Cần nhấn mạnh : 2 ma trận chỉ có thể cộng với nhau khi chúng có cùng cấp và ma trận tổng có cấp bằng cấp của các ma trận đã cho.. Định nghĩa tích các ma trận : Tích AB của ma trận A v
Trang 1CHƯƠNG 1
1 Một số định nghĩa về ma trận :
Ma trận là một bảng chữ nhật các số gồm m
hàng và n cột được đóng khung trong hai dấu ngoặc vuông
Số m x n gọi là cấp của ma trận
Ma trận được biểu thị bằng chữ in hoa, thí dụ
A, B, C
MA TRẬN VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH
ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH
Trang 2
Mỗi số của ma trận gọi là phần tử của ma trận Mỗi phần tử aij của ma trận có hai chỉ số, chỉ số thứ nhất
i là chỉ số hàng, chỉ số thứ hai j là chỉ số cột
m m
in ij
i i
n j
n j
a a
a a
a a
a a
a a
a a
a a
a a
2 1
2 2
22 21
1 1
11 11
cột j
hàng I
(1.1)
Trang 3Người ta thường viết gọn ma trận A dưới dạng :
Trường hợp m = n, ta có ma trận vuông cấp n
n
in n
n
n n
a a
a
a a
a
a a
a
a a
2 ) 1 ( 1
) 1 (
2 22
21
1 12
11
Trang 4Trong ma trận vuông, các phần tử a11, a22, … ann
Ma trận hàng, ma trận cột
Ma trận hàng, ma trận cột thường được gọi là
vectơ hàng, vectơ cột
Ma trận không : ma trận mà tất cả các phần tử đều
là số không được gọi là ma trận không Ta dùng số 0 để biểu thị ma trận không cấp bất kỳ m x n
Ma trận hàng là ma trận chỉ có một hàng
Ma trận cột là ma trận chỉ có một cột
Trang 5 Đẳng thức ma trận : Hai ma trận bằng nhau nếu chúng cùng cấp và các phần tử tương ứng bằng nhau Ta viết :
A = B
Thí dụ : Cho 2 ma trận vuông cấp 2
(1.2)Và nói ma trận A bằng ma trận B
0
q
p A
A = B nếu p = 2, q = 4 và n = 1
Trang 6 Ma trận vuông có các phần tử trên đường chéo chính khác không và các phần tử khác đều bằng không gọi là ma trận chéo Ma trận chéo cấp n có dạng :
Nếu các phần tử
0
0
0
0
22
11 22
0
0
0
0
Trang 7 Nếu a = 1, ma trận vô hướng cấp n được gọi là
khi để biểu diễn các phần tử của ma trận đơn vị người ta dùng ký hiệu Kronecker :
Ma trận đơn vị cấp n có dạng :
khi
j i
0 0
0
1 0
0
0 1
Trang 8 Ma trận vuông có các phần tử ở trên (hoặc ở dưới) đường chéo chính bằng không được gọi là ma trận tam giác :
Trong đó bij = 0 khi i > j là ma trận tam giác trên
b
b b
b b
b B
0 0
0
2 22
1 12
c
c c
c C
0
0
0
1 1
22 21
11
Trang 9Trong đó cij = 0 khi i < j là ma trận tam giác dưới
Ma trận chuyển vị : Ma trận chuyển vị của ma
trận A, ký hiệu AT là ma trận mà trong đó vai trò của hàng và cột hoán vị nhau, nhưng vẫn giữ nguyên chỉ số của chúng
Rõ ràng, ma trận chéo là trường hợp riêng của ma trận tam giác trên và ma trận tam giác dưới
Ma trận đối xứng, phản xứng : Ma trận vuông
A = [aij] được gọi là ma trận đối xứng nếu aij =
aji, ma trận phản xứng nếu aij = -aji, i,j =1,n
Trang 10Giả sử cho ma trận A cấp m x n
Ta hoán vị hàng và cột, tức là các phần tử hàng 1 thành các phần tử cột 1, các phần tử hàng
2 thành các phần tử cột 2, …
Ta thu được ma trận chuyển vị của ma trận A :
m
n n
a a
a
a a
a
a a
a A
2 1
2 22
21
1 12
11
Trang 11AT là ma trận cấp m x n
Trường hợp đặc biệt, vectơ cột chuyển vị là vectơ hàng và ngược lại
a
a a
a
a a
a A
2 1
2 22
12
1 22
11 1
21 11
a
a
a a
a a a
a a a
Trang 12 Định lý 1 : (A T ) T = A.
trong đó A là ma trận cấp m x n
Định nghĩa : Tổng của 2 ma trận
2. Đại số ma trận :
Cộng các ma trận :
ij
A a i m j n B b ij ,i 1 , m, j 1 , n
cùng cấp m xn là ma trận
cấp m x n với các phần tử C c ij ,i 1, m, j 1, n
ij ij ij
và
Trang 13Tổng của hai ma trận được ký hiệu :
) (
) (
) (
) (
) (
) (
) (
) (
1 1
2 2
22 22
21 21
1 1
12 12
11 11
2 1
2 22
21
1 22
11
2 1
2 22
21
1 22
11
mn mn
m m
m m
n n
n n
mn m
m
n n
mn m
m
n n
b a
b a
b a
b a
b a
b a
b a
b a
b a
b b
b
b b
b
b b
b
a a
a
a a
a
a a
a
Trang 14Về thực chất, cộng các ma trận là cộng các số thực, vì vậy phép tính cộng các ma trận có các tính chất giống như phép tính cộng các số thực
Định lý 2 : Cho A, B, C là các ma trận cùng cấp
m x n Phép tính cộng các ma trận có tính chất :
Trang 15Cần nhấn mạnh : 2 ma trận chỉ có thể cộng với nhau khi chúng có cùng cấp và ma trận tổng có cấp bằng cấp của các ma trận đã cho.
Tương tự phép tính cộng các ma trận, ta có định
nghĩa phép tính trừ các ma trận :
Trong đó các ma trận A, B và ma trận C1 có cùng cấp m x n
m m
m m
n n
n n
b a
b a
b a
b a
b a
b a
b a
b a
b a
C B
1 1
2 2
22 22
21 21
1 1
12 12
11 11
1
Trang 16 Nhân ma trận với một số thực :
Một số thực còn được gọi là vô hướng, nên phép tính nhân ma trận với một số thực còn được gọi là nhân ma trận với vô hướng
Định nghĩa : Tích của ma trận A = [aij] với vô
m
n n
a a
a
a a
a
a a
a A
2 22
21
1 12
11
Trang 17Hoặc :
Ma trận – A = (-1)A được gọi là ma trận đối của ma trận A tổng của ma trận A với ma trận đối của nó –A bằng ma trận 0
A + (-A) = 0
a i 1 , m ; j 1 , n ( 1 6 )
ma trận không cấp m x n bất kỳ
(1.7)
sau là hiển nhiên :
Trang 18Các tính chất của phép tính nhân ma trận với vô hướng :
A – B = A + (-1) B = A + (-B)
Định lý 3 : Cho A, B là các ma trận cấp m x n,
h, k là các số thực Nhân ma trận với vô hướng có các tính chất :
(1.8)
Trang 20Trước tiên ta xét tích của vectơ hàng với vectơ cột Cho vectơ hàng
R = [r1r2 … rn] và vectơ cột :
cùng cấp n Khi đó tích RC sẽ cho ta
r r
2 ],
153
R
Trang 21 Định nghĩa tích các ma trận :
Tích AB của ma trận A với ma trận B được định nghĩa với giả thiết số cột của ma trận A bằng số hàng của ma trận B
Cho ma trận A = [aij] cấp m x r và ma trận B
= [bij] cấp r x n tích AB là ma trận C = [cij] cấp m x
n với các phần tử cij là tổng các tích các phần tử tương ứng hàng i của ma trận A và cột j của ma trận B (hình 1.1)
9 4
3 )
1 (
5 2
.
1 4
1
2 ] 153
Trang 22Cần nhấn mạnh rằng, tích 2 ma trận chỉ tồn tại nếu số cột của ma trận thứ nhất bằng số hàng của ma trận thứ hai (hình 1.2)
kj ik rj
ir j
i j
i
ij a b a b a b a b c
C
1
2 2 1
[
Hình 1.1
1.12 Hàng i
Cột j
Trang 23Thí duï :
baèng nhau
AB caáp m x n
22 21
14 13
12 11
32 31
22 21
12 11
,
1
b b
b b
b b
b
b B
a a
a a
a
a A
Cho
Tính tích AB
Trang 24Tích BA không tồn tại.
31 23
32 13
31 22
32 12
31 21
32 11
31
24 22 14
21 23
22 13
21 22
22 12
21 21
22 11
21
24 12 14
11 23
12 13
11 22
12 12
11 21
12 11
11
b a b
a b
a b
a b
a b
a b
a b
a
b a b
a b
a b
a b
a b
a b
a b
a
b a b
a b
a b
a b
a b
a b
a b
3
1 0
2
3 2
1 ,
0 1
3
1 2
1
5
9 7
8
Trang 253 2
1
,
,3
51
10
2
12
3
3
b b
b B
r r
r X
A Cho
3 2
1
3 1
3 2
1
5
0 2
2 3
b b
b
r r
x
r r
r r
r AX
Đẳng thức ma
trận trên tương
đương với một
2 1
2 3
1
1 3
2 1
5 2
2 3
b r
r x
b r
r
b r
r
r
Tính AX không tồn tại
Trang 26Từ định nghĩa tích các ma trận, qua các thí dụ trên ta thấy rằng, nếu tồn tại AB thì BA nói chung có thể không tồn tại Dễ dàng nhận thấy rằng các tích AB và BA đồng thời tồn tại chỉ trong trường hợp, khi A và B là những ma trận vuông cùng cấp Khi AB và BA cùng tồn tại thì AB có thể không trùng với BA Nói cách khác, tích các ma trận không có tính chất giao hoán :
0
0 ,
0 0
1
0
Tính AB, BA
Trang 270 ,
0 0
0
1
BA AB
34
23 ,
50 43
22
19
BA AB
6
5 ,
4 3
1
1
Trang 28nn n
n
n n
nn n
n
n n
a a
a
a a
a
a a
a
a
a a
a a
a
a a
a
a a
a
a a
a
a a
a
a a
a
a
a a
0
0
0
0
0
0
0
2 22
21
1 12
11
2 1
2 22
21
1 12
11
2 1
2 22
21
1 12
11
Trang 29I m, In tương ứng là các ma trận đơn vị cấp m, n
Trang 30 Tính chất của tích các ma trận :
Định lý 4 : Cho A, B, C là các ma trận có cấp sao
cho các tích và tổng sau có nghĩa Khi đó, tích các
ma trận có các tính chất :
1 A (BC) = (AB)C (luật kết hợp) (1.16)
3. A(AB) = ( A)B = A(B) (1.18)
2. C(A+B)=CA+CB (luật phân bố) (1.17)
2’ (A+B)C=AC+BC (luật phân bố) (1.18’)
trong đó là vô hướng
Trang 31Phần tử hàng i cột j của ma trận (AB) C bằng :
Vì các phần tử tương ứng của ma trận A(BC) và (AB)C bằng nhau nên các ma trận ấy bằng nhau
Chứng minh (1.17) : Theo định nghĩa, phần tử hàng i cột j của ma trận A(BC) bằng :
j aB
Trang 32Giả sử cho hai ma trận :
n
n n
nn n
n
n n
b b
b
b b
b
b b
b B
a a
a
a a
a
a a
2 1
2 22
21
1 12
11
2 1
2 22
21
1 12
11
Định lý 5 : Chuyển vị của tích hai ma trận thỏa đẳng thức :
Chứng minh : Phần tử hàng i cột j của ma trận
Trang 33tức là bằng :
aj1b1i + aj2b2i + … + ajnbni
Biểu thức trên bằng tổng các tích của các
Ẩn tự do Ẩn cơ sở n t do n c s ự do Ẩn cơ sở Ẩn tự do Ẩn cơ sở ơ sở ở.
Ẩn tự do Ẩn cơ sở ự do Ẩn cơ sở Ẩn tự do Ẩn cơ sở ơ sở ở.
Trang 34Hệ phương trình đại số tuyến tính (HPTĐSTT) gồm m phương trình, n ẩn số có dạng :
Hệ phương trình trên có thể viết dưới dạng ma trận :
n n
mn m
m
n n
n n
b x
a x
a x
a
b x
a x
a x
a
b x
a x
a x
1 1
2 2
2 22
1 21
1 1
2 12
1 11
(1.20)
Trang 35Trong đó :
A được gọi là ma trận hệ số, X : ma trận ẩn số, B : ma trận hằng số Ngoài ra ta thiết lập ma trận À gọi là ma trận hệ số nới rộng là ma trận hệ số và thêm cột hằng số
,
2 1
2 22
21
1 12
m
n n
a a
a
a a
a
a a
a A
,
Trang 36m m
n n
b a
a a
b a
a a
b a
a a
A
2 1
2 2
22 21
1 1
12 11
2
74
32
3 2
1
3 2
1
r r
x
r r
r
Viết hệ phương trình dưới dạng ma trận Viết ma trận hệ số nới rộng
Trang 37Dạng ma trận AX = B, trong đó :
,52
1
43
2
2
1
B x
x
x X
21
74
01
0
12
10
1
phương trình tương ứng
Trang 38Hệ phương trình tương ứng với ma trận hệ số nới rộng đã cho :
12
4 2
4 3
1
x x
x x
x
Nếu B = 0 thì hệ phương trình (1.20) được gọi là hệ phương trình thuần nhất, trong trường hợp ngược lại, ta có hệ phương trình không thuần nhất Nghiệm của hệ phương trình (1.20) là vectơ cột cấp
n X sao cho khi thế vào phương trình ma trận (1.21)
ta thu được đồng nhất thức Hệ phương trình được gọi là tương thích nếu nó có ít nhất một nghiệm, trường hợp ngược lại, ta gọi hệ không tương thích
Trang 39Trong trường hợp hệ tương thích, hệ phương trình có thể có một nghiêm duy nhất, có thể có vô số nghiệm Nếu hệ có vô số nghiệm, các ẩn số được chia làm hai loại : ẩn tự do và ẩn cơ sở, ẩn tự do là ẩn có thể có giá trị bất kỳ, ẩn cơ sở là ẩn phụ thuộc ẩn tự do Hai hệ phương trình được gọi là tương đương nếu các nghiệm của chúng trùng nhau.
Các phép toán sơ cấp đ/với hàng của ma trận.
1 Hoán vị hai hàng Ri Rj
2 Thay một hàng bằng chính hàng đó sau khi nhân với một số khác không Ri Rj, 0
Trang 40 Ma trận hệ số nới rộng dạng bậc thang chính tắc :
3 Thay một hàng bằng tổng của hàng đó với hàng khác sau khi nhân với một số bất kỳ Ri + Rk Ri
Sử dụng các phép toán sơ cấp đối với hàng,
ta có thể giản ước ma trận hệ số nới rộng của hệ phương trình đã cho và đưa về dạng bậc thang chính tắc Ma trận hệ số nới rộng có dạng bậc thang chính tắc nếu nó thỏa bốn điều kiện :
1 Nếu một hàng có một số khác không thì số khác không bên trái nhất bằng 1, được gọi là phần tử chính (phần tử then chốt)
Trang 412 Những hàng gồm toàn các phần tử không nằm dưới cùng.
3 Nếu hai hàng có phần tử chính thì phần tử chính của hàng trên ở bên trái của phần tử chính hàng dưới
4 Mỗi cột có phần tử chính thì các phần tử khác dều bằng không
Phương pháp Gauss – Jordan :
Giải một hệ phương trình đại số tuyến tính gồm m phương trình với n ẩn số có thể gặp một trong 3 trường hợp :
Trang 42i Nghiệm duy nhất.
Phương pháp Gauss – Jordan có thể áp dụng cho cả 3 trường hợp nêu trên Nội dung của phương pháp Gauss – Jordan gồm ba bước :
Bước 2 : Rút gọn ma trận hệ số nới rộng đưa về
dạng bậc thang chính tắc bằng cách sử dụng các phép toán sơ cấp về hàng
ii Vô số nghiệm
iii Vô nghiệm
Bước 1 : Thiết lập ma trận hệ số nới rộng.
Trang 43Bước 3 : Biện luận nghiệm của hệ phương trình từ
ma trận hệ số nới rộng thu được dưới dạng bậc thang chính tắc
Thí dụ : Giải hệ phương trình bằng phương pháp
3
45
2
32
3 2
1
3 2
1
3 2
1
x x
x
x x
x
x x
23
41
52
31
2
1
A
3 1
3
2 1
2
1 1
3
2
R R
R
R R
R
R R
Trang 44103
10
31
2
1
~
3 2
3
2 2
1 2
1
8
2
R R
R
R R
R R
00
103
10
237
0
1
~
3 3
2 2
1 1
28
1
R R
R R
R R
00
103
10
237
0
1
~
3 3
2 2
3
1 3
1
3
7
R R
R R
R
R R
Trang 4510
10
20
43
3
33
22
54
22
4 3
2 1
4 3
2 1
4 3
2 1
x x
x x
x x
x x
x x
x x
x1 = 2, x2 = -1, x3 = 3
2
Trang 463
31
32
2
54
21
1
A
3 1
3
2 1
2
1 1
3
2
R R
R
R R
R
R R
20
0
77
10
0
54
21
1
~
3 1
3
2 2
1 1
R
R R
R R
00
0
77
10
0
54
21
1
~
Trang 471 0
0
5 4
2 1
1
~
2 2
1 2
R R
R R
10
0
910
01
910
4 3
4 2
1
x x
x x
x
Đây là hệ phương trình tương đương với hệ phương trình đã cho Vậy hệ phương trình đã cho có vô số nghiệm Các ẩn x1, x3 là ẩn cơ sở, các ẩn
Trang 48x2, x4 là ẩn tự do.
Đặt x2 = c1, x4 = c2, là những giá trị bất kỳ,
ta thu được nghiệm tổng quát của hệ phương trình đã cho :
2 4
2 3
1 1
2 1
1
77
9
109
c x
c x
c x
c c
75
33
3
43
2
4 3
2 1
4 3
2 1
4 3
2 1
x x
x x
x x
x x
x x
x x
3
Trang 495
31
33
2
43
21
1
A
3 1
3
2 1
2
1 1
5
2
R R
R
R R
R
R R
142
0
57
10
0
43
21
1
~
3 2
3
2 2
1 1
R
R R
R R
00
0
57
71
0
43
21
1
~
Trang 50Hàng thứ ba của ma trận hệ số nới rộng tương ứng với phương trình :
0x1 + 0x2 + 0x3 + 0x4 = -5 0 = -5Điều vô lý này chứng tỏ hệ phương trình đã cho vô nghiệm
Nhận xét :
1 Thực chất của các phép toán sơ cấp đối với hàng của ma trận hệ số nới rộng là phép biến đổi hệ phương trình thành các hệ phương trình tương đương của phương pháp khử Gauss.như ta biết, các hệ phương trình tương đương có nghiệm giống nhau Các phép toán sơ cấp đối với hàng cho ta các ma
Trang 51trận tương đương Các ma trận tương đương có hạng bằng nhau (xem chương 3).
2 Hệ phương trình vô nghiệm trong trường hợp ma trận hệ số nới rộng có chứa một hàng :
0 0 … 0 0 / b, b 0Nói cách khác, hệ phương trình tương thích (có nghiệm) khi và chỉ khi ma trận hệ số nới rộng không chứa một hàng như trên
5 Ma trận nghịch đảo :
Trong mục này, ta chỉ xét ma trận vuông cấp n
Trang 52 Định nghĩa :
Ma trận vuông cấp n được gọi là khả nghịch (không suy biến) nếu tồn tại ma trận B cấp n sao cho
Nếu A không có ma trận nghịch đảo, ta gọi A là
ma trận suy biến
Trang 53Định lý 6 : Nếu A là ma trận khả nghịch thì ma trận nghịch đảo A-1 tồn tại duy nhất.
Chứng minh : Giả sử ma trận vuông A khả nghịch
cấp n có hai ma trận nghịch đảo B1, B2 Theo định nghĩa AB1 = B1A = In và AB2 = B2A = In Ta có :
Trang 55 Ma trận nghịch đảo của ma trận cấp 2 không suy biến.
b
a A
Cho Ta cầm tìm 4 vô hướng x, y, z, t
0
1
t z
y
x d
c
b a
0
1
dt cy
dz cx
bt ay
by ax
Phương trình ma trận trên tương ứng với hai hệ phương trình :
1
dt cy
bt
ay dz
cx
bz ax
Trang 56Giả sử /A/ = ad – bc 0 (/A/ được gọi là định thức của A) Hệ phương trình thứ nhất cho ta nghiệm duy nhất :
A
c z
b
d A
Trang 57i Hoán vị các phần tử trên đường chéo chính.
ii Đổi dấu các phần tử trên đường chéo phụ
iii Nhân ma trận với
Định lý 8 : Nếu /A/ 0 , ma trận nghịch đảo của ma
trận vuông cấp 2 có thể thu được từ A bằng cách :
5
33
2
5
31,
1
32
53
1
A A
1
Trang 5893
62
2/52
2/31
54
3
22
1,
1
24
35
A A
Trang 59Bước 1 : Thiết lập ma trận M cấp n x 2n :
Thuật toán Gauss – Jordan tìm ma trận nghịch đảo của ma trận vuông cấp n.
M = [ A / In ] (1.28)
Bước 2 : Sử dụng các phép toán sơ cấp đối với hàng
để rút gọn M thành ma trận bậc thang Nếu bên phần A của ma trận M có một hàng toàn số không, dừng lại Ma trận A suy biến
Bước 2 : M được rút gọn thành ma trận bậc thang
chính tắc dạng :
Trang 6031
2
20
1
I A M
08
14
01
03
12
00
12
0
1
M
3 1
3
2 1
2
1 1
4
2
R R
R
R R
R
R R
Trang 6110
01
21
10
00
12
0
1
~
3 2
1
1
R R
21
10
10
40
10
00
12
0
1
~
3 2
3
2 2
1 1
R R
R
R R
R R
61
00
10
40
10
00
12
0
1
~
3 3
2 2
1 1
) 1
R R
R R
