Bán kính ổn định của hệ phương trình vi phân đại số có chậm

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊNKHOA TOÁN - CƠ - TIN HỌC PHẠM KIM QUÝ BÁN KÍNH ỔN ĐỊNH CỦA HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN ĐẠI SỐ CÓ CHẬM LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Hà Nội

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

KHOA TOÁN - CƠ - TIN HỌC

PHẠM KIM QUÝ

BÁN KÍNH ỔN ĐỊNH CỦA

HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN ĐẠI SỐ CÓ CHẬM

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Hà Nội - 2015

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

KHOA TOÁN - CƠ - TIN HỌC

PHẠM KIM QUÝ

BÁN KÍNH ỔN ĐỊNH CỦA

HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN ĐẠI SỐ CÓ CHẬM

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Ngành: Toán ứng dụng

Mã số: 60460112

Cán bộ hướng dẫn: PGS TSKH Vũ Hoàng Linh

Hà Nội - 2015

LỜI CẢM ƠN

Trước khi trình bày nội dung chính của luận văn, em xin bày tỏ lòngbiết ơn sâu sắc tới PGS TSKH Vũ Hoàng Linh, người đã dành nhiều thờigian, công sức để hướng dẫn và tận tình chỉ bảo trong suốt quá trình thựchiện luận văn

Nhân đây em xin được gửi lời cảm ơn đến ban lãnh đạo và các thầy côgiáo, các anh/chị cán bộ trường ĐHKHTN - ĐHQGHN nói chung và khoaToán - Cơ - Tin học nói riêng vì đã tạo mọi điều kiện thuận lợi nhất, giúp

đỡ em trong thời gian em học tập, nghiên cứu tại trường

Tôi xin cảm ơn các anh chị và các bạn trong chuyên ngành Toán ứngdụng vì những động viên và những ý kiến trao đổi quý báu đối với bảnthân trong thời gian qua Cuối cùng tôi xin bày tỏ lòng biết ơn gia đình,người thân luôn là chỗ dựa về tinh thần và vật chất trong cuộc sống vàtrong học tập

Hà Nội, ngày 01 tháng 05 năm 2015

Học viên

Phạm Kim Quý

DANH MỤC KÍ HIỆU VÀ CHỮ VIẾT TẮT

• AC([0, ∞),Cn): Không gian các hàm liên tục tuyệt đối từ [0, ∞) vào

Mục lục

1.1 Một số khái niệm về ma trận 6

1.1.1 Ma trận Metzler, ma trận dương Nghịch đảo Drazin 6 1.1.2 Khai triển kì dị 8

1.1.3 Phổ và chỉ số 10

1.2 Chuẩn véc-tơ và chuẩn ma trận 12

1.3 Một số khái niệm về phương trình vi phân 13

2 Một số kết quả về bán kính ổn định 16 2.1 Bán kính ổn định của hệ phương trình vi phân đại số 16

2.2 Bán kính ổn định của phương trình vi phân thường có chậm 27 2.2.1 Bán kính ổn định của PTVP thường có chậm 28

2.2.2 Hệ dương có chậm 30

3 Bán kính ổn định của hệ phương trình vi phân đại số có chậm 33 3.1 Các khái niệm mở đầu 34

3.2 Tính ổn định mũ của phương trình vi phân đại số có chậm 39 3.3 Tính ổn định mũ vững 44

Trong tài liệu này, một tính chất P của hệ được gọi là vững nếu tínhchất đó được bảo toàn khi một nhiễu tùy ý ε (đủ nhỏ) tác động lên hệ.Ngoài việc quan tâm tới tính vững của một tính chất, người ta còn quantâm tới độ vững của tính chất đó mà đại lượng quan trọng để đánh giá kháiniệm này là bán kính của thuộc tính (được đo bởi mê-tric tương thích).Trong khuôn khổ luận văn, tính chất P được xét là tính ổn định, và hệđược xét là hệ PTVP ĐS có chậm tuyến tính thuần nhất hệ số hằng, chịutác động của nhiễu có cấu trúc.

PTVP ĐS có chậm là trường hợp tổng quát hơn của PTVP ĐS ferential Algebraic Equations) và PTVP thường có chậm (Delay OrdinaryDifferential Equations) Trong khi PTVP ĐS là mô hình toán học cơ bảncho nhiều hệ động lực trong nhiều lĩnh vực ứng dụng chẳng hạn như môphỏng mạch điện, lý thuyết điều khiển, động lực chất lỏng, kĩ thuật hóahọc, thì PTVP ĐS có chậm là cần thiết để mô hình hóa những tác độngkhông tức thời (có chậm) Không giống như trường hợp PTVP thường cóchậm và PTVP ĐS, việc nghiên cứu tính ổn định của PTVP ĐS có chậmgặp nhiều khó khăn do nó bao gồm cả phần ràng buộc đại số và độ trễ thời

(Dif-gian, thậm chí lý thuyết tồn tại và duy nhất nghiệm cũng mới thu được

ít nhiều kết quả Khó khăn còn rõ rệt hơn khi phân tích tính ổn định của

nó Hầu hết các kết quả đã biết về tính ổn định của PTVP ĐS có chậmchỉ là đối với trường hợp chính quy có hệ số hằng hoặc một vài trường hợp

có dạng đặc biệt Nhiều kết quả đã biết trong PTVP thường có chậm vàPTVP ĐS không thể chuyển sang PTVP ĐS có chậm

Bài báo [5] là cơ sở thực hiện luận văn Trong tài liệu này, các tác giả

đã nghiên cứu tính ổn định của hệ thông qua mối quan hệ của tập phổ vớitập C− cùng với một số điều kiện kèm theo Và để thu được công thức tínhtoán bán kính ổn định của PTVP ĐS có chậm, thì việc phân tích phứctạp hơn cùng với việc sử dụng hàm truyền G(λ)(transf erf unctions).Trong luận văn, tác giả đề cập đến các dạng PTVP tuyến tính thuầnnhất hệ số hằng Luận văn gồm 56 trang, ngoài phần mở đầu, kết luận vàtài liệu tham khảo, luận văn gồm có ba chương:

⋄ Chương 1 Một số kiến thức chuẩn bị Trong chương này, chúngtôi tóm tắt một số kiến thức sử dụng trong luận văn, chủ yếu là cáckiến thức mở rộng về ma trận, véc-tơ và chuẩn

⋄ Chương 2 Một số kết quả về bán kính ổn định Nội dung củachương là giới thiệu một số kết quả và công thức bán kính ổn định củaPTVP ĐS và PTVP thường có chậm tuyến tính hệ số hằng như lànhững trường hợp đặc biệt của phương trình vi phân đại số có chậm

⋄ Chương 3 Bán kính ổn định của hệ phương trình vi phân đại

số có chậm Chương này là nội dung chính của luận văn Trong đó,chúng tôi sẽ phân tích và chứng minh các kết quả về bán kính ổn địnhphức của PTVP ĐS có chậm tuyến tính hệ số hằng Và kết quả làđưa ra một công thức tính toán bán kính ổn định

Quá trình tìm hiểu, nghiên cứu vấn đề sẽ không tránh khỏi sai sót, hạnchế Do đó, em rất mong nhận được những góp ý của các thầy cô để luậnvăn được hoàn chỉnh

Chương 1

Một số kiến thức chuẩn bị

Trong chương này, chúng tôi trình bày tóm tắt một số kiến thức cầndùng cho các phân tích, chứng minh trong luận văn và một vài ví dụ minhhọa Cụ thể là một số kiến thức mở rộng về ma trận, chuẩn và một vàikiến thức cơ bản về PTVP

1.1 Một số khái niệm về ma trận

1.1.1 Ma trận Metzler, ma trận dương Nghịch đảo Drazin

Định nghĩa 1.1 Cho ma trận A = [aij] ∈ Rn×n, 1 ≤ i, j ≤ n Khi đó:

1 A được gọi là một ma trận Metzler nếu tất cả các phần tử, ngoạitrừ những phần tử trên đường chéo chính, là không âm, tức là aij ≥

có các khái niệm nghịch đảo khác, chẳng hạn: nghịch đảo nhóm, nghịchđảo Drazin, nghịch đảo suy rộng Trong phần này chúng tôi trình bày vềkhái niệm nghịch đảo Drazin và một vài kết quả liên quan

Định nghĩa 1.2 Cho ma trận A ∈ Cn×n Khi đó:

1 Số tự nhiên k được gọi là chỉ số của A và kí hiệu là ind(A) = k nếu

k là số tự nhiên nhỏ nhất thỏa mãn rank Ak = rank Ak+1

2 Ma trận X ∈ Cn×n được gọi là nghịch đảo Drazin của A nếu X thỏamãn đồng thời các biểu thức

AkXA = Ak,XAX = X,

Định lý 1.3 Trong định lý này ta chỉ xét các ma trận vuông Khi đó ta

có các khẳng định sau:

(a) Nghịch đảo Drazin của ma trận A luôn tồn tại và duy nhất,

(b) Nghịch đảo Drazin của ma trận lũy linh là ma trận không,

(c) Nếu P là ma trận chiếu, P2 = P, có chỉ số ind P ≤ 1 thì PD = P,(d) (A∗)D = (AD)∗,

Ta có rank A = 2, rank A2 = rank A3 = 1 nên ind(A) = 2.

Vì det A = 0, nên không tồn tại A−1 Tuy nhiên ta có thể kiểm tra

lý sau, xem [6]

Định lý 1.4 Cho A ∈ Cm×n Khi đó luôn tồn tại các ma trận trực giao

U ∈ Cm×m, V ∈ Cn×n và ma trận đường chéo D := diag(σ1, , σr) trong

đó σi, 0 ≤ i ≤ r, là các căn bậc hai dương (kể cả bội) của các giá trị riêngcủa ma trận A∗A thỏa mãn

được gọi là khai triển kỳ dị của ma trận A

Các véc-tơ cột của ma trận U được gọi là các véc-tơ kỳ dị trái, và cácvéc-tơ cột của ma trận V được gọi là các véc-tơ kỳ dị phải, còn σi đượcgọi là các giá trị kỳ dị của ma trận A

Để tìm khai triển kì dị của một ma trận A ta đi tìm các véc-tơ riêngcủa các ma trận A∗A và AA∗ Cụ thể các véc-tơ riêng đơn vị của A∗A làcác véc-tơ cột của V, còn các véc-tơ riêng đơn vị của AA∗ là các véc-tơcột của U, các giá trị kỳ dị của A là các căn bậc hai của các giá trị riêng

6 − λ 12

12 24 − λ

= λ2 − 30λ

Suy ra các giá trị riêng của AAT là λ1 = 30 và λ2 = 0, hay A có một giátrị kì dị là σ1 = √

30 Ta có các véc-tơ riêng đơn vị ứng với các giá trịriêng λ1 và λ2 của ma trận AAT là

u1 =

" 1

√ 5 2

√ 5

#

và u2 =

"−2

√ 5 1

√ 5

−2

√ 5 2

√ 5

1

√ 5

5 5 − λ 10

10 10 20 − λ

... data-page="29">

2.2 Bán kính ổn định phương trình vi phân< /h3>

thường có chậm< /h3>

Trong phần này, chúng tơi trình bày tính ổn định vững bán kính

ổn định hệ phương trình vi phân thường có. .. (2.16) ổn định /ổn định mũ /ổn định tiệmcận ta nói (2.16) ổn định /ổn định mũ /ổn định tiệm cận.Cũng giống trường hợp PTVP ĐS, PTVP thường có chậmtuyến tính hệ số hai khái niệm ổn định mũ ổn định tiệm...

Bây ta định nghĩa bán kính ổn định có cấu trúc (2.1) tìmcơng thức tính tốn

Định nghĩa 2.10 Xét PTVP ĐS (2.1) quy ổn định tiệm cận.Khi đó, bán kính ổn định có cấu trúc (2.1) với nhiễu có cấu