Bài Giảng Toán A2 + C2

Định nghĩa 1:• Ma trận là một bảng số hình chữ nhật gồm m dòng, n cột dạng... • Các phần tử được gọi là đường chéo chính của A.• Các phần tử được gọi là đường chéo phụ của A... • Ma trận

CHƯƠNG 1

MA TRẬN VÀ CÁC PHÉP TOÁN

TRÊN MA TRẬN

1.1 Định nghĩa 1:

• Ma trận là một bảng số hình chữ nhật gồm m dòng, n cột dạng

• Ta viết lại

• Tập hợp các ma trận m dòng, n cột Ký hiệu là

Ví dụ 1.1:

1, 1,

1.2 Định nghĩa 2:

• Hai ma trận A, B gọi là bằng nhau nếu A, B có

cùng cấp và

• Ma trận có số dòng bằng số cột được gọi là ma trận vuông Tập các ma trận vuông với hệ số thực ký

hiệu là

• Các phần tử được gọi là đường chéo chính của A.

• Các phần tử được gọi là đường chéo phụ của A

• Ma trận có các phần tử nằm ngoài đường chéo chính bằng 0, được gọi là ma trận chéo

• Ma trận chéo cấp n, có các phần tử nằm trên đường chéo chính bằng 1 được gọi là ma trận đơn vị, ký hiệu là

• Ma trận có các phần tử nằm dưới (trên) ường chéo chính đều bằng 0 gọi là ma trận tam giác trên (dưới)

A là tam giác trên, B là tam giác dưới

n

a a A

_ Ma trận B thu được bằng cách đổi dòng của A thành cột của B được gọi là ma trận chuyển vị của A, ký hiệu là

1.3.2 Phép nhân với số thực

Cho Định nghĩa

Chứng minh: Tham khảo giáo trình

) ( A) =( )A ) ( )A =

1.3.5 Định lý 2: (giả sử các phép c ộ ng, nhân thực hiện được)

Chứng minh: ( giáo trình)

 

) ( ) ( ) ) ( )

1.4 Định nghĩa 3: Cho A là ma trận vuông

0 1 2

A A

I A

1.5 Định lý 3: Cho A, B là hai ma trận vuông cùng cấp và AB=BA Khi đó ta có công thức:

( I A  ) 

1.6 Phép biến đổi sơ cấp trên

dòng:

Ví dụ 1.9: Ví dụ này nhằm giúp chúng ta làm quen một số phép biến đổi trên ma trận Giải hệ phương trình:

1.6.1.Phép biến đổi sơ cấp trên dòng:

Cho .Ta gọi phép biến đổi sơ

cấp trên dòng (bđsctd) trên ma tr ận A là một trong 3

loại biến đổi sau:

i) Loại 1: Đổi hai dòng cho nhau với

ký hiệu:

ii) Loại 2: Nhân dòng i của A cho một số

ký hiệu:

iii) Loại 3: Nhân một dòng cho một số và cộng vào dòng khác Ký hiệu:

Nhận xét: Nếu A’ có được từ A qua 1 phép

bđsctd thì A cũng suy được từ A’ bằng 1 phép

biến đổi sơ cấp trên dòng cùng loại

:

d  d   d

1.6.2 Định nghĩa 4: Cho A và A’ là hai ma trận

cùng cấp Ta nói A tương đương dòng với A’, ký

hiệu:

nếu A’ có được từ A qua hữu hạn phép

bđsctd

1.6.3 Định nghĩa 5: Cho Ta nói:

i) Dòng k của A được gọi là dòng 0 nếu các phần

a) Các dòng khác 0 luôn luôn ở trên các dòng

bằng 0 của A

b) Trên các dòng khác 0, hệ số khác 0 đầu tiên của dòng dưới bao giờ cũng nằm lệch về bên phải cột chứa hệ số khác 0 đầu tiên của dòng trên

1.7 Hạng của ma trận

1.7.1 Định lý 4: Cho .Khi đó tồn tại hữu hạn các bước pbđsc sao cho

với A’ là ma trận bậc thang

Chú ý: A qua phép bđsc thành A’( A’ là ma trận bậc thang) thì A’là không duy nhất

1.7.2 Định lý 5: Nếu A qua phép bđsc thành A’

và A qua phép bđsc thành A” là hai ma trận bậc thang thì số dòng khác 0 của A’ và A” bằng

1.8 Ma trận nghịch đảo

1.8.1. Định nghĩa 7: Cho A là ma trận vuông cấp n, A

được gọi là khả nghịch nếu tồn tại ma trận B sao

1.8.3 Thuật toán tìm ma trận nghịch đảo:

CHƯƠNG 2 ĐỊNH THỨC

2.1 Định nghĩa 1: Cho A là ma trận vuông Định thức của ma trận A là một số thực, ký hiệu

Được định nghĩa quy nạp như sau:

ma trận A.

X ét một số ví dụ

ij

D

1 0 0 3

1 6 5 4 D

2.2.2 Khi nhân một dòng cho một

số và cộng vào dòng khác thì định thức không đổi

1 2 4

2 0 2 8;

1 0 1

= -

2.2.3 Định thức của ma trận dạng

nửa tam giác trên bằng tích các

phần tử trên đường chéo chính

-Dùng 3 tính chất trên ta tính định thức sau:

-2.2.4 Công thức Laplace:

• Cho A là ma trận vuông cấp n, định thức của ma

trận A được tính theo công thức sau:

A = a A + a A + + a A

Ví d 2.2ï: ụ 2.2ï:

1 0 0 3

1 6 5 4 A

2.3.5 Khi chuyển vị ma trận, định thức của nó không thay đổi:

2.3.6 Thừa số chung của các phần tử một hàng (cột) có thể đưa ra ngoài

Ví dụ 2.4:

2.3.7.Nếu định thức có một hàng (cột) bằng 0 thì bằng 0.

2.3.8 Nếu định thức có hai hàng (cột) tỷ lệ thì bằng 0

2.3 Định lý 1: Cho hai ma trận vuông A,B cùng cấp, ta có:

2.4.Hệ qủa: Ma trận vuông A khả

nghịch ( có ma trận đảo) khi và chỉ

khi định thức của A khác 0.

• 2.5.Công thức tìm ma trận đảo bằng cách dùng ma trận liên hợp:

Nếu B là ma trận đảo của A :

1 0

AB I A B

A

Ví dụ 2.7: Tìm ma trận đảo của ma trận :

c d

 

 

 Giải :

CHƯƠNG 3

HỆ PHƯƠNG TRÌNH

TUYẾN TÍNH

3.1 Định nghĩa 1: Hệ phương trình tuyến tính gồm m phương trình, n ẩn số là hệ có dạng:

n n

n n

a a a b

a a a b A

Khi đó ta có:

1) Nếu r(A/)=r(A)=k thì hệ pt có nghiệm,

và có thể biểu diễn k nghiệm theo n-k

Thật vậy: r(A/)=r(A)=3 Lúc này ta gọi hệ

Ví dụ 5: Giải và biện luận hệ phương trình:

KHÔNG GIAN VÉC TƠ

Gọi là phép nhân ngoài trên X

2 Định nghĩa không gian véctơ:

Cho tập khác rỗng, trên X có phép toán

  )

) 1.

Ví dụ 1: Cho X=R, trên R xét hai phép toán cộng,

nhân thông thường Khi đó R là không gian véctơ

Nếu n=2, R2 là tập các véctơ trong mặt phẳng Oxy

Phép cộng là phép cộng hai véc tơ, phép nhân là phép nhân một số với một véctơ

Nếu n=3, R3 là tập các véctơ trong không gian Oxyz Phép cộng là phép cộng hai véc tơ, phép nhân là phép nhân một số với một véctơ

Ví dụ 4:Xét Pn[x] là tập các đa thức có bậc nhỏ hơn hay bằng n

Trên Pn[x] xét hai phép toán như sau:

II Không gian véctơ con.

1 Định nghĩa: Cho X là một kgvt, V là một tập con của X V được gọi là một kgvt con của X nếu:

Khi đó V là một kgvt con của R2 Thật vậy,

Khi đó V là một kgvt con của R3.

Ví dụ 3 : Trong P3[x] xét tập V sau đây:

p(x)+q(x)=r(x) là đa thức có bậc nhỏ hơn hay bằng 3

Tức là các phần tử trên đường chéo chính bằng không

Khi đó V là một kgvt con của M2x2

Ví dụ 5:Trong M2x2 xét tập V như sau

1

/ ; 1

III Cơ sở của KGVT:

1 Sự độc lập tuyến tính, sự phụ thuộc tuyến tính:

Ngược lại hệ véc tơ không độc lập tuyến tính gọi là hệ

0 0 0

Vậy hệ véctơ x,y,z đltt

Nhận xét : Nếu giải hệ pt trên bằng pp Gauss ta có

ma trận:

Hạng của ma trận các hệ số bằng hai, hệ véctơ x,y,z phụ thuộc tuyến tính.

2 Mệnh đề :

Trong Rn xét hệ gồm k véctơ Gọi A là ma trận có các

cột (dòng) là các véctơ đó, ta có:

i) Nếu r(A)=k thì hệ đltt

ii) Nếu r(A)<k thì hệ pttt.

Ví dụ 2: Xét xem các hệ véctơ sau là đltt, hay pttt

Ví dụ 3:Trong không gian các đa thức P3[x] xét xrm

hệ véctơ sau đây là đltt hay pttt

Hạng của ma trận bằng 3 bằng với số véctơ Do đó

trong không gian Pn[x] khi xét hệ đltt hay pttt có thể xem Pn[x] như Rn+1

3 Cơ sở của kgvt:

a)Định nghĩa1: Cho X là một kgvt Hệ véc tơ

2

2

a b c x

a c b x

b c a x

Ví dụ 4: Trong P3[x] các hệ véctơ sau đây đều là cơ sở.

b) Định nghĩa 2: Một kgvt có một cơ sở gồm n véctơ thì gọi là kgvt n chiều.

c) Định lý :Trong kgvt véctơ n chiều, mọi hệ n véc tơ đltt đều là cơ sở

IV Ma trận chuyển cơ sở:

1) Định nghiã: Trong kgvt X cho hai cơ sở

gọi là ma trận chuyển cơ sở từ cơ sở E san cơ sơ F

Ví dụ : Trong R3 cho hai cơ sở :

1) Tìm ma trận P chuyển cơ sở từ cơ sở E sang cơ sở F.

2) Tìm ma trận Q chuyển cơ sở từ cơ sở F sang cơ sở E

3) Gọi x=(1,2,3) Thực hiện phép nhân QxT

4) Tìm tọa độ của x đối với cơ sở F

1



5) Kiểm tra

V Ánh xạ tuyến tính:

1.Định nghĩa 5.1: Cho ánh xạ , trong đó X là một không gian vectơ Ánh xạ f được gọi là ánh xạ tuyến tính

f R R

f x x





VI Ma trận của ánh xạ tuyến tính:

Định nghĩa 5.2: Cho ánh xạ tuyến tính

n U

b) Tìm ma trận của f đối với cơ sở:

f     



b) Ma trận của f đối với cơ sở F

Ví dụ 5.2: Từ ví dụ 5.1 hãy thực hiện phép nhân:

A là ma trận của f đối với cơ sở chính tắc

Từ đó nếu f có ánh xạ ngược thì biều thức ánh xạ ngược là: x A y 1

Giải :

1

1 1

2 3

Ví dụ 2: Tìm đa thức đặc trưng của

Định nghĩa : Trị riêng là nghiệm của đa trức đặc trưng.

Nhận xét: A là ma trận vuông cấp n, x là véctơ nên xem là ma trận cột Do đó :

n n

n n

n n

x x

        



1 2

1 2 0

4 8 0

x x

a) Tìm đa thức đặc trưng của A.

b) Tìm các véc tơ riêng khác 0 của A.

c) Gọi P là ma trận có các cột là các véc

tơ riêng vừa tìm được ở câu b) Hãy thực hiện phép tính P AP 1

IV Định nghĩa:

Ma trận vuông A gọi là chéo hóa được

hay đồng dạng với một ma trận chéo nếu tìm được ma trận khả nghịch P sao cho

1

2 1

V Định lý:

Ma trận vuông A chéo hóa được nếu thỏa một trong hai điều kiện sau:

i)A có n trị riêng khác nhau đôi một

ii)A có n véc tơ riêng độc lập tuyến tính

VI Các bước chéo hóa trận: Từ ví dụ mở đầu ta có các bước chéo hóa ma trận sau đây:

i)

ii)….

2 Định nghĩa : Nếu dạng toàn phương có

ma trận A là ma trận chéo, thì dạng toàn

phương đó gọi là dạng chính tắc.

Nói cách khác dạng chính tắc có biểu thức là:

Nhận xét: Vì mọi ma trận đối xứng đều

chéo hoá được, nên mọi dạng toàn phương đều có thể đưa được về dạng chính tắc bằng phép biến đổi thích hợp.

Bước 1: Tìm ma trận A của dạng toàn

Bước 1: Ma trận A của dạng toàn phương

Tìm véctơ riêng X1 ứng với trị riêng 1

2( ) (1 )( 4 5) 0

0 0

x x x x

Tìm véctơ riêng X2 ứng với trị riêng -1

Tìm véctơ riêng X3 ứng với trị riêng 5

Vậy ta có ba véctơ riêng đã vuông góc với nhau đôi một

X1=(1; 0; 1); X2=(-1; 1; 1); X3== =(-1; -2; 1)

1 1

1

2 2

2

3 3

X X Y

X X Y

y y y





