Bài toán về vị trí tương đối giữa mặt cầu với mặt phẳng và đường thẳng đã được đưa nhiều vào trong các đề thi tuyển sinh đại học, cao đẳng. Khi gặp phải dạng toán này học sinh thường gặp khó khăn trong việc liên hệ các giả thiết cùng tính chất trong từng trường hợp về vị trí tương đối giữa mặt cầu với mặt phẳng, đường thẳng với nhau để đưa ra lời giải. Hơn nữa, hệ thống bài tập về phần này trong sách giáo khoa không nhiều. Quá trình giảng dạy và nghiên cứu tôi đã hệ thống được một số bài toán theo từng dạng giả thiết và yêu cầu để học sinh được rèn luyện nhiều hơn và có hệ thống giúp các em có thể giải được một cách dễ dàng hơn khi gặp phải những bài cùng chủng loại. 2. Các chữ viết tắt Trong chuyên đề này, tôi sử dụng một số chữ viết tắt sau:VTCP: véc tơ chỉ phươngVTPT: véc tơ pháp tuyếnPTTS: phương trình tham sốPTCT: phương trình chính tắc3. Đối tượng nghiên cứuĐối tượng nghiên cứu của chuyên đề là việc đổi mới phương pháp dạy học phần các bài toán VỀ VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI GIỮA MẶT CẦU VỚI MẶT PHẲNG VÀ ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN được áp dụng trong giảng dạy đối với lớp 12A1 trường THPT xxx4. Phương pháp nghiên cứuĐề tài có sử dụng một số phương pháp nghiên cứu sau: Nghiên cứu lí thuyết, tài liệu, văn bản; Sử dụng phiếu điều tra; Sử dụng toán thống kê.5. Phạm vi nghiên cứu Nghiên cứu chỉ tiến hành trong giảng dạy môn Toán 12 đối với học sinh khối 12 trường THPT xxx trong thời gian 1 năm.
Trang 1PHẦN I ĐẶT VẤN ĐỀ
1 Lí do chon đề tài
Bài toán về vị trí tương đối giữa mặt cầu với mặt phẳng và đường thẳng
đã được đưa nhiều vào trong các đề thi tuyển sinh đại học, cao đẳng Khi gặp phải dạng toán này học sinh thường gặp khó khăn trong việc liên hệ các giả thiết cùng tính chất trong từng trường hợp về vị trí tương đối giữa mặt cầu với mặt phẳng, đường thẳng với nhau để đưa ra lời giải Hơn nữa, hệ thống bài tập về phần này trong sách giáo khoa không nhiều
Quá trình giảng dạy và nghiên cứu tôi đã hệ thống được một số bài toán theo từng dạng giả thiết và yêu cầu để học sinh được rèn luyện nhiều hơn và có
hệ thống giúp các em có thể giải được một cách dễ dàng hơn khi gặp phải những bài cùng chủng loại
2 Các chữ viết tắt
Trong chuyên đề này, tôi sử dụng một số chữ viết tắt sau:
- VTCP: véc tơ chỉ phương
- VTPT: véc tơ pháp tuyến
- PTTS: phương trình tham số
- PTCT: phương trình chính tắc
3 Đối tượng nghiên cứu
Đối tượng nghiên cứu của chuyên đề là việc đổi mới phương pháp dạy học phần các bài toán VỀ VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI GIỮA MẶT CẦU VỚI MẶT
PHẲNG VÀ ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN được áp dụng trong
giảng dạy đối với lớp 12A1 trường THPT xxx
4 Phương pháp nghiên cứu
Đề tài có sử dụng một số phương pháp nghiên cứu sau:
- Nghiên cứu lí thuyết, tài liệu, văn bản;
Trang 2- Sử dụng phiếu điều tra;
- Sử dụng toán thống kê
5 Phạm vi nghiên cứu
- Nghiên cứu chỉ tiến hành trong giảng dạy môn Toán 12 đối với học sinh khối 12 trường THPT xxx trong thời gian 1 năm
Trang 3PHẦN II NỘI DUNG
A KIẾN THỨC CƠ SỞ
1 Một số kiến thức cơ bản
- Mặt cầu tâm I(a; b; c) bán kính R có phương trình là
(x a ) 2 (y b ) 2 (z c ) 2 R2
- Mặt phẳng (P) có VTPT n ( ; ; )A B C và đi qua điểm A x y z( ; ; ) 0 0 0 Khi
đó (P) có phương trình là A x x( 0 ) B y y( 0 ) C z z( 0 ) 0
- Đường thẳng có VTCP u ( ; ; )a b c và đi qua điểm Khi đó có PTTS là
0 0 0
x at x
z ct z
2 Vị trí tương đối giữa mặt cầu và mặt phẳng.
Cho mặt cầu (S) tâm I, bán kính R và mặt phẳng (P) Kí hiệu d d I P( ,( )) Khi đó ta có
- Nếu d>R thì (S) và (P) không có điểm chung Ta nói mp(P) không cắt mặt cầu (S)
- Nếu d=R thì (S) và (P) có điểm chung duy nhất Ta nói mp(P) và mặt cầu (S) tiếp xúc với nhau Điểm chung gọi là tiếp điểm
- Nếu d<R thì (S) và (P) có vô số điểm chung Các điểm chung tạo thành một đường tròn Ta nói (P) cắt mc(S)
Tính chất:
- Nếu (P) tiếp xúc với mặt cầu (S) tại A thì IA ( )P
Trang 4- Nếu (P) cắt mặt cầu (S) thì giao tuyến là đường tròn có tâm là hình chiếu của I lên (P) và bán kính đường tròn giao tuyến r R2 d2
- Nếu (P) không cắt mặt cầu (S) thì với hai điểm M ( ),S N ( )P mà
MN có độ dài nhỏ nhất khi và chỉ khi N là hình chiếu của I lên (P)
và M là giao điểm của đoạn IN với (S)
3 Vị trí tương đối giữa mặt cầu và đường thẳng.
Cho mặt cầu (S) có tâm I, bán kính R và đường thẳng , kí hiệu ( ; )
d d I Khi đó
- Nếu d>R thì và (S) không có điểm chung Ta nói không cắt mặt cầu (S)
- Nếu d=R thì và (S) có một điểm chung duy nhất Ta nói đường thẳng tiếp xúc với mặt cầu
- Nếu d<R thì và (S) có hai điểm chung Ta nói cắt mặt cầu
Tính chất:
- Nếu tiếp xúc với mặt cầu (S) tại A thì IA
- Nếu cắt mặt cầu (S) tại hai điểm A và B thì AB 2 R2 d2
- Nếu không cắt mặt cầu (S) thì với hai điểm M ( ),S N ( ) mà
MN có độ dài nhỏ nhất khi và chỉ khi N là hình chiếu của I lên ()
và M là giao điểm của đoạn IN với (S)
B NỘI DUNG
1 Bài toán về đường thẳng và mặt phẳng tiếp xúc mặt cầu.
Ví dụ 1:
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho đường thẳng : 1 2
và mặt phẳng (P): 2x-y-2z+2=0 Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm nằm trên , tiếp xúc với (P) và có bán kính là 2
Trang 5Phân tích: Do mặt cầu đã có bán kính nên chỉ cần tìm tọa độ tâm.
Tâm I thuộc nên I phụ thuộc 1 biến tham số Dựa vào khoảng điều kiện tiếp xúc ta tìm được I
Giải:
PTTS của : 1
2 2
x t
y t
Gọi I là tâm mặt cầu, do I , gọi I(t; t+1; 2t+2)
Có mặt cầu tiếp xúc với (P) và có bán kính là 2
| 2 1 4 4 2 |
3 1
3
t t
Với t=1, I(1; 2; 4), phương trình mặt cầu (S) là: (x 1) 2 (y 2) 2 (z 4) 2 4 Với t=-3, I(-3; -2; -4), phương trình mặt cầu (S):
(x 3) 2 (y 2) 2 (z 4) 2 4
Ví dụ 2:
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho đường thẳng d: x=-2t; y=t;
z=-1-2t và mặt cầu (S): x2 y2 z2 2x 2y 0 Viết phương trình các đường tiếp tuyến của (S) biết tiếp tuyến song song với d và nằm trong mặt phẳng chứa d và đi qua tâm mặt cầu
Phân tích: - Tiếp tuyến song song với d nên tiếp tuyến đã có phương Vậy
để có phương trình của tiếp tuyến chỉ cần tìm thêm tiếp điểm
- Nếu gọi M là tiếp điểm thì điều kiện của M là
( ) ( , )
Giải:
Trang 6mc(S) có tâm I(1; 1; 0), bán kính R 2 Đường thẳng d có VTCP ( 2;1; 2)
Gọi H là hình chiếu của I lên d H(-2t; t; -1-2t)
Ta có HI (1 2 ;1 ;1 2 )t t t
Do H là hình chiếu của I lên d nên
-2(1+2t)+1-t-2(1+2t) = 0 <=> 1
3
t
2 1 1
3 3 3
, suy ra d là tiếp tuyến của (S)
Gọi d’ là đường thẳng qua I và H
Ta có d’ có VTCP ( ; ; )1 4 1
3 3 3
HI
(1; 4;1)
v
cũng là VTCP của d’
PTTS của d’ là x=t+1; y=4t+1; z=t
Gọi M là giao điểm của d’ và (S) M(t+1; 4t+1; t)
Do M thuộc (S) ta có 2 1 1
Gọi là tiếp tuyến cần tìm Ta có M là tiếp điểm của và (S) Do // d nên véctơ chỉ phương của d cũng là véctơ chỉ phương của
Với 1 ( ; ; )4 7 1
t M , phương trình tham số của
2 4; 7; 2 1
Với 1 ( ;2 1; 1)
t M H (loại)
Ví dụ 3: ( Đề thi thử đại học trường ĐẶNG THỨC HỨA/ Nghệ An)
Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho đường thẳng
:
và mặt phẳng (P): 2x y 2z 6 0 Viết phương trình
Trang 7mặt cầu (S) tiếp xúc với đường thẳng tại A(0; -1; 2) và tiếp xúc với mặt phẳng (P) tại điểm B(1; 0; -2)
Phân tích: Nếu gọi I là tâm mặt cầu thì ta có
IA u IB n, //
IA IB
với u là VTCP của và n là VTPT của (P)
Giải:
Đường thẳng có VTCP u (4;1; 1) Mp(P) có VTPT là n (2; 1; 2) Gọi
I là tâm mặt cầu (S)
Gọi d là đường thẳng qua B và vuông góc với (P) d có VTCP là ' (2; 1; 2)
PTTS của d là x 2t 1;yt z; 2t 2
(S) tiếp xúc với (P) tại B suy ra I thuộc d Gọi I t(2 1; ; 2t t 2)
Có AI t(2 1; t 1; 2t 4)
, BI t t(2 ; ; 2 ) t
(S) tiếp xúc với tại A và tiếp xúc với (P) tại B, nên
4(2 1) 1 2 4 0 (2 1) ( 1) (2 4) (2 ) (2 ) 1
1
1 4 4 4 1 4
t
t
Suy ra tâm I(-1; 1; 0), bán kính (S) là R=3 Phương trình (S) là
(x 1) 2 (y 1) 2 z2 9
2 Bài toán về đường thẳng và mặt phẳng cắt mặt cầu
Ví dụ 1: (Đề thi thử đại học năm 2010 trường THPT chuyên Lê Quí Đôn)
Trang 8Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho mặt cầu (S) có phương
trình x2 y2 z2 2x 4y 6z 11 0 và mặt phẳng (P):2x 2y z 1 0 Viết phương trình mặt phẳng (Q) song song với (P) và cắt mặt cầu theo giao tuyến là đường tròn có diện tích là 9
Phân tích: Mặt phẳng (Q) đã có VTPT nên để có phương trình (Q) cần tọa
độ một điểm hoặc hệ số D trong phương trình
Do đường tròn giao tuyến có diện tích nên ta tính được khoảng cách từ tâm mặt cầu đến (Q) Do vậy ta tìm được hệ số D trong phương trình của (Q)
Giải:
Đường tròn có diện tích là 9, suy ra bán kính đường tròn giao tuyến là r=3 Mặt cầu (S) có tâm là I(1; 2;3) , bán kính R=5
Gọi mp(Q) là mặt phẳng cần tìm Do (Q)//(P) nên mp(Q) có phương trình dạng
2x 2y z m 0 (m 1)
Gọi d d I Q( ,( ), ta có d R2 r2 4
Theo công thức tính khoảng cách ( ;( )) 2 4 3 5
3
4 4 1
Suy ra | 5 | 12 17
7
m m
m
(thỏa mãn) Phương trình mặt phẳng (Q) là
2x2y z 17 0; 2 x2y z 7 0
Ví dụ 2: (Đề thi thử đại học năm 2010_ trường THPT Thái Phiên/ Hải Phòng)
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho mặt cầu (S):
x y z x y z , mặt phẳng (P): x 2y 2z 1 0và điểm
Trang 9A(5; 0; 1) Viết phương trình mặt phẳng ( ) đi qua điểm A, vuông góc với mặt phẳng (P) và cắt mặt cầu (S) theo giao tuyến là đường tròn có chu vi là 8
Phân tích :
- Mặt phẳng ( ) để có phương trình thì cần có VTPT
- Giao tuyến có chu vi nên tính được khoảng cách từ tâm I của mặt cầu tới ( )
- Dựa điều kiện vuông góc với (P) và khoảng cách từ I đến ( ) ta tìm được VTPT của ( ) từ đó suy ra phương trình cần tìm
Giải
Mặt cầu (S) có tâm I(1; -1; 2) và bán kính R=5 mặt phẳng (P) có VTPT
1 (1; 2;2)
Gọi n ( ; ; ),A B C A2 B2 C2 0 là VTPT của mp
Ta có n n 1 A 2B 2C 0 A 2(B C )
(1)
Mp cắt (S) theo giao tuyến là đường tròn có chu vi 8 , suy ra đường tròn giao tuyến có bán kính r=4
Suy ra khoảng cách từ I đến là d R2 r2 3 (*)
mp qua A nên phương trình có dạng
A x( 5) By C z ( 1) 0
4
Thế A từ (1) vào (2) ta biến đổi thành phương trình
2B2 5BC 2C2 0 B 2C hoặc 1
2
Với B=2C, chọn C=1, ta có n (2;2;1), phương trình mp
Trang 102x+2y+z-11=0
Với C=2B, chọn B=1, ta có n ( 2;1;2), phương trình mp
2x-y-2z-8=0
Ví dụ 3 (Đề thi đại học khối A năm 2010)
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm A(0; 0; -2) và đường
Tính khoảng cách từ A đến đường thẳng Viết phương trình mặt cầu tâm A và cắt tại hai điểm B, C sao cho BC=8
Phân tích: Mặt cầu (S) cần có bán kính nữa thì viết được phương trình.
Biết độ dài BC ta tính được bán kính theo công thức
2
Giải:
Đường thẳng có VTCP là u (2;3;2) và qua điểm M(-2; 2; -3)
Ta có MA (2; 2;1)
, MA u, ( 7; 2;10)
Ta có khoảng cách từ A đến là d d A( ; ) MA u, 3
u
Mặt cầu (S) cắt tại hai điểm B, C và BC=8 Khi đó bán kính mặt cầu là (S)
2
2 16 9 5 2
BC
Phương trình mặt cầu (S) là x2 y2 (z 2) 2 25
3 Bài toán về đường thẳng và mặt phẳng không có điểm chung với mặt cầu.
Ví dụ 1: (Đề thi thử đại học năm học 2010 trường THPT chuyên Lê Quí
Trang 11Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho mặt phẳng (P): x-2y+2z-3=0 và mặt cầu (S): x2 y2 z2 2x 4y 2z 5 0 Tìm những điểm ( ), ( )
M S N P sao cho MN có độ dài nhỏ nhất
Phân tích: Để tìm M, N ta dựa vào tính chất của mặt phẳng không cắt mặt
cầu
Giải:
Ta có (S) có tâm I(-1; 2; 1) bán kính R=1 d I P( ,( )) 2 1 R, suy ra (P) và (S) không có điểm chung
Gọi là đường thẳng đi qua I và vuông góc với mp(P) có VTCP là (1; 2;2)
Ta có PTTS của là
1
2 2
2 1
x t
Gọi N0, M1, M2 lần lượt là giao của với mp(P), và mặt cầu (S) với M1 nằm giữa N0 và M2
Với M ( ),S N ( )P , ta có N0 là hình chiếu của N lên và gọi M’ là hình chiếu của M lên
Ta có M’ nằm trên đoạn M1 M2 Ta có N M0 ' là đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng NN0 và MM’ Suy ra MN M N' 0 M N1 0 Vậy điểm ( ), ( )
M S N P sao cho MN có độ dài nhỏ nhất khi và chỉ khi
0 ; 1
Gọi N0( t-1; -2t+2; 2t+1) 0
2 ( ) 1 2( 2 2) 2(2 1) 3 0
3
N P t t t t
vậy 0
1 2 7
; ;
3 3 3
Gọi M ( )S , gọi M(t-1; -2t+2; 2t+1)
Trang 12Do 2 2 2 1 1
Suy ra ( )S {M ;M } 1 2 với 1 2
2 4 5 4 8 1
3 3 3 3 3 3
cần tìm là
1 2 7
; ;
3 3 3
và
2 4 5
; ;
3 3 3
Ví dụ 2
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho đường thẳng d: x=-2t; y=t-3;
z=-1-2t và mặt cầu (S): x2 y2 z2 2x 2y 0 Tìm điểm M ( ),S N d sao cho độ dài đoạn thẳng MN là nhỏ nhất
Phân tích: Để tìm được M, N ta dựa vào tính chất của đường thẳng không
cắt mặt cầu
Giải:
Mặt cầu (S) có tâm I(1; 1; 0), bán kính R 2 Đường thẳng d có VTCP ( 2;1; 2)
Gọi H là hình chiếu của I lên d H(-2t; t-3; -1-2t)
Ta có HI (1 2 ;4t t;1 2 ) t
Do H là hình chiếu của I lên d nên
-2(1+2t)+4-t-2(1+2t) = 0 <=> t 0 H(0; 3; 1) IH 3 2 R, suy ra d và (S) không có điểm chung
Gọi d’ là đường thẳng qua I và H
Ta có d’ có VTCP HI (1;4;1)
(1; 4;1)
v
cũng là VTCP của d’
PTTS của d’ là x=t+1; y=4t+1; z=t
Gọi M là giao điểm của d’ và (S) M(t+1; 4t+1; t)
Trang 13Do M thuộc (S) ta có 2 1 1
Suy ra ( )S d' {M ;M } 1 2 với 1
4 7 1 ( ; ; )
3 3 3
3 3 3
Có HM1=4 2, HM2=2 2 suy ra M2 nằm giữa H và M1
của M lên d’ ta có M’ nằm trên đoạn M1M2
Ta có HM’ là đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng HN và MM’ Suy
ra MN M H' HM2 2 2 Suy ra N, M thỏa mãn để độ dài đoạn NM nhỏ nhất là N H M, M2
Vậy tọa độ hai điểm M, N cần tìm là: ( ;2 1; 1)
3 3 3
M ,N(0; 3; 1)
Bài tập tự luyện
Bài số 1.( Đề thi thử đại học năm học 2010 trường THPT Lương Thế Vinh_ Hà Nội)
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho đường thẳng 1: 1 1 1
Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm là điểm I(1; 0; 3) và cắt đường thẳng 1 tại hai điểm phân biệt A, B sao cho tam giác IAB là tam giác vuông cân
Bài số 2 (Đề thi thử đại học năm học 2010 trường THPT Đặng Thức Hứa_
Nghệ An)
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho đường thẳng : 1 2
và mặt phẳng (P): 2x-y-2z-6=0 Viết phương trình mặt cầu (S) tiếp xúc với đường thẳng tại A(0; -1; 2) và tiếp xúc với mặt phẳng (P) tại B(1; 0; -2)
Bài số 3 (Đề thi thử đại học năm 2010 trường THPT Thạch Thành I)
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho mặt phẳng (P): x+y+z-3=0 và điểm A(2; 2; 2) Lập phương trình mặt cầu (S) qua A và cắt mặt (P) theo giao tuyến là
Trang 14đường tròn sao cho tứ diện ABCD là tứ diện đều và tam giác BCD là tam giác đều nội tiếp đường tròn giao tuyến
Bài số 4 (Đề thi thử đại học năm học 2010 trường THPT chuyên Lê Quí Đôn_
Quảng Trị)
Trong khôn gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai mặt phẳng
(P1): x-2y+2z-3=0, (P2): 2x+y-2z-4=0 và đường thẳng : 2 4
Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I thuộc d và cùng tiếp xúc với hai mặt phẳng (P1) và (P2)
Bài số 5
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai đường thẳng 1: 2 1
và 2
2 2
z t
Viết phương trình mặt cầu (S) tiếp xúc với d1 tại A(2; 1; 0) và
tiếp xúc với d2tại B(2; 3; 1)
Bài số 6 (Đề thi đại học khối B năm 2005)
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hình lăng trụ ABC.A1B1C1 với A(0; -3; 0), B(4; 0; 0), C(0; -3; 0), B1(4; 0; 4) Viết phương trình mặt cầu tâm A và tiếp xúc với mặt phẳng (BCC1B1)
Bài số 7 (Đề thi đại học khối B năm 2007)
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho mặt phẳng (P): 2x-y+2z-14=0 và mặt cầu (S) : x2 y2 z2 2x 4y 2z 3 0 Tìm tọa độ điểm M thuộc mặt cầu (S) sao cho khoảng cách từ M đến mặt phẳng (P) là nhỏ nhất
Bài số 8 (Đề thi đại học khối A năm 2009)
Trang 15Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho mặt phẳng (P): 2x-2y-z-4=0 và mặt cầu (S): x2 y2 z2 2x 4y 6z 11 0 Chứng minh mặt phẳng (P) cắt mặt cầu (S) theo một đường tròn Xác định tâm và bán kính của đường tròn đó
PHẦN III KẾT LUẬN - KIẾN NGHỊ
1 KẾT LUẬN
Tài liệu phần nào đã hệ thống được phương pháp giải quyết một số bài toán về vị trí tương đối giữa mặt cầu với mặt phẳng và đường thẳng Sau khi biên soạn xong tôi đã thực nghiệm giảng dạy cho 1 lớp 12 với thời lượng là 4 tiết và có kiểm tra Kết quả tốt hơn nhiều so với lớp học sinh không được học
2 KIẾN NGHỊ
Do thời lượng phân bố cho dạng bài tập này không nhiều nên các giáo viên có thể đưa phần này vào tiết dạy tự chọn để cho học sinh có thể giải quyết tốt hơn vị trí tương đối giữa mặt cầu với mặt phẳng và đường thẳng
Tài liệu này là ý kiến cá nhân, chắc hẳn không tránh khỏi những thiếu sót, tác giả kính mong được sự góp ý của các đồng nghiệp để tài liệu có giá trị hơn