các hệ thức lượng trong tam giác

Các công thức khác chứng minh tương tự... Gọi O là trung điểm AB... Gọi O là trung điểm AB.

§ 4 : CÁC HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC

1 – ĐỊNH LÝ CÔSIN Trong ∆ABC Ta luôn có :

a 2 = b 2 + c 2 - 2 b.c cos A A

b

b 2 = a 2 + c 2 - 2 a.c cos B

Chứng minh : a 2 = b 2 + c 2 - 2 b.c cos A

BC = AC − AB ⇒ ( )2

AB

AC −

=

AB AC

AB

AC2 + 2 − 2

= = AC2 + AB2 − 2 AC AB cos A

⇒ a 2 = b 2 + c 2 - 2 b.c cos A (đpcm)

Đặc biệt : A = 90 0 ⇒ a 2 = b 2 + c 2 (định lý Pitago)

Dùng công thức để tính góc tam giác

Ví du : Cho ∆ABC có : BC = 8 ; AB = 3 ; AC = 7

Lấy D ∈ BC sao cho BD = 5 Tính độ dài AD ?

Giải :

A

|

8

5

D

?

Tính AD = ? ⇒ Xét ∆ ABD

Theo đl Côsin :

AD 2 = AB 2 + BD 2 - 2 AB.BD.cosB

Mà ∆ ABC có : cos B =

BC BA

BC

BA

2

2

2 +

8 3 2

8

32 + 2

=

2

1

=

⇒ AD 2 = AB 2 + BD 2 - 2 AB.BD.cosB

AD 2 = 3 2 + 5 2 – 2 3.5.

2

1

19

2 – ĐỊNH LÝ SIN Trong ∆ABC nội tiếp đường tròn

bán kính R Ta luôn có : A

b c

Chứng minh :

Nối BO kéo dài cắt đtròn tại A’

2

BC

sđ

=

⇒ sin A = sin A’ Mà ∆BCA’ vuông tại C nên :

R sinC

c sinB

b sinA

a

2

=

=

=

. O

R

A’

R sinA

a

2

=

' sin

'

A

BC

BA =

⇒ 2R = sina A'

A

a

sin

= Vậy có đpcm

Các công thức khác chứng minh tương tự

Ví du : Cho ∆ABC có : b + c = 2a

Chứng minh : 2.sin A = sin B + sin C Giải :

Có b + c = 2 a ⇒ 2R.sin B +2R sin C = 2.2R sin A

⇔ sin B +sin C = 2 sin A

• 3 – CÁC CÔNG THỨC VỀ DIỆN TÍCH

a) Định lý : Cho ∆ABC cạnh a ; b ; c ; R bán kính

đtròn ngoại tiếp ; r bán kính đtròn nội tiếp ; p là nửa chu vi tam giác có :

c b

2

1 b.h

2

1 a.h

2

1

c.b.sinB 2

1 b.c.sinA

2

1 a.b.sinC

2

1

4R

abc

( p a )( p b )( p c )

p

2

c b

a + +

=

p

.

= 1 uuur uuur2 2 uuur uuur 2

2

uuur uuur uuuur uuuur

1

S =

2

b) Ví du : Cho ∆ABC có : a = 13 ; b = 14 ; c = 15

Tính : S ; R ; r ? Giải :

Tính mà c 2 = a 2 + b 2 - 2.ab cos C

⇔

sin 2 C + cos 2 C = 1

C b

a

2

1

=

b a

c b

a C

2 cos

2 2

2 + −

=

14 13 2

15 14

132 + 2 − 2

2

91

35











−

=

91

84

=

Vậy S . a . b . sin C

2

1

=

91

84 14 13

2

1

Tính R Có

R

abc S

4

S

abc R

4

=

84 4

15 14 13

8

65

=

Tính r Có S = p.r a b c r

2

+

+

c b a

S r

+ +

= 2

15 14

13

84

2

+ +

• 4 – CÔNG THỨC ĐỘ DÀI ĐƯỜNG TRUNG TUYẾN

a) Định lý : Trong có : ∆ABC

A

M a

b

c

m a

b 2 + c 2 = 2.m a 2 +

2

a 2

⇒ m a 2 =

4

a 2

c

b 2 2 2

− +

m b 2 =

4

b 2

c

a 2 2 2

− +

m c 2 =

4

c 2

a

b 2 2 2

− +

Chứng minh :

b 2 + c 2 = AC2 + AB2 ( ) (2 )2

MB AM

MC

AM + + +

=

( MB MC )

AM MB

MC

(qt3đ)

.

=

4

2

2

2

AM +

=

(véctơ đối)

⇒ b 2 + c 2 = 2.m a 2 +

2

a 2

⇒ m a 2 =

4

a 2

c

b 2 2 2

− +

b) Ví du 1: Cho 2 điểm A và B cố định Tìm quỹ tích những

điểm M thoã điều kiện MA 2 + MB 2 = k 2 ( k là số cho trước)

Giải :

.

B

Gọi O là trung điểm AB

.

O

M thoã đk MA 2 + MB 2 = k 2

nên MO là trung tuyến ∆MAB

⇒ MA 2 + MB 2 = 2.MO 2 + 2

2

AB

⇒ .MO 2 =

k AB

− 1 ( 2 2 )

2

( 2k2 − AB2 ) > 0 ⇒ .MO = 1 ( 2 2)

2

⇒ Quỹ tích của M là đường tròn tâm O bán kính MO

( 2k2 − AB2) = 0 ⇒ .MO = 0 ⇒ M ≡ O⇒O Quỹ tích của M là điểm

( 2k2 − AB2) < 0 ⇒ Quỹ tích của M là không xác định

c) Ví du 2: Cho 2 điểm A và B cố định Tìm quỹ tích những

điểm M thoã điều kiện MA 2 - MB 2 = k ( k là số cho trước)

Giải :

M

.

Gọi O là trung điểm AB M điểm tuỳ ý ; H là hình

chiếu của M trên AB

H

Tính MA 2 - MB 2

=

( MA MB MA MBuuur uuur uuur uuur− )( + )

=

( )(BAuuur 2.MOuuuur)

Aùp dụng định lý hình chiếu ⇒ 2.AB OM = 2.AB OH

Vậy MA 2 - MB 2 = 2.AB OH = k ⇒

2

k OH

AB

=

Vậy điểm H được xác định ⇒ Quỹ tích điểm M là đường thẳng

vuông góc với AB tại H với

2

k OH

AB

=