Nghiên cứu định tính phương trình vi phân đại số ngẫu nhiên itô

Mặt khác, lý thuyết định tính các hệ phương trình vi phân là một trongnhững hướng nghiên cứu quan trọng của lý thuyết phương trình vi phân.Với các lý do nêu trên, chúng tôi chọn đề tài n

TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

- - - - F

-NGUYỄN THỊ THẾ

NGHIÊN CỨU ĐỊNH TÍNH PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN

ĐẠI SỐ NGẪU NHIÊN ITÔ

LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

Vinh - 2012

TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

- - - - F

-NGUYỄN THỊ THẾ

NGHIÊN CỨU ĐỊNH TÍNH PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN

ĐẠI SỐ NGẪU NHIÊN ITÔ

Chuyên ngành: Lý thuyết xác suất và Thống kê Toán học

Mã số: 62.46.01.06

LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

1 GS.TSKH Nguyễn Đình Công

2 PGS.TS Nguyễn Văn Quảng

Vinh - 2012

LỜI CAM ĐOAN

Luận án được hoàn thành dưới sự hướng dẫn của GS.TSKH NguyễnĐình Công và PGS.TS Nguyễn Văn Quảng Tôi xin cam đoan rằng các kếtquả được trình bày trong luận án là mới và chưa từng được ai công bố trướcđó

Tác giảNguyễn Thị Thế

LỜI CẢM ƠN

Luận án được hoàn thành tại Trường Đại học Vinh dưới sự hướng dẫn củaGS.TSKH Nguyễn Đình Công và PGS.TS Nguyễn Văn Quảng Tôi xin đượcbày tỏ sự kính trọng và lòng biết ơn sâu sắc của mình tới thầy, GS.TSKH.Nguyễn Đình Công, người đã đặt bài toán, hướng dẫn tận tình, chu đáo giúptôi tiếp cận vấn đề nghiên cứu một cách chủ động trong suốt quá trình thựchiện luận án Tôi xin bày tỏ sự kính trọng và lòng biết ơn sâu sắc của mìnhtới thầy, PGS.TS Nguyễn Văn Quảng, thầy đã thường xuyên quan tâm tạođiều kiện thuận lợi nhất để tôi tập trung học tập, nghiên cứu

Một phần của luận án được hoàn thành trong thời gian tôi nhận đượchọc bổng Erasmus của liên minh Châu Âu để sang học tập và nghiên cứu ởTrung tâm Hệ động lực - Khoa Toán - TU Dresden - Đức, đứng đầu là GS.Stefan Siegmund Tôi xin gửi lời cảm ơn tới giáo sư Siegmund đã giúp đỡ,hướng dẫn tôi trong suốt thời gian ở Đức

Tôi xin được cảm ơn Ban chủ nhiệm khoa Toán, Khoa Sau đại học, BanGiám hiệu, các phòng ban chức năng của Trường Đại học Vinh đã tạo cácđiều kiện thuận lợi để tôi hoàn thành nhiệm vụ của một nghiên cứu sinh;đặc biệt là tạo điều kiện để tôi tham gia được khóa thực tập sinh ở Đức.Tôi xin cảm ơn các đồng nghiệp trong Khoa Toán, Tổ Xác suất - Thống

kê và Toán ứng dụng đã gánh vác nhiệm vụ giảng dạy thay tôi trong suốtmột thời gian dài

Tôi xin cảm ơn các thầy cô, bạn bè về những trao đổi, hỗ trợ, chia sẽtrong công việc cũng như trong cuộc sống

Một lời cảm ơn đặc biệt xin được dành cho các thành viên trong đại giađình của tôi, những người đã hết sức yêu thương và thông cảm cho tôi khi

tôi chưa làm tròn trách nhiệm đối với gia đình, những người đã luôn bên tôitrong mọi lúc, mọi nơi, khi thuận lợi cũng như những lúc khó khăn nhất.Gia đình là nơi đã tạo ra niềm tin và nghị lực giúp tôi hoàn thành luận ánnày.

MỤC LỤC

1.1 Số mũ Lyapunov 13

1.2 Phương trình vi phân ngẫu nhiên Itô 16

1.2.1 Chuyển động Brown 16

1.2.2 Phương trình vi phân ngẫu nhiên Itô 18

1.3 Phổ Lyapunov của phương trình vi phân ngẫu nhiên Itô tuyến tính không ôtônôm 21

1.4 Tính chính qui Lyapunov của phương trình vi phân đại số tuyến tính chỉ số 1 23

1.4.1 Phương trình vi phân đại số tuyến tính chỉ số 1 23

1.4.2 Phương trình vi phân đại số liên hợp 26

1.4.3 Tính chính qui Lyapunov của phương trình vi phân đại số 29

2 Phương trình vi phân đại số ngẫu nhiên Itô 31 2.1 Ví dụ mở đầu 31

2.2 Nghiệm của phương trình vi phân đại số ngẫu nhiên Itô 32

2.3 Phương trình vi phân đại số ngẫu nhiên Itô chỉ số 1 35

2.4 Kết luận chương 2 43

3 Phổ Lyapunov của phương trình vi phân đại số ngẫu nhiên

3.1 Dòng ngẫu nhiên hai tham số cảm sinh 44

3.2 Phổ Lyapunov 47

3.3 Kết luận chương 3 61

4 Tính chính qui Lyapunov của phương trình vi phân đại số ngẫu nhiên Itô tuyến tính chỉ số 1 62 4.1 Phương trình liên hợp của phương trình vi phân đại số ngẫu nhiên Itô tuyến tính chỉ số 1 62

4.2 Chỉ số của phương trình liên hợp 69

4.3 Tính chính qui Lyapunov 71

4.3.1 Phổ Lyapunov của phương trình liên hợp 71

4.3.2 Tính chính qui Lyapunov 78

4.4 Kết luận chương 4 95

Danh mục công trình của NCS liên quan đến luận án 98

x>: Chuyển vị của một véc tơ cột;

|x| : Giá trị tuyệt đối của số thực x;

kxk = √x>x chuẩn Euclide của véc tơ x;

C(X, Y )/C1(X, Y ): Tập các hàm liên tục/ khả vi liên tục từ miền X vàomiền Y;

(Ω, F , P): Không gian xác suất;

E: Kỳ vọng của biến ngẫu nhiên;

kAk: Chuẩn toán tử của ma trận A;

kerA/ imA/ rankA : Tương ứng là nhân/ ảnh/ hạng của ma trận A;χ(h): Số mũ Lyapunov của hàm h;

kf k∞ = maxt∈[0,T ]|f (t)| với hàm liên tục f ∈ C([0, T ], R)

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

1.1 Trong khoa học kỹ thuật và ứng dụng thực tiễn, có nhiều bài toán dẫnđến nhu cầu cần nghiên cứu phương trình vi phân có sự tham gia của nhiễutrắng Đó là phương trình dạng

˙x(t) = f (t, x(t)) + G(t, x(t))ξt, x(t0) = x0, (1)trong đó, ξt là “nhiễu trắng” (White noise) Chẳng hạn, năm 1908, nhà vật

lý người Pháp Langevin khi nghiên cứu chuyển động hỗn loạn của một hạttrong chất lỏng đã đề cập tới phương trình

˙xt = −αxt+ σξt,

ở đây, ˙xt là vận tốc của hạt tại thời điểmt;α, σ là các hằng số dương Thànhphần σξt thể hiện sự tác động của lực ngoài vào do va chạm ngẫu nhiên vớicác phần tử của chất lỏng

ξt được các nhà vật lý gọi là nhiễu trắng và được hiểu như quá trìnhGauss dừng với kỳ vọng bằng 0 và mật độ phổ là hằng trên toàn đườngthẳng (mật độ phổ là biến đổi Fourier của hàm tự tương quan) Quá trìnhnhư vậy không tồn tại theo nghĩa thông thường, vì hàm tương quan lúc nàyphải là hàm Dirac delta Dựa vào đặc điểm này, nhiễu trắng thường đượcdùng như là lý tưởng hóa nhiễu ngẫu nhiên mà tại các thời điểm khác nhau

là độc lập và có thăng giáng rộng Quá trình dạng này có hàm mẫu khôngđâu khả vi, vì vậy ta không thể xét (1) như phương trình vi phân thườngđược

1.2 Năm 1944, Kiyosi Itô công bố bài báo “Stochastic Integral” trong ceedings of the Imperial Academy, Tokyo [49] Bài báo này đã đem đến một

Pro-công cụ mới, được chứng minh chặt chẽ về mặt toán học, cho tính toán ngẫunhiên, đáp ứng nhu cầu của thực tiễn đã được đề cập trước đó Trong bàibáo này, Itô giới thiệu một loại tích phân và một công thức nổi tiếng, saunày được mang tên ông− Tích phân ngẫu nhiên Itô và Công thức Itô.Công thức Itô, là công cụ chính trong tính toán đối với hàm ngẫu nhiên, cóvai trò như công thức Newton-Leibniz trong giải tích cổ điển Tích phân Itôđược xây dựng dựa vào chuyển động Brown Do hầu chắc chắn quĩ đạo củachuyển động Brown có biến phân không bị chặn trên mọi đoạn hữu hạn nêntích phân ngẫu nhiên Itô khác hẳn với tích phân Riemann-Stieltjes của giảitích cổ điển.

Sau bài báo nền tảng này của Itô, lý thuyết tích phân ngẫu nhiên Itô

đã được nghiên cứu, phát triển mở rộng theo nhiều hướng khác nhau Mộttrong những áp dụng quan trọng nhất của tích phân ngẫu nhiên Itô là dùng

để phát triển đầy đủ một lý thuyết quan trọng: Lý thuyết phương trình viphân ngẫu nhiên Itô, viết tắt là PTVPNN

Lý thuyết phương trình vi phân ngẫu nhiên Itô ra đời đã đem đến mộtcông cụ chặt chẽ về mặt toán học, đáp ứng cho nhu cầu nghiên cứu cácphương trình vi phân có sự tham gia của nhiễu trắng, mà phương trìnhLangevin là một trường hợp đặc biệt

1.3 Trong thực tiễn ứng dụng, có nhiều bài toán, chẳng hạn mô tả hệ độnglực, thiết kế mạch điện, lý thuyết điều khiển, nghiên cứu các hệ cơ học nhiềuvật, các phản ứng hóa học dẫn đến phải nghiên cứu những hệ phương trình

bị “ràng buộc đại số” bởi một số điều kiện nào đấy Từ đó xuất hiện nhucầu nghiên cứu phương trình vi phân đại số, viết tắt là PTVPĐS

1.4 Thực tế, ngoài các ràng buộc đại số đặt lên một hệ, thì hệ hoạt độngvẫn không thể tránh khỏi bị ảnh hưởng của nhiễu một cách ngẫu nhiên Vìvậy, dẫn đến nhu cầu nghiên cứu các tác động ngẫu nhiên lên hệ có ràngbuộc đại số Khi mô hình toán học cho hệ vi phân đại số với nhiễu trắng,dẫn đến nghiên cứu phương trình vi phân đại số ngẫu nhiên Itô, viết tắt

là PTVPĐSNN

Phương trình vi phân đại số ngẫu nhiên Itô được xem như mở rộng củaphương trình vi phân ngẫu nhiên Itô và phương trình vi phân đại số Bêncạnh phương trình vi phân thường (PTVP), thì phương trình vi phân đại

số và phương trình vi phân ngẫu nhiên Itô đã được nghiên cứu và thu đượcnhiều kết quả, phương trình vi phân đại số ngẫu nhiên Itô là một lĩnh vựcmới và khó, chưa được nghiên cứu nhiều

1.5 Mặt khác, lý thuyết định tính các hệ phương trình vi phân là một trongnhững hướng nghiên cứu quan trọng của lý thuyết phương trình vi phân.Với các lý do nêu trên, chúng tôi chọn đề tài nghiên cứu cho luận án củamình là: “Nghiên cứu định tính phương trình vi phân đại sốngẫu nhiên Itô”

2 Mục đích nghiên cứu

Mục đích chính của luận án là: Đưa ra khái niệm nghiệm và phương phápgiải phương trình vi phân đại số ngẫu nhiên Itô Nghiên cứu phổ Lyapunov

và tính chính qui Lyapunov của phương trình vi phân đại số ngẫu nhiên Itô

3 Đối tượng nghiên cứu

Đối tượng nghiên cứu là phương trình vi phân đại số ngẫu nhiên Itô

4 Phạm vi nghiên cứu

Nội dung của luận án chủ yếu tập trung nghiên cứu lớp phương trình viphân đại số ngẫu nhiên Itô tuyến tính chỉ số 1

5 Phương pháp nghiên cứu

Phương pháp nghiên cứu của luận án là nghiên cứu lý thuyết Chúng tôi

sử dụng các kỹ thuật của lý thuyết ma trận được M¨arz áp dụng cho phươngtrình vi phân đại số; phương pháp số mũ Lyapunov cổ điển được phát triểnbởi Millionshchikov; lý thuyết dòng ngẫu nhiên hai tham số phát triển bởiKunita; kết hợp với các phương pháp của lý thuyết xác suất

6 Ý nghĩa khoa học và thực tiễn

Ý nghĩa khoa học: Góp phần làm phong phú thêm các kết quả và sự hiểubiết về phương trình vi phân đại số ngẫu nhiên Itô

Ý nghĩa thực tiễn: Áp dụng để khảo sát tính ổn định, ổn định hóa của

các hệ điều khiển ngẫu nhiên.

7 Tổng quan và cấu trúc của luận án

7.1 Tổng quan luận án

Xét phương trình vi phân dạng

A(t)dx(t) = g(t, x(t))dt + G(t, x(t))dWt, t ∈ J, (2)trong đó, J là một đoạn của R+, A ∈ C(J, Rn×n), g ∈ C(J × Rn, Rn),

G ∈ C(J × Rn, Rn×m) và (Wt)t∈J là chuyển động Brown m−chiều trênkhông gian xác suất (Ω, F , P)

Đoạn J có thể hữu hạn hoặc vô hạn, không mất tính tổng quát ta luôngiả sử J := [0, T ], T ∈ R+ hoặc J := R+

Ta xét các trường hợp xảy ra đối với hệ số của phương trình (2) như sau:Trường hợp 1: Ma trận A(t) không suy biến với mọi t ∈ J và G ≡ 0 Khi

đó (2) trở thành phương trình vi phân thường

Lý thuyết phương trình vi phân thường được Newton-Leibnitz xây dựngvào cuối thế kỷ 17, đã được nghiên cứu, phát triển, mở rộng theo nhiềuhướng và thu được nhiều kết quả hoàn chỉnh

Một trong những hướng quan trọng là nghiên cứu định tính phương trình

vi phân thường bằng phương pháp số mũ Lyapunov, được Lyapunov đưa

ra năm 1892 Theo hướng này, lý thuyết phổ của phương trình vi phânthường tuyến tính được nghiên cứu bởi Millionshchikov, Demidovich, Bylov,Vinograd, Nemytskii, Erugin, Persidskii ; phổ Lyapunov của hệ động lực(hệ động lực sinh bởi phương trình ôtônôm) được nghiên cứu bởi Oseledets,Sinai, Pesin, Katok (Nga), Young, Bowen (Mỹ), Ruelle, Ledrapier (Pháp),Arnold (Đức), Johnson (Italy),

Đối với phương trình vi phân thường tuyến tính, Lyapunov đưa ra kháiniệm chính qui Lyapunov và ông đã chứng minh được rằng, một phươngtrình vi phân tuyến tính chính qui Lyapunov sẽ có nhiều tính chất tiệm cậntốt Perron đã dựa vào phương trình liên hợp của phương trình vi phân tuyếntính để đưa ra một định nghĩa tương đương với tính chính qui Lyapunov (xem[76])

Ở Việt nam, phương pháp số mũ Lyapunov cũng được nhiều nhà toán học

sử dụng để nghiên cứu các bài toán khác nhau và thu được nhiều kết quả có

ý nghĩa, chẳng hạn như công trình nghiên cứu của Trịnh Tuấn Anh, NguyễnĐình Công, Nguyễn Hữu Dư, Hoàng Hữu Đường, Nguyễn Thế Hoàn, TrầnVăn Nhung, Vũ Tuấn,

Trường hợp 2: Ma trận A(t) không suy biến với mọi t ∈ J Khi đó (2) làphương trình vi phân ngẫu nhiên Itô

Để cho đơn giản ta xem A(t) là ma trận đơn vị Phương trình (2) đượchiểu là phương trình tích phân

x(t) − x(0) =

Z t 0

g(t, x(t))dt +

Z t 0

G(t, x(t))dWt, t ∈ J, (3)

trong đó x(0) là Rn−biến ngẫu nhiên, độc lập với (Wt) Do hầu chắc chắnquĩ đạo của chuyển động Brown có biến phân không bị chặn trên mọi đoạnhữu hạn, nên tích phân thứ hai trong (3) không phân tích được như tíchphân Riemann-Stieltjes của giải tích cổ điển mà là tích phân Itô (tích phânthứ nhất là tích phân Riemann)

Phương trình vi phân ngẫu nhiên Itô có nhiều áp dụng quan trọng trong

lý thuyết lọc, lý thuyết điều khiển, toán tài chính, vật lý , chẳng hạn, Lýthuyết Black-Scholes trong toán tài chính, mô hình này đã được sử dụngrất thành công trong việc đánh giá quyền chọn mua trên các thị trường tàichính Nhờ mô hình này mà Robert C Merton và Myron Scholes đã đạt giảiNobel kinh tế năm 1997

Phương trình vi phân ngẫu nhiên Itô đã được nhiều nhà toán học nghiêncứu (xem [9, 40, 42, 51, 52, 59] ) Các phương pháp giải quyết bài toán

ổn định của Lyapunov đã thu được nhiều kết quả, đặc biệt là phương trìnhôtônôm (xem Khasminskii [53], Kunita [52]) Đối với phương trình vi phânngẫu nhiên Itô, phương pháp nghiên cứu số mũ Lyapunov còn hạn chế hơn

so với phương pháp hàm Lyapunov Lý thuyết số mũ Lyapunov khi áp dụngvào lý thuyết ergodic dẫn tới một lĩnh vực nghiên cứu hoàn toàn mới: Lýthuyết hệ động lực ngẫu nhiên (xem Arnold [10], Nguyễn Đình Công [22])

Lý thuyết số mũ Lyapunov của phương trình vi phân ngẫu nhiên Itô khôngôtônôm mới phát triển trong thời gian gần đây (xem Nguyễn Đình Công[27, 28, 29, 32, 33]) Đối với phương trình vi phân ngẫu nhiên Itô tuyếntính không ôtônôm, ta không áp dụng được lý thuyết của hệ động lực ngẫunhiên Trong trường hợp này, Nguyễn Đình Công [29] đã dựa vào lý thuyết

số mũ Lyapunov cổ điển phát triển bởi Millionshchikov [60, 61, 62] và lýthuyết dòng ngẫu nhiên hai tham số phát triển bởi Kunita [52] để xây dựng

số nào đó, khi đó ta nói (4) là phương trình vi phân đại số

Phương trình vi phân đại số là lớp phương trình có ý nghĩa ứng dụng thực

tế cao, xuất hiện trong lý thuyết điều khiển, mô phỏng mạch điện, phản ứnghóa học, hệ cơ học nhiều vật (xem [18]) và là mở rộng thực sự lớp phươngtrình vi phân thường (xem [66]) Phương trình vi phân đại số được nghiêncứu từ những năm 70 của thế kỷ 20 Đóng góp đáng kể nhất về lĩnh vực này

là nhóm các nhà toán học ở trường Đại học Humboldt - Berlin - Đức (xem[13, 17, 18, 19, 46, 47, 54] ) và nhóm các nhà toán học Nga (xem [77]).Trong các công trình nghiên cứu về phương trình vi phân đại số thì cáccông trình nghiên cứu về phương trình vi phân đại số tuyến tính là thu đượcnhiều kết quả Phương trình vi phân đại số tuyến tính thu được khi tuyếntính hóa phương trình dạng ẩn không tuyến tính dọc theo một nghiệm cụthể (xem [19])

Không giống như phương trình vi phân thường, đối với phương trình viphân đại số, các ràng buộc đại số xác định một đa tạp và điều kiện ban đầu

phải chọn sao cho thỏa mãn các ràng buộc này Đây là những khó khăn lớnkhi nghiên cứu phương trình vi phân đại số Những khó khăn này thườngđược đặc trưng bởi một trong nhiều khái niệm chỉ số Nói một cách nôm nathì chỉ số là số đo độ lệch giữa phương trình vi phân đại số và phương trình

vi phân thường, đo độ phức tạp của phương trình vi phân đại số Có nhiềukhái niệm chỉ số được đưa ra để nghiên cứu phương trình vi phân đại số,

đó là chỉ số Kronecker, chỉ số vi phân, chỉ số nhiễu, chỉ số mềm, chỉ sốhình học, chỉ số lạ (xem [17, 47, 48, 54, 68]) Các khái niệm chỉ số này làđồng nhất trên một lớp phương trình vi phân đại số nào đó Phương trình

vi phân đại số có chỉ số cao có thể dùng phương pháp hạ chỉ số để đưa vềphương trình có chỉ số thấp hơn Vì thế các hướng nghiên cứu phương trình

vi phân đại số chủ yếu tập trung vào nghiên cứu phương trình có chỉ số 1

và 2

Đối với phương trình vi phân đại số, cách tiếp cận là phân rã nó về mộtphương trình vi phân thường thỏa mãn trên một đa tạp đại số và nghiêncứu nó dựa vào phương trình vi phân thường tương ứng đó Theo cách tiếpcận này, hầu hết các khái niệm cổ điển của lý thuyết định tính phương trình

vi phân thường phải thay đổi khi áp dụng vào phương trình vi phân đại số.Cho tới nay, các kết quả thu được về lý thuyết định tính và giải số phươngtrình vi phân đại số là khá hoàn chỉnh, đặc biệt là lớp phương trình có chỉ sốthấp Chẳng hạn, các kết quả về nghiệm [13, 41, 46, 47], về tính ổn định, tiêuchuẩn ổn định [46, 47, 72, 70, 38], lý thuyết Floquet [55], bán kính ổn định[21, 38, 39], phương trình vi phân đại số liên hợp [15, 16, 14]; bài toán biên đađiểm [8], tính nhị phân [56], lý thuyết Lyapunov, tính chính qui Lyapunov,

số mũ Bohl ([30, 31, 58, 71, 73]), các kết quả về giải số ([12, 17, 54, 68] )

và nhiều kết quả khác nữa

Ở Việt nam phương trình vi phân đại số được nghiên cứu từ những năm

90 của thế kỷ 20 và đã có nhiều đóng góp đáng kể trong lĩnh vực này, đó làcác công trình của Phạm Kỳ Anh, Nguyễn Đình Công, Nguyễn Hữu Dư, VũHoàng Linh, Vũ Tuấn (xem [8, 21, 30, 31, 38, 39, 58, 73] )

Trường hợp 4: Ma trận A(t) suy biến với mọi t ∈ J Khi đó (2) được gọi làphương trình vi phân đại số ngẫu nhiên Itô.

Phương trình vi phân đại số ngẫu nhiên Itô được xem như mở rộng củaphương trình vi phân ngẫu nhiên Itô và phương trình vi phân đại số Cáckết quả thu được về phương trình vi phân đại số ngẫu nhiên còn hạn chế,mặc dù một số nhóm nghiên cứu trong và ngoài nước đã quan tâm

Gần đây đã có một số công trình nghiên cứu về phương trình vi phân đại

số ngẫu nhiên Itô [7, 20, 67, 69, 74, 75] Trọng tâm chính trong các công trìnhtrên là tính toán bằng số và các áp dụng cụ thể; tất cả đều xét cho trườnghợp ma trận dẫn đầu A là hằng Các vấn đề lý thuyết thú vị về nghiệm,nghiên cứu tính chất định tính của nghiệm, chưa được xem xét chính xáctrong các bài báo này

Cho tới nay một định nghĩa chuẩn về nghiệm cho phương trình vi phânđại số ngẫu nhiên Itô, cách giải, bài toán giá trị ban đầu, nghiên cứu tínhchất định tính của nghiệm như tính ổn định, số mũ Lyapunov, tính chínhqui Lyapunov vẫn còn bỏ ngỏ

và phương trình vi phân ngẫu nhiên Itô

Chương 2, chúng tôi trình bày các kết quả của mình về phương trình viphân đại số ngẫu nhiên Itô Cụ thể là định nghĩa nghiệm, định nghĩa lớpphương trình vi phân đại số ngẫu nhiên Itô chỉ số 1, định lý tồn tại duy nhấtnghiệm cho lớp phương trình này

Chương 3, chúng tôi nghiên cứu lớp phương trình vi phân đại số ngẫu

nhiên Itô tuyến tính chỉ số 1 Cụ thể là chúng tôi đưa ra khái niệm dòngngẫu nhiên hai tham số cảm sinh, khái niệm số mũ Lyapunov, phổ Lyapunov,không gian Lyapunov và tính chất của các đối tượng này.

Chương 4, chúng tôi tiếp tục nghiên cứu lớp phương trình vi phân đại sốngẫu nhiên Itô tuyến tính chỉ số 1 Đối với lớp phương trình này chúng tôiđưa ra khái niệm phương trình liên hợp, dòng ngẫu nhiên hai tham số cảmsinh của phương trình liên hợp, xét các tính chất của chúng cùng mối liên

hệ với phương trình xuất phát Tương tự Chương 3, chúng tôi nghiên cứuphổ Lyapunov của phương trình liên hợp và đề xuất khái niệm chính quiLyapunov cho phương trình vi phân đại số ngẫu nhiên Itô dựa vào Định lýPerron ngẫu nhiên với sự trợ giúp của phương trình liên hợp Trong chươngnày, chúng tôi cũng nghiên cứu một số tính chất của phương trình chính qui

và cuối cùng đưa ra một ví dụ minh họa cho phần lý thuyết

Các kết quả của luận án đã được trình bày tại semina Phòng xác suất

và Thống kê Viện Toán học, Tổ Xác suất Thống kê và Toán ứng dụng Khoa Toán - Trường Đại học Vinh, Hội nghị khoa học kỷ niệm “Nửa thế kỷĐại học Vinh anh hùng”, Hội nghị Xác suất - Thống kê toàn quốc lần thứ

-IV (Vinh - tháng 5/2010), Semina Trung tâm hệ động lực, khoa Toán - TUDresden - Đức

Các kết quả của luận án cũng đã được đăng và nhận đăng ở các tạp chíVietnam Journal of Mathematics và Stochastics and Dynamics; các kếtquả của Chương 4 đang được tác giả và đồng nghiệp hoàn chỉnh để gửi đăng

CHƯƠNG 1KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

Trong chương này, chúng tôi hệ thống lại một số kiến thức cơ sở về

lý thuyết số mũ Lyapunov, phương trình vi phân ngẫu nhiên Itô, phươngtrình vi phân đại số, cũng như các kết quả đã biết về số mũ Lyapunov, phổLyapunov, tính chính qui Lyapunov của phương trình vi phân ngẫu nhiênItô và phương trình vi phân đại số

1.1 Số mũ Lyapunov

Năm 1892, trong luận án của mình, Lyapunov đã đưa ra hai phương phápkhác nhau để nghiên cứu bài toán ổn định của chuyển động, đó là phươngpháp số mũ Lyapunov và phương pháp hàm Lyapunov Từ đó tới nay, cácphương pháp của Lyapunov đã có những ứng dụng sâu sắc và là công cụ chủyếu để nghiên cứu lý thuyết định tính phương trình vi phân cũng như cáclĩnh vực liên quan

Trong luận án này chúng tôi dùng phương pháp thứ nhất, phương pháp

số mũ Lyapunov, để nghiên cứu định tính phương trình vi phân đại số ngẫunhiên Sau đây ta nhắc lại một số khái niệm cơ bản về lý thuyết số mũLyapunov

Định nghĩa 1.1.1 Cho h là hàm nhận giá trị thực xác định trên khoảng[t0, +∞) Số thực (mở rộng) được xác định bởi công thức

χ(h) := lim sup

t→∞

1

t log |h(t)|,được gọi là số mũ đặc trưng hay còn gọi là số mũ Lyapunov hoặc số mũtrên của hàm số h

Ta qui ước log 0 = −∞ và vì vậy nếu h(t) ≡ 0 thì χ(h) = −∞.

Số mũ Lyapunov của hàm véc tơ được định nghĩa là số mũ Lyapunov củachuẩn của nó

Tương tự với số mũ trên (số mũ Lyapunov) ta cũng có khái niệm số mũdưới

(i) χ(αf ) = χ(f ) với mọi 0 6= α ∈ R

(ii) Với mọi bộ d số thực bất kỳ α1, , αd thì

Xét phương trình vi phân thường tuyến tính

x0(t) = A(t)x(t), t ∈ R+, (1.1)trong đó A ∈ C(R+, L(Rn)) và supt∈R+kA(t)k < ∞

Không gian nghiệm của (1.1) có số chiều là n Do hai hàm số có số mũLyapunov khác nhau là độc lập tuyến tính nên (1.1) có không quá n số mũLyapunov phân biệt Vì hệ số A(t) của (1.1) bị chặn nên mọi nghiệm khôngtầm thường của nó có số mũ Lyapunov hữu hạn.

Ma trận nghiệm cơ bản của (1.1) là ma trận vuông cấp n tạo thành từ nnghiệm độc lập tuyến tính Ma trận nghiệm cơ bản X(t) của (1.1) được gọi

là ma trận nghiệm cơ bản chuẩn tắc nếu tổng các số mũ Lyapunov σX củacác nghiệm, đạt giá trị nhỏ nhất trong tất cả các ma trận nghiệm cơ bản của

nó Tập hợp λ1 ≥ λ2 ≥ · · · ≥ λn bao gồm tất cả các số mũ Lyapunov củacác nghiệm trong một ma trận nghiệm cơ bản chuẩn tắc nào đó của (1.1),được gọi là phổ Lyapunov của (1.1) Như vậy với mọi ma trận nghiệm cơbản X(t) của (1.1) thì

Z t 0

Z t 0

T rA(τ )dτ,

trong đó λ1 ≥ λ2 ≥ · · · ≥ λn là phổ Lyapunov của (1.1)

Xét phương trình liên hợp của (1.1):

y0(t) = −A∗(t)y(t), (1.2)trong đó A∗ là ma trận liên hợp của ma trận A

Perron đã chứng minh định lý sau (xem [76])

Định lý 1.1.4 (Định lý Perron) Phương trình vi phân tuyến tính (1.1)

là chính qui Lyapunov nếu và chỉ nếu

λi+ βn−i+1 = 0 với mọi i = 1, , ntrong đó, λ1 ≥ λ2 ≥ · · · ≥ λn và β1 ≥ β2 ≥ · · · ≥ βn tương ứng là phổLyapunov của (1.1) và (1.2)

1.2 Phương trình vi phân ngẫu nhiên Itô

Trong suốt luận án này, không gian xác suất (Ω, F, P) luôn được giảthiết là đầy đủ và lọc luôn thỏa mãn các điều kiện thông thường, tức là một

họ tăng các σ− đại số con (Ft)t∈J của F sao cho

(i) Ft = ∩ε>0Ft+ε (Điều kiện liên tục phải),

(ii) Mọi tập P− bỏ qua được A ∈ F đều chứa trong Ft với mọi t ∈ J.1.2.1 Chuyển động Brown

Trước khi nói về phương trình vi phân ngẫu nhiên Itô, ta trình bày địnhnghĩa một quá trình ngẫu nhiên liên tục, có nhiều áp dụng để mô hình hóacác bài toán thực tiễn, được gọi là chuyển động Brown hay quá trình Wiener.Đây là mô hình chuyển động hỗn loạn của hạt phấn hoa trong nước, do nhàthực vật học người Anh, Robert Brown quan sát và mô tả từ những năm

1820 Đầu thế kỷ 20, Louis Bachelier (1900), Albert Eistein (1905) là nhữngngười đầu tiên đề xuất tên của chuyển động do Brown miêu tả là chuyểnđộng Brown và đưa ra các tính chất chủ yếu của chuyển động này NorbertWiener là những người đầu tiên chỉ ra sự tồn tại và đưa ra lý thuyết toánhọc chặt chẽ cho chuyển động Brown vào năm 1923 Chính vì vậy ta còn gọichuyển động Brown là quá trình Wiener Chuyển động Brown sau đó đượcPaul Le’vy và Andrei Kolmogorov phát triển một cách đầy đủ hơn

Định nghĩa 1.2.1 (Chuyển động Brown 1 chiều) Quá trình ngẫu nhiên(Wt)t∈J, với không gian trạng thái R, được gọi là chuyển động Brown hayquá trình Wiener một chiều nếu nó thỏa mãn các tính chất sau:

(i) Xuất phát từ không, tức là P(W0 = 0) = 1,

(ii) Đối với mọi 0 ≤ s ≤ t, biến ngẫu nhiên Wt − Ws có phân phối chuẩnvới kỳ vọng bằng 0 và phương sai bằng t − s,

(iii) (Wt) có gia số độc lập, tức là đối với mọi 0 ≤ t1 < t2 < · · · < tn, cácbiến ngẫu nhiên sau là độc lập

Wt1, Wt2 − Wt1, , Wtn − Wtn−1,(iv) Hầu hết các quĩ đạo là liên tục, tức là

P{ω, Wt(ω) liên tục } = 1

Định nghĩa 1.2.2 (Chuyển động Brown m chiều) Quá trình ngẫu nhiên(Wt), với không gian trạng thái Rm, được gọi là chuyển động Brown m−chiều nếuWt = (Wt1, , Wtm)>, trong đó mỗi thành phầnWti, i = 1, , m,

là chuyển động Brown một chiều và chúng là các quá trình ngẫu nhiên độclập với nhau

Mệnh đề sau cho ta một tính chất của chuyển động Brown liên quan đếngia số độc lập

Mệnh đề 1.2.3 [10, p.547] Cho chuyển động Brown (Wt)t≥0 trên khônggian xác suất (Ω, F , P) Ký hiệu

1.2.2 Phương trình vi phân ngẫu nhiên Itô

Cho Wt = (Wt1, , Wtm)> là chuyển động Brown m−chiều trên khônggian xác suất đầy đủ (Ω, F , P) với lọc tự nhiên Ft

Định nghĩa 1.2.4 Một phương trình vi phân ngẫu nhiên Itô là phươngtrình có dạng sau

dx(t) = a(t, x(t))dt + b(t, x(t))dWt, x(0) = x0, t ∈ J := [0, T ], (1.3)hay, viết dưới dạng tích phân

x(t) − x0 =

Z t 0

a(s, x(s))ds +

Z t 0

b(s, x(s))dWs, t ∈ J, (1.4)

trong đó, x0 là Rn−biến ngẫu nhiên độc lập với chuyển động Brown Wt, gọi

là giá trị ban đầu; a(·, ·) : [0, T ] × Rn → Rn, b(·, ·) : [0, T ] × Rn → Rn×m

là các hàm đo được; tích phân đầu của vế phải trong (1.4) là tích phânRiemann còn tích phân thứ hai là tích phân Itô

Chú ý rằng, do chuyển động Brown có biến phân không bị chặn trên mọiđoạn hữu hạn nên tích phân Itô khác hẳn với tích phân Riemann-Stieltjescủa giải tích cổ điển

Nghiệm của PTVPNN được định nghĩa như sau

Định nghĩa 1.2.5 Một Rn−quá trình ngẫu nhiên liên tục x(·) = (x(t))t∈Jđược gọi là nghiệm (mạnh) của (1.3) trên J = [0, T ] nếu nó thỏa mãn cáctính chất sau:

(i) x(t) tương thích với Ftx0 := σ(x0, Ft) với mọi t ∈ J,

(ii) Hầu chắc chắn, ta có

Z T 0

ka(s, x(s))kds < ∞,

Z T 0

kb(s, x(s))k2ds < ∞,(iii) Hầu chắc chắn (1.4) thỏa mãn với mọi t ∈ J

Sau đây là định lý tồn tại duy nhất nghiệm cho PTVPNN

Định lý 1.2.6 ([9, 51]) Giả sử a(·, ·) : [0, T ] × Rn → Rn, b(·, ·) : [0, T ] ×

Rn → Rn×m là các hàm đo được và tồn tại hằng số dương K sao cho vớimọi t ∈ [0, T ], x, y ∈ Rn, hai điều kiện sau được thỏa mãn

(i) (Điều kiện Lipschitz)

ka(t, x) − a(t, y)k + kb(t, x) − b(t, y)k ≤ Kkx − yk,(ii) (Tăng trưởng không vượt quá tuyến tính)

ka(t, x)k2 + kb(t, x)k2 ≤ K2(1 + kx|2)

Khi đó với mọi Rn− biến ngẫu nhiên x0, độc lập với chuyển động Brown

Wt và có moment bậc hai hữu hạn, phương trình (1.3) có duy nhấtnghiệm Hơn nữa, nếu T < +∞ và Ekx0k2n < ∞, với n là số nguyêndương nào đó thì

Ekx(t)k2n ≤ (1 + Ekx0k2n)eCt,Ekx(t) − x0k2n ≤ D(1 + Ekx0k2n)tneCt,trong đó C = 2n(2n + 1)K2 và D là một hằng số dương chỉ phụ thuộcvào n, K và T

Khi nghiên cứu nghiệm của phương trình vi phân ngẫu nhiên Itô, ta gặpnhững quá trình có thể biểu diễn như một quá trình trơn cộng với Martingaleđịa phương, đó chính là quá trình Itô, được định nghĩa như sau

Định nghĩa 1.2.7 Cho không gian xác suất (Ω, F , P) và chuyển độngBrown m− chiềuWt với lọc tự nhiên (Ft)0≤t≤T Một quá trình Itô n-chiều(ứng với chuyển động Brown Wt) là quá trình ngẫu nhiên có dạng

x(t) = x0 +

Z t 0

a(s)ds +

Z t 0

b(s)dWs, t ∈ [0, T ], (1.5)trong đó x0 là Rn−biến ngẫu nhiên độc lập với chuyển động Brown Wt;a(t) ∈ Rn, b(t) ∈ Rn×m có các thành phần là các quá trình ngẫu nhiên

Ft−tương thích mà hầu chắc chắn thỏa mãn

Z T 0

ka(t)kdt < ∞,

Z T 0

kb(t)k2dt < ∞

Khi đó ta nói quá trình ngẫu nhiên x(t) có vi phân ngẫu nhiên (Itô) và viết

dx(t) = a(t)dt + b(t)dWt.Như vậy, với điều kiện của Định lý 1.2.6, nghiệm của (1.3) là quá trìnhItô

Định lý 1.2.8 ([9, 45]) Quá trình Itô dạng (1.5) xác định hàm a(t) vàb(t) hầu chắc chắn ứng với tích độ đo Lebesgue trên đường thẳng và độ

đo xác suất P

Công thức Newton-Leibniz là công cụ then chốt trong phép tính vi tíchphân cổ điển, được Newton và Leibniz xây dựng từ thế kỷ 17 Qui tắc nàykhông còn đúng trong tính toán ngẫu nhiên nữa Thay vào đó Itô [49] đãđưa ra một công thức, ngày nay gọi là công thức Itô, có vai trò như côngthức Newton-Leibniz nhưng cho giải tích ngẫu nhiên Sau đây ta sẽ giới thiệucông thức này

Định lý 1.2.9 ([9]) Giả sử U (t, x) là hàm liên tục xác định trên J × Rnnhận giá trị trong Rd với các đạo hàm riêng liên tục Giả sử x(t) là quátrình Itô n−chiều xác định trên J có vi phân Itô

dx(t) = a(t)dt + b(t)dWt,trong đó Wt là chuyển động Brown m−chiều Khi đó y(t) := U (t, x(t)) làquá trình Itô d-chiều xác định trên J (ứng với cùng chuyển động Brown

Wt) và có vi phân Itô cho bởi

dy(t) = (Ut(t, x(t)) + Ux(t, x(t))a(t) + 1

2T r(bb

∗

Uxx)dt + Ux(t, x(t))b(t)dWt.Như vậy, vi phân ngẫu nhiên xuất hiện thêm số hạng 12T r(bb∗Uxx)dt,chính là hệ quả của biến phân không giới nội của chuyển động Brown

1.3 Phổ Lyapunov của phương trình vi phân ngẫu

nhiên Itô tuyến tính không ôtônôm

Xét phương trình vi phân ngẫu nhiên Itô tuyến tính không ôtônôm

Trước hết ta định nghĩa dòng ngẫu nhiên hai tham số

Định nghĩa 1.3.1 ([52]) Một dòng ngẫu nhiên hai tham số các vi phôicủa Rn trên không gian xác suất (Ω, F, P) là họ các biến ngẫu nhiên{Φs,t(·)x : Ω → Rn/s, t ∈ R+, x ∈ Rn} sao cho tồn tại Ω0 ⊂ Ω, P(Ω0) = 1

để các tính chất sau đây thỏa mãn với mọi ω ∈ Ω0

(i) ánh xạ (s, t, x) 7→ Φs,t(ω)x là liên tục,

(ii) Φs,t(ω) = Φu,t◦ Φs,u(ω) với mọi s, t, u ∈ R+,

(iii) Φs,s(ω) là ánh xạ đồng nhất với mọi s ∈ R+,

(iv) ánh xạ Φs,t(ω) : Rn → Rn là một phép đồng phôi, với mọi s, t ∈ R+,(v) Φs,t(ω)x là khả vi ứng với x với mọi s, t ∈ R+ và đạo hàm là liên tụctheo (s, t, x)

Nếu thêm vào Φs,t(ω) : Rn → Rn là toán tử tuyến tính, thì ta có kháiniệm dòng ngẫu nhiên hai tham số các toán tử tuyến tính của Rn

Không mất tính tổng quát, khi nói đến dòng ngẫu nhiên hai tham số các

vi phôi của Rn, ta sẽ giả sử các tính chất trong Định nghĩa 1.3.1 thỏa mãnvới mọi ω ∈ Ω và chỉ viết Φs,t(ω)

Theo Kunita [52], phương trình (1.6) sinh ra dòng ngẫu nhiên hai tham

số {Φs,t(ω), 0 ≤ s ≤ t} các tuyến tử tuyến tính của Rn Ngoài ra, dòngngẫu nhiên hai tham số này còn có gia số độc lập và Φs,t(ω) là Fst−đo được,trong đó Fst được định nghĩa như trong Mệnh đề 1.2.3 Mỗi nghiệm x(t) của(1.6), với điều kiện ban đầu x(s) = x0 ∈ Rn, được cho bởi công thức

x(t) = Φs,t(ω)x0.Trong mục này, chúng tôi hệ thống lại một số khái niệm và kết quả màNguyễn Đình Công đã đưa ra và thu được trong [29]

Định nghĩa 1.3.2 ([29]) Giả sử Φs,t(ω) là dòng ngẫu nhiên hai tham sốcác toán tử tuyến tính của Rn Khi đó các số thực mở rộng

Số mũ Lyapunov và phổ Lyapunov của (1.6) được định nghĩa là số mũLyapunov và phổ Lyapunov của dòng ngẫu nhiên hai tham số sinh bởi (1.6).Dựa vào tính khả nghịch và gia số độc lập của dòng ngẫu nhiên hai tham

số Φs,t(ω), Nguyễn Đình Công [29] đã chứng minh định lý sau

Định lý 1.3.3 Phổ Lyapunov của (1.6) là tập các số không ngẫu nhiên.Định nghĩa 1.3.4 ([29]) Giả sử {λ1(ω), , λn(ω)} là phổ Lyapunov củadòng ngẫu nhiên hai tham số Φs,t(ω) Khi đó R−¯ biến ngẫu nhiên không âm

được gọi là hệ số không chính qui của dòng ngẫu nhiên hai tham số

Định lý 1.3.5 ([29], Stochastic Perron Theorem) Giả sử λ1 ≥ · · · ≥ λn

và β1 ≥ · · · ≥ βn tương ứng là phổ Lyapunov của (1.6) và (1.7) Khi

đó (1.6) là chính qui Lyapunov nếu và chỉ nếu αi+ βn−i+1 = 0 với mọi

1.4 Tính chính qui Lyapunov của phương trình vi

phân đại số tuyến tính chỉ số 1

1.4.1 Phương trình vi phân đại số tuyến tính chỉ số 1

Sau đây chúng tôi trình bày khái niệm phương trình vi phân đại số tuyếntính chỉ số 1 (mềm) từ tài liệu [47]

Định nghĩa 1.4.1 (Chỉ số của ma trận) Cho A là ma trận vuông cấp n,chỉ số của ma trận A, ký hiệu ind(A), được định nghĩa như sau

ind(A) := min{k ∈ N : kerAk = kerAk+1}

Định nghĩa 1.4.2 (Cặp ma trận chính qui) Cho hai ma trậnA, B ∈ Rn×n.Cặp ma trận, có thứ tự, (A, B) được gọi là chính qui nếu tồn tại c ∈ R saocho det(cA + B) 6= 0 Trong trường hợp ngược lại ta gọi cặp ma trận (A, B)

là suy biến

Định nghĩa 1.4.3 (Chỉ số của cặp ma trận) Nếu cặp ma trận (A, B) làchính qui và det(cA + B) 6= 0 thì ind((cA + B)−1A) được gọi là chỉ số củacặp ma trận (A, B)

Định nghĩa 1.4.4 Phương trình vi phân tuyến tính

A(t)x0(t) + B(t)x(t) = f (t), t ∈ J := [0, T ] ⊂ R+, (1.8)trong đóA, B ∈ C(J, Rn×n), f ∈ C(J, Rn), được gọi là phương trình vi phânđại số tuyến tính chỉ số 1 (mềm) nếu

(i) Ma trận A(t) suy biến và có hạng hằng với mọi t ∈ J,

(ii) Cặp ma trận (A(t), B(t)) chính qui có chỉ số 1 với mọi t ∈ J,

(iii) Không gian kerA(t) là trơn, tức là tồn tại phép chiếu trơn Q(t) lênkerA(t)

Kí hiệu 1.4.5 Nếu (1.8) là PTVPĐS chỉ số 1 và Q(t) là phép chiếutrơn lên kerA(t) thì ta luôn ký hiệu

P (t) := I − Q(t), B0(t) := B(t) − AP0(t), A1(t) := A(t) + B0Q(t),

S(t) := {x : B0(t)x ∈ imA(t)} = {x : B(t)x ∈ imA(t)}

Đôi lúc ta bỏ biến t nếu không xảy ra sự hiểu nhầm

Mệnh đề 1.4.6 Các phát biểu sau đây là tương đương

(i) (1.8) là PTVPĐS chỉ số 1,

(ii) Ma trận A(t) + B(t)Q(t) (hoặc A1(t)) khả nghịch với mọi t ∈ J,(iii) kerA(t) ⊕ S(t) = Rn với mọi t ∈ J,

(iv) Từ x ∈ kerA(t) và B(t)x ∈ imA(t) kéo theo x = 0.

Định nghĩa 1.4.7 Giả sử (1.8) là PTVPĐS chỉ số 1 Khi đó phép chiếulên kerA dọc S, ký hiệu Qcan, được gọi là phép chiếu chính tắc

Ta cũng gọi Pcan := I − Qcan là phép chiếu chính tắc (dọc kerA)

Mệnh đề sau cho mối liên hệ giữa phép chiếu và hệ số của phương trình.Mệnh đề 1.4.8 Giả sử (1.8) là PTVPĐS chỉ số 1 Khi đó với mọiphép chiếu trơn Q lên kerA ta có các đẳng thức sau

AP = A, AQ = 0, A−11 A = P, A−11 B0Q = Q,

QA−11 B = QA−11 B0 = Qcan.Bây giờ, giả sử P là phép chiếu trơn dọc kerA Lúc này (1.8) trở thành

A(t)(P x)0(t) + B0(t)x(t) = f (t), t ∈ J (1.9)Như vậy, nghiệm x của (1.8) không nhất thiết khả vi mà chỉ cần P x khả vi

là đủ Tức là x thuộc vào không gian

CA1(J ) := {x ∈ C(J, Rn) : P x ∈ C1(J, Rn)}

Không gian hàm này cũng như giá trị vế trái của phương trình (1.9) khôngphụ thuộc vào cách chọn phép chiếu trơn P dọc kerA Từ đây dẫn đến địnhnghĩa nghiệm cho (1.8) như sau

Định nghĩa 1.4.9 Cho (1.8) là PTVPĐS với không gian kerA là trơn.Khi đó x ∈ CA1(J ) được gọi là nghiệm của (1.8) trên J nếu (1.9) thỏa mãntrên J với P là phép chiếu trơn dọc kerA

Sau đây ta phát biểu định lý tồn tại duy nhất nghiệm cho phương trình

vi phân đại số chỉ số 1

Định lý 1.4.10 Cho (1.8) là PTVPĐS chỉ số 1 Khi đó với mỗi x0 ∈

Rn, bài toán giá trị ban đầu

A(t)x0(t) + B(t)x(t) = f (t), x(0) − x0 ∈ kerA(0),

giải được duy nhất trên CA1(J ) Nghiệm được xác định bởi hệ

u0(t) = (P0− P A−11 B0)u(t) + P A−11 f (t), u(0) = P (0)x0, (1.10)

x(t) = Pcan(t)u(t) + QA−11 f (t)

Hơn nữa, ta lại có u(t) = P (t)x(t)

Phương trình (1.10) được gọi là phương trình vi phân thường tương ứngcủa phương trình vi phân đại số chỉ số 1 (1.8) (dưới phép chiếu P)

Ta có P (0)x0 = P (0)x0 nhưng nói chung không có x0 = x0

Bây giờ ta xét trường hợp (1.8) là thuần nhất

A(t)x0(t) + B(t)x(t) = 0, t ∈ J (1.11)

Từ Định lý 1.4.10, nếu (1.11) có chỉ số 1 thì imPcan là không gian nghiệmcủa (1.11) Không gian này có chiều là r do dimimPcan = r

Định nghĩa 1.4.12 Một ma trận hàm X(t) ∈ C(J, Rk×n), r ≤ k ≤ n,được gọi là ma trận nghiệm cơ bản của PTVPĐS chỉ số 1 (1.11) nếu mỗicột của nó là một nghiệm của (1.11) và rankX(t) = r với mọi t ∈ J

Một ma trận nghiệm cơ bản gọi là cực đại nếu k = n, gọi là cực tiểunếu k = r

1.4.2 Phương trình vi phân đại số liên hợp

Trong mục này, ta trích dẫn một số khái niệm và tính chất của phươngtrình liên hợp của PTVPĐS từ tài liệu [15]

Giả sử (1.11) là phương trình vi phân đại số chỉ số 1 với rankA(t) = r.Khi đó cặp ma trận (A∗(t), B∗(t)) thỏa mãn các tính chất sau với mọi t ∈ J:

Ký hiệu Q∗can := I − P∗can Ta có Q∗can = A∗−11 Q∗A∗1.

Bây giờ nếu cặp ma trận (A, B) là chính qui chỉ số 1 và giả sửQ∗ là phépchiếu trơn lên kerA∗ thì ma trận

A∗1 := A∗ − B0∗Q∗ = A∗ − B∗Q∗

là không suy biến

Ta có mối liên hệ với các phép chiếu chính tắc lên kerA như sau

Bổ đề 1.4.14 ([15]) Giả sử cặp ma trận (A, B) là chính qui chỉ số 1.Khi đó

Pcan = A∗−1∗1 P∗∗A∗∗1 = A∗−1∗1 P∗∗A, Qcan = A∗−1∗1 Q∗∗A∗∗1trong đó Qcan là phép chiếu chính tắc lên kerA, P∗ := I − Q∗

Định nghĩa 1.4.15 ([15]) Giả sử (1.11) là PTVPĐS chỉ số 1 Khi đóphương trình

(A∗ϕ)0(t) − B∗ϕ(t) = 0 (1.13)được gọi là phương trình liên hợp của (1.11)

Cũng giống như phương trình (1.11), nghiệm của (1.13) không nhất thiếtkhả vi mà thuộc vào không gian

v0(t) = (B0∗A∗−11 P∗ − P∗0)v(t),v(0) = A∗−11 ϕ0

Từ Định lý trên, dễ thấy S∗ := imP∗can là không gian nghiệm của (1.13).Như vậy không gian nghiệm của (1.13) có số chiều là r vì dimimP∗can = r

Ma trận nghiệm cơ bản của (1.13) cũng được định nghĩa tương tự nhưđối với (1.11)

Định lý 1.4.17 ([15]) Giả sử X(t) và Γ(t) là ma trận nghiệm cơ bảncủa (1.11) và (1.13) Khi đó (Γ(t)∗A(t)X(t))0 = 0

Chú ý 1.4.18 Phương trình liên hợp của phương trình vi phân đại sốdạng chuẩn tắc (1.11) là phương trình vi phân đại số (1.13) nhưng không ởdạng ban đầu (1.11) Khái niệm phương trình liên hợp của phương trình viphân đại số liên hợp chưa được định nghĩa Cũng chưa có khái niệm chỉ số

cho phương trình vi phân đại số liên hợp trong trường hợp tổng quát Tuynhiên, đối với (1.13), trong [15] đã xét hệ mở rộng 2n chiều

 P∗ 0

0 0

  η(t)ϕ(t)

Định nghĩa 1.4.19 Tập tất cả các số mũ Lyapunov hữu hạn của tất cảcác nghiệm trong một ma trận nghiệm cơ bản chuẩn tắc của phương trình

vi phân đại số được gọi là phổ Lyapunov của phương trình đó

Không gian nghiệm của (1.11) và (1.13) có chiều bằngr nên phổ Lyapunovcủa chúng chứa nhiều nhất r giá trị phân biệt Dựa vào định lý của Perron

về tính chính qui Lyapunov cho phương trình vi phân thường, các tác giảtrong [31] đã đưa ra khái niệm chính qui Lyapunov cho phương trình vi phânđại số như sau

Định nghĩa 1.4.20 Phương trình vi phân đại số tuyến tính chỉ số 1 (1.11)được gọi là chính qui Lyapunov nếu

λi+ βr−i+1 = 0, với mọi i = 1, , r,trong đó λ1 ≥ λ2 ≥ · · · ≥ λr và β1 ≥ β2 ≥ · · · ≥ βr tương ứng là phổLyapunov của (1.11) và (1.13)

Trong [30, 31], các tác giả đã đưa ra bất đẳng thức Lyapunov và nghiêncứu các tiêu chuẩn chính qui Lyapunov cũng như tính chất của phương trình

vi phân đại số (1.11) chính qui dựa vào phương trình vi phân thường tươngứng Đặc biệt, khi hệ số và phép chiếu thỏa mãn một số yêu cầu nào đó thì(1.11) là chính qui Lyapunov nếu và chỉ nếu phương trình vi phân thườngtương ứng là chính qui Lyapunov

CHƯƠNG 2PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN ĐẠI SỐ NGẪU NHIÊN ITÔ

Trong chương này, ta nghiên cứu phương trình vi phân đại số ngẫu nhiênItô có dạng

A(t)dx(t) + (B(t)x(t) + f (t))dt + G(t, x(t))dWt = 0, t ∈ J, (2.1)trong đó J là một đoạn của R+, A, B : J → Rn×n là các hàm ma trận liêntục, rankA(t) = r < n, r là một số nguyên dương cố định, f : J → Rn,

G : J × Rn → Rn×m là các hàm liên tục; (Wt) là chuyển động Brown m−chiều trên không gian xác suất (Ω, F, P) với lọc tự nhiên (Ft)t∈J Khôngmất tính tổng quát, giả sử J = [0, T ] Ta luôn giả thiết không gian kerA làtrơn, tức là tồn tại phép chiếu trơn Q lên kerA

Chương này tổng hợp các kết quả được chúng tôi công bố trong tạp chíVietnam Journal of Mathematics [34]

+  f1(t)

f2(t)

)dt + 1

a



dWt,(2.2)trong đó a ∈ R, f1, f2 là các hàm liên tục trên J

( 1 0

0 1

  xy

+ f1

f2

)ds+

Z t 0

 1a



dWs

Ta viết phương trình tích phân này thành hệ hai phương trình vô hướng

(x(t) − x(0) =R0t(x(s) + f1(s))ds +R0tdWs,

0 = R0t(y(s) + f2(s))ds +R0tadWs,hay tương đương với

(x(t) = x(0) +R0t(x(s) + f1(s))ds +R0tdWs,

Rt

0(y(s) + f2(s))ds = −aWt.Nếu ta xem nghiệm của hệ này như là quá trình ngẫu nhiên thông thường,thỏa mãn hệ phương trình này thì phải có a = 0 Khi đó y(t) = −f2(t) hầuchắc chắn Như vậy, nếu f2 ∈ C/ 1(J, R) thì y(t) không phải là quá trình Ito(rõ ràng x(t) là một quá trình Ito) Qua ví dụ này, ta thấy rằng không nhấtthiết phải yêu cầu tất cả các tọa độ của nghiệm của PTVPĐSNN là quátrình Ito

2.2 Nghiệm của phương trình vi phân đại số ngẫu

nhiên Itô

Từ Chương 1 chúng ta biết rằng nghiệm của phương trình vi phân đại sốkhông nhất thiết phải là hàm khả vi mà thuộc vào không gian CA1(J ), gồmcác hàm liên tục và một số tọa độ nào đó của nó là khả vi Do đó một cách

tự nhiên, khi xem vi phân ngẫu nhiên Ito như sự tương tự vi phân thường,

ta sẽ xét nghiệm của (2.1) thuộc không gian

CA1(J, Ω) := {x : J × Ω → Rn là quá trình ngẫu nhiên liên tục,

P x là quá trình Ito},trong đó P là phép chiếu trơn dọc kerA

Ta sẽ chỉ ra rằng cách tiếp cận này là thích hợp cho (2.1)

Ta gọi

A(t)dx(t) + (B(t)x(t) + f (t))dt = 0, t ∈ J, (2.3)

là phương trình tất định tương ứng của (2.1)

Trước hết, chúng ta có bổ đề sau

Bổ đề 2.2.1 Không gian CA1(J, Ω) không phụ thuộc vào cách chọn phépchiếu trơn P dọc kerA.

Chứng minh Giả sử P˜ là một phép chiếu trơn khác dọc kerA Lấy tùy ý

x ∈ CA1(J, Ω), tức x là quá trình ngẫu nhiên liên tục và P x là quá trìnhItô Theo tính chất của phép chiếu ta có P P = ˜˜ P Do P˜ là khả vi nên

˜

P x = ˜P (P x) cũng là quá trình Itô Vậy không gian CA1(J, Ω) không phụthuộc vào cách chọn phép chiếu trơn P

Nếu x là một quá trình Itô thì ta có dP x(t) = P dx(t) + P0x(t)dt, hay là

P dx(t) = dP x(t) − P0x(t)dt Bây giờ nếu x ∈ CA1(J, Ω), ta sẽ hiểu P dx(t)theo cách này Mặt khác từ tính chất AQ = 0, AP = A nên ta có

Chứng minh Giả sử P và P˜ là hai phép chiếu trơn dọc kerA Khi đó

P = P ˜P Từ đây suy ra P0 = (P ˜P )0 = P0P + P ˜˜ P0 Mặt khác, theo côngthức Itô, ta có

Tóm lại, ta sẽ hiểu (2.1) là

A(t)dP x(t) + ((B − AP0)x(t) + f (t))dt + G(t, x(t))dWt = 0, t ∈ J (2.5)

Từ đây, ta sẽ định nghĩa nghiệm cho (2.1) như sau

Định nghĩa 2.2.3 Một quá trình ngẫu nhiên x ∈ CA1(J, Ω) được gọi lànghiệm của phương trình vi phân đại số ngẫu nhiên Itô (2.1) nếu, vớixác suất 1, ta có

Z t

0

A(s)dP x +

Z t 0

(B0x(s) + f (s))ds +

Z t 0

G(s, x(s))dWs = 0, t ∈ J, (2.6)trong đó B0 := B − AP0

Chú ý 2.2.4 (i) Từ Bổ đề 2.2.2 suy ra Định nghĩa 2.2.3 không phụ thuộcvào cách chọn phép chiếu trơn P dọc kerA

(ii) Định nghĩa 2.2.3 cũng có thể tổng quát hóa được cho phương trình viphân đại số ngẫu nhiên Itô không tuyến tính

Tiếp theo ta sẽ đưa ra phương pháp giải phương trình (2.1)

Định lý 2.2.5 Giả sử rằng x ∈ CA1(J, Ω) và P x có vi phân Itô dạng

dP x(t) = a(t)dt + b(t)dWt, (2.7)trong đó a(t) ∈ Rn và b(t) ∈ Rn×m Khi đó x là nghiệm của (2.1) nếu vàchỉ nếu

A(t)a(t) + B0x(t) + f (t) = 0, h.c.c với mọi t ∈ J,

A(t)b(t) + G(x(t), t) = 0, h.c.c với mọi t ∈ J (2.8)Chứng minh Giả sử x ∈ CA1(J, Ω) là nghiệm của (2.1) và P x có vi phânIto biễu diễn như (2.7) Theo Định nghĩa 2.2.3, thì mọi t ∈ J, ta có

Z t

0

(A(s)a(s)+B0x(s)+f (s))ds+

Z t 0

(A(s)b(s)+G(x(s), s))dWs = 0 (2.9)Theo tính chất của tích phân Itô (Định lý 1.2.8), ta có (2.8) tương đươngvới (2.9) Định lý được chứng minh

2.3 Phương trình vi phân đại số ngẫu nhiên Itô chỉ

số 1

Như ta đã chỉ ra trong Ví dụ 2.1.1, nói chung nghiệm của phương trình viphân đại số ngẫu nhiên Itô có thể không phải là quá trình ngẫu nhiên thôngthường Do đó, muốn xét nghiệm là quá trình ngẫu nhiên thông thường thìcần phải áp đặt các hạn chế cho hệ Một hạn chế tự nhiên, được gọi là điềukiện nguồn nhiễu không xuất hiện trong các ràng buộc Điều kiện nàytương đương với yêu cầu quá trình nghiệm không bị ảnh hưởng trực tiếp bởinhiễu trắng (xem Chein và Denk [20], Winkler [75])

Sau đây ta sẽ thấy rằng, trong trường hợp phần tất định (2.3) của (2.1)

là phương trình vi phân đại số có chỉ số 1, nguồn nhiễu xuất hiện trong ràngbuộc thông qua số hạng QA−11 G(t, x) Vì vậy, yêu cầu nguồn nhiễu khôngxuất hiện trong ràng buộc có nghĩa là yêu cầu QA−11 G(t, x) ≡ 0, tức là

imG(t, x) ⊂ imA(t) với mọi (t, x) ∈ J × Rn

Trở lại Ví dụ 2.1.1, điều kiện a = 0 là cần thiết để khẳng định nghiệm

là quá trình ngẫu nhiên thông thường Chú ý rằng, điều kiện a = 0 tươngđương với điều kiện QA−11 G(t, x) ≡ 0 Với những lý do này, ta đi tới địnhnghĩa sau

Định nghĩa 2.3.1 Phương trình vi phân đại số ngẫu nhiên Itô (2.1) đượcgọi là có chỉ số 1 mềm (hay, để ngắn gọn, ta chỉ nói chỉ số 1 ) nếu

(i) Phương trình tất định tương ứng (2.3) của (2.1) là PTVPĐS chỉ số 1,(ii) imG(t, x) ⊂ imA(t), với mọi (t, x) ∈ J × Rn

Chú ý 2.3.2 (i ) Cũng như phương trình vi phân đại số, chỉ số 1 là bấtbiến khi nhân (2.1) với hàm ma trận E và phép biến đổi x =: F y, trong đó

E ∈ C(J, Rn×n), F ∈ C1(J, Rn×n), E(t) và F (t) là không suy biến trên J.(ii ) Khái niệm chỉ số 1 cũng có thể tổng quát hóa tới phương trình vi phânđại số ngẫu nhiên Itô không tuyến tính (xem [46], [47] cho khái niệm chỉ

số 1 của phương trình vi phân đại số tất định không tuyến tính)