CHƯƠNG 4 TRỊ RIÊNG, VECTƠ RIÊNG - BÀI GIẢNG TOÁN A2

Vô hướng λđược gọi là trị riêng của ma trận A nếu tồn tại vectơ khác không v thỏa mãn phương trình :... Vectơ riêng của ma trận A tương ứng với trị riêng λ là nghiệm không tầm thường của

CHƯƠNG 4

1 Trị riêng, vectơ riêng :

 Bài toán tìm trị riêng, vectơ riêng

TRỊ RIÊNG, VECTƠ RIÊNG

dw

w

v dt

dv

32

54

(4.1)

thỏa điều kiện đầu

5

4,

5

8

;)(

)

()

t w

t

v t

u

(4.2)

v = 8, w = 5 khi t = 0Đặt :

(4.3)

Bài toán (4.1), (4.2) có thể viết lại dưới dạng ma trận :

Au dt

Nghiệm được tìm dưới dạng :

(4.8)

Ax = λx

(4.7)Trong đó :

Thế (4.6) vào (4.4) ta thu được :

hoặc

(4.9)(A - λI) x = 0

Thậy vậy, ứng với mỗi trị số λ, vectơ x = 0 luôn thỏa phương trình Ax = λx.

Nhưng vectơ x = 0 không thú vị trong việc xây dựng nghiệm u (t) = eλ tx Vì vậy ta cần xác định những trị số λ mà ứng với chúng cectơ riêng x khác không Điều này chỉ có thể khi hạng của ma trận

A - λI nhỏ hơn cấp của nó, tức là ma trận này phải là ma trận suy biến

3 2

5

4

I A

Rõ ràng là vectơ x không thuộc không gian không của ma trận

 Định nghĩa trị riêng, vectơ riêng.

Cho A là ma trận vuông cấp n Vô hướng λđược gọi là trị riêng của ma trận A nếu tồn tại vectơ khác không v thỏa mãn phương trình :

λ Ngược lại, trị riêng có thể bằng không.

Định lý 1 : Cho A là ma trận vuông cấp n.

i Trị riêng của ma trận A là vô hướng λ nghiệm đúng phương trình

det (A - λI) = 0 (4.11)

ii Vectơ riêng của ma trận A tương ứng với trị riêng λ là nghiệm không tầm thường của hệ phương trình thuần nhất

(A - λI) v = 0 (4.12)Phương trình (4.11) được gọi là phương trình đặc trưng của ma trận A Vế trái của phương trình

Bây giờ ta quay về bài toán tìm trị riêng, vectơ riêng đặt ra ở đầu chương Phương trình (4.11) có dạng :

(4.11) được gọi là đa thức đặc trưng Trị riêng là nghiệm của đa thức đặc trưng của ma trận A Vì đa thức đặc trưng của ma trận A là đa thức bậc n, ma trận A có thể có nhiều nhất n trị riêng phân biệt

10 )

3 )(

4

( 3

λ

0 )

2 )(

1 (

Ta tìm vectơ riêng tương ứng với mỗi trị riêng bằng cách giải hệ phương trình thuần nhất (4.12).

2

5

5 )

( ,

1

z

y x

1 a x

a1 là vô hướng bất kỳ khác không

2

5

2 )

( ,

2

z

y x

I

λ

Thế các vectơ riêng x1, x2 vào (4.6) ta thu được hai nghiệm riêng độc lập tuyến tính của phương trình vi phân (4.4) (cho a1 = a2 = 1).

Nghiệm khác không là vectơ 

2 a x

a2 là vô hướng bất kỳ khác không

t

t x e e

t

t x e e

t

(4.13)

Phương trình (4.4) tuyến tính nên theo quy tắc công nghiệm, tổ hợp tuyến tính của hai nghiệm độc lập tuyến tính (4.13) cũng là nghiệm của (4.4).

)

1

5 1

2

1

C C

(4.15’)

Qua thí dụ trên ta thấy rằng : trị riêng và vectơ riêng là chìa khóa để tìm nghiệm u (t) Ý nghĩa vật lý

Giải (4.15’) ta thu được C1 = 3 và C2 = 1 Vậy nghiệm của phương trình vi phân (4.4) là :

1 3

)

Tách ra hai thành phần riêng biệt từ (4.16) ta thu

được nghiệm của hệ phương trình vi phân xuất phát

e C

t

w ( ) = 3 −1 + 2 2

của trị riêng, vectơ riêng rất quan trọng Mọi người đều biết rằng đoàn quân khi qua cầu không được bước đều, lý do là tránh sự trùng nhịp bước đều với một tần số dao động riêng của cầu Nếu không chú ý điều này, có thể xảy ra sự cộng hưởng làm sập cây cầu Các kỹ sư thiết kế tên lửa tính toán cẩn thận các tần số dao động riêng của tên lửa phải khác với tần số dao động của dòng nhiên liệu Nói chung, trị riêng và vectơ riêng đóng vai trò cực kỳ quan trọng trong tất cả các bài toán của hệ động lực.

 Các bước giải bài toán tìm trị riêng, vectơ riêng

Cho ma trận vuông cấp n A

Bước 1 : Lập phương trình đặc trưng.

[ A - λI ] = 0 Phương trình đặc trưng là phương trình đa thức cấp n đối với biến λ

Bước 2 : Giải phương trình đặc trưng tìm các nghiệm

thức Các nghiệm này là các trị riêng của ma trận A

Bước 3 : Đối với mỗi trị riêng λ, tìm các vectơ riêng tương ứng với λ, bằng cách giải hệ phương trình thuần nhất

( A - λ,I ) v = 0

Dùng các phép toán sơ cấp để rút gọn ma trận vuông cấp n A - λ, I, ma trận rút gọn chứa ít nhất một hằng toàn số không.

4

0 1

0

0 2

1

A

Bước 1 : Lập phương trình đặc trưng.

44

01

0

02

λ

λI A

0 )

1 )(

44

01

10

02

1

1:

λ

Vậy tương ứng với trị riêng λ1 = 1 ta thu được một vectơ riêng độc lập tuyến tính (cho a = 1).

2

00

0

01

0

~2

44

02

0

02

0

1 0

2

0 0

0

0 1

0 )

(

3 2

1 1

1

x x

x v

I

A λ

0

;20

4 4

0 1

1 0

0 2

1

1 :

0

00

0

01

1

~0

44

00

0

02

2

~

Đối với 3 ẩn cơ sở y1 , y 2 , y 3 (các thành phần của

vectơ v 2 ) chỉ có một phương trình y1 - y 2 = 0, vì vậy

có hai biến tự do : y1 = a, y 3 = β, a, β ≠ 0.

0

00

0

00

0

01

1)

(

3 2

1 2

2

y y

y v

I

A λ

)1

(10

0)

1

(01

Mọi vectơ riêng khác tương ứng với trị riêng kép

λ2 = -1 biểu thị bằng tổ hợp tuyến tính của v2 và v3

2 Tìm trị riêng, vectơ riêng của ma trận.

0

0 0

1

0 1

2

A

Bước 1 : Lập phương trình đặc trưng.

03

00

01

01

λ

0 )

1 det( A − λ =

Bước 2 : Có 2 trị riêng phân biệt là λ1 = 3, λ2 = 1, trong đó λ2 là nghiệm kép (nghiệm bội 2) của phương trình đặc trưng.

Bước 3 : Tìm các vectơ riêng.

Khai triển định thức, ta được :

0 )

1 )(

3 ( λ − λ − 2 =

00

03

1

01

3

2:

1 A λ I

λ

01

0

01

1

~0

00

03

1

01

0

1 0

0

0 1

0

0 1

1 )

(

3 2

1 1

1

x x

x v

I

A λ

0

;10

0:

Từ đây ta tìm được vectơ riêng v1 ứng với trị riêng :

Vậy ứng với trị riêng λ1 = 3 chỉ có một vectơ riêng độc lập v1

0 0

0 1

1

0 1

1 2

0

00

0

01

1

~2

00

01

1

01

1

~

λ2 = 1, ta có :

Cho a = 1, ta có :

10

0

00

0

01

1)

(

3 2

1 2

2

y y

y v

I

A λ

0

;01

1:

Vectơ riêng v2 ứng với trị riêng :

Với trị riêng kép λ2 = 1 cũng thu được

một vectơ riêng độc lập tuyến tính cho

1

2

v

Ta nhận thấy tương ứng với một trị riêng kép (bội 2)

ma trận A chỉ có một vectơ riêng độc lập tuyến tính

0

0 2

0

0 1

2

A

Bước 1 : Viết phương trình đặc trưng.

0)

2

(2

00

02

0

01

λ

λI A

3 Tìm trị riêng, vectơ riêng của ma trận

Bước 2 : Xác định trị riêng : ma trận A chỉ có một trị

0

00

0

01

0

00

0

00

0

01

0)

2(

3 2 1

x x

x v

I A

0 0

0

1 0

3 2

1

β β

a

a x

x

x v

Cho a = 1, β = 1, ta thu được hai vectơ độc lập tuyến tính

Từ đây ta thu được x2 = 0, x2, x2 là các biến tự do Đặt x1 = a, x3 = β; a, β ≠ 0 là những vô hướng bất kỳ

0 0

Vectơ riêng bất kỳ của A là tổ hợp tuyến tính của v1, và v2, v = C1v1 + C2v2.

Từ các thí dụ 1, 2, và 3 ta có thể rút ra một nhận xét tổng quát là khi ma trận có một trị riêng bội hai, bội ba tương ứng có thể có vô số vectơ riêng độc lập tuyến tính hoặc nhỏ hơn bậc bội

Khi ma trận vuông cấp n ≥ 4, thì việc tính toán trị riêng, vectơ riêng gặp rất nhiều khó khăn Hiện nay người ta sử dụng các phương pháp tính gần đúng để tìm trị riêng, vectơ riêng

Có một số dạng ma trận, chẳng hạn ma trận tam giác, việc tính toán các trị riêng rất đơn giản

Định lý 2 : Nếu A là ma trận tam giác cấp n, thì các

trị riêng của nó là các phần tử trên đường chéo chính

Thí dụ : Tìm trị riêng của ma trận tam giác :

5

0 1

1

0 0

3)(

1)(

2

(3

35

01

1

01

2

=+

λ

λI

A

Ta tìm được ba trị riêng phân biệt : λ1 = 2, λ2 = 1,

λ3 = -3

b Aùp dụng định lý 2, ta lấy ba phần tử trên đường chéo chính của ma trận đã làm cho ba trị riêng : λ1 = 2, λ2 = 1, λ3 = -3.

2 Không gian đặc trưng :

Nếu v1 và v2 là 2 vectơ riêng tương ứng với một trị riêng λi, thì tổng của chúng cũng là một vectơ riêng tương ứng với một trị riêng λi.

A(v1 + v2 ) = Av1 + Av2 = λiv1 + λiv2 = λi(v1 + v2 )

Thật vậy,

Nói cách khác, tập hợp các vectơ riêng tương ứng với một trị riêng cho trước λi, cùng với vectơ không lập thành không gian con Ei của Rn Không gian con đặc biệt Ei của Rn được gọi là không gian đặc trưng của λI

Định lý 3 : Nếu A là ma trận vuông cấp n có trị riêng

λi , thì tập hợp tất cả các vectơ riêng của λi cùng với vectơ không biểu thị E i , E i = {0} ∪ {v : v là vectơ riêng tương ứng với λi } là không gian con của R n , được gọi là không gian đặc trưng của λI.

Theo định nghĩa, không gian đặc trưng của Ei.là tập hợp nghiệm của hệ phương trình tuyến tính thuần nhất (A - λiI) v = 0

Điều cần nhấn mạnh từ định lý là chỉ có một không gian đặc trưng tương ứng với mỗi trị riêng λi

Thí dụ : Tìm không gian đặc trưng của ma trận :

Hoặc : ( λ + 1 )( λ − 5 ) = 0 .

Ma trận A có hai trị riêng λI = -1, λ2 = 5 Tìm vectơ riêng

2 1

1

1

1

~ 4

4

2 2

0

1

1 )

(

2

1 1

x

x v

a là số thực khác không

Vectơ riêng tương ứng với λ1 = -1 :

2 5

1

1

2

~ 2

4

2 4

0

1

2 )

(

2

1 2

y

y v

β là số thực khác không

Vectơ riêng tương ứng với λ = 5

Không gian đặc trưng tương ứng với λ1 = -1 là

i Đối với mỗi I, Ei là không gian vectơ

ii Nếu biểu thị ni là chiều của Ei thì 1 ≤ ni ≤ mi đối

với mỗi I, nghĩa là chiều của không gian đặc trưng

tương ứng của λ ≤ bậc bội

Thí dụ : Xác định tất cả các không gian đặc trưng và

chiều của chúng đối với ma trận

1

0 2

0

0 1

Vectơ riêng tương ứng với λI = 2, được xác định từ việc giải hệ phương trình thuần nhất : x1 – x 2 = 0 có hai biến tự do là x1 và x3 Do đó :

0 0

a v

Trong đó a, β ∈ R và không đồng thời bằng không.

Vậy, không gian đặc trưng tương ứng với λ1 = 2 là

E1 = {v1 ∈ R3 : v1 = a [1,1,0]T + β [0,0,1]T, a, β ∈ R}

Ta thấy các vectơ e1[1,1,0]T và e2[0,0,1]T độc lập tuyến tính nên tạo thành cơ sở của không gian đặc trưng E1 Từ đây kết luận rằng chiều của không gian đặc trưng E1 bằng 2 (bằng số bậc bội của λI ).

Dễ dàng tìm được vectơ riêng tương ứng với trị riêng λ2 = 3 : v2 = γ [1,0,-1]T, γ là số thực khác không

Do đó, không gian đặc trưng tương ứng với λ = 3 là :

E2 = {v2 ∈ R3 : v2 = γ [1,0,-1]T, γ ∈ R}

Vectơ e3 = [1,0,-1]T lập thành cơ sở của không gian đặc trưng E2, vì vậy chiều của không gian đặc trưng

E2 = 1

Định lý 5 : Các vectơ riêng tương ứng với các trị

riêng khác biệt thì độc lập tuyến tính

Ta biết rằng không gian vectơ Rn có chiều bằng

n Ma trận vuông cấp n A có số vectơ riêng độc lập

tuyến tính nhiều nhất bằng n Trong trường hợp này

ta nói ma trận A có tập hợp đầy đủ các vectơ riêng

Định nghĩa :

Ma trận vuông cấp n A có vectơ riêng độc lập tuyến tính được gọi là ma trận có tập hợp đầy đủ các vectơ riêng Trong trường hợp này A được gọi là ma trận không khuyết Nếu A không có tập hợp đầy đủ các vectơ riêng thì được gọi là ma trận khuyết

Định lý 6 : Nếu ma trận vuông cấp n A có n trị riêng

khác biệt thì nó có tập hợp đầy đủ các vectơ riêng.

Cần chú ý rằng, nếu A không có n trị riêng khác biệt thì nó vẫn có thể có tập hợp đầy đủ các vectơ riêng

Định lý 7 : Ma trận vuông cấp n A có tập hợp đầy đủ

các vectơ riêng nếu và chỉ nếu chiều của mỗi không gian đặc trưng bằng bậc bội của trị riêng tương ứng, nghĩa là nếu và chỉ nếu ni = mi đối với mọi i

3 Chéo hoá ma trận vuông cấp n (Đưa ma trận vuông về dạng ma trận chéo.

 Định nghĩa về ma trận đồng dạng :

Cho A và B là ma trận vuông cấp n A được gọi là đồng dạng với B nếu tồn tại ma trận không suy biến P sao cho

1

1

; 7

3

10

4

B A

Dễ dàng tìm được

3

2 7

3

10

4 2

0

1

1 5

1

8

2 2

Định lý 8 : Các ma trận đồng dạng có các trị riêng

giống nhau.

Chứng minh : Nếu A đồng dạng với B, thì B = P-1

AP

det (B - λI) = det (P-1AP - λI) = det (P-1AP - λP-1P)

= det [P-1 (AP - λIP) ]

= det P-1 det (A - λI) det P

= det (A - λI)

A và B có đa thức đặc trưng giống nhau nên chúng có các trị riêng giống nhau

Định lý 9 : Ma trận vuông cấp n A đồng dạng với ma

trận chéo nếu và chỉ nếu A có n vectơ riêng độc lập tuyến tính v 1 , v 2 , …, v n Trong trường hợp này nếu đặt

(4.19)

P = [v 1 , v 2 , …, v n ]

thì P-1 AP = diag (λ1 , λ2 , …, λn ) (4.20)trong đó λ1 , λ2 , …, λn là các trị riêng của ma trận A (không nhất thiết phải khác biệt) tương ứng với các vectơ riêng v 1 , v 2 , …, v n

Chứng minh : Giả sử D = diag (λ1, λ2, …, λn) trong đó

λi là các số thực A đồng dạng với D nếu và chỉ nếu tồn tại ma trận không suy biến P =[v1, v2, …, vn]

Định nghĩa :

Ma trận vuông cấp n A đồng dạng với ma trận chéo được gọi là ma trận có thể chéo hóa

Định lý 10 : Nếu ma trận vuông cấp n có n trị riêng

khác biệt thì có thể chéo hóa.

0

12

0

12

1

A

Chứng tỏ A có thể chéo hóa và tìm ma trận P sao cho P-1 AP = diag (λ1 , λ2 , λ3 ).

Đa thức đặc trưng của A : P (λ) = -λ (λ - 1) (λ - 3), vậy A có thể chéo hóa Để tìm P ta phải tìm các vectơ riêng của A bỏ qua quá trình tính toán, ta viết ba vectơ riêng độc lập tuyến tính tương ứng với

2

20

1

11

4]

,,

[v1 v2 v3P

Thỏa mãn P-1 AP = diag (0,1,3 ).

Nhận xét : Thứ tự của các trị riêng trên đường chéo

chính tương ứng với thứ tự của vectơ riêng trong P

 Các bứơc thực hiện việc chéo hóa ma trận vuông cấp n.

Cho A là ma trận vuông cấp n

Bước 1 : Tìm n vectơ riêng độc lập tuyến tính v1, v2,

…, vn của A tương ứng với các trị riêng λ1, λ2, …, λn Nếu không tồn tại n vectơ riêng độc lập tuyến tính thì ma trận A không thể chéo hóa được

Bước 2 : Nếu A có n vectơ riêng độc lập tuyến tính

thì lập ma trận vuông cấp n P có các cột là các vectơ riêng đó, nghĩa là :

P = [ v1, v2, …, vn ]

Bước 3 : Ma trận chéo D = P-1 AP có các trị riêng λ1,

λ2, …, λn trên đường chéo chính (các phần tử khác đều bằng không) Thứ tự của các vectơ riêng trong

ma trận P xác định thứ tự của các trị riêng trên đường chéo chính của D

Thí dụ :

.10

1 Cho Chứng tỏ A không thể chéo hóa

A là ma trận tam giác nên các trị riêng là các phần tử trên đường chéo chính, A chỉ có một trị riêng

λ = 1 (bội 2)

1

0

~00

00

0

1

0)

2

1

a

a x

x v

Vì A không có hai vectơ riêng độc lập tuyến tính nên

ta kết luận A không thể chéo hóa

3

13

1

11

2)(

2

(1

13

13

1

11

1

=+

00

0

01

0

10

1

~31

3

11

1

11

0 0

0

4

1 1

0

4

1 0

1

~ 1

1 3

1 5

1

1 1

1

00

0

11

0

10

1

~41

3

10

1

11

2

3

A λ

Các vectơ riêng độc lập tuyến tính, do dó ma trận

1

11

0

11

51

5

10

51

01

1

1

P

Từ đây suy ra rằng :

0

02

0

00

2

1AP P

4 Dạng toàn phương :

 Định nghĩa :

Ta gọi đa thức bậc 2 của các biến thực không chứa số hạng tự do và các số bậc nhất là dạng toàn phương của các biến thực đó Theo định nghĩa, dạng toàn phương hai biến thực :

2 2 22 2

1 12

2 1 11 2

2 2

) ,

, (

2 2 23 3

1 13 2

1 12

2 3 33

2 2 22

2 1 11 3

2 1

x x a

x x a

x x a

x a

x a

x a

x x

x

f

+ +

+

+ +

31

23 22

21

13 12

11

a a

a

a a

a

a a

a

Trong đó aik = aki được gọi là ma trận của dạng toàn phương f (x1, x2, x3).

Định lý 11 : Phương trình đặc trưng.

(4.24) 0

33 32

31

23 22

21

13 12

λ

a a

a

a a

a

a a

a

của ma trận đối xứng (4.23) có tất cả các trị riêng là các số thực

Giả sử ma trận (4.23) có tất cả ba trị riêng thực khác biệt λ1 , λ2 , λ3 Theo định lý 10, ma trận A có

thể chéo hóa Khi đó tồn tại ma trận khả nghịch P = {v1, v2, v3}, trong đó v1, v2, v3 là các vectơ riêng tương ứng với các trị riêng λ1 , λ2 , λ3 sao cho :

P-1 AP = diag (λ1 , λ2 , λ3)

có thể chọn các vectơ riêng v1, v2, v3 làm cơ sở mới

Cơ sở mới này được gọi là cơ sở chính Trong cơ sở chính phương trình f (x’1, x’2, x’3) có dạng :

2

' 3 3

2

' 2 2

2

' 1 1 3

2

1 , ' , ' ) '

Ta nói rằng, đã đưa dạng toàn phương f (x1, x2, x3) về dạng toàn phương chính tắc nhờ phép biến đổi P.

Thí dụ :

về dạng toàn phương chính tắc

2 2 2

1 Đưa dạng toàn phương

Ma trận của dạng toàn phương

5 27

A

Phương trình đặc trưng của A :

0 )

28 )(

2 (

56

30 3

λ

λ λ

λ

Có hai trị riêng khác biệt λ1 = 2, λ2 = 28

Xác định vectơ riêng

5

5 2

27 2

1

5

~ 1

5

5 25

0 0

1

5 0

5

5 28

27 2

5

1

~ 25

5

5 1

(a)

0 0

5

1 0

0

2

Trong (a) và (b) ta cho các thừa số nhân (khác

không) bên vế phải bằng 1

Ma trận P = [v1, v2] khả nghịch là ma trận chuyền từ

cơ sở đã cho về cơ sở chính

5

1 26

1 1