pt -bpt bậc nhất

VẤN ĐỀ 3 HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT MỘT ẨN... Vấn đề 3 HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT MỘT ẨN A.. TÓM TẮT LÝ THUYẾT I.

VẤN ĐỀ 3

HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC

NHẤT MỘT ẨN

Vấn đề 3

HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH

BẬC NHẤT MỘT ẨN

A TÓM TẮT LÝ THUYẾT

I Cách giải :

Giải hệ bất phương trình một ẩn :

⎩

⎨

⎧

>

>

(2) 0 g(x)

(1) 0 )

(x

f

là tìm các giá trị của ẩn số x thoả mãn đồng thời (1) và (2) Muốn thế , ta :

• Giải (1) để tìm tập nghiệm S1

• Giải (2) để tìm tập nghiệm S2

• Tập nghiệm của hệ là S1∩S2

II Ghi nhớ :

¾ Hệ có nghiệm khi S1∩S2 khác tập rỗng

¾ Hệ vô nghiệm khi S1∩S2 là tập rỗng

¾ Hệ có nghiệm duy nhất khi có dạng

⎩

⎨

⎧

≤

≥

b x g

a x f

) (

) (

, với a = b

B Vài ví dụ

Ví dụ 1

Giải các hệ bất phương trình sau :

a)

⎩

⎨

⎧

+

<

−

+

>

−

x x

x x

3 7 5

19

12 4 15

9

⇔

⎩

⎨

⎧

<

+

−

>

−

0 12 8

0 27 5

x

x

⇔

⎪

⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

>

>

8 12 5 27

x

x

⇔ x >

5 27

Vậy tập nghiệm của bấp phương trình là x >

5 27

b)

⎩

⎨

⎧

−

<

−

−

>

+

2 2

) 3 2 ( )

1

(

4 3

1

2

x x

x x

⇔

⎩

⎨

⎧

<

− +

− +

−

−

>

+

−

0 ) 3 2 1 )(

3 2 1 (

0 5

x x

x x

x

⇔

⎩

⎨

⎧

<

−

−

<

0 ) 4 3 )(

2

(

5

x x

x

Bảng xét dấu (2 - x)(3x – 4) (1)

⇒ tập nghiệm của (1) là

⎢

⎢

⎣

⎡

>

<

2 3 4

x x

Vậy tập nghiệm của hệ là

⎢

⎢

⎣

⎡

>

<

2 3 4

x x

Ví dụ 2

Cho hệ

⎩

⎨

⎧

+

≥

≤

−

1

0 7

m mx

x

a) Định m để hệ có nghiệm :

Hệ ⇔

⎩

⎨

⎧

+

≥

≤

(1) 1

7

m

mx

x

• m = 0 : (1) ⇔ 0.x ≥ 1 ⇒ vô nghiệm , nên m = 0 loại

• m < 0 : hệ ⇔

⎪⎩

⎪

⎨

⎧

+

≤

≤

m

m x

x

1

7 ⇒ hệ luôn có nghịêm , nên m < 0 nhận

• m > 0 : hệ ⇔

⎪⎩

⎪

⎨

⎧

+

≤

≤

m

m x

x

1 7

Yêu cầu bài toán ⇔

m

m + 1 ≤ 7 (m > 0) ⇔ m ≥

6 1

Kết luận : Hệ có nghiệm duy nhất khi m < 0 hay m ≥

6 1

b) Định m để hệ có nghiệm duy nhất : Hệ ⇔

⎩

⎨

⎧

+

≥

≤

1

7

m mx x

Điều kiện cần để hệ có nghiệm duy nhất là m > 0

(1) ⇔ x ≥

m

m + 1

Yêu cầu đầu bài ⇔

m

m 1 + = 7 ⇔ m =

6

1 (m > 0)

Vậy với m =

6

1 thì hệ có nghiệm duy nhất

Ví dụ 3

Giải và biện luận hệ :

⎪⎩

⎪

⎨

⎧

− +

>

+ +

<

+

−

2 2

2

) 1 (

) 1 (

2 1 1 2

m x m

x

x x

x

Hệ ⇔

⎪⎩

⎪

⎨

⎧

> + + + + + +

−

− + +

<

− +

−

0 ) 1 1

)(

1 1

(

0 2 1

m x m x m x m

x

x

x x x

⇔

⎪⎩

⎪

⎨

⎧

<

+

<

−

0

0 1

m

x

x

x

⇔

⎪⎩

⎪

⎨

⎧

−

<

<

−

m x x

x

0

1 ⇔

⎩

⎨

⎧

−

>

<

<

m x

x 1 0

Biện luận :

♦ m = 0 : hệ ⇔

⎩

⎨

⎧

>

<

<

0

1 0

x

x

⇔ 0 < x < 1

♦ m = -1 : hệ ⇔

⎩

⎨

⎧

>

<

<

1

1 0

x

x

⇔ ⎢

⎣

⎡

>

<

<

1

1 0

x x

♦ m > 0 : hệ ⇔ 0 < x <1

♦ m < -1 : hệ vô nghiệm

♦ -1 < m < 0 : -m < x < 1

C BÀI TẬP CÓ HƯỚNG DẪN GIẢI :

1 Giải các hệ bất phương trình sau :

a)

⎩

⎨

⎧

+

<

+

<

−

2 2

) 2 (

5 4 2

5

x

x

x x

⇔

⎩

⎨

⎧

<

+

<

0 ) 2 2 ( 2

7

x

x

⇔

⎩

⎨

⎧

−

<

<

2

7

x

x

⇔ x < -2 Vậy tập nghiệm của hệ là x < -2

b)

⎪⎩

⎪

⎨

⎧

− +

−

<

+

+

−

+

−

≥ +

−

2

5 2 2

1 1

1

) 2 )(

2 ( ) 4 )(

1

2

(

2

x x

x x

x

x x x

x

⇔

⎪

⎩

⎪

⎨

⎧

<

+

−

+

−

− +

+

≥ +

−

− +

−

0 )

2 )(

1

(

5 2 1 2

0 4 4

8

x x

x x

x

x x

x

x

⇔

⎩

⎨

⎧

<

+

−

≥ +

0 ) 2 )(

1 (

0 ) 7 (

x x

x x

Bảng xét dấu x(x + 7) (1) và (x – 1)(x + 2) (2)

Vậy tập nghiệm của (1) là : ⎢

⎣

⎡

≥

−

≤ 0

7

x

x

, của (2) là –2 < x < 1

Vậy tập nghiệm của hệ là : ⎢

⎣

⎡

−

≤

<

<

− 7

1 2

x x

c)

⎪⎩

⎪

⎨

⎧

− +

−

≥

+ +

>

8 ) 2 3 (

) 3 (

2

3

2 2

4

x x

x

x x

x

⇔

⎪⎩

⎪

⎨

⎧

≥

−

−

− + +

−

>

+ + +

−

−

−

0 ) 2 )(

1 ( ) 4 2 )(

2

(

0 ) 3 )(

3 (

2

2 2 2

2

x x x

x

x

x x x x x

x

⇔

⎪⎩

⎪

⎨

⎧

≥ + +

−

>

+ + +

0 ) 5 )(

2

(

0 ) 2

3 2

1 )(

3

(

2

2

x x

x

x x

x

Ta thấy :

2

3 2

1

2 + x +

16

23 4

1 2 +

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛ + x > 0 ∀x ∈ R

x2 + x + 5 =

4

19 2

1 ⎟2 +

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛ + x > 0 ∀x ∈ R

Do đó hệ ⇔

⎩

⎨

⎧

≥

−

>

2

3

x

x

⇔ x ≥ 2 Vậy nghiệm của hệ là x ≥ 2

2 Định m để các hệ bất phương trình sau có nghiệm :

a)

⎩

⎨

⎧

<

+

+

+

−

>

−

0 2 3

5 4 2

3

m

x

x x

⇔

⎪⎩

⎪

⎨

⎧

−

−

<

>

3 2

1

m x x

Yêu cầu bài toán ⇔ 1

3 − 2 >

− m ⇔ m < -5

Vậy với m < 5 thì hệ có nghiệm

b)

⎩

⎨

⎧

+ +

−

>

+ +

+

<

−

7 3 ) 2 ( 1 )

1

(

2 1

2

m x m x

m

m

x x

⇔

⎩

⎨

⎧

+

>

+

−

+

<

6 3 ) 2 (

3

2

m x m m

m

x

⇔

⎪⎩

⎪

⎨

⎧

+

+

>

<

2

6 3 3

2

m

m x x

Yêu cầu bài toán ⇔ 3

2

6 3

2 <

+

+

m

⇔ 3m2 + 6 < 3m + 6 ⇔ m(m - 1) < 0ø ⇔ 0 < m < 1 Vậy với 0 < m < 1 thì hệ có nghiệm

3 Định m để bất phương trình sau vô nghiệm :

a)

⎪⎩

⎪

⎨

⎧

−

≥

>

−

mx

x

x

3

1

3

8

⇔

⎪⎩

⎪

⎨

⎧

≥ +

>

−

+

−

3 ) 1 (

0 3

3 8

m x x

x

⇔

⎪⎩

⎪

⎨

⎧

≥ +

>

− +

3 ) 1 (

0 3

5

m x x x

Ta có tập nghiệm của

x

x

−

+ 3

5 > 0 là –5 < x < 3

nên hệ ⇔

⎩

⎨

⎧

≥ +

<

<

−

3 ) 1

(

3 5

m x

x

Điều kiện cần để hệ vô nghiệm là 1 + m ≥ 0 ⇔ m ≥ -1

♦ m = -1 : hệ ⇔

⎩

⎨

⎧

≥

<

<

− 3 0

3 5

x

x

⇒ hệ vô nghiệm nên m = -1 nhận

♦ m > -1 : hệ ⇔

⎪⎩

⎪

⎨

⎧

+

≥

<

<

−

m x

x

1 3

3 5

Yêu cầu bài toán ⇔ 3

1

3 >

+ m ⇔ m < 0 mà m > -1 nên –1 < m < 0

nhận

Vậy với –1 ≤ m < 0 thì hệ vô nghiệm

b)

⎪⎩

⎪

⎨

⎧

−

<

−

+

<

−

) 3 ( ) 3

(

2

1 1

1

2 2

m x m

x

x

x

⎪

⎩

⎪

⎨

⎧

<

+

−

−

<

+

−

+

− +

0 3 3

0 ) 2 )(

1 (

1 2

2 2

3

x m x mx x

x x

x x

⇔

⎩

⎨

⎧

<

+

−

−

<

+

−

0 ) 3 3

(

0 ) 2 )(

1

(

2

x mx m

x

x

x

x

⇔

⎩

⎨

⎧

<

− +

<

+

−

(2) 0 ) )(

3 (

(1) 0 ) 2 )(

1 (

m x x x

x x

Vậy tập nghiệm là –2 < x < 1

Hệ ⇔

⎩

⎨

⎧

<

− +

<

<

−

0 ) )(

3 (

1 2

m x x

x

x

♦ m = 0 : (2) ⇔ x2(x + 3) < 0 ⇔ x < -3 ⇒ hệ có nghiệm nên m = 0 loại

♦ m = -3 : (2) ⇔ x(x + 3)2 < 0 ⇔ x < 0 (x ≠ -3) ⇒ hệ có nghiệm nên

m = -3 loại

♦ m < 0 : tập nghiệm của (2) là x < m hoặc –3 < x < 0 ⇒ hệ có nghiệm nên m < 0 loại

♦ -3 < m < 0 : tập nghiệm của (2) là x < -3 hoặc m < x < 0 ⇒ hệ có nghiệm nên –3 < m < 0 loại

♦ m > 0 : tập nghiệm của (2) là x < -3 hoặc 0 < x < m ⇒ hệ có nghiệm nên m > 0 loại

Vậy hệ có nghiệm ∀m ∈ R

4 Định m để hệ bất phương trình sau có nghiệm duy nhất :

a)

⎩

⎨

⎧

≥ +

−

≥ +

−

0 3 )

1

(

4

3 2 )

1

2

(

x

m

m x

m

⇔

⎩

⎨

⎧

−

≥

−

−

≥

−

3 ) 1 ( 4

2 3 ) 1 2 (

x m

m x

m

Điều kiện cần để hệ có nghiệm duy nhất là :

(2m – 1).4(m - 1) < 0 ⇔

2

1 < m < 1 (*)

Hệ ⇔

⎪

⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

−

−

≥

−

−

≤

1 4

3

1 2

2 3

m x

m

m x

Yêu cầu bài toán ⇔

) 1 ( 4

3 1

2

2 3

−

−

=

−

−

m m

m

⇔ -6m + 3 = 12m – 8m2 – 12 + 8m

⇔ 8m2 – 26m + 15 = 0 ⇔ m =

2

5 hay m =

4 3

Mà theo (*) thì chỉ nhận m =

4 3

Vậy với m =

4

3 thì hệ có nghiệm duy nhất

b)

⎪⎩

⎪

⎨

⎧

≥

−

+

≥

+

2 1

1 3

2

x

m

x x

x

⇔

⎪⎩

⎪

⎨

⎧

+

≥

≥

−

− +

m mx

x

x x x

2

0

2

⇔

⎪⎩

⎪

⎨

⎧

+

≥

≥

−

m mx

x x

2

0 3

Tập nghiệm của

x x

−

3 ≥ 0 là 0 < x ≤ 3

Hệ ⇔

⎩

⎨

⎧

+

≥

≤

<

m mx

x

2

3 0

Điều kiện cần để hệ có nghiệm duy nhất là m > 0

Hệ ⇔

⎪⎩

⎪

⎨

⎧

+

≥

≤

<

m

m x

x

2

3 0

Yêu cầu bài toán ⇔ 2 + = 3

m

m ⇔ m = 1 (thoả m > 0) Vậy với m = 1 thì hệ có nghiện duy nhất

Bài tập làm thêm

1 Giải và biện luận bất phương trình : x − 1(x – m + 2) > 0

(1) ⇔

⎩

⎨

⎧

>

+

−

>

−

0 2

0 1

m

x

x

⇔

⎩

⎨

⎧

−

>

>

2

1

m x x

Biện luận :

♦ m = 3 : hệ ⇔ x > 1

♦ m > 3 : hệ ⇔ x > m – 2

♦ m < 3 : hệ ⇔ x > 1

2 Giải và biện luận hệ bất phương trình :

⎪⎩

⎪

⎨

⎧

>

+

+

+

<

− +

4 2

1

4 2

1

m x

x

x x

x

Hệ ⇔

⎪

⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

−

>

<

+

−

+

− +

− + +

2 4

0 )

1 )(

2 (

8 4 2 1

2

m x

x x

x x x x x

⇔

⎪⎩

⎪

⎨

⎧

−

>

< +

−

2 2

0 ) 1 )(

2 (

m x

x x

Tập nghiệm của (x – 2)(x + 1) < 0 là –1 < x < 2

Hệ ⇔

⎪⎩

⎪

⎨

⎧

+

>

<

<

−

2 2

2 1

m x

x

So sánh –1 và 2 +

2

m

có :

♦ m = -6 ⇔ -1 = 2 +

2

m : tập nghiệm của hệ là –1 < x < 2

♦ m > -6 ⇔ -1 < 2 +

2

m

: tập nghiệm của hệ là 2 +

2

m

< x < 2

♦ m < -6 ⇔ -1 > 2 +

2

m :tập nghiệm của hệ là –1 < x < 2

3 Cho hệ bất phương trình :

⎩

⎨

⎧

−

−

≤ +

≥ +

−

) 1 )(

1 ( ) 1 (

0 2 ) 1 (

x m x

m

x m

a) Định m để hệ có nghiệm duy nhất :

Hệ ⇔

⎩

⎨

⎧

≤

− + +

− +

−

≥

0 1

2

m x mx m

mx

m

mx

⇔

⎩

⎨

⎧

−

≤

−

≥

m x

m mx

2 1 2 Điều kiện cần để hệ có nghiệm duy nhất là m > 0

Hệ ⇔

⎪⎩

⎪

⎨

⎧

−

≤

−

≥

m x

m

m

x

2 1

2

Yêu cầu bài toán ⇔ m

m

m

2 1 2

−

=

− ⇔ m – 2m2 – m + 2 = 0

⇔ m = ±1 mà m > 0 nên m = 1

Vậy với m = 1 thì hệ có nghiệm duy nhất

b) Định m để hệ thoả ∀x ∈ [0,1]

Hệ ⇔

⎩

⎨

⎧

≤

−

≥

(2) 2m

-1

x

(1) 2

m

mx

Xét (1) :

♦ m = 0 : (1) ⇔ 0.x ≥ -2 : x ∈ R nên thoả

♦ m > 0 : (1) ⇔ x ≥

m

m − 2

Yêu cầu bài toán ⇔

m

m − 2 ≤ 0 ⇔ m ≤ 2

♦ m < 0 : (1) ⇔ x ≤

m

m − 2

Yêu cầu bài toán ⇔

m

m − 2 ≥ 1 ⇔ m - 2 ≤ m ⇔ 0.x ≥ -2 ⇒ x ∈ R thoả Do đó với m ≤ 0 thì (1) thoả ∀x ∈ [0,1]

Xét (2) Yêu càu bài toán ⇔ 1 – 2m ≥ 1 ⇔ m ≤ 0

Vậy với m ≤ 0 thì hệ thoả ∀x ∈ R

4 Định m để : m.sinx + 3m – 2 > 0 ∀x ⇔ R (1)

⇔ m.sinx > 2 – 3m

Ta có : -1 ≤ sinx ≤ 1

♦ m > 0 ⇔ m.sinx ≥ -m

Nhận xét : nếu GTNN của m.sinx > 2 – 3m thì :

m.sinx > 2 – 3m ∀x ∈ R ⇔ -m > 2 – 3m ⇔ m > 1 (thoả m > 0)

♦ m < 0 ⇔ m.sinx ≥ m

Tương tự ta có : m > 2 – 3m ⇔ m >

2

1 mà m < 0 ⇒ loại Vậy với m > 1 thì bất phương trình thoả ∀x ∈ R

5 Định m để hệ vô nghiệm :

⎪

⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

− +

>

−

−

−

>

−

−

−

>

−

(3) ) 1 (

2 ) 2 (

(2) 2

1 2

1 2

(1) 3 4

2

m x m

m

x

x x

x

x x

(1) và (2) cho hệ

⎪⎩

⎪

⎨

⎧

>

−

+

−

−

>

0 2

1 1 2 1

x

x x

x

⇔

⎪⎩

⎪

⎨

⎧

>

−

>

0 2

1

x x

x

⇔

⎩

⎨

⎧

>

∨

<

>

2 0

1

x

x

x

⇔ x < 0 hay x > 2

(3) ⇔ m2 – 2m – 2m + 2 > 2x ⇔ x <

2

2 4

2 − m +

m

Yêu cầu bài toán ⇔

⎪

⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

≤ +

−

≥ +

−

2 2

2 4

0 2

2 4

2 2

m m

m m

⇔

⎪⎩

⎪

⎨

⎧

≤

−

−

≥ +

−

0 2 4

0 2 4

2 2

m m

m m

(bạn đọc tự giải sẽ được kết quả dễ dàng )

6 Cho hệ

⎩

⎨

⎧

+

>

−

− + +

<

−

) ( 2 ) 1 ( 3

) 1 ( 2 ) 1 ( ) 1 (

m x x

x x

m x m

a) Giải và biện luận hệ

Hệ ⇔

⎩

⎨

⎧

>

−

−

−

<

+

−

−

−

−

0 2 2 3

3

0 2 2

m x x

x m

mx x

mx

⇔

⎩

⎨

⎧ +

>

+

<

−

m x

m m

x

2 3

2 ) 2 1 (

♦ 1 – 2m = 0 ⇔ m =

2

1 : hệ ⇔

⎪⎩

⎪

⎨

⎧

>

<

4 2

5 0

x

x

⇔ x > 4

♦ m <

2

1 : hệ ⇔

⎪⎩

⎪

⎨

⎧ +

>

−

+

<

m x

m

m x

2 3

2 1 2

So sánh

m

m

2

1

2

−

+ và 3 + 2m có :

0 2

3

2

1

−

+

m m

4 2 6 3

2 + m − + m + m + m > 0

⇔ 4m2 + 9m –1 > 0 ⇔ m2 +

64

145 64

81 8

9

2 m + − > 0

⇔

64

145 8

9 2

>

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

8

9 64

145 8

9

m m

7 Định m để bất phương trình vô nghiệm : x − mx 1 ( + 2 ) < 0 Bpt ⇔

⎩

⎨

⎧

<

+

>

−

0 2

0 1

mx

x

⇔

⎩

⎨

⎧

−

<

>

2

1

mx x

Điều kiện cần để hệ vô nghiệm là : m ≥ 0

♦ m = 0 : hệ ⇔

⎩

⎨

⎧

−

<

>

2 0

1

x

x

⇒ hệ vô nghiệm nên m = 0 thoả

♦ m > 0 : hệ ⇔

⎪⎩

⎪

⎨

⎧

−

<

>

m x

x

2 1

Yêu cầu bài toán ⇔ − 2 < 1

m ⇔ m > -2 mà m > 0 ⇒ m > 0 Vậy với m ≥ 0 thì bất phương trình vô nghiệm

D BÀI TẬP TỰ GIẢI

Bài 1

Giải các hệ bất phương trình sau :

5x 2 3x 6

− > +

⎧

⎨ + > −

x 3 4 2x 5x 3 4x 1

x Z

+ ≤ +

⎧

⎪ − < −

⎨

⎪ ∈

⎩

c)

2x 3 1

x 1

(x 1)(x 2) 0

x 1

+

⎪⎪ −

d)

2 2

3 2

x 4 x x 3

x 1

⎧

⎪

⎪

⎪ − <

⎪⎩ −

Đáp số :

a) x ≤ -4 hoặc 1 < x ≤ 2

b) x ≤ -4 hoặc 1 < x ≤ 2

c) x < -3 ; - 2 < x < -1 ; 12

7 < x < 3 ; 4 < x < 5

Bài 2

Tìm m để hệ bất phương trình sau có nghiệm :

− > − +

⎧

⎨ + + <

⎩

2

x 2x 15 0 (m 1)x 3

⎧ + − <

⎨

⎩

1

− <

⎧

⎨ > −

⎩

x

1 0

+ < −

⎧

⎨ + + >

⎩

Bài 3

Định m để hai bất phương trình tương đương :

⎧

⎩

⎧

⎩

mx m

m x m

Bài 4

Giải và biện luận hệ bất phương trình :

(m 1)x m 2x 1 (1) 2mx m x (2)

⎧

⎩ Với giá trị nào của m hệ trên có nghiệm duy nhất

Đáp số : m = 1

9

− ; x = 2

7

−

Bài 5

Xác định giá trị của a để hai bất phương trình sau là tương đương

(a - 1)x – a + 3 > 0 (1) (a + 1)x – a + 2 > 0 (2)

Đáp số : a = 5