ph­­uong trinh tong quat cua duong thang

Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng a.. Định nghĩa: Véc tơ n khác véc tơ 0 được gọi là 1 véc tơ pháp tuyến VTPT của mặt phẳng α nếu nó nằm trên đường thẳng vuông góc với α Ký hiệu: Ví

Nhiệt liệt Chào mừng các thầy, cô giáo đến tham

dự giờ học !

Tiết39: phương trình tổng quát

của mặt phẳng

α

O

z

M0

M

n

O

z

( ) α

⊥

n

n

1 Vect¬ ph¸p tuyÕn cña mÆt ph¼ng

a §Þnh nghÜa:

VÐc t¬ n kh¸c vÐc t¬ 0

®­îc gäi lµ 1 vÐc t¬

ph¸p tuyÕn (VTPT)

cña mÆt ph¼ng (α) nÕu

nã n»m trªn ®­êng

th¼ng vu«ng gãc víi (α)

Ký hiÖu:

( ) α

⊥

n

1 Vectơ pháp tuyến

của mặt phẳng

a Định nghĩa:

Véc tơ n khác véc tơ 0

được gọi là 1 véc tơ

pháp tuyến (VTPT) của

mặt phẳng (α) nếu nó

nằm trên đường thẳng

vuông góc với (α)

Ký hiệu:

Ví dụ:Quan sát hình vẽ và chọn phương án đúng

A.Chỉ véc tơ n là VTPT của mp( )α

B Chỉ véc tơ m là VTPT của mp( )α

C.Cả n, m đều là VTPT của mp( )α

D.Cả 3 véc tơ n, m, p đều là VTPT của mp ( )α

α

n

m

p

Một mp có vô số

VTPT, các véctơ nàycùng

phương với nhau



1 Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng

Cho M0 là 1 điểm của mp(α), là một VTPT của mp(α),

Hãy tìm điều kiện để điểm M thuộc mặt phẳng

(α)

M0

Mặt phẳng () hoàn toàn được

xác định nếu biết một điểm thuộc nó và

một vectơ pháp tuyến của nó.



n n

M

1 Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng

Bằng trực quan em có nhận xét gì về quan hệ

giữa vectơ a, vectơ b và ()?



Hai vectơ không cùng phương và cùng song hoặc nằm trên ()

Hai véc tơ a , b nói trên

được gọi là cặp véc tơ chỉ

phương của mp(α)

a

b

1 Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng

α

α

Hình 1

Hình 2

Hình 3

Em hãy cho biết hình nào mặt phẳng () có cặp vectơ chỉ phương?

Đáp số: Hình 2 và hình 3

1 Vect¬ ph¸p tuyÕn cña mÆt ph¼ng

α

§Æt n = [ ] a , b

Em cã nhËn xÐt g× vÒ

quan hÖ gi÷a vÐc t¬ n

víi vÐc t¬ a vµ b ?

n

[ ] a b a

n = , ⊥ n = [ ] a , b ⊥ b n ⊥ mp ( α )

Ta cã:

1 Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng

b) Chú ý:





 Vậy nếu A, B, C là ba

điểm không thẳng hàng

trong mặt phẳng () thì

n =[AB,AC] là 1 VTPT của

mp (α)

B

C

Hai véc tơ a , b không cùng phương,đường thẳng chứa chúng // với (hoặc nằm trên) mp(α)

được gọi là cặp véc tơ chỉ phương của mp(α)

n =[a , b] Là 1 VTPT của mp( α )

a

b

n

n

2 Phương trình tổng quát của mặt phẳng

a Bài toán:

α

O

z

Trong hệ toạ độ Oxyz cho mặt phẳng ()

M0

M0(x0;y0;z0)  (), =(A,B,C) ≠ 0là 1

VTPT của mp ()

Tìm điều kiện để điểm M  ()

M

Giải:

Giả sử M = (x; y; z), M  ()

 A(x – x0) + B(y – y0) + C(z – z0) = 0 (*)

Khai triển rồi đặt D = -(Ax0 + By0 + Cz0) ta được phương trình:

Ax + By + Cz + D = 0 (1) (Với A2+B2+C2≠0)

n

n

0

) ( ) , , ( ∈ ⇔ 0 ⊥ ⇔ 0 =

2 Phương trình tổng quát của mặt phẳng

thoả mãn 1 phương trình dạng

Ax + By +Cz +D = 0 với A 2 + B 2 +C 2≠ 0 (1)

Ngược lại ,tập hợp các điểm có toạ độ thoả mãn pt (1) là 1 mp

b) Định nghĩa

Phương trình dạng: Ax + By +Cz +D = 0 với A 2 + B 2 + C 2 ≠ 0

được gọi là phương trình tổng quát của mặt phẳng.

c) Chú ý

Nếu mặt phẳng () qua điểm M0(x0;y0;z0) và có vtpt

thì phương trình của nó là:

A(x x– 0 ) + B(y y– 0 ) + C(z z– 0 ) = 0

 Nếu mặt phẳng () là mặt phẳng có phương trình:

Ax + By + Cz + D = 0 thì (A,B,C) là một vtpt của nó

n (A,B,C)

n

Ví dụ Tóm tắt



Nếu mặt phẳng () qua điểm M0(x0;y0;z0) và có vtpt

thì phương trình của nó là: A(x x– 0 ) + B(y y– 0 ) + C(z z– 0 ) = 0



Nếu mặt phẳng () là mặt phẳng có phươg trình:

Ax + By + Cz + D = 0 thì là một vtpt của nó.

Ví dụ 1 : Viết phương trình mặt phẳng qua điểm P = (1; -2 ; 3) và

song song với mặt phẳng 2x – 3y + z + 5 = 0

α P

Q 2x – 3y + z + 5 = 0

Giải

Mặt phẳng cần tìm song song với mặt phẳng 2x – 3y + z + 5 = 0 nên nó

có một vtpt là:

Vậy phương trình của nó là:

2(x – 1) – 3(y + 2) + z – 3 = 0

hay 2x – 3y + z – 11 = 0

) , , (A B C

n =

) , , (A B C

n =

) 1 , 3 , 2 ( −

=

n

) 1 , 3 , 2 ( −

=

n

3.Các trường hợp riêng của phương trình tổng quát

Cho mp(α) : Ax+By+Cz+D=0(1)

*Nếu D=0

*Nếu A=0,B≠0,C≠0

B=0,A 0,C 0≠ ≠

C=0,B 0,A 0≠ ≠

*Nếu A=B=0, C≠0

*Nếu A,B,C,D ≠ 0 ta đặt a=-D/A; b=-D/B; c=-D/C khi đó pt(1) sẽ có dạng

1

= +

+

c

z b

y a

x

Mặt phẳng đó cắt Ox,Oy, Oz tại các điểm (a,0,0),(0,b,0),(0,0,c).Bởi vậy pt dạng đó được gọi là phương trình đoạn chắn của mp

*mp (α) đi qua gốc toạ độ

*mp (α) song song hoặc chứa Ox

mp (α) song song hoặc chứa Oy

mp (α) song song hoặc chứa Oz

*mp (α) song song hoặc trùng mp(Oxy)

3.Các trường hợp riêng của phương trình tổng quát

Em hãy lựa chọn phương trình mặt phẳng ở cột A sao cho phù hợp với kết luận ở cột B:

2 By + Cz + D = 0 b Song song với mp Oxy hoặc trùng với mp Oxy

e Song song với trục Oy hoặc chứa trục Oy

3.Các trường hợp riêng của phương trình tổng quát

Em hãy cho biết trong các PT sau, PT nào là PT mặt phẳng đi qua 3 điểm A=(1; 0; 0), B=(0; -2; 0) và C= (0; 0; 5):

Ví dụ Ví dụ 2 :

Viết phương trình mặt phẳng qua ba điểm

P = (1; 0; 0), Q = (0; 2: 0) và R = (0; 0; 3)

Giải

Mặt phẳng (PQR) có vectơ pháp tuyến là:

=(6; 3; 2)và đi qua điểm P nên có phương trình là:

6(x – 1) + 3(y - 0) + 2(z – 0) = 0  6x + 3y + 2z – 6 = 0.

Mặt phẳng (PQR) có pt theo đoạn chắn là:

Hay 6x + 3y + 2z – 6 = 0.

1

= +

+

c

z b

y a

x

*Mặt phẳng cắt Ox,Oy,

Oz tại các điểm (a,0,0),

(0,b,0), (0,0,c) có pt dạng

Tóm tắt

* A, B, C là ba điểm

không thẳng hàng trong

mặt phẳng () thì

n =[AB,AC] là 1 VTPT

của mp (α)

1 3

2

1x + y + z =













−

−

−

−

=

=

0 1

2

1

; 1 3

1

0

; 3 0

0

2

, PR PQ

n

) 3

; 0

; 1 (

&

) 0

; 2

; 1

PQ

Ví dụ 3: Viết phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB,

biết A = (1;3;-2), B = (1; 2; 1)

Giải

Ví dụ

Gọi I là trung điểm của đoạn thẳng AB thì:

Mặt phẳng trung trực của AB đi qua I và

vuông góc với đường thẳng AB nên có

thể chọn:

làm vtpt pháp tuyến của nó Vậy PT của nó

là:

hay - y + 3z + 4 = 0.

0 2

1

3 2

5

1 )

1 (









 + +











 −

−

x

) 3

; 1

; 0 ( −

=

AB











 −

=











 + + − +

=

2

1

; 2

5

;

1 2

1

2

; 2

2

3

; 2

1 1

I

Củng cố:

Trong bài này các em cần nắm được

*Khái niệm véc tơ pháp tuyến của mp

*Khái niệm về cặp véc tơ chỉ phương của mp

*Định nghĩa PTTQ của mặt phẳng ,các trường hợp riêng của PTMP

*Biết cách viết PTMP trong 1 số trường hợp

Bài tập về nhà:Bài tập SGK trang 82,83.

Xin ch©n thµnh

c¶m ¬n c¸c ThÇy,C« vµ c¸c em

häc sinh!

Chän M0=(x0,y0,z0) tho¶ m·n pt (1)

§Æt n=(A,B,C) ta thÊy n≠ 0

DÔ thÊy pt (1) lµ pt mÆt ph¼ng ®i qua M0 vµ nhËn n lµm VTPT