CHƯƠNG 3 KHÔNG GIAN VECTƠ - BÀI GIẢNG TOÁN A2

Không gian vectơ hình học 3 : Trong hình học giải tích, ta đã làm quen với vectơ tự do trong không gian tức là vectơ có thể chuyển đến điểm bất kỳ của không gian mà không thay đổi độ dà

CHƯƠNG 3

1 Không gian vectơ hình học 3 :

Trong hình học giải tích, ta đã làm quen với vectơ tự do trong không gian (tức là vectơ có thể chuyển đến điểm bất kỳ của không gian mà không thay đổi độ dài và hướng) và đã định nghĩa các phép toán tuyến tính đối với chúng (cộng các vectơ và nhân vectơ với số thực)

KHÔNG GIAN VECTƠ

- -Tập hợp các vectơ tự do trong không gian xét cùng với các phép toán tuyến tính được gọi là không gian vectơ 3 chiều 3 và các phần tử của không gian đó gọi là các vectơ (hình học).

Nếu trong không gian 3 ta đưa vào hệ tọa độ

thẳng trực giao với cơ sở B 0 = {i,j,k} thì thu được sự

tương ứng đơn trị tương hỗ giữa các vectơ trong không gian 3 với bộ ba số thực sắp thứ tự (các tọa độ của chúng) Ta sẽ viết các tọa độ của vectơ trong không gian 3 dưới dạng ma trận cột gồm ba số Khi đó các ma trận cột gồm các tọa độ của vectơ sẽ được gọi là vectơ 3 chiều Tập hợp các vectơ 3 chiều được gọi là không gian vectơ 3 chiều

Thí duï :

;

3 2

1 3

2 1

a U

k a j

a i

a u

;

3 2

1 3

2 1

b U

k b j

b i

b v

;)

()

()

(

3 3

2 2

1 1

3 3

2 2

1 1

b a

b

a V

U k

b a

j b

a i

b a

v

u

3 2

1 3

2 1

a U

k a j

a i

2 Luật hợp thành ngoài, gọi là phép nhân vô

hướng, u  ; k  R; ku  .

 được gọi là không gian vectơ trên trường số thực R nếu đối với 2 luật hợp thành đó thỏa mãn các tiên đề sau :

[M3] h,k R, u  , h (u + v) + w = u + (v + w).ku) = (u + v) + w = u + (v + w).hk) u.

[M4] 1 R, 1u = u, u  .

Hiệu của 2 vectơ u và v là vectơ w   : v + w = u

Ta ký hiệu các vectơ u và v là u – v, nghĩa là u – v = w Rõ ràng là u – v = u + (– v)

Định lý 1 :

a Vectơ 0 tồn tại duy nhất.

b Với mỗi vectơ bất kỳ, vectơ đối tồn tại duy nhất.

c u  , đẳng thức 0u = 0 được thỏa mãn.

d k R và 0 , đẳng thức k0 = 0 được thỏa mãn.

e Từ đẳng thức ku = 0 suy ra một trong hai đẳng thức k = 0 hoặc u = 0.

 Các thí dụ về không gian vectơ :

f Vectơ (u + v) + w = u + (v + w).-1) u là vectơ đối của vectơ u.

1 Không gian vectơ R n

n là số nguyên dương, ta xét các dãy sắp thứ tự gồm

n phần tử của R : [a1,a2,…, an] Tập hợp các dãy đó là

tập tích R n

Giả sử u = [a1,a2,…, an], v = [1, 2,…, n], là hai phần

tử thuộc R n và k  R Ta đặt :

u + v = [a1 + 1, a2+ 2,…, an + n] (3.1)

ku = [ka1 + ka2,…, kan] (3.2)

Dễ dàng chứng minh được rằng hai phép toán trên thỏa mãn tất cả 8 tiên đề trong định nghĩa không gian vectơ, vì vậy Rn là không gian vectơ trên trường số thực R.

Vectơ 0, phần tử trung hoà của phép tính cộng là vectơ [0, 0, …, 0] và phần tử đối của vectơ u = [a1,a2,…, an] là vectơ – u = [- a1, - a2,…, - an] Các số thực a1,a2,…, an được gọi là các thành phần của vectơ

Tích vô hướng của hàm f  F với K  R là hàm k f 

F Dễ dàng chứng minh được rằng hai phép toán trên thỏa mãn tất cả 8 tiên đề của định nghĩa không gian

vectơ Vậy F là một không gian vectơ trên R.

3 Pn là tập hợp tất cả các đa thức cấp  n – 1, p (t)

= an-1tn-1 + … + a1t + a0 với phép toán cộng và nhân đa thức với số thực Pn là một không gian vectơ trên R

4 Trường số thực R là không gian vectơ trên chính

nó

5 Tập hợp Mmxn là tập hợp tất cả các ma trận cấp mxn, với hai phép toán cộng và nhân vô hướng (nhân ma trận với số thực) là không gian vectơ trên

R

 Không gian con của không gian vectơ.

 Định nghĩa :

Ta gọi không gian vectơ con của không gian vectơ

 trên trường R (gọi tắt là không gian con) là một tập

hợp con  các vectơ của  thỏa mã 2 tính chất :

i Nếu u   và v   thì u + v  .

ii Nếu u   và k  R thì ku  .

Thí dụ : Tập hợp {0} gồm một vectơ 0 là không gian

con của  và đồng thời được chứa trong mỗi không

gian con khác của  Chính không gian vectơ  là

không gian con của vectơ , đồng thời nó chứa mỗi

không gian con khác của 

Định lý 2 : Phần giao của một số bất kỳ các không

gian con của không gian vectơ  là không gian con

của không gian vectơ 

Định lý 3 : Tập hợp nghiệm của hệ phương trình

thuần nhất trên R AX = 0

trong đó A = [aij], ma trận cấp m x n, X = [x1, x2, …,

xn]T là không gian con  của không gian vectơ R n

3 Phụ thuộc tuyến tính, độc lập tuyến tính của các hệ vectơ :

 Định nghĩa tổ hợp tuyến tính

 là không gian vectơ trên R Cho v1, v2, …, vn  

Vectơ bất kỳ u trong  có dạng :

u = a1v1 + a2v2 + … + anvn Trong đó a1 R được gọi là tổ hợp tuyến tính của các

vectơ v1, v2, …, vn.

 Định nghĩa phụ thuộc tuyến tính và độc lập tuyến tính.

 là không gian vectơ trên R Hệ các vectơ v1, v2,

…, vn   được gọi là phu thuộc tuyến tính nếu tồn tại

các vô hướng a1, a2, …, an  R không bằng không tất cả, sao cho :

a1v1 + a2v2 + … + amvm = 0 (3.3)Ngược lại thì v1, v2, …, vn.được gọi là độc lập tuyến tính

Có thể phát biểu cách khác : a1v1 + a2v2 + … +

amvm = 0 chỉ thỏa mãn khi a1 = a2 = … = am = 0 thì các

vectơ v1, v2, …, vn được gọi là độc lập tuyến tính Ngược lại, nếu (3.3) thỏa mãn khi có dù chỉ một trong các a1 khác không, thì v1, v2, …, vn được gọi là phụ thuộc tuyến tính

Định lý 4 : Điều kiện cần và đủ để các vectơ v1, v2,

…, vn phụ thuộc tuyến tính là một trong các vectơ đó là tổ hợp tuyến tính của các vectơ khác

Hệ quả 1 : Trong các vectơ v1, v2, …, vm có một vectơ

0 thì các vectơ này phụ thuộc tuyến tính

Hệ quả 2 : Nếu 1 phần của các vectơ v1, v2, …, vm phụ thuộc tuyến tính thì tất cả các vectơ đó phụ thuộc tuyến tính.

Định lý 5 : Nếu các vectơ v1, v2, …, vn là các tổ hợp tuyến tính của các vectơ u1, u2, …, un và nếu k > n thì chúng phụ thuộc tuyến tính

Hệ quả : Hệ bất kỳ các vectơ n thành phần có số

vectơ lớn hơn n thì phụ thuộc tuyến tính

Thí dụ :

1 Cho 3 vectơ u1 = [1,-2,1], u2 = [2,1,-1], u3 = [7,-4,1],

 R3 Xác định u1, u2, u3 là độc lập hay phụ thuộc tuyến tính

07

2

c b

a

c b

a

c b

0

21

0

72

1

~63

0

21

0

72

1

~63

0

105

0

72

1

~1

11

41

2

72

1

A

R (A) = 2 < 3 (số ẩn số) Hệ phương trình thuần nhất có nghiệm không tầm thường (a,b,c có những giá trị khác không) Vậy u1, u2, u3 phụ thuộc tuyến tính

1 ,

1 0

0

1 ,

1 1

1

1

C B

A

A,B,C   là không gian các ma trận vuông cấp 2 trên R Xác định A, B, C độc lập hay phụ thuộc tuyến tính

0

0 0

0

1

1 1

0

0

1 1

1

1 1

0

c b

a

cC bB

0

0

b a

a

c a

c b

a

b a

a

c a

c b

a

Hệ phương trình thuần nhất chỉ có một nghiệm tầm

thường a = b = c = 0 Vậy các ma trận vuông cấp 2

A, B, C độc lập tuyến tính

Ta nói rằng hệ n vectơ B = {f 1 , f 2 , …, f n } của không

gian vectơ R n lập thành một hệ các phần tử sinh của

R n nếu mọi vectơ v  R n là một tổ hợp tuyến tính của

4 Cơ sở và tọa độ của không gian vectơ :

của các vectơ f 1 , f 2 , …, f n tức là có thể biểu diễn v dưới dạng :

v = a 1 f 1 , a 2 f 2 , …, a n f n (3.4)

trong đó a 1 , a 2 , …, a n là là các vô hướng

 Định nghĩa về cơ sở của không gian vectơ.

Cơ sở của không gian vectơ R n là một hệ các phần tử sinh độc lập tuyến tính Theo định nghĩa này,

cơ sở B = {f 1 , f 2 , …, f n } của không gian vectơ R n có hai tính chất đặc trưng sau đây :

i Mọi vectơ u  R n được biểu diễn dưới dạng (3.4)

u = a 1 f 1 , a 2 f 2 , …, a n f n (3.5)

ii Phương trình 1 f 1 ,  2 f 2 , …,  n f n = 0 chỉ thỏa mãn khi

1 =  2 = … =  n = 0

Phương trình (3.5) được gọi là công thức khai triển vectơ u thành các thành phần

Các số thực a1, a2, …, an được gọi là các tọa độ

của vectơ u trong cơ sở B = {f 1 , f 2 , …, f n } Mỗi vectơ

u  R n được phân tích thành các thàh phần một cách duy nhất

Thật vậy, giả sử ngoài (3.5) ta có :

n

n f a f

a f

a

u  1' 1  2' 2   ' (3.6)Lấy hiệu của (3.5) và (3.6) theo từng vế, ta có :

0 )

(

) (

) ( a1  a1' f1  a2  a2' f2   an  an' fn  (3.7)

Do sự độc lập tuyến tính của cơ sở B = {f 1 , f 2 , …, f n }

từ (3.7) ta thu được :

0

' 2 2

' 1

a

hoặc

, ,

' 1

1 a a a an an

Như vậy, các tọa độ a1, a2, …, an của vectơ n

được khai triển trong cơ sở B = {f 1 , f 2 , …, f n ] một cách

đơn trị Trong các cơ sở khác nhau một vectơ không thể có các tọa độ từng đôi một bằng nhau (trừ vectơ

0, tất cả các tọa độ của vectơ 0 trong cơ sở bất kỳ = 0

Trong không gian Rn, cơ sở B 0 = {e 1 , e 2 , …, e n }.

, 0 , 0

0 , , 0

, 1 , 0

0 , , 0

, 0 , 1

3 2 1

e

(3.8)

được gọi là cơ sở chính tắc

Cần phân biệt các thành phần của vectơ và các tọa độ của nó trong cơ sở nào đó Ta dùng ký hiệu giống nhau để biểu thị các thành phần và các tọa độ nhưng cần nhớ rằng các tọa độ của vectơ chỉ trùng với các thành phần của nó trong cơ sở chính tắc

 Định nghĩa về chiều của không gian vectơ.

Nếu tồn tại số nguyên dương n sao cho không gian vectơ  có một cơ sở gồm n vectơ, số nguyên này là duy nhất và được gọi là chiều của không gian vectơ  Ký hiệu n = dim 

Vậy theo định nghĩa, chiều là số các vectơ của mọi cơ sở của  và cũng là số tối đại các phần tử của mỗi hệ các vectơ độc lập tuyến tính của  Không gian  mà trong đó có thể tìm được số tuỳ ý các vectơ độc lập tuyến tính được gọi là không gian vô hạn chiều, ký hiệu dim  = 

Bây giờ ta chỉ định một cơ sở bất kỳ B = {f 1 , f 2 ,

…, f n } trong không gian Rn Khi đó ta có thể đặt tương ứng đơn trị vectơ bất kỳ u với vectơ cột các tọa độ trong cơ sở đó, tức là :

.

] [

1

2 2 1

n

a

a

a U

u f

a f

a f

a

u

Các phép toán tuyến tính (3.1), (3.2) đối với vectơ tương ứng với các phép toán tuyến tính đối với vectơ cột các tọa độ

(3.9)

a a

a

a a

1 1

2

1 2

1

(3.10)

w = u + v  [w] = W = U + V

.

Z z

u z

Định lý 6 : Trong không gian R n hệ bất kỳ gồm n vectơ độc lập tuyến tính thì tạo thành cơ sở.

Chứng minh : Giả sử p1 , p 2 , …, p n là hệ n vectơ n

chiều độc lập tuyến tính Hợp nhất với hệ này vectơ

n chiều bất kỳ u, ta thu được hệ gồm n + 1 vectơ n chiều Theo hệ quả của định lý 5, hệ này phụ thuộc tuyến tính tức là tồn tại các số 1 ,  2 , …,  n không

bằng 0, tất cả sao cho

0 u +  1 p 1 +  2 p 2 + … +  n p n = 0

Rõ ràng 0  0, nếu ngược lại  0 = 0 thì các vectơ p 1 ,

p 2 , …, p n phụ thuộc tuyến tính, mâu thuẫn với điều

kiện định lý Do đó :

p p

2 1

là cơ sở Định lý được chứng minh

Định lý 7 : Hệ n vectơ của không gian R n độc lập tuyến tính khi và chỉ khi định thức của ma trận tạo bởi các thành phần của các vectơ đó, khác không.

Chứng minh : Như ta đã biết, định thức bất kỳ bằng

không khi và chỉ khi các hàng (hoặc các cột) của nó

phụ thuộc tuyến tính Nghĩa là det A sẽ khác không

khi và chỉ khi các hàng (hoặc các cột) của nó độc lập tuyến tính

Từ định lý 7 suy ra rằng tồn tại tập vô hạn các cơ sở

trong không gian R n Chẳng hạn, hệ n vectơ của R n

0

0

; , 0

1

0

; 0

0 0

0 1

0

0

0 0

; 0 1

1

; 0 0

1

3 2

ptrong cơ sở B = {p 1 , p 2 , …, p n }, trong đó :

Biểu thị các tọa độ của vectơ u trong cơ sở là B = x1 ,

x 2 , x 3, nghĩa là :

  Ta có :

3 2 1

x U

3 2

2 1

3 3 2

2 1

1

0 0

0 1

3

1

x x

x x

x

x p

x p

x p

3

3 2

3 2

1

x

x x

x x

x

U

u 

Giải hệ phương trình

này, ta thu được : x1 =-2,

x 2 = 2, x 3 = 1 hoặc :

Nhận xét : Theo định nghĩa không gian Rn, phần tử của không gian này, tức là vectơ n chiều được biểu thị bằng ma trận cột gồm n số (các thành phần của vectơ)

Bây giờ sau khi chỉ định cơ sở bất kỳ, ta có thể biểu thị mỗi vectơ trong không gian Rn hàng ma trận cột gồm các tọa độ trong cơ sở đó Thật vậy, trong

cơ sở đã cho, các tọa độ được xác định đơn trị đối với mỗi vectơ thuộc Rn Điều khẳng định ngược lại là hiển nhiên : Việc cho ma trận cột gồm các tọa độ trong cơ sở đã cho, xác định đơn trị chính bản thân vectơ

5 Hạng của hệ các vectơ và sự liên hệ của nó với hạng của ma trận :

.

; ,

;

2 1

a

a

a v

a

a

a v

Xét hệ k vectơ :

Tập hợp con bất kỳ của các vectơ đã cho (3.14) được gọi là cơ sở của hệ này, nếu :

(3.14)

i Các vectơ của tập con đó độc lập tuyến tính.

ii Vectơ bất kỳ của hệ (3.14) là tổ hợp tuyến tính của các vectơ thuộc tập con đó

Các vectơ lập thành cơ sở của hệ đã cho được gọi là các vectơ cơ sở Nói chung, hệ các vectơ đã cho có thể có các cơ sở khác nhau

Định lý 8 : Tất cả các cơ sở của hệ các vectơ cho

trước gồm một số bằng nhau các vectơ cơ sở.

Chứng minh : Giả sử hệ vectơ (3.14) có hai cơ sở :

'

' 2

với số vectơ khác nhau (r1  r2).

Để cụ thể, giả sử r1 < r2 Tất cả các vectơ hệ (3.16) thuộc (3.14) và do định nghĩa về cơ sở, chúng là các tổ hợp tuyến tính của hệ (3.15) Khi đó, do định lý 5 về phụ thuộc tuyến tính của các vectơ, hệ các vectơ (3.16) phụ thuộc tuyến tính, điều này không thể được, vì các vectơ này lập thành cơ sở Điều mâu thuẫn này chứng tỏ rằng sự giả định về sự không đúng đắn của định lý là sai Định lý được chứng minh

 Định nghĩa về hạng của hệ các vectơ.

Số các vectơ cơ sở của hệ các vectơ cho trước được gọi là hạng của hệ đó

Đặc biệt, nếu tất cả các vectơ của hệ độc lập tuyến tính, thì hạng của hệ này bằng số các vectơ của hệ.

4

; 3 0

0

; 0 3

2

3 2

v

Thí dụ : Tìm hạng của hệ vectơ :

Trước tiên, ta nhận xét rằng hệ vectơ đã cho phụ thuộc tuyến tính, vì vectơ v3 là tổ hợp tuyến tính của hai vectơ còn lại :

0 3

0

0 0

1

Chỉ có một nghiệm tầm thường 1 và 2 = 0

Vậy, tất cả các vectơ của hệ đã cho được biểu thị tuyến tính qua hai vectơ v1, v2

2 1

3

2 1

2

2 1

1

3

1 2

, 1

0

, 0

1

v v

v

v v

v

v v

Việc tính toán hạng của hệ vectơ như thí dụ vừa nêu không đuợc thuận tiện Vì vậy, để tính toán hạng của hệ vectơ người ta dựa vào định lý sau :

Định lý 9 : Hạng của hệ các vectơ cột (u + v) + w = u + (v + w).các vectơ

hàng) bằng hạng của ma trận được lập bởi các cột (u + v) + w = u + (v + w).hàng) đó.

Chứng minh : Giả sử cho trước p 1 , p 2 , …, p n hệ các

vectơ cột và A là ma trận được tạo bởi các vectơ cột đó

A = [p 1 , p 2 , …, p n ]

Giả sử hạng của ma trận bằng r rõ ràng là r  n

theo định lý về định thức con cơ sở, trong các cột p 1 ,

p 2 , …, p n của ma trận A ta tìm được r cột q 1 , q 2 , …, q r

sao cho tất cả các cột của ma trận A được biểu thị tuyến tính qua các cột đó và bản thân các cột đó độc lập tuyến tính Điều này chứng tỏ rằng hệ các vectơ

p 1 , p 2 , …, p n có cơ sở gồm r vectơ q 1 , q 2 , …, q r Do đó,

hạng của hệ vectơ p 1 , p 2 , …, p n bằng r, nghĩa là trùng

với hạng của ma trận A được tạo bởi các vectơ đó

Hệ quả : Trong ma trận bất kỳ, hạng của hệ các

vectơ cột bằng hạng của hệ các vectơ hàng của nó.

6 Hệ thức biến đổi tọa độ của vectơ khi cơ sở

thay đổi Ma trận chuyển.

Cho B = {e 1 , e 2 , …, e n } và {f 1 , f 2 , …, f r } Là hai cơ sở

của không gian vectơ Rn Ta quy ước gọi B là cơ sở cũ, B’ là cơ sở mới Hệ thức biểu thị tọa độ của các vectơ cơ sở mới B’ trong cơ sở cũ, B :

n nn

n n

n

n n

n n

e a

e a

e a

f

e a

e a

e a

f

e a

e a

e a

1 1

2 2

22 1

21 2

1 2

12 1

11 1

n

n n

a a

a

a a

a

a a

a P

2 22

12

1 21

11

(3.18)

Được gọi là ma trận biến đổi từ cơ sở cũ B = {e i }

đến cơ sở mới B = {f i } Các cột của ma trận P là các

tọa độ tương ứng các vectơ f1 , f 2 , …, f n trong cơ sở cũ

B = {e i } Với (3.18), có thể viết lại (3.17) dưới dạng

ma trận :

Trong đó : F = {f 1 , f 2 , …, f r } T , E = {e 1 , e 2 , …, e r } T

Định lý 10 : Giả sử P là ma trận chuyển từ cơ sở B

= {e i } đến cơ sở B’ = {f i } và Q là ma trận chuyển từ

cơ sở B’ = {f i } trở về cơ sở B = {e i } Khi đó P khả nghịch và