gọi là dạng

Weierstrass-Kronecker của cặp ma trận gốc {E, F}.

Đ ịn h n g h ĩa 2 2 Chỉ số Kronecker của một cặp ma trận suy biến

{E, F}, E, F £ L{Rm) và chỉ số Kronecker của một phương trình vi phân đại số (12.11) là bậc lũy linh [I theo dạng Weierstrass-Kronecker

(2.3) Kí hiệu I n d { E , F } = Ị.L.

Dạng Weierstrass-Kronecker của một cặp ma trận suy biến { E , F }

Đổi biển trong (2.1) bởi L và biến đổi X = K

giúp ta biết được cấu trúc của phương trình vi phân đại số liên kết (2.1 )

y

ta thu được hệ phương

trình tương đương

y'(t) + Wy(t) = p(t), t £ I ,

N z ' ( t ) + z(t) = r(í), t € ĩ ,

(2.4)(2.5)

với Lq = Phương trình (2.4) là phương trình vi phân thường dạng

hiện Phương trình (12.51) chỉ xuất hiện khi l > 0 vì khi l = 0 thì N không

nếu r đủ trơn Khai triển (|2.6Ị) chứng tỏ sự phụ thuộc của nghiệm X vào

các đạo hàm của hàm ban đầu hoặc hàm q Với các chỉ số cao hơn thì

có nhiều hơn các đạo hàm trong vế phải của (2.6) Chỉ trong trường hợp

chỉ số 1, ta có N = 0, nên z(t) = r(t), và không chứa đạo hàm nào.

Ta có kết quả sau đây về không gian nghiệm của phương trình vi phân đại số thuần nhất

Đ ịn h lý 2 1 Phương trình vi phân đại số thuần nhất (2.2) có một không

gian nghiệm hữu hạn chiều nếu và chỉ nếu cặp ma trận {E, F} là chính quy.

C h ứ n g m in h Nếu cặp ma trận { E , F } là chính quy, thì các nghiệm của (2.2) tạo thành một không gian (ra — ỉ) chiều Ngược lại, giả sử trái lại cặp {E, F} là kì dị, tức là d et(XE + F) = 0 Với bất kì tập m + 1 các

giá trị thức khác nhau Ai, , Am+1 ta tìm các vector không tầm thường

x 2y + x 2 = 0 thỏa mãn với bất kì x2 là hàm liên tục, khi đó X i được biểu diễn dưới dạng

t

X i (t) = c - x 2 (t) - Ị x 2 (s)di

0

c là một hằng số khác Ta sẽ áp dụng định lí 2 ^ để thấy không gian

nghiệm của phương trình này có số chiều vô hạn, th ật vậy, ta thấy giả thiết chính quy không được thỏa mãn vì

p(x) = det (XE + F) = det 0 0 0 A

Lưu ý rằng, trong trường hợp q là không tầm thường, với hệ phương

trình vi phân đại số nhiễu liên kết (2.1 ) điều kiện q'3 = Ộ4 cần thiết để

giải được bài toán

2.2 Đ ặc trư ng của phương trìn h vi phân đại số với

với các hệ số E , F £ L ( w n) qua dạng Weierstrass-Kronecker Để thực

hiện điều này ta làm như sau

Đặt Gq = E , B ữ = F, N ữ = KerGo và lấy Qữ e L(Mm) là một phép chiếu lên iV0 Đặt Pq = / — Qũ là phần bù của Qữ Áp dụng tính chất cơ

Tiếp theo, đặt Q 1 là phép chiếu lên iVi = KerGi và đặt P\ := I — Qi là phần bù của Q1 Khi đó, phương trình cuối trở thành

gọi Qi + 1 £ L{Rm) là phép chiếu lên N i+1 với p i+1 := I — Qi+ 1 Đặt

Tị := rankơị và đặt tích các phép chiếu Ilị := p ữ" • Pị Từ Bi+1 =

BịPị = -BoIIj ta suy ra K erllị Ç K e rß j+ 1 Vì Gi = Gị+iPị nên ta có

Im G q Ç Im G\ Ç • • • С Im Gi Ç Im G i+1,

V í d ụ 2.3 (Dãy ma trận chấp nhận được của phương trình vi phân đại

số chính quy) Xét phương trình vi phân đại số

là 2 Hơn nữa, các không gian không N q và Nị giao nhau bằng rỗng,

và phép chiếu Q1 được chọn sao cho IIoQiQo = 0 hoặc tương đương với

N q c kerlIoQi

V í d ụ 2.4 (Dãy ma trận chấp nhận được của phương trình vi phân đại

số không chính quy) Ta xét cặp ma trận không chính quy trong ví dụ

Qĩj = Q oì @2j+i = Gi, Q2j+1 = Q1, (*2j+2 = G q , j > 1.

Do đó, ta có Tị = 3, Vi > 0 và hạng cực đại của ma trận này là hạng của

G q

Khi xây dựng dãy (2.10) ta đã sử dụng quá trình sau: tại một cấp bất kì, ta phân tích

N 0 + • • • + iVj_i = Nị © Xị, Nị : (iVo + • • • + iVj_i) n Nị, (2.12)

trong đó Xị là phần bù của Nị trong iVo + • • • 4- Ta chọn Qi sao

cho điều kiện

Điều này luôn có thể vì các không gian Nị và X ị có giao không tầmthường Tuy nhiên, nếu ta có (2.13) thì điều này suy ra các tích của cácphép chiếu Ilị theo mệnh đề 2.1 (2) cũng là một phép chiếu Do đó, việc phân tích cấu trúc của phương trình vi phân đại số sẽ tinh tế hơn nhờ tính chất này

Nếu giao Nị = (N q + • • • + iVj_i) n Nị là tầm thường, thì ta có

Xi = iV 0 + • • • + iVj_i c Ker Qị.

Trường hợp này trong ví dụ |2.3| ta đã chứng tỏ phương trình vi phân đại

số là chính quy

Đ ịn h n g h ĩa 2.3 Cho trước cặp ma trận {E, F}, E , F £ L{Rm), và một

số nguyên k e N Ta gọi dãy ma trận Gữì ,G k ỉà một dãy ma trận chấp nhận được nếu dẫy ma trận này được xây dựng theo quy tắc sau: Dặt Gq = E,Bq = F , N 0 = KerƠQ, và chọn một phép chiếu Qũ e

L ( w n) lên N ữ Với i > 1 :

Bị : =

Ni = K erGu N i = (N0 + - " + iV,_i) n N u

chọn một phép chiếu Qi sao cho ImQi = Nị và Xị c KerQi, đặt Pị = I - Qi, IIi = ĩli-ịPị.

Các phép chiếu Qo, , Qk trong một dãy ma trận chấp nhận được được gọi là phép chiếu chấp nhận được Dãy ma trận Go, ,Gk gọi là

ma trận chấp nhận được chính quy nếu

Ni = {0}, Vi = 1, ,k.

Khi đó, các phép chiếu Qũ, , Qk cũng được gọi là các phép chiếu chấp

nhận được chính quy

Ta thấy rằng dãy các phép chiếu trong ví dụ ^ 3 là chấp nhận được,

nhưng dãy các phép chiếu trong ví dụ 2Ả là không chấp nhận được Tuy nhiên, ta có thể chỉnh lại ví dụ 2Ả để thu được dãy các phép chiếu trong

ví dụ 2Ả là chấp nhận được Xét ví dụ sau.

V í d ụ 2.5 (Các phép chiếu chấp nhận được).

Xét cặp ma trận suy biến trong các ví dụ 2^2 và 2Ả, Ta bắt đầu với dãy Go, B q , Q o , G i như trong ví dụ 2A nhưng ta sẽ sử dụng một phép

chiếu chấp nhận được Qi- Không gian không của G ữvà G1 được cho bởi

Đ ịn h lý 2.2 Nếu với cặp ma trận {E, F}, E, F £ L(R.m) là một dẫy

các ma trận chấp nhận được (Gj)j> 0 chứa ma trận Gn là không suy biến thì các biểu diễn sau là đúng:

G Z'E = II/ỉ -1 + (/ - n ^ G - ^ E Ự - n „_a) (2.14)

(2.15)

và {E, F} là cặp không suy biến.

C h ứ n g m in h Giả sử Gn không suy biến, theo mệnh đề 2.1 ta có

Hơn nữa, ta có Gn = E + F ự — ĩln i), do đó I = G ^ E + G ^ F ự — x)

và _iG~l E = G ^ E Ĩ l n !• Từ các tính chất này ta suy ra

n ^ - i ơ “ -E(/ — n ^ - i) = 0 (2.17)Hay ta thu được (2.14) và (2.15)

Bây giờ ta kí hiệu tập hữu hạn gồm tấ t cả các giá trị riêng của ma trận — n /i_1G“1.F là A Ta sẽ chứng tỏ rằng ma trận XE + F là không suy biến với mỗi À tùy ý không thuộc vào A, điều này chứng tỏ chùm ma

trận (ma trận pencil) là suy biến Phương trình (XE + F )z = 0 tương

đương với

XG~1E z + G~í F z = 0 r *-1rhay

X G ^ E U ^ + G ^ E ự - U ^ + X G ^ r U ^ + G ^ r ự - U ^ = 0

(2.18)Nhân (2.18) với và từ (2.16), (2.17) ta có

+ ĩln-iG F U ^ lZ — (XI + F )ĩ ln -i z — 0,

hay ĩln-iZ = 0 với À Ệ A Vì = 0 nên ta nhân (2.18) với I —

ta thu được

Ằ(/ - Iĩ ^ ) G - ' E ( I - n „ _ !> + ( \ I - n „ - 1 ) 0 - ' F ự - n ^ ) * = 0 Thay G ý E = 1 - G - ^ ự - n„_!) ta có

Nhân hai vế của đẳng thức trên lần lượt với Qn_1 và Qn - 2 ta có Qn-\Z = 0

và Qh- 2 Z = 0 Tiếp tục quá trình này, ta nhận được Qữz = 0 và do đó

z = (I — U ^ z ) = QqZ + • • • + Tlự-ìQ Ị 1 -\Z = 0 □Một tình huống quan trọng là khi dãy các ma trận phụ thuộc vào cách chọn của các phép chiếu chấp nhận được Tuy nhiên, kết quả dưới đây trình bày các tính chất quan trọng lại không phụ thuộc vào cách chọn của các phép chiếu

Đ ịn h n g h ĩa 2.4 Với bất kì cặp ma trận {E, F } , E , F e L{Rm) các số

nguyên Tị = rankG ị , i > 0,Uị = dimiVj, i > 1, sinh ra từ dãy m a trận

chấp nhận được (Gị)i> 0, được gọi là giá trị đặc trưng cấu trúc (structural

Ỡ0 = E = G0, Ẽ 0 = F = B 0, N 0 = Ker Ỡ0 = Ker G0 = N 0, Z 0 = I.

C h ứ n g m in h Ta chứng minh (1) và (2) bằng quy nạp Với i = 0 ta có

Giả thiết quy nạp

đúng với j < i với ma trận 11 ỳ ỉiiiuiig ũUj uicii Z j không suy biến ở trên, và

Từ giả thiết quy nạp (2.19) và từ biểu diễn của Y ị và từ mệnh đề 2.1

có

N 0+ • • • + N j -1 c KerXIj—1 Qj, Nq + • • • + N j -1 c K e r j i < i,

do đó

Điều này suy ra

Im (Yổ - I) c Ker (yi+1 - /), j = 1 , , i.

Tiếp theo, ta chứng tỏ rằng zi+1là không suy biến Theo giả thiết quy nạp ta biết Zị là không suy biến Trước tiên ta chỉ ra Y i+1 là không suybiến, th ật vậy, từ định nghĩa của Yi+1 và mệnh đề 2.1 (1) ta có

vì I m Q j Ç kerllị với j < г. Sử dụng giả thiết quy nạp (2.19), mệnh đề 2.1Ỉ và Bổ đề ll.ll ta có

Điều này suy ra

vì theo mệnh đề 2.1 (1)

= (Ilj-I — IIj)(IIj_iQî — IIj_iQî)

= Ilj — IIj_iIIj_iPj = rij — IIj_iIIj

Phương trình (2.26) và (2.27) suy ra

và do đố từ (2.23)

/ = Yi+1 - (Yi+1 - I ) = Yi+1 - (Yi+l - / ) П 4_!

= Yi+1 - (yj+1 - - Ilị—i)^t+i + n M }

Khi đó — Yi+iZi cũng không suy biên và

zr+\ = Z7'YU\ = ự + E QiCii)Yt~\ = I + ỵ , Q,ci+ii

với các hệ số ci+n đã biết Từ (2.25) ta có N i+1 = Z ĩ+\ N i+1 và từ dạng

đặc biệt của Zi+\ ta có

N i+1 Ç: N q + • • • + N ị+1, iVo + • • • + N ị+ 1 Ç N q + • • • + N i + ị.

Do tính chất của Im (Z i + 1 — I) Ç Nq + • • • + Nị = Nq + • • • 4- Nị, nên

N i+1 = Z i+1N i+1 = ( / + ( Z i+1 — I ) ) Ni+1 Ç N q + • • • + N ị + ị.

Do đó, Nq + • • • + N i + 1 ç jVo + • • • 4- iVj+i Do tính đối xứng, ta có

iVo + • • • + iVị+1 = iVo + ■ ■ ■ + Ni +ị.

Tiếp theo, ta chứng minh khẳng định (4) Theo (1) và từ mệnh đề

Từ Bổ đề trên ta có kết quả sau

Đ ịn h lý 2.3 Với bất kì cặp ma trận {E, F}, E, F e L(Rm) các không

gian con Nq + • • • + Ni, Ni và ỉm Gi không phụ thuộc vào cách chọn các phép chiếu chấp nhận được.

2.2 2 Đ ặ c trư n g củ a phương trìn h v i p h ân đại số với hệ số h ằng bởi dãy p h ép ch iếu chấp nh ận được

Trong mục này ta xét cặp ma trận {E, F}, E, F £ L{Rm), dãy ma trận

chấp nhận được (chấp nhận được) (Gị)i> 0 ,i < ịi Phương trình vi phân

đại số liên kết

E x \ t ) + F x ự ) = q(t) (2.28)

là chính quy nhờ định lí |2.2[ Các ma trận đó có