Báo cáo tốt nghiệp "Kế toán tổng hợp công ty TNHH An Phát" Giới thiệu khái quát: _Tên công ty: CÔNG TY TNHH THƯƠNG MẠI DỊCH VỤ XUẤT NHẬP KHẨU AN PHÁT. _Tên giao dich: CÔNG TY TNHH THƯƠNG MẠI DỊCH VỤ XUẤT NHẬP KHẨU AN PHÁT. _Tên viết tắt: AP TRADING SERVICE CO.,LTD.
Trang 1Tài liệu tham khảo
4 Toán cao cấp A2 Ờ Nguyễn đình Trắ Ờ NXB Giáo dục
6 Toán cao cấp đại số Tuyến tắnh Ờ Lê Sĩ đồng Ờ NXB Giáo dục
7 Bài tập Toán cao cấp đại số Tuyến tắnh Ờ Hoàng Xuân Sắnh Ờ NXB Giáo dục
8 đại số tuyến tắnh Ờ Bùi Xuân Hải (chủ biên) Ờ đHKHTN TP HCM
Chương 1 MA TRẬN Ờ đỊNH THỨC Ờ HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH
ậ1 MA TRẬN
1.1 định nghĩa
a) Ma trận A cấp m nừ trên ℝ là 1 hệ thống gồm m.n số
ij
n
n
m m mn
A
(gồm m dòng và n cột)
Ớ aij là các phần tử của A ở dòng thứ i và cột thứ j
Ớ Cặp số (m, n) là kắch thước của A
Ớ Khi m = 1, A = (a11 a12 Ầ a1n) là ma trận dòng; n = 1,
11 1
m
a A a
=
là ma trận cột; m = n = 1, A = (a11) (1 phần tử)
Ớ Tập hợp các ma trận A là M m n, ( )ℝ , ựể cho gọn ta viết
( ij m n)
A= a ừ
b) Hai ma trận A và B bằng nhau, ký hiệu A = B khi và chỉ
khi chúng cùng kắch thước và aij = bij
VD 1
x y
−
c) Ma trận Ο =(0 )ij m nừ gồm tất cả các phần tử ựều bằng 0 là
ma trận không
d) Khi m = n: A là ma trận vuông cấp n, ký hiệu A=(a ij n)
Các ma trận vuông ựặc biệt:
Ớ đường chéo chứa a11, a22, Ầ, ann là ựường chéo chắnh của
A, ựường chéo còn lại là ựường chéo phụ
Ớ Ma trận vuông có tất cả các phần tử nằm ngoài ựường chéo chắnh ựều bằng 0 là ma trận chéo
Ớ Ma trận chéo cấp n gồm tất cả các phần tử trên ựường chéo chắnh ựều bằng 1 là ma trận ựơn vị cấp n, ký hiệu In
VD 2 2 1 0
I
, 3
I
Ớ Ma trận tam giác trên (dưới) cấp n là ma trận có các phần
tử nằm phắa dưới (trên) ựường chéo chắnh ựều bằng 0
VD 3
A
−
là ma trận tam giác trên;
B
là ma trận tam giác dưới
Ớ Ma trận ựối xứng cấp n là ma trận có các phần tử ựối xứng
qua ựường chéo chắnh bằng nhau (aij = aji)
Ớ Ma trận phản ựối xứng cấp n là ma trận có các phần tử ựối xứng qua ựường chéo chắnh ựối nhau (aij = Ờaji) và tất cả các phần tử trên ựường chéo chắnh ựều bằng 0
VD 4
A
−
là ma trận ựối xứng;
B
−
là ma trận phản ựối xứng
1.2 Các phép toán trên ma trận
a) Phép cộng và trừ
Cho A=(a ij m n) ừ , B=(b ij m n) ừ ta có:
( ij ij m n)
Aổ =B a ổb ừ
−
Ớ Phép cộng ma trận có tắnh giao hoán và kết hợp
b) Nhân vô hướng
Cho A=(a ij m n) ừ , λ∈ℝ ta có:
( ij m n)
λ = λ ừ
=
Ớ Phép nhân vô hướng có tắnh phân phối ựối với phép cộng
ma trận
Ớ Ma trận ỜA là ma trận ựối của A
Trang 2c) Nhân hai ma trận
• Cho A=(a ij m n) × , B=(b jk)n p× ta có:
1
n
ik m p ik ij jk
j
AB c × c a b i m k p
=
VD 7 Tính a) (1 2 3) 21
5
−
−
−
;
c)
−
−
− −
• Phép nhân ma trận có các tính chất:
1) (AB)C = A(BC);
2) A(B + C) = AB + AC;
3) (A + B)C = AC + BC;
4) λ(AB) = (λA)B = A(λB);
5) AI n= =A I A m , với A∈M m n, ( )ℝ
VD 8 Tính
a)
− − − −
;
b)
và
• Phép nhân ma trận không có tính giao hoán
• ðặc biệt, khi A=(a ij n) và p∈ℕ ta có: *
A0 = In; Ap = Ap–1A (lũy thừa ma trận)
VD 9 a) Cho 1 1
A −
2009;
B
, tính (I2 – B)
2009
VD 10 Cho A = (aij) là ma trận vuông cấp 100 có các phần
tử ở dòng thứ i là (–1)i Tìm phần tử a36 của A2
d) Phép chuyển vị
• Cho A=(a ij m n) × , ma trận chuyển vị của A là:
( )
T
ji n m
A = a × (chuyển tất cả dòng thành cột)
• Tính chất:
1) (A + B)T = AT + BT;
2) (λA)T = λAT;
3) (AT)T = A;
4) (AB)T = BTAT;
5) A T = ⇔A A ñối xứng;
6) A T = − ⇔A A phản xứng
1.3 Phép biến ñổi sơ cấp trên dòng của ma trận
a) ðịnh nghĩa
• Cho A=(a ij m n) × (m≥2) Các phép biến ñổi sơ cấp dòng
e trên A là:
– (e1): Hoán vị hai dòng cho nhau d i d k
– (e2): Nhân 1 dòng với số λ ≠0, d i d i
– (e3): Thay 1 dòng bởi tổng của dòng ñó với tích λ dòng khác d i d i d k
A→→ +λ A′′′
Chú ý
1) Trong thực hành ta thường làm d i d i d k
A→µ +λ →B 2) Sau 1 số hữu hạn các PBðSC dòng ta ñược ma trận
B tương ñương với A, ký hiệu B∼A 3) Tương tự, ta cũng có các phép biến ñổi sơ cấp trên cột của ma trận
VD 11 Cho
A
−
và
0 1 7 / 5
B
−
Chứng tỏ A∼B
b) Ma trận sơ cấp
• Ma trận thu ñược từ In bởi ñúng 1 phép biến ñổi sơ cấp
dòng (cột) là ma trận sơ cấp
VD 12
,
−
và
là các ma
trận sơ cấp
1.4 Ma trận bậc thang và ma trận bậc thang rút gọn
a) Ma trận bậc thang
• Hàng có tất cả các phần tử ñều bằng 0 ñược gọi là hàng bằng 0
• Phần tử khác 0 ñầu tiên tính từ trái sang của 1 hàng ñược gọi là phần tử cơ sở của hàng ñó
• Ma trận bậc thang là ma trận khác 0 cấp m n× ( , m n≥2) thỏa:
1) Các hàng bằng 0 ở dưới các hàng khác 0; 2) Phần tử cơ sở của 1 hàng bất kỳ nằm bên phải phần tử cơ sở của hàng trên nó
Trang 3VD 13
+
,
và In là các ma trận bậc thang;
+
và
không là ma trận bậc thang
ðịnh lý
• Mọi ma trận ñều có thể ñưa về bậc thang bằng hữu hạn
phép biến ñổi sơ cấp trên dòng
b) Ma trận bậc thang rút gọn
• Ma trận bậc thang rút gọn là ma trận bậc thang có phần tử
cơ sở của một dòng bất kỳ ñều bằng 1 và là phần tử khác 0 duy nhất của cột chứa nó
VD 14
In,
và
là các ma trận bậc
thang rút gọn
1.5 Ma trận khả nghịch
a) ðịnh nghĩa
• Ma trận A∈M n( )ℝ ñược gọi là khả nghịch nếu tồn tại
( )
n
B∈M ℝ sao cho AB = BA = In
Ma trận B là duy nhất và ñược gọi là ma trận nghịch ñảo
của A, ký hiệu A–1 Khi ñó:
A–1A = AA–1 = In; (A–1)–1 = A
• Nếu B là ma trận nghịch ñảo của A thì A cũng là ma trận
nghịch ñảo của B
VD 15
A
và
B −
−
AB = BA = I2
Nhận xét
1) Nếu ma trận vuông A có 1 dòng (hoặc 1 cột) bằng 0 thì không khả nghịch
2) Mọi ma trận sơ cấp ñều khả nghịch và ma trận nghịch ñảo cũng là ma trận sơ cấp
3) (AB)–1 = B–1A–1
b) Tìm ma trận nghịch ñảo bằng phép biến ñổi sơ cấp
dòng
• Cho A∈M n( )ℝ , ta tìm A–1 như sau:
Bước 1
Lập ma trận (A I n) (ma trận chia khối) bằng cách ghép In
vào bên phải A
Bước 2
Dùng phép biến ñổi sơ cấp dòng ñể ñưa (A I n) về dạng
(A B′ ) (A′là ma trận bậc thang dòng rút gọn)
1) Nếu A′ có 1 dòng (cột) bằng 0 hoặc A′ ≠I n thì A không khả nghịch
2) Nếu A′ =I n thì A khả nghịch và A–1 = B
VD 16 Tìm ma trận nghịch ñảo (nếu có) của:
A
−
−
và
B
−
§2 ðỊNH THỨC
2.1 ðịnh nghĩa
a) Ma trận con cấp k
n
cấp k ñược lập từ các phần tử nằm trên giao k dòng và k cột
của A ñược gọi là ma trận con cấp k của A
• Ma trận Mij cấp n–1 thu ñược từ A bằng cách bỏ ñi dòng
thứ i và cột thứ j là ma trận con của A ứng với phần tử aij
b) ðịnh thức
n
ký hiệu detA hay A , là 1 số thực ñược ñịnh nghĩa: 1) A cấp 1: A=(a11)⇒detA=a11;
21 22
det
3) A cấp n: det A = a11A11 + a12A12 + … + a1nA1n, trong
ñó Aij = (–1)i+jdet(Mij) là phần bù ñại số của phần tử aij
Trang 4Chú ý
•
11 12 13
21 22 23 11 22 33 12 23 31 21 32 13
31 32 33
31 22 13 12 21 33 23 32 11
a a a a a a a a a
ðặ c biệt
det In = 1, det 0n = 0
VD 1 Tính các ñịnh thức của:
A −
,
B
−
và
C
−
2.2 Các tính chất cơ bản của ñịnh thức
n
chất cơ bản sau:
Tính chất 1
( )
det A T =detA
VD 2
−
−
;
Tính chất 2 Hoán vị hai dòng (cột) cho nhau thì ñịnh thức
ñổi dấu
VD 3
−
Hệ quả
• ðịnh thức có ít nhất 2 dòng (cột) giống nhau thì bằng 0
VD 4
= ;
2 3
2 5
2 5
1
x x x
y y
y y
= ;
2 5
2 5
2 5
1
1
y y
y y
y y
=
Tính chất 3 Nhân 1 dòng (cột) với số thực λ thì ñịnh thức
tăng lên λ lần
VD 5
+
+
Hệ quả
1) ðịnh thức có ít nhất 1 dòng (cột) bằng 0 thì bằng 0 2) ðịnh thức có 2 dòng (cột) tỉ lệ với nhau thì ñịnh thức bằng 0
Tính chất 4
• Nếu ñịnh thức có 1 dòng (cột) mà mỗi phần tử là tổng của
2 số hạng thì có thể tách thành tổng 2 ñịnh thức
VD 6
+
Tính chất 5
• ðịnh thức sẽ không ñổi nếu ta cộng vào 1 dòng (cột) với λ
lần dòng (cột) khác
VD 7 Tính các ñịnh thức:
x x x
Chú ý
• Phép biến ñổi
1 2 2 1
d→ −d d −
nhân với số –2
2.3 ðịnh lý Laplace
n
triển det A sau:
a) Khai triển theo dòng thứ i
1 1 2 2 1
i i i i in in n
i j
ij ij ij ij j
A a A a A a A
=
b) Khai triển theo cột thứ j
1 1 2 2 1
j j j j nj nj n
i j
ij ij ij ij i
A a A a A a A
=
VD 8 Tính ñịnh thức
bằng cách khai triển theo dòng 1; cột 2
VD 9 Áp dụng tính chất và ñịnh lý Laplace, tính ñịnh thức:
−
Các kết quả ñặc biệt:
1)
11 22
n
n
nn
nn n n nn
a a a
(dạng tam giác)
Trang 52) det(AB) = detA.detB (ñịnh thức của tích hai ma trận)
0n
A B
A C
(ñịnh thức chia khối)
VD 10 a)
−
=
−
;
b)
=
;
c)
T
=
=
−
2.4 Ứng dụng ñịnh thức tìm ma trận nghịch ñảo a) ðịnh lý
• Ma trận vuông A khả nghịch khi và chỉ khi det A khác 0
b) Thuật toán tìm A –1
• Bước 1
Tính det A Nếu det A = 0 thì kết luận A không khả nghịch,
ngược lại làm tiếp bước 2
• Bước 2
ij n ij n
• Bước 3 Ma trận nghịch ñảo là:
det
T
A
− =
VD 11 Tìm ma trận nghịch ñảo (nếu có) của:
A
và
B
Nhận xét
• Nếu ac bd− ≠0 thì:
1
1
−
−
=
−
−
2.5 Hạng của ma trận
a) ðịnh thức con cấp k
• Cho ma trận A=( )a ij m n× ðịnh thức của ma trận con cấp
k của A ñược gọi là ñịnh thức con cấp k của A
ðịnh lý
• Nếu trong ma trận A tất cả các ñịnh thức con cấp k ñều
bằng 0 thì các ñịnh thức con cấp k + 1 cũng bằng 0
b) Hạng của ma trận
• Hạng của ma trận A là cấp cao nhất của ñịnh thức con
khác 0 của A, ký hiệu r(A) Ta có:
1≤r A( )≤min{ , }m n
• Nếu A là ma trận không thì ta quy ước r(A) = 0
c) Phương pháp tìm hạng của ma trận ðịnh lý
• Hạng của ma trận bậc thang (dòng) bằng số dòng khác 0 của ma trận ñó
• Cho A là ma vuông cấp n, ( )r A = ⇔n detA≠0
Phương pháp
• Bước 1 Dùng PBðSC dòng ñưa ma trận A về bậc thang
• Bước 2 Số dòng khác 0 của A sau biến ñổi là r(A)
VD 12 Tìm hạng của ma trận
A
−
−
VD 13 Tìm hạng của ma trận
A
−
VD 14 Tùy theo giá trị m, tìm hạng của ma trận
m A
m
−
Trang 6
§3 HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH
3.1 ðịnh nghĩa
• Hệ phương trình tuyến tính gồm n ẩn và m phương trình
có dạng:
1 1 2 2
n n
n n
a x a x a x b
a x a x a x b
a x a x a x b
(1)
1
n
ij m n
m mn
×
(ma trận hệ số),
1 1
m
b
b
= =
(ma trận cột tự do)
n
x
x
= =
là ma trận cột ẩn
Khi ñó, hệ (1) trở thành AX =B
• Bộ số α =(α1 αn)T ñược gọi là nghiệm của (1) nếu
VD 1 Cho hệ phương trình:
ðưa hệ về dạng ma trận:
1 2 3 4
x x x x
−
= −
Khi ñó, (1; –1; –1; 1) là 1 nghiệm của hệ
3.2 ðịnh lý Crocneker – Capelli
• Cho hệ phương trình tuyến tính AX = B Xét ma trận mở
n
m m mn m
A A B
Hệ có nghiệm khi và chỉ khi r A( )=r A( )=r Khi ñó:
1) r = n: Hệ phương trình tuyến tính có nghiệm duy nhất; 2) r < n: Hệ phương trình tuyến tính có vô số nghiệm phụ thuộc vào n – r tham số
3.3 Phương pháp giải hệ phương trình tuyến tính
a) Phương pháp ma trận nghịch ñảo
• Cho hệ pttt AX = B, A là ma trận vuông cấp n khả nghịch
Ta có AX = ⇔B X =A B−1
VD 2 Giải hệ phương trình
x y z
y z
x y z
+ − =
b) Phương pháp ñịnh thức (Cramer)
• Cho hệ pttt AX = B, A là ma trận vuông cấp n
ðặt
1
A
1
j
j n
cột tự do)
Khi ñó, ta có các trường hợp:
1) Nếu ∆ ≠0 thì hệ có nghiệm duy nhất x j ∆j, j 1,n
2) Nếu ∆ = ∆ = ∀ =j 0, j 1,n thì hệ có vô số nghiệm (thay tham số vào hệ và tính trực tiếp)
3) Nếu ∆ =0 và ∃∆ ≠j 0,j=1,n thì hệ vô nghiệm
VD 3 Giải hệ phương trình sau bằng ñịnh thức:
x y z
y z
x y z
+ − =
VD 4 Tùy theo tham số m, giải và biện luận hệ phương
trình:
2
1
mx y z
x my z m
x y mz m
c) Phương pháp Gauss
• Bước 1 ðưa ma trận mở rộng ( )A B về dạng bậc thang
bởi PBðSC trên dòng
• Bước 2 Giải ngược từ dòng cuối cùng lên trên
Chú ý
Trong quá trình thực hiện bước 1, nếu:
1) Có 2 dòng tỉ lệ thì xóa ñi 1 dòng;
2) Có dòng nào bằng 0 thì xóa dòng ñó;
3) Có 1 dòng dạng (0 0b b), ≠0 thì kết luận hệ vô nghiệm
4) Gặp hệ giải ngay ñược thì không cần phải ñưa ( )A B về
bậc thang
Trang 7VD 5 Giải hệ phương trình:
VD 6 Giải hệ phương trình:
2 7 = 1
3.4 Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất a) ðịnh nghĩa
• Hệ pttt thuần nhất là hệ pttt có dạng:
11 1 12 2 1
21 1 22 2 2
1 1 2 2
n n
n n
a x a x a x
a x a x a x
AX
a x a x a x
θ
(2)
Nhận xét
• Do r A( )=r A( ) nên hệ pttt thuần nhất luôn có nghiệm
Nghiệm (0; 0;…; 0) ñược gọi là nghiệm tầm thường
b) ðịnh lý
• Hệ (2) chỉ có nghiệm tầm thường
c) Liên hệ với hệ pttt tổng quát
ðịnh lý
• Xét hệ pttt tổng quát AX = B (1) và hệ pttt thuần nhất
AX =θ (2)
Khi ñó:
1) Hiệu hai nghiệm bất kỳ của (1) là nghiệm của (2);
2) Tổng 1 nghiệm bất kỳ của (1) và 1 nghiệm bất kỳ của (2)
là nghiệm của (1)
Chương 2 KHÔNG GIAN VECTOR
§1 KHÁI NIỆM KHÔNG GIAN VECTOR
1.1 ðịnh nghĩa
• Không gian vector V trên ℝ là cặp (V, ℝ) trang bị hai
phép toán
( , ) ( , )
+
ℝ
1) x + y = y + x;
2) (x + y) + z = x + (y + z);
3) ∃ ∈!θ V x: + = + =θ θ x x;
4) (∃ − ∈x) V: (− + = + − =x) x x ( x) θ;
5) (λ λ1 2)x=λ λ1( 2x); 6) (λ x+y)=λx+λy;
7) (λ λ1+ 2)x=λ1x+λ2x; 8) 1.x = x
VD 1 Tập nghiệm của hệ phương trình tuyến tính thuần
nhất là không gian vector
Tập V ={A∈M n( )ℝ} các ma trận vuông cấp n là kgvt
{ ( ,1 2, , n) i , 1, }
V = u= x x x x∈ ∀ ∈ℝ i n là kgvt Euclide ℝ n
1.2 Không gian con của kgvt
• Cho kgvt V, tập W⊂V là kgvt con của V nếu (W, ℝ ) cũng là một kgvt
• Cho kgvt V, tập W⊂V là kgvt con của V nếu:
(x+λy)∈W, ∀x y, ∈W, ∀ ∈λ ℝ
VD 2 Tập W={ }θ là kgvt con của mọi kgvt V
Trong ℝ , tập n W ={u=( , 0, , 0)x1 x1∈ℝ là kgvt con }
§2 SỰ ðỘC LẬP TUYẾN TÍNH VÀ PHỤ THUỘC TUYẾN TÍNH
2.1 ðịnh nghĩa
Trong kgvt V, cho n vector ui (i = 1, 2,…, n)
• Tổng
1
,
n
i i i
i
u
λ λ
=
∈
∑ ℝ ñược gọi là một tổ hợp tuyến tính của
n vector ui
• Hệ n vector {u1, u2,…, un} ñược gọi là ñộc lập tuyến tính
nếu có
1
n
i i
i
u
=
=
∑ thì λi = ∀ =0, i 1,n
• Hệ n vector {u1, u2,…, un} không là ñộc lập tuyến tính thì
ñược gọi là phụ thuộc tuyến tính
VD 1 Trong ℝ , hệ {u2 1 = (1;–1), u2 = (2; 3)} là ñltt
ℝ , hệ {ui = (0; 0;…; 1; 0;…; 0)} (vị trí thứ i là 1)
là ñltt
ℝ , hệ {u1=(–1;3;2), u2=(2;0;1), u3=(0;6;5)} là pttt
ðịnh lý
• Hệ n vector phụ thuộc tuyến tính ⇔ ∃ 1 vector là tổ hợp tuyến tính của n – 1 vector còn lại
VD 2 Nếu x1 = 2x2 – 3x3 thì hệ {x1, x2, x3} là phụ thuộc tuyến tính
Hệ quả
• Hệ có 1 vector không thì phụ thuộc tuyến tính
• Nếu có 1 bộ phận của hệ phụ thuộc tuyến tính thì hệ phụ thuộc tuyến tính
2.2 Hệ vector trong n
ℝ
ðịnh nghĩa
• Trong ℝ cho m vector n u i=(a a i1, i2, ,a in),i=1,m
Ta gọi A=( )a ij m n× là ma trận dòng của m vector ui
Trang 8§3 CƠ SỞ – SỐ CHIỀU – TỌA ðỘ
ðịnh lý
• Trong ℝ , hệ n {u u1, 2, ,u m} ñộc lập tuyến tính khi và chỉ
khi r(A) = m (bằng số phần tử của hệ)
• Trong ℝ , hệ n {u u1, 2, ,u m} phụ thuộc tuyến tính khi và
chỉ khi r(A) < m
VD 3 Xét sự ñltt hay pttt của các hệ:
B1 = {(–1;2;0), (1;5;3), (2;3;3)}, B2 = {(–1; 2; 0), (2; 1; 1)}
Hệ quả
• Trong ℝ , hệ có nhiều hơn n vector thì phụ thuộc tuyến n
tính
• Trong ℝ , hệ n vector ñộc lập tuyến tính n ⇔detA≠0
3.1 Cơ sở của kgvt
ðịnh nghĩa
• Trong kgvt V, hệ B = {u1, u2,…, un} ñược gọi là một cơ sở
của V nếu hệ B ñltt và mọi vector của V ñều biểu diễn tuyến tính qua B
VD 1
– Trong ℝ , hệ n
E = {e1 = (1; 0;…; 0), e2 = (0; 1;…; 0), …, en = (0;…; 0; 1)}
là cơ sở chính tắc
– Trong ℝ , hệ B = {u2 1 = (1;–1), u2 = (2; 3)} là cơ sở
3.2 Số chiều của kgvt
ðịnh nghĩa
• Kgvt V ñược gọi là có n chiều, ký hiệu dimV = n, nếu
trong V có ít nhất 1 hệ gồm n vector ñltt và mọi hệ gồm n+1
vector ñều pttt
ðịnh lý
• dimV = n khi và chỉ khi trong V tồn tại 1 cơ sở gồm n
vector
Hệ quả
• Trong ℝ , mọi hệ gồm n vector ñltt ñều là cơ sở n
3.3 Tọa ñộ a) ðịnh nghĩa
• Trong kgvt V cho cơ sở B = {u1, u2,…, un} Khi ñó, mỗi
x V∈ có biểu diễn tuyến tính duy nhất x = x1u1+…+xnun
Ta nói x có tọa ñộ ñối với B là (x1,…, xn)
Ký hiệu [ ]B 1
n
x x x
=
• ðặc biệt, tọa ñộ của vector x ñối với cơ sở chính tắc E là [x]E = [x] (tọa ñộ cột thông thường của x)
VD 2 Trong ℝ cho cơ sở B = {u2 1 = (2;–1), u2 = (1; 1)} và
x = (3;–5) Tìm [x]B
b) ðổi cơ sở
• Ma trận chuyển cơ sở
– Trong kgvt V cho 2 cơ sở
B1 = {u1, u2,…, un} và B2 = {v1, v2,…, vn}
Ma trận ( [ ] [ ]v1 B1 v2 B1 [ ]v n B1) ñược gọi là ma trận chuyển
cơ sở từ B1 sang B2 Ký hiệu
1 2
B B
– ðặc biệt, nếu E là cơ sở chính tắc thì:
P→ = u u u
• Công thức ñổi tọa ñộ
[ ]x B1 =P B1→B2[ ]x B2
VD 3 Trong ℝ cho 2 cơ sở B2 1 = {u1 = (1; 0), u2 = (0;–1)},
B2 = {v1 = (2;–1), v2 = (1; 1)} và [ ]x B2 12
=
a) Tìm
1 2
B B
P → ; b) Tìm [ ]x B1
ðịnh lý
Trong kgvt ℝ cho 3 cơ sở Bn 1, B2 và B3 Khi ñó:
1)
i i
B B n
P → =I (i = 1, 2, 3);
2)
B B B B B B
P → =P → P → ;
1
B B B B
P → = P → −
Hệ quả
1
B B B E E B E B E B
P → =P → P→ = P→ − P→
VD 4 Giải lại VD 3
3.4 Không gian con sinh bởi 1 hệ vector
• Trong kgvt V cho hệ m vector S = {u1,…, um} Tập tất cả
các tổ hợp tuyến tính của S ñược gọi là không gian con sinh
bởi S trên ℝ Ký hiệu spanS hoặc <S>
• Trong kgvt ℝn, ta có:
u u u = ∈x ℝ x=λu +λu + +λ u λ ∈ℝ
Khi ñó:
1) dim<S> = r(S) (hạng ma trận dòng m vector của S); 2) Nếu dim<S> = r thì mọi hệ con gồm r vector ñltt của S
ñều là cơ sở của spanS
VD 5
ℝ cho hệ vector
S = {u1 =(–2; 4;–2;–4), u2 = (2;–5;–3; 1), u3 = (–1; 3; 4; 1)} Tìm 1 cơ sở và dimspanS
Trang 94.1 ðịnh nghĩa
• Ánh xạ f :ℝn→ℝ thỏa m
n
f x y f x f y
x y
f λx+ λ=f x + λ
=
ñược gọi là ánh xạ tuyến tính
• Ánh xạ f :ℝn→ℝ thỏa n
n
f x y f x f y
x y
f λx+ λ=f x + λ
=
ñược gọi là phép biến ñổi tuyến tính
VD 1
f(x1; x2; x3) = (x1–x2 +x3; 2x1 +3x2) là AXTT từ ℝ3→ℝ 2
f(x1; x2) = (x1 – x2; 2x1 + 3x2) là PBðTT từ ℝ2→ℝ 2
f(x1; x2) = (x1 – x2; 2 + 3x2) không là PBðTT từ ℝ2→ℝ 2
Chú ý
ðiều kiện ( ) ( ) ( )
f x y f x f y
f λx λf x
=
f x λy f x λf y x y λ
VD 2 Các PBðTT thường gặp trong mặt phẳng:
1) Phép chiếu vuông góc xuống trục Ox, Oy:
f(x; y) = (x; 0), f(x; y) = (0; y)
2) Phép ñối xứng qua Ox, Oy:
f(x; y) = (x;–y), f(x; y) = (–x; y)
3) Phép quay góc φ quanh gốc tọa ñộ O:
f(x; y) = (xcosφ – ysinφ; xsinφ + ycosφ)
4.2 Ma trận của ánh xạ tuyến tính
a) ðịnh nghĩa
• Cho AXTT f :ℝn→ℝ và hai cơ sở lần lượt là m
B1 = {u1, u2,…, un} và B2 = {v1, v2,…, vm}
Ma trận cấp m n× ( [ ( )1 ] [2 ( 2)]2 [ ( n)]2)
gọi là ma trận của AXTT f trong cặp cơ sở B1, B2
1
[ ]B
B
Cụ thể, nếu
( )
( )
( )
1 11 1 21 2 31 3 1
2 12 1 22 2 32 3 2
1 1 2 2 3 3
m m
m m
f u a v a v a v a v
f u a v a v a v a v
f u a v a v a v a v
thì
2 1
[ ]
n
n B
B
m m mn
f
• Cho PBðTT f :ℝn →ℝ và cơ sở B = {un 1, u2,…, un}
Ma trận vuông cấp n ( [ ( )1 ] [ ( 2)] [ ( n)] )
gọi là ma trận của PBðTT f trong cơ sở B
Ký hiệu [ ]f B hoặc [f] hoặc A
Chú ý
• Nếu A là ma trận của AXTT f trong cặp cơ sở B1, B2 thì
VD 3 a) Cho AXTT
f(x, y, z, t) = (3x + y – z; x – 2y + t; y + 3z – 2t)
4
[ ]E
E
b) Cho AXTT f(x, y) = (3x; x – 2y; –5y) Tìm 3
2
[ ]E E
c) Cho PBðTT f(x, y, z) = (3x + y – z; x – 2y; y + 3z)
Tìm
3
[ ]f E
:
f ℝ →ℝ có ma trận của f trong hai
cơ sở chính tắc E2 và E3 là
A
−
=
Tìm ma trận f trong hai cơ sở B1 = {u1 = (1; 1), u2 = (1; 2)}
và B2 = {v1 = (1; 0; 1), v2 = (1; 1; 1), v3 = (1; 0; 0)}
b) Ma trận ñồng dạng
ðịnh nghĩa
• Hai ma trận vuông A, B cấp n ñược gọi là ñồng dạng với
nhau nếu tồn tại ma trận khả nghịch P thỏa B = P–1AP
ðịnh lý
f ℝ →ℝ có ma trận trong các cặp cơ sở
1, 1
2, 2
B B tương ứng là A1, A2 và
1 2
B B
/ /
1 2
B B
f ℝ →ℝ có ma trận trong hai
cơ sở B1, B2 lần lượt là A, B và
1 2
B B
P=P → thì B = P–1AP
VD 5
Cho PBðTT f(x, y) = (x + y; x – 2y) Tìm ma trận của f
trong cơ sở chính tắc E và trong B={u1=(2;1),u2=(1;–1)}
VD 6
Cho AXTT f(x, y, z) = (x + y – z; x – y + z) Tìm ma trận
của f trong cặp cơ sở:
{ (1;1;0), (0;1;1), (1; 0;1)}
{ (2;1), (1;1)}
c) Thuật toán tìm ma trận của AXTT
f ℝ →ℝ và hai cơ sở lần lượt là
B1 = {u1, u2,…, un} và B2 = {v1, v2,…, vm}
– Ký hiệu:
( 1 2 m )
( ( )1 ( 2) ( n) )
1
B B
VD 7 Tìm lại các ma trận f trong VD 4 và VD 6
Trang 10§5 CHÉO HÓA MA TRẬN
5.1 Giá trị riêng, vector riêng của PBðTT
a) ðịnh nghĩa
Cho PBðTT f :ℝn→ℝ có ma trận trong cơ sở n
B = {u1, u2,…, un} là A
• Số λ∈ℝ ñược gọi là giá trị riêng của A (hay f) nếu:
n
x x θ Ax λx
• Vector x ñược gọi là vector riêng của A (hay f) ứng với
giá trị riêng λ
• ða thức PA(λ) = det(A – λI) ñược gọi là ña thức ñặc trưng
của A (hay f) và λ là nghiệm của pt ñặc trưng PA(λ) = 0
Cách tìm giá trị riêng và vector riêng:
• Bước 1 Giải phương trình ñặc trưng A−λI =0 ñể tìm giá trị riêng λ
• Bước 2 Giải hệ phương trình (A−λI x) =θ , nghiệm không tầm thường là vector riêng
VD 1 Cho
A
Tìm giá trị riêng và vector riêng của A
VD 2 Cho
B
= − − −
Tìm giá trị riêng và vector riêng của B
b) Tính chất
• Các vector riêng ứng với giá trị riêng λ cùng với vector
không tạo thành 1 không gian vector con riêng E(λ) của
n
ℝ
• Các vector riêng ứng với giá trị riêng khác nhau thì ñộc
lập tuyến tính
5.2 Chéo hóa ma trận
a) ðịnh nghĩa
• Cho PBðTT f :ℝn →ℝ , nếu có một cơ sở sao cho ma n
trận của f là ma trận ñường chéo thì ta nói f chéo hóa ñược
• Ma trận vuông A là chéo hóa ñược nếu nó ñồng dạng với
ma trận ñường chéo D, nghĩa là P–1AP = D
Khi ñó, ta nói P làm chéo hóa A
VD 3 Cho
A
, xét ma trận:
b) ðiều kiện chéo hóa ñược ðịnh lý
• Nếu A có n giá trị riêng ñôi phân biệt thì A chéo hóa ñược
• A chéo hóa ñược khi và chỉ khi A có n giá trị riêng kể cả bội và số chiều của tất cả không gian con riêng bằng số bội của giá trị riêng tương ứng
c) Thuật toán chéo hóa ma trận
• Bước 1 Giải phương trình ñặc trưng ñể tìm các giá trị
riêng của A
1) Nếu A không có giá trị riêng nào thì A không chéo hóa ñược
2) Giả sử A có k giá trị riêng phân biệt λ1, λ2,…, λk với số
bội tương ứng n1, n2,…, nk Khi ñó:
a) n1 + n2 +…+ nk < n thì A không chéo hóa ñược
b) n1 + n2 +…+ nk = n thì ta làm tiếp bước 2
• Bước 2 Với mỗi λi tính r(A – λiI) = ri
Khi ñó dimE(λi) = n – ri
1) Nếu có một λi mà dimE(λi) < ni thì A không chéo hóa
ñược
2) Nếu dimE(λi) = ni với mọi λi thì kết luận A chéo hóa
ñược Ta làm tiếp bước 3
• Bước 3 Lập ma trận P có các cột là các vector cơ sở của
E(λi) Khi ñó, P–1AP = D với D là ma trận ñường chéo có các phần tử trên ñường chéo chính lần lượt là λi (xuất hiện liên tiếp ni lần)
VD 4 Chéo hóa các ma trận:
−
,
−
VD 5 Chéo hóa các ma trận :
A
,
B
