Bài toán điều khiển tối ưu toàn phương mô tả bởi hệ phương trình vi phân đại số tuyến tính

Tạ Duy Phượng, luận vănchuyên ngành Toán giải tích với đề tài: Bài toán điều khiển tối ưu toàn phương mô tả bởi hệ phương trình vi phân đại số tuyến tính được hoàn thành bởi sự nhận thức

CHU THỊ HỒNG

BÀI TOÁN ĐIỀU KHIỂN TỐI ƯU TOÀN PHƯƠNG MÔ TẢ BỞI HỆ PHƯƠNG TRÌNH

VI PHÂN ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH

LUÂN VĂN THAC Sĩ TOÁN HOC

TRƯỜNG ĐẠI HỌC sư PHẠM HÀ NỘI 2

CHU THỊ HỒNG

BÀI TOÁN ĐIỀU KHIỂN TỐI ƯU TOÀN PHƯƠNG MÔ TẢ BỞI HỆ PHƯƠNG TRÌNH

VI PHÂN ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH

Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số: 60

46 01 02

LUẬN VẴN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học: PGS TS TẠ DUY PHƯỢNG

HÀ NỘI, 2015

Luận văn được thực hiện và hoàn thành dưới sự hướng dẫn khoa học của PGS.

TS Tạ Duy Phượng Tôi xin được gửi lời cảm ơn sâu sắc đến Thầy hướng dẫn khoahọc của mình, người đã giao đề tài và tận tình hướng dẫn trong suốt quá trình tìmhiểu, nghiên cứu để tôi có thể hoàn thành luận văn này

Nhân dịp này, tôi cũng xin chân thành cảm ơn tới toàn thể các Thầy Cô giáo khoaToán đặc biệt là chuyên ngành Toán Giải tích, Phòng Sau đại học, trường Đại học

Sư phạm Hà Nội 2 đã giảng dạy và giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập và nghiêncứu tại trường

Cuối cùng, tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình và bạn bè đã cổ vũ, độngviên, giúp đỡ tôi trong quá trình học tập và thực hiện luận văn này

Hà Nội, tháng 6 năm 2015 Ngưìri thực hiện

Chu Thị Hồng

Tôi xin cam đoan, dưới sự hướng dẫn của PGS TS Tạ Duy Phượng, luận văn

chuyên ngành Toán giải tích với đề tài: Bài toán điều khiển tối ưu toàn phương mô

tả bởi hệ phương trình vi phân đại số tuyến tính được hoàn thành bởi sự nhận thức

và tìm hiểu của bản thân tác giả

Trong quá trình nghiên cứu và thực hiện luận văn, tác giả đã kế thừa những kếtquả của các nhà khoa học với sự ữân trọng và biết ơn

Hà Nội, tháng 6 năm 2015 Người thực hiện

Chu Thị Hồng

Mục lục

Danh mục kí hiệu và viết tắt

Mỏ đầu

4 5

1 Bài toán điều khiển tối ưu vối hàm mục tiêu toàn phương mô tả bỏỉ

1.1

B ài toán điều khiển tối ưu 8

1.1.1 Các khái niệm cờ bản 8

1.1.2 Bài toán điều khiển tối ưu 16

1.1.3 Nguyên lí cực đại Ponưyagin 22

1.2 Bài toán điều khiển tối ưu với hàm mục tiêu toàn phương mô tả bởi hệ phương trình vi phân tuyến tính 25 1.2.1 Bài toán điều khiển tối Ưu với hàm mục tiêu toàn phương

mô tả bởi hệ phương trình vi phân tuyến tính 1.2.2 Phương ưình Riccati

25 26

2.1 Bài toán điều khiển tối ưu với hàm mục tiêu toàn phương mô tả bởi hệ phương trình vi phân đại số tuyến tính

2.1.1 Các khái niệm cd bản

u kiện cần và đủ tối Ưu

34 34 44

2.2 Cấu trúc Hamiltonl 512.3 Nghiệm của bài toán điều khiển tối

ưu với điều khiển liên hệ

Danh mục kí hiệu và viết tắt

Các kí hiệu thường dùng

: Không gian Euclide m chiều X*:

Không gian liên hợp của X detA: Định

L(Mn, Mm) : Không gian các ánh xạ tuyến tính liên tục từ №n tới №m

L ( Rn): Không gian các ánh xạ tuyến tính từ ]Rn tới ]Rn L 2 [a, b]: Không gian các hàm khả tích trên [a, b]

C [ a , b ] : Không gian các hàm liên tục trên đoạn [a, 6]

c1 [ a , b ] : Không gian các hàm khả vi, liên tục ữên đoạn [ a , 6]

C^[a, 6] = {a? € c[a, 6] : B x G c^a, 6]}

Các kí hiệu viết tắt

DAE Phương ữình vi phân đại số ODE Phương trình vi phân thường

Mỏ đầu

1 Lí do chọn đề tài

Do yêu cầu thực tiễn, bài toán điều khiển tối ưu mô tả bởi hệ phương trình viphân thường đã được nghiên cứu khá ưọn vẹn và đã đạt được các kết quả cơ bản,điển hình là nguyên lí cực đại Pontryagin và phương pháp qui hoạch động Cũng donhững yêu cầu của kĩ thuật, khoa học và công nghệ, bắt đầu từ những năm 1980,phương trình vi phân đại số (Differential-Algebraic Equations) mô tả các hệ thốngphức tạp (trong cơ học người máy, hóa học, điều khiển tàu vũ trụ, ) đã được nghiêncứu mạnh mẽ trên thế giới Bài toán điều khiển tối ưu với hàm mục tiêu toàn phương

mô tả bởi hệ phương trình vi phân đại số tuyến tính đã được một số nhóm nghiêncứu trên thế giới (Nga, Đức, ) cố gắng giải quyết (xem, thí dụ tíu, [01, @)

Với mong muốn tìm hiểu sâu hơn về một hướng nghiên cứu tương đối thời sựhiện nay là bài toán điều khiển tối ưu mô tả bởi hệ phương trình vi phân thường và

phương trình vi phân đại số, tôi chọn đề tài Bài toán điều khiển tối ưu toàn phương

mô tả bởi hệ phương trình vi phân đại số tuyến tính làm luận văn cao học.

2 Mục đích nghiên cứu

1) Tìm hiểu và trình bày bài toán điều khiển tối ưu với hàm mục tiêu toàn phương

mô tả bởi hệ phương trình vi phân thường tuyến tính trong không gian

hữu hạn chiều, chủ yếu theo Tài liệu [HO và một số tài liệu khác.

2) Tìm hiểu và trình bày lí thuyết hệ phương trình vi phân đại số tuyến tính, chủyếu theo Tài liệu Ũ3-

3) Tìm hiểu và trình bày bài toán điều khiển tối ưu với hàm mục tiêu toàn phương

mô tả bởi hệ phương trình vi phân đại số tuyến tính theo AU

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

1) Nghiên cứu bài toán điều khiển tối ưu với hàm mục tiêu toàn phương mô tả bởi

hệ phương trình vi phân thường trong không gian hữu hạn chiều

2) Nghiên cứu hệ phương trình vi phân đại số

3) Nghiên cứu bài toán điều khiển tối ưu với hàm mục tiêu toàn phương mô tả bởi

hệ phương ữình vi phân đại số tuyến tính

4 Đối tượng và phạm vỉ nghiên cứu

Bài toán điều khiển tối ưu với hàm mục tiêu toàn phương mô tả bởi hệ phươngtrình vi phân thường và phương trình vi phân đại số tuyến tính

5 Phương pháp nghiên cứu

1) Thu thập các tài liệu liên quan tới Bài toán điều khiển tối ưu với hàm mục tiêutoàn phương mô tả bởi hệ phương trình vi phân

2) Phân tích, tổng hợp và hệ thống các kiến thức liên quan tới Bài toán điều khiểntối ưu với hàm mục tiêu toàn phương mô tả bởi hệ phương trình vi phân thường vàphương trình vi phân đại số tuyến tính

6 Đóng góp mới

Xây dựng Luận văn thành một tài liệu tổng quan tốt cho sinh viên và học viên caohọc về đề tài Bài toán điều khiển tối ưu toàn phương mô tả bởi hệ phương trình viphân thường và phương trình vi phân đại số tuyến tính ữong không gian hữu hạnchiều

Chương 1 Bài toán điều khiển tối ưu với hàm mục tiêu toàn phương mô tả bỏi hệ phương trình vỉ phân thường tuyến tính

1.1.1 Các khái niệm cơ bản

Định nghĩa 1.1.1 Cho X, Y là hai không gian vectơ trên trường số thực K A : X —

> Y được gọi là ánh xạ tuyến tính từ X vào Y nếu thỏa mãn điều kiện

A ( a x ) = a A ( x ) , với mọi X e X , a e R,

A(pc + y) = A ị x ) + A ( y ) , với mọi X , y € X

Định nghĩa 1.1.2 Cho X i , X 2,€ Mn, ]Rn là không gian vectơ trên trường số thực Khiđó

Tổ hợp tuyến tính trên E của X i , X 2 , Xỵ là

OiiXi + + OLk x k> với Oíị G K, * = 1,2, , k.

Tập tất cả các tổ hợp tuyến tính của Xị, X 2 , ■■■, Xỵ là một không gian con được

gọi là s p a n của X i , x 2, X ỵ , được xác định bởi

s p a n ị x 1 x 2 , X ỵ } : = { x = a \ X \ + + a ỵ X ỵ : « ị ẽ M , ĩ = l , 2 r , A:}.

Tập các vectơ Xi, x 2 , X ỵ được gọi là độc lập tuyến tính trên R nếu

«1, Oi2, Oíỵ E M

Ma trận A cấp n X n được gọi là ma trận xác định dương (positive definite) được

kí hiệu bởi A > 0, nếu x*Ax > 0 với mọi X ^ 0.

Vậy ma trận B là ma trận nửa xác định dương.

Định nghĩa 1.1.5 Một ma trận vuông A cấp n X n được gọi là suy biến (singular)

nếu định thức của nó bằng 0 Ma trận vuông có định thức khác 0 được gọi là ma ữận

k h ô n g s u y b i ế n ( n o n s i n g u l a r )

Định nghĩa 1.1.6 Cho E,F € L{\Rm) Cặp ma trận (E, F) được gọi là chính quy nếu 3A sao cho d e t ( X E + F ) Ỷ 0- Nếu det(AE + F ) = 0 với mọi A thì cặp ma trận ( E ,

F ) được gọi là suy biến.

Tập hợp các ma trận dạng (XE + F) được gọi là chùm ma trận.

Định nghĩa 1.1.7 Cho Ả là ma trận vuông cấp n, ma trận A gọi là ma trận khả nghịch nếu tồn tại ma trận B vuông cấp n sao cho AB = BA = E n (E n là ma trận đơn

vị cấp n ).

Nếu A là ma trận khả nghịch thì ma trận B thỏa mãn điều kiện trên là duy nhất, và B gọi là ma trận nghịch đảo (inverse matrix) của ma trận A, kí hiệu là A~ l Vậy ta luôn có AA~ l = A~ 1 A = E n

Ta thấy rằng A khả nghịch khi và chỉ khi A không suy biến (tức là detA 7^ 0)

Nếu A, B khả nghịch thì AB cũng khả nghịch và { A B ) ~ X = B~ 1 A~ 1

Định nghĩa 1.1.8 (ta, p 589-590)

Cho ma trận M G L(M n , № m ) Ta gọi ma ưận M~ G L ( R m , № n ) là ma trận nghịch đảo suy rộng (generalized inverse matrix) của M nếu thỏa mãn điều kiện

do M MM = M nên M là ma trận nghịch đảo suy rộng của M.

Định nghĩa 1.1.9 Hạng của ma trận là giá trị lớn nhất của số hàng hoặc số cột độc

lập tuyến tính Hạng của ma ữận A kí hiệu là rankA.

Ma trận A G Mmxn được gọi là có hạng dòng đầy đủ nếu m < n và r a n k ( A ) =

771

Ma trận A được gọi là có hạng cột đầy đủ nếu n < m và r a n k ( A ) = n

M ~ M M ~ = M ~

Ví dụ 1.2

Nếu r a n k ( A ) bằng số cột hoặc số dòng của A thì A được gọi là có hạng đầy đủ.

Ma trận vuông có hạng đầy đủ là một ma trận không suy biến

Định nghĩa 1.1.10 ([GO, p 57) Ta gọi không gian định chuẩn (hay không gian tuyến

tính định chuẩn) là không gian tuyến tính X trên trường p (P = R hoặc p = C) cùng với một ánh xạ từ X vào tập số thực R, kí hiệu là ll-ll và đọc là chuẩn, thỏa mãn các

tiên đề sau đây:

(1) Va; G X : ỊỊa^ll > 0, \\x\\ = 0 ^ X = 6 (6 là kí hiệu phần tử không của X);

(2) Va: e X,Va G p : IIo;rr|Ị = \a\ ||x||;

( 3 ) V x , | / € l : ||z + y\\ < Ị|xỊỊ + ||y|Ị.

Số II a:|| được gọi là chuẩn của véctơ X Ta cũng kí hiệu không gian định chuẩn là

X Các tiên đề trên được gọi là hệ tiên đề chuẩn.

Định nghĩa 1.1.11 Cho X là không gian định chuẩn và {^n}nỄN là dãy các phần tử

trong X Ta nói rằng dãy {^n}nSN hội tụ theo chuẩn đến X £ X,

x n —>■ X

nếu

lim ||x — xn|| = 0

ĩl—>00 Định nghĩa 1.1.12 Cho u là một tập mở trong Mn và / : u —¥ Km Hàm /

được gọi là khả vi tại điểm a = (ữi, Ũ 2 ,an) G ư nếu tồn tại một ánh xạ

1. \ \ f ( a + h ) - f ( a ) - A ( h ) \ \ í™ \\h\\

Cho tập X Ф 0 và họ T các tập con của X

Định nghĩa 1.1.13 (0, p 30) T được gọi là một ơ — đại số nếu nó thỏa mãn các điều kiện

(i) X, 0 G T

(ii) Ả £ T =>■ A° € T , ưong đó A c X\A.

(iii) A k <E T, к = 1,2, =>- и A k G T.

k=1

Nếu T là ơ— đại số các tập con của X thì cặp (X, F) được gọi là một không gian

đo được và mỗi tập A G T được gọi là tập đo được (đo được với T hay }7— đođược)

Định nghĩa 1.1.14 Độ đo ịi : T —Ï ]R+ là một hàm tập xác định trên ơ— đại số T trên X và thỏa mãn các tính chất sau:

1) ịi (А) ) > 0 với mọi А € T\

Hàm số / : X —>■ Ш được gọi là đo được trên tập A đối với ơ— đại số T nếu

Va € M : {x € Ẩ : f(x) < a} G T.

Đinh nghĩa 1.1.16 Trong một không gian meưic X bất kì, cho một ơ— đại số T và một độ đo ịẤ trên T Ta nói một điều kiện a [x) được thỏa mãn với hầu

hết mọi X ẽ A, hay được thỏa mãn hầu khắp nơi trên A nếu có tập B c A sao cho /i

(B) — 0 và a (X) được thỏa mãn với mọi X e A\B.

Ví dụ f ( x ) = g ( x ) hầu khắp nơi trên A có nghĩa là 3 B c A , /i (5) = 0 và

vậy, nếu f là hàm đo được, không âm thì ta định nghĩa

Nếu f là hàm đo được bất kỳ thì

f + ( t ) := m a x { f ( t ) , 0} > 0, f ~ ( t ) : = m a x { - f ( t ) , 0} > 0

cũng là các hàm đo được, không âm và ta có f(t) = /+ (í) — f~ (t)

Nếu ít nhất một trong các tích phân f f + d/Ầ, / f ~ d ị i , là số hữu hạn thì ta định

Định nghĩa 1.1.18 Cho hai không gian metric Mị = (X, d i ) , M 2 = (Y , d 2 ) , ánh

xạ / : M i — > M 2

Ánh xạ / được gọi là liên tục tại điểm x ữ G X, nếu Ve > 0, 3Ổ > 0, sao cho với mọi X e X mà d i ( x , X o ) < ổ thì d ỵ ự ị x ) , f { x o ) ) < £ -

Ánh xạ / gọi là liên tục trên tập А с X nếu ánh xạ / liên tục tại mọi điểm X e A Khi А = X thì ánh xạ / được gọi là liên tục.

Định nghĩa 1.1.19 Một ánh xạ / từ một tập X vào tập các số thực mở rộng Ш = MU

{±00} được gọi là một hàm số thực nếu f ( x ) с Ш tức là f ( x ) không lấy các giá trị

±00 thì hàm số được gọi là hữu hạn Một hàm số hữu hạn và liên tục theo nghĩa ánh

xạ liên tục được gọi là hàm số liên tục.

Định nghĩa 1.1.20 Hàm X : (a, b) —> Rn được gọi là liên tục tuyệt đối, nếu với mỗi

£ > 0 tồn tại số ố > 0 sao cho với mọi hệ hữu hạn khoảng đôi một không cắt nhau

Đinh lý 1.1.2 (Lebesgue) Nếu hàm X : (a, b) —»• №n là liên tục tuyệt đối trên (a,

b), thì nó k hả vi hầ u k hắp nơ i t rên (a, ò), đạo hàm x '( ) của nó khả tí ch trê n

(a, b) và công thức Newton-Leibniz

t

đúng vói mọi í, r € (a, b)

N ế u h à m £ : (a , b ) —> Mn ẢTỉả t í c h t r ê n (a , ò) v à T G (a, ò), t h ì h à m s ố X (t )

•

f £ (s)ds /à /ỉ'ên tục tuyệt đối và x' (í) = £ (í) hầu khắp nơi.

T

Ta nói hàm X = (#1, £2, •••, x n ) : (a,b) —»■ Mn là đo được và khả tích nếu mỗi

hàm số Xị : (a, ò) —> M là đo được và khả tích Và theo định nghĩa,

( A x , y ) = { x , B y ), V x e X , Vy G Y

Toán tử liên hợp B được kí hiệu là A *

Định nghĩa 1.1.24 Toán tử tuyến tính bị chặn A ánh xạ không gian Hilbert H vào chính nó gọi là tự liên hợp nếu

( A x , y ) = { X , A y ) , Va;, y G H

Toán tử tự liên hợp còn gọi là toán tử đối xứng

1.1.2 Bài toán điều khiển tối ưu

Xét hệ phương trình vi phân thường

Một hàm khả vi X : ( a , b ) —>■ G được gọi là nghiệm của hệ phương trình vi

phân (Ịl.lỊ) ưên khoảng (a, 6) nếu nó thỏa mãn hệ phương trình (Ịl.lỊ) với mọi

dx Íí)

t € (a, 6), tức là —y— = f ( t , x (t)) đúng với moi t € (a, 6) dt

Định lý 1.1.3 (Định lý tồn tại nghiệm của phương ữình vi phân)

Giả sử f : ( a : b ) X G —¥ Mn là hàm Lipshitz theo X đều theo t, tức là:

II/ ( t , X ị ) — / { t , x2)|| < L ỊỊíCi — x 2 \\ , Ví e (a, 6) ,\/xi,x 2 E G mở c Mn

Khi đó phương trình (ỊlTỊ) CÓ duy nhất nghiệm địa phương thỏa mãn điều kiện ban đầu

x ( t 0 ) = x0 , t o G ( a , b )

Chú ý 1.1.1 Để ngắn gọn, ta thường gọi hệ phương trình (LJ_) là phương trình

vi phân, ta hiểu rằng đây là phương trình vi phân vectơ hay hệ phương trình vi phân Tương tự, đôi khi ta cũng gọi các hàm vectơ x ị t ) v à f ( t , X ) l à c á c

h à m s ố

Bài toán tìm nghiệm của hệ phương trình (Ịl.lỊ) thỏa mãn điều kiện (Ị1.2Ị) được

gọi là bài toán giá trị ban đầu hay bài toán Cauchy của hệ phương trình vi phân

với các thời điểm t ữ , T > t ữ là cho trước và cố định

Các hàm u : [0, oo) — > Rm là hàm đo được (hoặc liên tục từng khúc) trên [ t o , T ]

và thỏa mãn hạn chế

được gọi làđiều khiển chấp nhận được Ở đây Ư c Rm là một tập nào đó ữong

không gian hữu hạnchiều M m và được gọi là t ậ p h ạ n c h ế trên biếnđiều khiển,

vế phải •)là hàm (vectơ) liên tục theo cả ba biến ( t , X , u ) Khi hàm điều khiển u (•) đã được chọn, hệ (Ị1.3Ị) trở thành phương trình vi phân thường

x ' ( t ) = f ( t , x ( t ) , u ( t ) ) = f ( t , x ( t ) ) , t e [ t 0 ì T ] (1.5)

Vì u (•) là một hàm cho trước, liên tục từng khúc và thậm chí là hàm đo được nên

cho dù hàm / ( - , - , • ) có thể là đủ tốt (liên tục, thậm chí tuyến tính hoặc khả vi theo

cả ba biến), sau khi thay hàm u ( ) vào / (•, •, •) thì vế phải của phương

ưình ( L 5 ) có thế không còn là một hàm liên tục, các khái niệm theo nghĩa cốđiển về tồn tại nghiệm (khả vi liên tục) không còn đúng Ta xét ví dụ sau

Ví dụ 1.4 Cho x ' = u vế phải / (t , x , u ) — и liên tục theo (í, X , и) Nếu chọn

Nếu X (0) = 0 thìci = c2 = 0 và

* № = { 0,1 > 0.

Nghiệm x ( t ) không khả vi tại X = 0.

Vì vậy ta phải mở rộng khái niệm nghiệm của phương trình vi phân (Ịl.lỊ)

Định nghĩa 1.1.25 Hàm số X = ip (t) liên tục tuyệt đối trên khoảng

( t ữ - ỗ , t ữ + ỏ ) c ( a , b )

(do đó có đạo hàm hầu khắp nơi trên ( t 0 — ổ , t 0 + ố) thỏa mãn phương trình vi phân

(Ị_J_) hầu khắp nơi trên ( t Q — ỏ, t Q + ổ) được gọi là nghiệm suy rộng địa phương trong lân cận t 0 của phương trình vi phân (Ịl.lỊ) trên khoảng (a, b).

Nếu điều kiện của Định lí Caratheodory được thỏa mãn, thì phương trình vi

phân (Ị1.5Ị) có nghiệm (suy rộng) X (í)

Ta nhắc lại Định lí Caratheodory về tồn tại nghiệm suy rộng của phương trình vi phân với vế phải đo được

Định lí Caratheodory Cho hàm / : D —> Mn, ưong đó

Khi ấy tồn tại một số c > 0 sao cho phương trình vi phân (Ịl.lỊ) có nghiệm suy rộng

ữên T c — { t : \ t — t 0 \ < c } thoả mãn điều kiện ban đầu X (t ữ) = x 0

Theo định lý Caratheodory với mỗi điều khiển chấp nhận được hệ (1.3) có một và

chỉ một nghiệm x ( t ) , x ( t ) liên tục tuyệt đối từ I tới Kn thỏa mãn điều kiện x ( t0) =

£()•

Với u ( ) đã chọn thì (Ị1.3Ị) nói chung có nghiệm địa phương x(.) Nghiệm a;(.) được gọi là quỹ đạo ứng với điều khiển «(.).

Bài toán ( x 0 , X \ ) - điều khiển được được phát biểu như sau: Cho trước x ữ , X ị G

R n , hệ (Ị1.3Ị) được gọi là (íCo, Xi) - điều khiển được nếu tồn tại T > 0, điều khiển

chấp nhận được u ( ) sao cho quỹ đạo tương ứng x ( t ) đi từ x 0 tới X i , tức là z(0)

= X q , x(T) = X ị

Hệ (Ị1.3Ị) được gọi là hoàn toàn điều khiển được nếu với mỗi vectơ x ( 0 ) = x ữ ẽ

K n, X i e ]Rn, với mỗi T > 0 và một hàm đo được u ( t ) trên [0,T],

u(t) G Mn sao cho quỹ đạo tương ứng của hệ (Ị1.3Ị) thỏa mãn điều kiện x ữ G Mn và

x ( T ) = X \ Nghĩa là, tồn tại một điều khiển chuyển hệ từ vị trí (trạng thái) x 0 £ Rn

sang vị trí (trạng thái) Xị £ Rn sau thời gian T.

Bài toán điều khiển tối ưu ịoptimal controlproblem) được phát biểu như sau:

Trong số tất cả các điều khiển đưa quỹ đạo từ X Q đến X ị hãy tìm điều khiển

u ( t ) sao cho nó cực tiểu hóa một tiêu chuẩn J (u), J (lí) được gọi là hàm mục tiêu.

Định nghĩa 1.1.26 Tập các trạng thái có thể đạt được từ trạng thái ban đầu x 0 sau thời gian T,T > 0, được định nghĩa bởi

Acc ( x ữ , T ) = { x u (T) , u ( t ) e U } ,

trong đó x u ( ) là nghiệm của hệ (Ị1.7Ị ) sinh bởi điều khiển chấp nhận được u ( ) ,

và thỏa mãn điều kiện ban đầu x u (0) = X o , u là tập lồi trong không gian hữu hạn chiều Ta đặt Acc(x0,0) = x 0

Tập Acc (a^o, T) được gọi là tập đạt được của hệ (Ị1.7Ị) tại thời điểm T xuất phát từ

điểm X Q

Mệnh đề 1.1.1 Nếu u là lồi thì Acc (a:0, T) là tập lồi với mọi T > 0.

Chứng minh Lấy xf, xỊ e Acc (x 0 , T) Khi ấy tồn tại Uị (t ), i = 1, 2 là điều khiển

chấp nhận được sao cho Xị (t ) là nghiệm của (Ị1.7Ị ) tương ứng với Uị it ) thỏa mãn

điều kiện ban đầu z(0) = x ữ Khi ấy

Ta đặt и (t ) = Awi (í) + (1 — Л) ) М2 (í), do и là lồi, nên u ( t ) € £/ mọi í €

[0,T] Do U ị { ) là đo được nên u(t) là đo được hay u(t) là điều khiển chấp

Khi đó

( X x ĩ (T) + (1 - Л) х т

2 (Т) + )) <Е А с с (я0, т ).

Vậy А с с (X Q , т) là tập lồi với mọi T > 0. □

1.1.3 Nguyên lí cực đại Pontryagin

Xét hệ phương trình vi phân có điều khiển

x ' = / ( x , и ), X G Rn ,

X (0) = Ĩ(| ẽ i" cho trước, и e и С Mm

Hàm mục tiêu được cho bởi

Hàm Ф : M n — > ■ R q cho q ràng buộc là các hạn chế tại điểm cuối, tức là

ị Ф г ( x ( T ) ) = 0,

Ф ( x (T)) = 0 & ị {

với mọi điều khiển chấp nhận được и (•), X (•) là quỹ đạo sinh bởi и (•).

Bộ ( x * , u * ) làm cực tiểu phiếm hàm J ( x , ù) được gọi là quá trình tối ưu.

Ta xây dựng hàm Hamilton

n

H = L + \ T f = L + Y, Ai/,

i= 1

Các biến số A là các hàm phụ thuộc vào t Nguyên lý cực đại Pontryagin sau

đây cho điều kiện cần tối ưu

Định lý 1.1.4 (Nguyên lý cực đại Pontryagin, Theorem 2.1, du, p 2-6)

G i ả s ử ( x * i u * ) là quá trình tối ưu Khi đó tồn tại A* ( t) G Rn và V * e R9 sao cho £*(.), A*(.) thỏa mãn

vđỉ mọi u e u hầu khắp nơi.

Như vậy, nghiệm tối ưu là nghiệm của phương trình vi phân với điều kiện biên vàthỏa mãn điều kiện tối ưu (Ị1.6Ị)

Nếu u = arg min H (X, u, À) tồn tại, ta có thể sử dụng điều này chọn điều khiển u

và tìm quỹ đạo chấp nhận được làm cực tiểu hàm mục tiêu.

Điều kiện biên cho bởi n điều kiện ban đầu a^(0) = Xq £ R n , q ràng buộc cuối trong ữạng thái ' ệ ( x (T)) = 0, và n — q giá trị cuối cho nhân tử Lagrange (the

Lagrange multipliers)

Trong phương trình cuối, V là biến tự do và do đó có n phương trình trong n + q

biến tự do, loại n — q ràng buộc đặt trên À (T) Như vậy tổng cộng, ta có 2n giá trị

biên

Nguyên lý cực đại là một định lý rất tổng quát Nếu и = Km và H là khả vi, thì

điều kiện cần của điều khiển tối ưu trở thành

Lấy T cố định, số gia của hàm mục tiêu được viết như sau

Ỗ J = J (X* + ôx, u* + ôu, A* 4- ỐA, V * + ỗ v )— J A*, V * )

1.2 Bài toán điều khiển tối ưu với hàm mục tiêu toàn

phương mô tả bỏỉ hệ phương trình vỉ phân tuyến tính

1.2.1 Bài toán điều khiển tối ưu với hàm mục tiêu toàn phương mô tả bỏỉ

hệ phương trình vi phân tuyến tính

Xét hệ phương trình vi phân thường tuyến tính có điều khiển

X 1 (t) = A ( t ) x (t ) + B ( t ) u ( t ) , t £ I = [0, T ] (1.7)

X e Rn, u e Rm, x ữ cho trước

Ở đây A ị t ) và B (t ) là các ma trận hàm lần lượt có cấp n X n , n X ra, biến thời

gian tthay đổi trong đoạn [0, T], Tỉ - vectơ (vectơ 71 chiều)

Hàm mục tiêu có dạng toàn phương {quadratic form)

T J= - [ (x T Px + u T Qu) dt+-x T(T) (T)21/ 2

ở đây Q , w và p là các ma trận đối xứng, xác định dương, trạng thái x(t) xuất phát

từ điểm đầu X (0) = Xq và được sinh bởi vectơ điều khiển 777, chiều u(t) tới điểm cuối x ( T )

Bài toán điều khiển tối ưu với hàm mục tiêu dạng toàn phương tuyến tính

ịlinear-quadraic optimal probỉem)được phát biểu như sau: Cho X Qvà T,tìm

u ( t ) sao cho x ( t ) là nghiệm của (Ị1.7Ị), cực tiểu hàm mục tiêu J (u ) được định

Sử dụng Định lý fll.l.4Ị), ta được điều kiện cần

u ( t

) = — Q ~ 1 ( t ) B T ( t ) X ( x )

thay vào phương trình (|1.10|) ta được hệ (|1.10|)-(ỊmT) Để giải bài toán điều khiển

tối ưu ta phải giải b à i toán b i ê n h a i đ i ể m bằng cách sử dụng điều kiện đầu a;

(0) = x 0 và điều kiện cuối A(T) Tuy nhiên, nói chung hệ này là khó giải Sử dụng

Phương trình (Ị1.13Ị) được gọi là phương trình vi phân ma trận Riccati

Giả sử S(t) thỏa mãn (Ị1.13Ị), ta có điều khiển tối ưu dạng

u(t) = — Q ~ 1 ( t ) B T ( t ) S ( t ) x ( t )

Thay vào hệ phương trình vi phân ban đầu (Ị1.9Ị) và giải hệ này với điều kiện z(0) =

X ữ ta được nghiệm Chú ý rằng ở đây điều khiển u ( t ) là một dạng điều khiển dạng

không có ràng buộc đặt lên giá trị cuối À hoặc S(t) tương đương Do đó ta tìm ma

trận hằng s thỏa mãn (Ị1.13Ị) Nói cách khác, ta tìm s sao cho

Nghiệm của (Ị1.16Ị) được kí hiệu là x ( t ) , t > 0, x ( t ) £ Mn

Định nghĩa 1.2.1 Ma trận A được gọi là ổn định ịstable) nếu R e Ằ < 0 với mọi A e

A ( A )

Trong thực tế, nhiều khi chúng ta không quan sát được toàn bộ đầu ra x(t)

(nghiệm của phương trình (Ị1.16Ị», mà chỉ quan sát được một số tọa độ của nó thôngqua hàm

y = C x : t > 0 (1.17)

Hệ (Ịl.161)- (Ị1.17Ị) hay cặp ma trận (A, c) được gọi là quan sát được (observable)

nếu với x0 ẽ i", x ữ Ỷ 0 tồn tại t > 0 sao cho

y ( t ) = C x ( t ) í 0

Hệ (Ị1.16Ị)- (Ị1.17Ị) hay cặp ma trận ( A , C ) được gọi là nhận biết được

ịde-tectable) nếu tồn tại ma trận K e M ( n , k) sao cho ma ữận A + KC là ổn định.

Một cặp ma ữận (A , B ) được gọi là ổn đ ị n h hóa được khi tồn tại ma trận K €

M ( n , k) sao cho ( A — K B ) là ổn định.

Định lý 1.2.1 Giả sử ( A : B) ổn định hóa được và (p, A) nhận biết được tectabỉe) Khi đó tồn tại duy nhất ma trận nửa xác định dương s là nghiệm của phương trình đại số Rỉccati (Ị1.15Ị), điều khiển u = — Q ~ 1 B T S x sao cho hệ phương trình x' = (A — B Q ~ X B T S ) x là ổn định.

(de-Chú ý 1.2.1 Nếu p = c*c, trong đó ma trận c có cd p X n với p < n Khi ấy (p,

A) là nhận biết được (detectable) khi và chỉ khi (c, A) cũng nhận biết được

(detectabỉe) Hàm mục tiêu được cho bởi

00

J (aj0) = min 1 [y T (t) y (t) + U T (t) Qu (í)] dt tp£ệ J

0

(1.18)

với y = Cx ỏ trưởng hợp này, điều kiện của định lý là (A, B) là ổn định hoá được và (ơ, Ả) nhận biết được (detectable).

Từ giả thiếtcủa định lý, ta dễ thấy rằng nếu ( A , B ) ổn định hoá được, và

(p, A ) nhậnbiết được (detectable), thì hàm điều khiển

u = - Q ~ 1 B T S x (1.19)

dẫn đến hệ đóng

z ' = ( A - B Q ~ 1 B T S ) X (1.20)

X

là ổn định Do đó (|1.19|) là một điều khiển chấp nhận được, dẫn đến X ( t ) 0

Ta kiểm tra (Ị1.19Ị) đúng là điều khiển tối ưu

Sử dụng (|1.15|) ta viết p như sau

Q

~ 1

B T

S x { t ) ] T

Q [ u

(í) +

u = — Q 1 B T S x ( t )

với hàm mục tiêu cực tiểu được cho bởi

«7 (zo) = X Q S X 0 (1.21)

Định lý 1.2.2 (Theorem 2.2, lỊĨÕl p 2.11 - 2.12) Cho (A, B) Ổn định và (p, ^4) nhận

biết được (detectable) Điều khiển tối ưu làm cực tiểu hàm mục tiêu của phương trình (Ị1.9Ị) được cho bởi

V2q 3

s =

Hàm điều khiển được cho bởi

K = Q ~ 1 B T S = Điều kiện liên hệ ngược cực tiểu hoá hàm mục tiêu là u = — K x Ta