BÀI GIẢNG TOÁN CAO CẤP A1

1.4 – Hàm số sơ cấp Nếu thực hiện một số hữu hạn các phép toán hàm tổng, hiệu, tích, thương và hợp các hàm trên một số hữu hạn các hàm số sơ cấp cơ bản thì ta nhận được một hàm số mới

TRƯỜNG ĐẠI HỌC MỞ

TP HỒ CHÍ MINH

BÀI GIẢNG TOÁN CAO CẤP A1

Giảng viên: Ths Nguyễn Văn Du

CHƯƠNG 1

HÀM SỐ GIỚI HẠN – LIÊN TỤC

 Tập X được gọi là miền xác định của hàm số f

 Tập f(X) = { f(x)/xX)} được gọi là miền giá trị của f

3 – Cách cho hàm số

 Cách 1: Cho hàm số theo kiểu liệt kê tương

ứng (tương tự như trong các siêu thị vẫn

làm)

 Cách 2: Cho hàm số dưới dang một hay

nhiều biểu thức giải tích

 Chú ý: Cho hàm số y = f(x) ta thấy MXĐ của hàm số này là D = {x  R/ f(x) có nghĩa}

 Cách 3: Cho hàm số theo kiểu phân đoạn

1.2 – CÁC LOẠI HÀM SỐ

 1 – Hàm đơn điệu

 Cho hàm số y = f(x) xác định trong khoảng (a,b).Ta nói hàm số y = f(x) là một hàm tăng ( giảm ) trong khoảng (a, b) nếu ta có:

2 – Hàm chẵn lẻ

 Cho hàm số y = f(x) xác định trong một miền

D nhận gốc tọa độ làm tâm đối xứng

 Ta nói rằng hàm số y = f(x) là một hàm chẵn ( lẻ ) trên D nếu cx  D ta có f(-x) = f(x)

3 – Hàm tuần hồn

 Cho hàm số y = f(x) xác định trong một miền

D Nếu tồn tại số thực T > 0 sao cho:

f(x+T) = f (x) (cx  D)

thì f(x) được gọi là một hàm tuần hoàn trên miền D

 Số thực dương T0 nhỏ nhất thỏa mãn điều

kiện trên được gọi là chu kỳ của hàm số f

4 – Hàm hợp

 Cho hàm số y = f(u), trong đó u là một hàm số của x nghĩa là u = u(x) Khi đó y là một hàm số của x, ta nói rằng y là hàm hợp có biến là x thông qua biến trung gian u.

 Ký hiệu là y = f(u(x))

( ) :

( )

y f u hay

5 – Hàm ngược

 1 - Định nghĩa

 Cho hàm số f(x) xác định trên tập hợp X ; đặt f(X) = Y Ta nói rằng f là một hàm 1 – 1 nếu thỏa mãn điều kiện: cx1 x2  X: x1 ≠ x2 ta có f(x1)

≠ f(x2 ) Nếu f là một hàm 1 – 1 ta có:

 cy  Y , d!x  X / y = f(x) Khi đó ta lập được một hàm số x theo biến y, ký hiệu là x = f-1(y)

 Ta gọi hàm số x = f-1(y) là hàm ngược của hàm số y = f(x) và cũng ký hiệu là y = f-1(x)

2 – Ghi chú:

 Các hàm số đơn điệu trên một khoảng (a, b) là những hàm 1 – 1 nên chúng có hàm ngược

 Đồ thị hàm ngược của hàm số y = f(x) đối

xứng với đồ thị của hàm số đó qua đường

phân giác thứ nhất

6 – Hàm bị chặn

 Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a, b)

 (1) Nếu dM  R sao cho cx  (a, b) ta có

 f(x) ≤ M thì ta nói f(x) bị chặn trên bởi M

 (2) Nếu dm  R sao cho cx  (a, b) ta có

 f(x) ≥ m thì ta nói f(x) bị chặn dưới bởi m

 (3) Nếu f(x) vừa bị chặn trên, vừa bị chặn dưới trong khoảng (a, b) thì ta nói f(x) là hàm số bị chặn trong khoảng (a, b)

1.3 – CÁC HÀM SỐ SƠ CẤP CƠ BẢN

 1 – Hàm hằng: y = C ( C là hằng số)

 Hàm hằng có tập xác định là R và có tập giá trị là { C }

 2 – Hàm lũy thừa: y = xα (α  R)

 Miền xác định và miền giá trị của hàm lũy

thừa tùy thuộc vào α:

 Hàm số y = xn (n  N) có MXĐ là R;

 Nếu n lẻ thì MGT của hàm số là R

 Nếu n chẵn thì MGT của hàm số là [0; + ¥)

Nếu hàm lũy thừa có dạng

1

2 2

3 – Hàm số mũ y = a x (a>0; a≠1)

 Hàm số mũ có MXĐ Là R và có MGT là R+

 Nếu a > 1 thì hàm số mũ đồng biến

 Nếu 0 < a < 1 thì hàm số mũ nghịch biến

4 – Hàm lôgarit y = log a x (a>0; a≠1)

 Hàm lôgarit là hàm ngược của hàm số mũ:

y = logax  x = ay

 Hàm logarit có MXĐ Là R+ và có MGT là R

 Nếu a > 1 thì hàm logarit đồng biến

 Nếu 0 < a < 1 thì hàm logarit nghịch biến

 Ký hiệu: lgx = log10x; lnx = logex

(3) Hàm y = tanx

 Hàm y = tanx có MXĐ là R \ {π/2+kπ (kZ)}

và MGT là R; Hàm y = tanx là một hàm lẻ và

là hàm tuần hoàn có chu kỳ π

 Hàm y = tanx là hàm tăng trên từng khoảng xác định của nó

(4) Hàm y = cotanx

 Hàm y = cotanx có MXĐ là R\ {kπ (kZ)} và MGT là R; Hàm y = cotanx là một hàm lẻ và

là hàm tuần hoàn có chu kỳ π

 Hàm y = cotanx là hàm giảm trên từng

khoảng xác định của nó

6 – Các hàm lượng giác ngược

 Hàm y = arccosx là một hàm chẵn và

là hàm giảm trên MXĐ

1.4 – Hàm số sơ cấp

 Nếu thực hiện một số hữu hạn các phép toán hàm ( tổng, hiệu, tích, thương và hợp các

hàm) trên một số hữu hạn các hàm số sơ

cấp cơ bản thì ta nhận được một hàm số mới

và ta gọi hàm số đó là hàm số sơ cấp

 f(x) + g(x); f(x) - g(x); kf(x)(k  R); f(x).g(x);

 f(x) / g(x) và f(x)g(x) cũng có giới hạn khi x tiến tới x0

Định lý 3

1) Nếu f(x), g(x), h(x) là những hàm số thỏa

mãn điều kiện: g(x) ≤ f(x) ≤ h(x) với mọi x

nằm trong một lân cận nào đó của điểm x0

 Khi đó: Nếu g(x) và h(x) đều có giới hạn là L khi x tiến tới x0 thì f(x) cũng có giới hạn là L khi x tiến tới x0

2) Nếu f(x) là hàm số tăng (giảm) và bị chặn trên (dưới) thì f(x) có giới hạn khi x → +¥

( x → - ¥ )

 Khái niệm về dạng vô định

 Khi các điều kiện của Định lý 2 không thỏa mãn ta cũng có thể tìm được giới hạn của các hàm số, trừ các trường hợp sau đây:

 2 – Cách khử một số dạng vô định thường gặp

 (1) Khử dạng vô định ¥/¥

 Tìm cách chia tử và mẫu số cho lũy thừa bậc cao nhất của đối số

(2) Khử dạng vô định 0/0

 Nếu giới hạn có dạng lim [P(x)/Q(x)] thì ta tìm cách chia tử và mẫu số cho thừa số

x – x0

 Nếu giới hạn có liên quan tới hàm mũ,

logarit, hàm lượng giác thì tìm cách đưa

về giới hạn cơ bản

 Nếu giới hạn có chứa hiệu căn thức thì ta khử căn thức bằng cách nhân và chia cho lượng căn thức liên hợp

Giải 3 2

2 2

Ví dụ 2

 Tìm giới hạn của các hàm số sau

3 8

3 8

2

8

9 2 5 0 (1) lim

0 2

x x

Ví dụ 3

2 0

1 cos lim

x

x L

x

x L

x x

Ví dụ 4 : Tính các giới hạn

2 2

1 sin (1) lim

2

x

x L

3

cos 2

x

x L

Giải 2

2

1 sin 0 (1) lim

0 2

x

x L

1 cos

2

2 2

x x

sin

0

6 (3) lim

0

3

cos 2

x

x L

với β(x) và ký hiệu Ký hiệu α(x) ~ β(x)

( ) ( )

( ) ( )

αβ

Tính chất 3

 Nếu α(x) và β(x) là tổng của các VCB khi x →

x0 thì giới hạn của thương α(x) / β(x) bằng

giới hạn của thương các VCB có bậc thấp

nhất của tử số và mẫu số khi x → x0

 Người ta thường gọi tính chất 3 là quy tắc

ngắt bỏ các VCB cấp cao

4 - Các tương đương cơ bản khi x

ln 1 arcsin 3 (1) lim

x

→

=

(3) Ta có

2 2

:

arctan 2 tan

1 ln 1 3

x x

2 2

arcsin 2 tan (1) lim

( ) ( )

3 0

Ví dụ

 Tinh giới hạn của các hàm số:

( ) 2

1 0

lim cos x x

Giải ( ) 2 ( )

1 0

1 2

Suy ra:

1

- 4

2 4

 4.1 – Các khái niệm

1 – Hàm số liên tục

 Cho hàm số f(x) xác định trên khoảng (a,b);

x0  (a,b)

(1) Nếu f(x) → f(x0) khi x → x0 thì ta nói rằng f(x)

là hàm số liên tục tại điểm x0

(2) Nếu f(x) liên tục tại mọi điểm x0  (a,b) thì ta nói rằng f(x) liên tục trong khoảng (a,b)

2 – Sự liên tục hai phía

§4 – HÀM SỐ LIÊN TỤC

(1) Nếu f(x) → f(x0) khi x → x0+ thì ta nói rằng f(x)

là hàm số liên tục phải tại điểm x0

(2) Nếu f(x) → f(x0) khi x → x0- thì ta nói rằng f(x)

là hàm số liên tục trái tại điểm x0

(3) Nếu f(x) vừa liên tục phải, vừa liên tục trái tại điểm x0 thì liên tục tại điểm x0

(4) Nếu f(x) liên tục trong khoảng (a,b) và liên

tục phải tại a, liên tục trái tại b thì ta nói f(x)

liên tục trên đoạn [a, b]

Ghi chú:

Nếu f(x) không liên tục tại x0 thì ta nói x0 là điểm gián đoạn của hàm số f(x)

Định lý 3

Cho f(x) là hàm số liên tục trên đoạn [a, b] Khi đó:

(1) f(x) là hàm số bị chặn trên đoạn [a,b], nghĩa

là tồn tại một số thực M sao cho:

∀x  [a,b] ta có: If(x)I ≤ M

(2) f(x) có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất

trên đoạn [a, b] nghĩa là dx1, x2  [a,b] ta có: f(x1) ≤ f(x) ≤ f(x2)

(3) ∀C[f(a), f(b)],∃x0 (a,b) sao cho f(x0)=C

(4) Nếu f(a)f(b)<0 thì ∃x0 (a,b) sao cho f(x0)=0

x x

1 cos 1cos

x x

ln 1 2 arcsin 2

0 1

Chương 2 PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM MỘT

BIẾN

§1 – ĐẠO HÀM CỦA HÀM SỐ

 1 – Định nghĩa

 Cho hàm số y = f(x) xác đinh trong khoảng

(a, b); x0  (a, b) Nếu tồn tại giới hạn:

 Thì ta gọi giới hạn đó là đạo hàm của hàm số

y = f(x) tại điểm x0 và ký hiệu là y’ = f’(x0) hay

 Nếu tồn tại f’(x0) thì ta nói rằng f(x) là một hàm khả vi tại x0

 Nếu f(x) khả vi tại mọi điểm x0 (a, b) thì ta nói f(x) là hàm khả vi trong khoảng (a, b)

 2 – Định nghĩa tương đương

 Cho hàm số y = f(x) xác đinh trong khoảng

(a, b); x0  (a, b) Ta cho x0 một số gia đối số

là Δx sao cho x0+Δx (a, b) Khi đó số gia của hàm số là: Δy = f(x0+ Δx ) – f(x0) và ta đinh

3 – Ý nghĩa hình học của đạo hàm

 Nếu f(x) có đạo hàm tại x0 thì tiếp tuyến với

đồ thị của hàm số y = f(x) tại điểm M0(x0; y0)

có hệ số góc là k = f’(x0) và phương trình tiếp tuyến tại đó là:

 y – y0 = f’(x0)(x - x0)

 4 – Định lý

 Nếu f(x) là hàm khả vi tại điểm x0 thì f(x) là

hàm số liên tục tại x0

2.2 – Các quy tắc tính đạo hàm

 1 – Các quy tắc cơ bản

 [u(x) + v(x)]’ = u(x)’ + v(x)’

 [u(x)v(x)]’ = u(x)’ v(x) + u(x)v(x)’

 [u(x)/v(x)]’ = [u(x)’ v(x) - u(x)v(x)’] / [v(x)]2

(v(x) ≠ 0 )

 Cho hàm hợp y = f[u(x)] ta có công thức:

yx’ = fu’ ux’

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

x

′ = −

1 (arcsin ) '

5 – Ví dụ minh họa

 Ví dụ 1

 Tính đạo hàm của các hàm số sau

arctan arcsin

x y

( ) 1 ' arctan

arcsin

x y

4 2ln( 1)

1

x x

 Tính đạo hàm của hàm số này ta được hàm

số y” = [f’(x)]’ và gọi hàm số này là đạo hàm cấp 2 của hàm số y = f(x)

 …

 Một cách tổng quát đạo hàm cấp n của hàm

số y = f(x) được định nghĩa như sau:

y(n) = [f(n-1)(x)]’

§2 – VI PHÂN

 Cho f(x) là hàm khả vi trong khoảng (a,b) Ta có:

 Nếu ta ngắt bỏ VCB α(x)Δ(x) thì ta được công thức xấp xỉ: Δy = f ’ (x)Δ(x) và gọi công thức này là vi phân của hàm số y = f(x) Ký hiệu: dy = f ’ (x)Δ(x)

 Khi đó có ký hiệu: f’(x) = dy / dx (Ký hiệu

Lepnit của đạo hàm)

3 – Vi phân cấp cao

a) Định nghĩa

y = f(x) được định nghĩa như sau:

 d n y = f (n) (x)dx n

b) Ví dụ

 Cho hàm số y = cos2x ta có:

 d2y = (cos2x)”dx2

 Nhưng:

 (cos2x)’ = 2cosx(- sinx) = - sin2x

 (cos2x)” = (- sin2x)’ = - 2cos2x

 Suy ra:

 d2y = - 2cos2x dx2

3- Định lý Côsi

 Nếu f(x) và g(x) là những hàm số liên tục

 trên đoạn [a, b], khả vi trong khoảng

 (a, b) sao cho g’(x) ≠ 0 (cx (a, b)) thì tồn

 tại một điểm c (a, b) sao cho

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

4 – Công thức số gia hữu hạn

 Áp dụng định lý Lagrange cho hàm số f(x) trên đoạn [x0; x0 + Δx] ta thấy:

3.2 – Khử dạng vô định

 1 – Quy tắc Lôpitan

( ) ( )

0

( ) ( )

ln sin

x

x L

tan

x

x L

3 0

0 (1) lim

sin 0

x

x L

x

x L

1 ln

1 tan

1 2

x

x L

lim x x

→

x x

x

x x

π π

ln lim 1

x

x L

= −

( ) ( )

ln

1 6 lim

x

x x

x

x x

1

x

x x

( ) 4 lim 2 arctan (1 )

x x

( ) 2

ln arctan lim

1

x

x x

x

π π

 Ta thường gọi công thức này là công thức khai

( )

0 ( 1) !

n

θα

2 – Một số khai triển Macloranh thường gặp

 Nếu A < 0 thì f(x) đạt cực đại tại x0

 Nếu A > 0 thì f(x) đạt cực tiểu tại x0

Chương 3 PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM

NHIỀU BIẾN

 Tập hợp D = {M(x,y)/ f(x,y) có nghĩa} được gọi là miền xác định của hàm số z

2 – Giới hạn

 Hàm số z = f (x, y) được gọi là có giới hạn là L khi M(x,y) tiến dần tới điểm M0 (x0 ,y0 ) nếu thỏa mãn điều kiện sau:

3 – Sự liên tục

 Cho hàm số z = f(x,y) xác định trên một miền

D, Ta nói rằng hàm số z = f(x,y) liên tục tại

điểm M0(x0 , y0) nếu:



Ta nói rằng hàm số liên tục trên miền D nếu nó liên tục tại mọi điểm M(x0 , y0) thuộc miền D

z = f(x, y) theo biến x và ký hiệu là z’

x hay

∂z/∂x

 Tương tự ta cũng có khái niệm đạo hàm

riêng của hàm số z = f(x, y) theo y và ký hiệu

 dz = z’

xdx + z’

y dy

là một hàm hợp biến t thông qua các biến trung gian là x và y.

 Ta cũng viết: z = f(x(t), y(t))

4 – Đạo hàm của hàm ẩn

 1 – Định nghĩa

 Hàm số y theo biến số x trong đó x và y liên

hệ với nhau bằng công thức F(x, y) = 0 được gọi là hàm ẩn của y theo x thông qua hệ thức F(x, y) = 0

x y

x y F

1.2.2 – Đạo hàm riêng và vi phân cấp cao

 1 - Đạo hàm riêng cấp cao

 a) Định nghĩa

 Cho hàm số z = f(x,y) Tính đạo hàm riêng lần thứ nhất ta được các hàm số zx’ và z’

y Ta gọi các hàm số này là những đạo hàm riêng cấp một của hàm số z = f(x,y).

 Nếu tính các đạo hàm riêng của các hàm số đ

z’

x và z’

y thì ta nhận được những đạo hàm riêng mới và ta gọi những hàm số này là các đạo hàm riêng cấp 2 của hàm số z = f(x,y) Ký

hiệu và cách tính của chúng như sau:

 d2z = z”

xxdx2 + 2z”

xy dxdy + z”

yy dy2

(1) Ta nói rằng hàm số đạt cực đại tại điểm

M0(x0; y0) nếu  M(x; y)  D khá gần điểm

M0(x0; y0)  D ta có f(x,y) < f (x0; y0)

(2) Ta nói rằng hàm số đạt cực tiểu tại điểm

M0(x0; y0) nếu  M(x; y)  D khá gần điểm

M0(x0; y0)  D ta có f(x,y) > f (x0; y0)

(3) Điểm cực đại và cực tiểu của một hàm số được gọi là điểm cực trị của hàm số đó

 Những điểm có tọa độ là nghiệm của hệ

phương trình này được gọi là các điểm dừng của hàm số đã cho

 Bước 4: Kết luận

 Nếu Δ > 0 thì hàm số không đạt cực trị tại

Giải hệ:

( ) ( ) ( )

( )

( )

2 2

x y

2.2 – Cực trị có điều kiện

 1 – Định nghĩa

 Cực trị của hàm số z = f(x, y) được tính trong

điều kiện  (x,y) = 0 được gọi là cực trị có điều kiện và viết như sau : z = f(x, y) với điều kiện  (x,y) = 0

 2 – Phương pháp nhân tử Lagrange

 Để tìm cực trị có điều kiện z = f(x, y) với  (x,y)

= 0 ta thực hiện theo các bước như sau:

Bước 1: Lập hàm Lagrange L(x,y) = f(x,y) +

( )

0 0 , 0

x y

z z

Giải he äphương trình : ;Nghiệm của he ä

phương trình là các điểm dừng của hàm số đa õcho

Căn cư ùvào dấu của A ta đưa ra kết luận như sau :

Nếu A < 0 thì hàm số đạt cực đại tại M (x ,y )(2) Nếu A > 0 thì hàm số đạt cực tiểu tại M (x ,y )(3) Nếu dấu của A không

0 0 0

xác định thì hàm số không đạt cực trị tại M (x ,y )

L x y = xy + λ x y+ − (1) Lập hàm Lagrange

2 2

1 1 1 1 1 ,

3 - Phương pháp thế

 a) Nội dung phương pháp

 Nếu từ điều kiện (x,y) = 0 ta rút được x theo y hay y theo x và thay vào biểu thức hàm số thì ta sẽ nhận được một hàm số z theo một biến x

hoặc z theo một biến y

 Khảo sát hàm một biến tìm được ta nhận được cực trị của hàm số đã cho

 Phương pháp này được gọi là phương pháp thế để tìm cực trị có điều kiện

Suy ra hàm số z = xy có một điểm dừng là

Chương 3

PHÉP TÍNH TÍCH PHÂN HÀM MỘT BIẾN

Phần A

TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH

§1 – NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN

BẤT ĐỊNH

 1.1 – Nguyên hàm

 Hàm số F(x) được gọi là nguyên hàm của

hàm số f(x) trong khoảng (a, b) nếu :

 [F(x)]’ = f(x) (x  (a,b))

 1.2 – Tính chất cơ bản của nguyên hàm

 Tính chất 1:

 Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm f(x)

trên (a, b) thì nó có vô số nguyên hàm và các nguyên hàm ấy đều có dạng F(x) + C ( C là hằng số tùy ý)

2 – Tính chất cơ bản

 (1)  d[F(x)] =  F’(x)dx = F(x) + C

 (2)  kf(x)dx = k f(x)dx

 (3)  [f(x) + g(x)]dx = f(x)dx + g(x)dx

§2 – CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH

PHÂN

 2.1 – Phương pháp phân tích

 1 – Nội dung phương pháp

 Để tính tích phân f(x)dx người ta thường có

xu hướng phân tích hàm số f(x) thành tổng của các hàm đơn giản gần với công thức

nguyên hàm cơ bản rồi áp dụng tính chất và công thức nguyên hàm cơ bản để tính

 Ví dụ

(1) Tính tích phân

2

21

2.2 – Phương pháp đổi biến

 1 – Nội dung phương pháp

 Để tính tích phân f(x)dx ta có thể thực hiện phép đổi biến thể hiện qua các bước sau:

 Bước 1

 Đặt x = φ(t) hay đặt t = ψ (x) Sau đó tính dx theo t và dt

 Bước 2

 Thay kết quả tìm được vào bài toán tích

phân rồi rút gọn ta thu được công thức đổi biến:

 f(x)dx = g(t)dt

x x

x x x

(2) Tính tích phân

arctan

I = ∫ x xdx

2 2

1arctan

1

2

x x

(3) Tính tích phân I = ∫ arcsin xdx

2

1 arcsin

2.4 – Tích phân các hàm hữu tỉ

 1 – Phân thức thực sự - Phân thức đơn

giản

 A) Phân thức thực sự

 Giả sử P(x) / Q(x) là một phân thức đại số

 (1) Nếu degP(x) ≥ degQ(x) thì ta nói P(x)/Q(x)

là phân thức không thực sự

 (2) Nếu degP(x) < degQ(x) thì ta nói P(x)/Q(x)

là phân thức thực sự

b) Phân thức đơn giản

 Những phân thức thức thực sự sau đây được gọi là các phân thức đơn giản:

 Thì mọi phân thức thực sự P(x) / Q(x) đều viết được thành tổng của các phân thức đơn giản như sau: