Tính ổn định hệ phương trình vi phân tuyến tính có trễ

NGUYỄN THỊ MAI LANTÍNH ỔN ĐỊNH HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH CÓ TRỄ LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Hà Nội, tháng 6 năm 2015... NGUYỄN THỊ MAI LANTÍNH ỔN ĐỊNH HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾ

NGUYỄN THỊ MAI LAN

TÍNH ỔN ĐỊNH HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH

CÓ TRỄ

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Hà Nội, tháng 6 năm 2015

NGUYỄN THỊ MAI LAN

TÍNH ỔN ĐỊNH HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH

CÓ TRỄ

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Chuyên ngành : TOÁN GIẢI TÍCH

Mã số : 60 46 01 02

Người hướng dẫn khoa học:

GS.TSKH VŨ NGỌC PHÁT

Hà Nội, tháng 6 năm 2015

Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 dưới

sự hướng dẫn tận tình của GS.TSKH Vũ Ngọc Phát Em xin được gửi lờicảm ơn chân thành và lòng biết ơn sâu sắc tới thầy giáo GS.TSKH VũNgọc Phát Nhân dịp này em cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thànhcủa mình tới toàn bộ các thầy, cô giáo trong khoa đã tham gia giảng dạy

và giúp đỡ chúng em trong suốt quá trình học tập cao học chuyên ngànhToán giải tích tại trường

Em xin chân thành cảm ơn ban Giám hiệu, phòng Sau đại học trườngĐại học Sư phạm Hà Nội 2 đã tạo điều kiện thuận lợi trong quá trình emhọc tập và nghiên cứu

Hà Nội, tháng 6 năm 2015

Tác giả

Nguyễn Thị Mai Lan

Luận văn được hoàn thành tại trường Đại Học Sư phạm Hà Nội 2 dưới

sự hướng dẫn của GS.TSKH Vũ Ngọc Phát

Tôi xin cam đoan rằng kết quả nghiên cứu trong luận văn này là trungthực và không trùng lặp với các đề tài khác Tôi cũng xin cam đoan rằngmọi sự giúp đỡ cho việc thực hiện luận văn này đã được cảm ơn và cácthông tin trích dẫn trong luận văn đã được chỉ rõ nguồn gốc

Hà Nội, tháng 6 năm 2015

Tác giả

Nguyễn Thị Mai Lan

Kí hiệu toán học 1

1.1 Hệ phương trình vi phân 4

1.1.1 Hệ phương trình vi phân 4

1.1.2 Hệ phương trình vi phân tuyến tính ôtônôm 5

1.1.3 Hệ phương trình vi phân tuyến tính không ôtônôm 6 1.1.4 Hệ phương trình vi phân tuyến tính có trễ 7

1.2 Bài toán ổn định hệ phương trình vi phân 8

1.2.1 Bài toán ổn định 8

1.2.2 Phương pháp hàm Lyapunov 11

1.2.3 Bài toán ổn định các hệ phương trình vi phân tuyến tính 14

1.2.4 Bài toán ổn định hệ phương trình vi phân có trễ 21

1.3 Một số bổ đề bổ trợ 22

2 TÍNH ỔN ĐỊNH HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH CÓ TRỄ 23 2.1 Tính ổn định của hệ phương trình vi phân tuyến tính có trễ ôtônôm 23

2.2 Tính ổn định của hệ phương trình vi phân tuyến tính có trễ không ôtônôm 32

• λ(A): Tập tất cả các giá trị riêng của A.

• λmax(A) = max {Reλ : λ ∈ λ (A)}

• kAk = pλmax(ATA): Chuẩn phổ của ma trận A

• η(A) = 12λmax(A + AT): Độ đo của ma trận A

• C ([a, b] ,Rn):Tập các hàm liên tục trên [a; b]và nhận giá trị trên Rn

• A > 0: Ma trận A xác định dương nếu hAx, xi > 0, ∀x 6= 0

• A ≥ 0: Ma trận A xác định không âm nếu hAx, xi ≥ 0, ∀x ∈ Rn

LỜI MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Lý thuyết ổn định là một hướng nghiên cứu quan trọng của lý thuyếtđịnh tính phương trình vi phân Trải qua hơn một thế kỷ phát triển, ngàynay lý thuyết ổn định vẫn được quan tâm nghiên cứu phát triển mạnh mẽ

và thu được nhiều kết quả, ứng dụng rộng rãi trong các lĩnh vực toán họcứng dụng Đặc biệt từ những năm 60 của thế kỷ hai mươi, bằng sự ra đờicủa lý thuyết hệ thống, tính ổn định ngày càng được quan tâm nghiên cứu

và ứng dụng vào các mô hình điều khiển kỹ thuật

Có nhiều phương pháp nghiên cứu lý thuyết ổn định như: phương phápthứ nhất Lyapunov – phương pháp số mũ đặc trưng; phương pháp hàmLyapunov, phương pháp so sánh, vv Tuy nhiên phương pháp hàm Lya-punov ( phương pháp thứ hai) được cho là phương pháp hữu hiệu nhất đểnghiên cứu bài toán ổn định hệ động lực Trong thực tế, nhiều mô hình

mô tả bởi hệ phương trình vi phân có trễ Độ trễ thời gian là một trongnhững nguyên nhân trực tiếp ảnh hưởng đến tính ổn định và dáng điệunghiệm xuất của hệ thống

Song song với sự phát triển của lý thuyết ổn định các hệ phương trình

vi phân thường, người ta nghiên cứu tính ổn định phương trình vi phân

có trễ Bài toán ổn định phương trình vi phân có trễ đã nhận được quantâm nghiên cứu và thu được nhiều kết quả thú vị bởi các nhà toán học,điều khiển học trong và ngoài nước, đặc biệt bởi nhóm nghiên cứu của GS

Vũ Ngọc Phát, Viện Toán học Hà Nội Bài toán ổn định hệ phương trình

vi phân có trễ là bài toán khó và vẫn còn là hướng nghiên cứu quan trọngđang được quan tâm nghiên cứu Vì vậy tôi đã chọn đề tài cho luận vănthạc sĩ của mình là “ Tính ổn định hệ phương trình vi phân tuyến tính cótrễ.”

2 Cấu trúc của khóa luận

Luận văn này gồm 2 chương

Chương 1: Cơ sở toán học

Chương 2: Tính ổn định hệ phương trình vi phân tuyến tính có trễ

3 Mục đích nghiên cứu

Trình bày cơ sở bài toán ổn định Lyapunov, một số kết quả chọn lọccủa tính ổn định hệ phương trình vi phân tuyến tính có trễ

4 Nhiệm vụ nghiên cứu

Đọc hiểu các tài liệu về lý thuyết ổn định Lyapunov, bài toán ổn địnhtiệm cận, ổn định mũ hệ phương trình vi phân tuyến tính; trình bày nhữngkiến thức này dưới dạng một luận văn khoa học Vận dụng để giải một sốbài toán ổn định hệ phương trình vi phân tuyến tính có trễ

5 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Các hệ phương trình vi phân tuyến tính có trễ, lý thuyết ổn định

6 Phương pháp nghiên cứu

Các phương pháp và kỹ thuật toán học của phương trình vi phân, đại

số tuyến tính, giải tích thực hiện đại, phương pháp hàm Lyapunov

7 Đóng góp của đề tài nghiên cứu

Hệ thống các kiến thức cơ sở của lý thuyết ổn định hệ phương trình

vi phân tuyến tính, hệ có trễ và các kết quả chọn lọc mới về bài toán ổnđịnh mũ, ổn định tiệm cận Lyapunov hệ phương trình vi phân tuyến tính

có trễ

Chương 1

CƠ SỞ TOÁN HỌC

Trong chương này luận văn trình bày một số khái niệm cơ bản về hệphương trình vi phân, nghiệm của phương trình vi phân, tính ổn định của

hệ phương trình vi phân thường và hệ phương trình vi phân tuyến tính

có trễ, phương pháp hàm Lyapunov để nghiên cứu tính ổn định của hệphương trình vi phân tuyến tính, một số bổ đề bổ trợ được sử dụng trongchương 2 Nội dung được trình bày trong [1], [2], [3]

1.1 Hệ phương trình vi phân

1.1.1 Hệ phương trình vi phân

Xét hệ phương trình vi phân có dạng:

( ˙x(t) = f (t, x(t)), t ≥ t0,x(t0) = x0, t0 ≥ 0,

(1.1)

trong đó x(t) ∈ Rn, f : R+×Rn → Rn , với mỗi t ≥ t0

Hàm khả vi liên tục x(t) thỏa mãn hệ phương trình (1.1) được gọi lànghiệm của hệ phương trình vi phân đó và được kí hiệu là x(t, x0)

Công thức nghiệm dạng tích phân của hệ (1.1) là

Định lý 1.1 (Định lý Picard-Lindeloff)

Xét hệ phương trình vi phân (1.1) trong đó giả sử hàm f(t,x(t)):R+ ×

Rn →Rn là liên tục theo t và thỏa mãn điều kiện Lipschitz theo x:

∃K > 0 : kf (t, x1) − f (t, x2)k ≤ K kx1 − x2k , ∀t ≥ 0

Khi đó với mỗi (t0, x0) ∈ R+ × Rn sẽ tìm được số d > 0 sao cho hệ(1.1) luôn có nghiệm duy nhất trên khoảng [t0 − d, t0 + d] Vậy qua mỗiđiểm (t0, x0) ∈ R+ ×Rn có một và chỉ một đường cong tích phân đi qua.Trường hợp đối với hệ tuyến tính:

( ˙x = A(t)x(t) + g(t), t ∈ R+,

x (t0) = x0,A(t), g(t) là các hàm liên tục trên R+ thì hệ luôn có nghiệm duy nhất trên

R+

1.1.2 Hệ phương trình vi phân tuyến tính ôtônôm

Định nghĩa 1.1 Hệ phương trình vi phân tuyến tính ôtônôm có dạng:

( ˙x(t) = A x(t) + g(t), t ∈ R+,x(t0) = x0, t0 ≥ 0,

(1.2)trong đó A là n × n− ma trận hằng số, g : R+ → Rn là hàm liên tục.Nghiệm của hệ phương trình (1.2) được biểu diễn bởi công thức Cauchy:

1.1.3 Hệ phương trình vi phân tuyến tính không ôtônôm

Định nghĩa 1.2 Hệ phương trình vi phân tuyến tính không ôtônôm códạng:

Hệ phương trình (1.3) cũng có duy nhất một nghiệm xác định trên R+

và nghiệm này được biểu diễn thông qua ma trận nghiệm cơ bản φ (t, s)

− 32t − 3

!

, B(t) =

10

1.1.4 Hệ phương trình vi phân tuyến tính có trễ

Hệ phương trình vi phân có trễ mô tả mối quan hệ giữa biến thời gian

t, trạng thái của hệ thống x (t) ở hiện tại và quá khứ, vận tốc thay đổicủa trạng thái x (t) có liên quan và bị ảnh hưởng từ quá khứ

Giả sử một hệ thống phụ thuộc vào quá khứ với độ trễh, (0 < h < +∞).Với

x (t) là một hàm có trễ liên tục trên R+ nhận giá trị trên Rn

Kí hiệu C = C ([−h, 0] ,Rn) là không gian các hàm liên tục từ [−h, 0]

vào Rn với chuẩn được xác định bởi : kφk = sup

trong đó f :R+ × C →Rn, hàm φ(t) liên tục là hàm trễ cho trước

Trong luận văn này, chúng tôi xét hệ phương trình vi phân tuyến tính

có trễ dạng:

( ˙x (t) = A (t) x (t) + B (t) x (t − h) , t ≥ 0,

x (t) = φ (t) , t ∈ [−h, 0] ,

trong đó A(t), B(t) là n × n− ma trận hàm liên tục trên R+, hàm φ(t)

trong đó f :R+×Rn →Rn, với mỗi t ≥ 0, x (t) ∈ Rn

Định nghĩa 1.3 Nghiệm x (t) của hệ (1.4) được gọi là ổn định nếu vớimọi số ε > 0, t0 ≥ 0, tồn tại số δ > 0(phụ thuộc vào ε, t0)sao cho với bất

kỳ nghiệm y (t) ,y (t0) = y0 của hệ (1.4) thỏa mãn ky0 − x0k < δ thì sẽnghiệm đúng bất đẳng thức:

˙z = f (t, z + x) − f (t, x)

ĐặtF (t, z) = f (t, z +x)−f (t, x)ta có được hệ ˙z = F (t, z) vớiF (t, 0) = 0

Do đó ta chỉ cần xét hệ (1.4) có nghiệm 0 tức f (t, 0) = 0, t ∈ R+ và xéttính ổn định của nghiệm tầm thường x ≡ 0 Vậy ta có thể định nghĩa vềtính ổn định của hệ (1.4) như sau:

Định nghĩa 1.5 Nghiệm 0 của hệ (1.4) được gọi là ổn định nếu với bất

kỳ ε > 0, t0 ∈ R+ sẽ tồn tại số δ > 0 (phụ thuộc vào ε, t0 ) sao cho bất

kỳ nghiệm x(t) : x(t0) = x0 thỏa mãn kx0k < δ thì kx(t)k < ε, với mọi

t ≥ t0

Định nghĩa 1.6 Nghiệm 0 của hệ (1.4) được gọi là ổn định tiệm cận nếu

hệ là ổn định và có một số δ > 0sao cho nếu kx0k < δ thì lim

Khi đó hệ là ổn định (tiệm cận, mũ) nếu a<0 Nếu a = 0 thì hệ là ổnđịnh Hơn nữa, hệ sẽ là ổn định đều( hoặc ổn định tiệm cận đều) vì số

δ > 0 chọn được sẽ không phụ thuộc vào trạng thái ban đầu t0

Ví dụ 1.5 Xét phương trình vi phân

˙x(t) = a(t)x, t ≥ 0 (1.6)

trong đó a(t) : R+ → R là hàm liên tục, nghiệm x(t), với điều kiện ban

đầu x(t0) = x0 cho bởi công thức:

Ta có định lý ổn định Lyapunov đưa ra lần đầu tiên như sau:

Định lý 1.2 Hệ (1.7) là ổn định mũ khi và chỉ khi phần thực của tất cảcác trị riêng của A là âm, tức là Re λ < 0 với ∀λ ∈ λ(A)

Vậy giá trị riêng của A là λ = −1, −2 Hệ là ổn định mũ

Định lý trên đây là tiêu chuẩn đầu tiên về tính ổn định của hệ (1.7), gọi làtiêu chuẩn ổn định đại số Lyapunov Tuy nhiện việc tìm giá trị riêng của

A sẽ gặp khó khăn nếu A là ma trận hàm số hoặc đối với hệ phi tuyến.Chính vì thế, để khắc phục khó khăn này, phương pháp hàm Lyapunov sẽxác định tính ổn định của hệ được dễ dàng và thuận lợi hơn

1.2.2 Phương pháp hàm Lyapunov

Phương pháp này dưạ vào sự tồn tại của một lớp hàm trơn đặc biệt gọi

là hàm Lyapunov, mà tính ổn định của hệ được thử trực tiếp qua dấu củađạo hàm theo hàm vế phải của hệ đã cho Trước tiên ta xét hệ phươngtrình vi phân ôtônôm (1.4), tức là vế phải của (1.4) không phụ thuộc vàot

Xét hàm V (x) : Rn → R, V(x) gọi là xác định dương nếu V (x) >

0, x 6= 0, V (0) = 0 Khi đó ta có định nghĩa về hàm Lyapunov đối vớihệ:

1)Nếu hệ (1.8) tồn tại hàm Lyapunov thì nó ổn định

2)Nếu hệ (1.8) tồn tại hàm Lyapunov chặt thì nó ổn định tiệm cận

Ví dụ 1.7 Xét hệ phương trình vi phân :

( ˙x1 = −5x1x22,

˙x2 = 5x2x12

Khi đó ta chọn được hàm V (x) = x12 + x22, từ đó có được:

(1.9)

trong đó f :R+ ×Rn →Rn và f (t, 0) = 0, ∀t ∈R+

Trước tiên ta sẽ định nghĩa cho lớp hàm K như sau:

Gọi K là lớp các hàm liên tục tăng chặt ặ) : R+ →R+, ă0) = 0

Định nghĩa 1.9 Hàm V (t, x) : R+× D → R, D là lân cận mở tùy ý của

0, gọi là hàm Lyapunov của hệ (1.9) nếu:

(i ) V (t, x) là hàm xác định dương theo nghĩa

(iii ) Tồn tại b(.) ∈K sao cho:

Định lý 1.5 Nếu hệ phi tuyến không ôtônôm (1.9) có hàm Lyapunov thì

hệ là ổn định Nếu hàm Lyapunov đó là chặt thì hệ là ổn định tiệm cậnđều

Định lý 1.6 Giả sử hệ (1.9) tồn tại hàm V (t, x) : R+×Rn → R, thỏa

Xét hệ tuyến tính ôtônôm:

( ˙x (t) = A x (t) , t ≥ 0,x(t0) = x0, t0 ≥ 0

(1.10)

với A là ma trận hằng số (n × n) chiều Nghiệm của hệ (1.10) xuất phát

từ trạng thái ban đầu x(t0) cho bởi công thức:

x(t) = eA(t−t0 )x0, t ≥ t0 ≥ 0

Dựa vào định lý ổn định Lyapunov được nêu trong định lý (1.2), ta có thểxét một hệ tuyến tính ôtônôm có ổn định hay không chỉ cần tìm nghiệmphương trình đa thức đặc trưng hay giá trị riêng của ma trận A của hệ.Bên cạnh đó, tính ổn định mũ của hệ (1.10) có thể xét thông qua sự tồn tạinghiệm của phương trình Lyapunov (LE)A0X + XA = −Y, trong đó X,Y

là các ma trận (n × n) chiều gọi là cặp nghiệm của (LE) Xét hệ (1.10),

ta nói ma trận A là ổn định nếu phần thực tất cả các giá trị riêng của A

là âm Theo định lý (1.2), điều này tương đương hệ (1.10) là ổn định mũ.Định lý 1.7 Hệ (1.10) là ổn định mũ khi và chỉ khi với bất kỳ ma trận

Y đối xứng xác định dương , phương trình (LE) có nghiệm là ma trận đốixứng, xác định dương

Chứng minh Điều kiện cần: Giả sử (LE) có nghiệm là ma trận X đối xứngxác định dương Với x(t) là một nghiệm tùy ý của (1.10) ta xét hàm số

V (t, x(t)) = hXx(t), x(t)i , ∀t ≥ 0

Ta sẽ chứng minh rằng Reλ < 0, ∀λ ∈ λ(A) Thật vậy giả sử có một số

λ0 ∈ λ(A) mà Reλ0 ≥ 0 Lấy x0 ∈ Rn là vectơ riêng ứng với giá trị riêng

λ0 này thì nghiệm của hệ (1.10) sẽ cho bởi x1(t) = eλ0tx0 và do đó

vì Reλ ≥ 0, suy ra điều mâu thuẫn Vậy Reλ < 0, ∀λ0 ∈ λ(A)

Điều kiện đủ:Giả sử A là ma trận ổn định, tức là Reλ < 0, ∀λ ∈ λ(A)

Với bất kỳ ma trận Y đối xứng xác định dương, xét phương trình ma trậnsau đây:

( Z(t) = A˙ 0Z(t) + Z(t)A, t ≥ t0,Z(t0) = Y.

Cho u, α là các hàm liên tục nhận giá trị thực xác định trên [a, b] , β

là hàm khả tích và nhận giá trị không âm trên [a, b] và

u(t) ≤ α(t) +

Z t a

β (s) u (s) ds, a ≤ t ≤ b,

u(t) ≤ α (t) +

Z t a

β (s) α (s)



exp

Z t a

trong đó A là ma trận ổn định, f (t, 0) = 0, kf (t, x)k ≤ L kxk khi đó sẽtồn tại L > 0 để hệ ổn định mũ

Chứng minh Nghiệm của hệ cho bởi:

t 0kLe−δ(s−t0 )kx (s)k ds

Theo bổ đề Gronwall ta có

kx(t)k ≤ k kx0k e−δ(t−t0 )e

R t t0 kLds

,

kx (t)k ≤ k kx0k e(kL−δ)(t−t 0 ), ∀t ≥ t0

Do đó khi kL − δ < 0 hay L < δ

k thì hệ là ổn định mũ(Đpcm).

Mặt khác kf (t, x)k ≤ m kxk nên hệ sẽ ổn định với m < 1

3.

Xét hệ tuyến tính không ôtônôm

( ˙x(t) = A(t)x(t), t ≥ t0 ≥ 0,x(t0) = x0

(1.11)

Nghiệm của hệ cho bởi: x(t) = Φ(t, t0)x0 trong đó Φ(t, s) là ma trậnnghiệm cơ bản của hệ, được xác định từ phương trình ma trận cơ bản sau:

( φ(t, s) = A(t)φ(t, s),˙ t ≥ s ≥ 0,φ(s, s) = I

Ta có thể xét tính ổn định của hệ (1.11) thông qua sự tồn tại nghiệm củamột phương trình vi phân ma trận Lyapunov(LDE)

Định lý 1.9 Xét hệ (1.11) với Q(t) là một ma trận đối xứng xác địnhdương đều nào đó, nếu tồn tại một ma trận P(t) khả vi, đối xứng xác địnhdương đều và giới nội đều thỏa mãn phương trình (LDE) thì hệ là ổn địnhtiệm cận.

Chứng minh Đặt V (t, x) = (P (t)x, x) ta chứng minh V(t,x) là hàm punov chặt

Lya-Theo định nghĩa của hàm ma trận giới nội đều ta có:

Do đó với a + M ≤ δ

k thì hệ sẽ ổn định mũ(Đpcm).

1.2.4 Bài toán ổn định hệ phương trình vi phân có trễ

Xét hệ phương trình vi phân có trễ dạng tổng quát:

( ˙x(t) = f (t, xt), t ≥ 0,

x (t) = φ(t), t ∈ [−h, 0]

(1.12)

trong đó f : R+ × C → Rn với C = C ([−h, 0] ,Rn), x (t) là một hàm cótrễ liên tục trong R+ Ký hiệu :

Nếu điều kiện (iii) được thay bằng điều kiện

(iv) ∃α > 0 : ˙Vf (t, xt) ≤ −2αV (t, xt) với mọi nghiệm x (t)của hệ (1.12)thì hệ (1.12) ổn định mũ và các chỉ số ổn định mũ là α và

r

λ2

λ1

làcác chỉ số ổn định Lyapunov

1.3 Một số bổ đề bổ trợ

Sau đây là một số bổ đề được sử dụng trong chương 2

Bổ đề 1.4.1.[Bổ đề Schur] Giả sử S ∈ Rn × n là một ma trận đối xứng xácđịnh dương, thì mọi ma trận P, Q ∈ Rn × n ta có ma trận