NỘI DUNGVấn đề 1 Giải hệ bất phương trình bậc hai hai ẩn nhờ phương pháp tham biến.. Phương pháp: Chuyển hệ bất phương trình về hệ phương trình nhờ biểu diễn qua tham số.. Yêu cầu bài
Trang 1II NỘI DUNG
Vấn đề 1 Giải hệ bất phương trình bậc hai hai ẩn nhờ phương pháp tham
biến.
Phương pháp: Chuyển hệ bất phương trình về hệ phương trình nhờ biểu diễn qua tham số
Bài 1 Giải hệ bất phương trình
2 2
x y 1
+ ≤
(Đề thi TTPHHSG Khối 10 Tỉnh ĐakLak – 1999)
Giải Để ý Do x y 1 + ≤ nên: x + y = 1 – m với m 0 ≥ (1)
Lúc này hệ là:
( )2
x y 1 m
x y 1 m
xy 1 m
−
+ = −
+ = −
= −
Điều kiện để hệ có nghiệm là: (1 – m)2 ≥ 4[(1 – m)2 – 1] ⇔ 3 1 m ( − )2≤ 4
⇔ − ≤ − ≤ 1 2 m 1 2
⇔ − ≤ ≤ + Với điều kiện (1) ta có 0 m 1 2
3
≤ ≤ + Lúc đó ta có x, y là hai nghiệm của phương trình t2 – (1 – m)t + (1 – m)2 – 1 = 0
Vậy nghiệm của hệ là:
( )
2
2
3
1 m 4 3 1 m x
2
1 m 4 3 1 m
≤ ≤ +
=
=
( )
2
2
3
y
2
≤ ≤ +
=
=
Bài 2 Ở bất phương trình thứ hai của hệ của hệ trong bài 1 ta thay dấu “=“ bởi dấu “≥” thì ta có hệ mới sau:
2 2
x y 1
+ ≤ + + ≥ Yêu cầu bài toán không thay đổi.
Giải Hệ 2 2
⇔
+ = −
Từ (1): y = 1 – m – x Thay và (2): x2 – (1 – m - x)2 + x(1 – m – x) ≥ 0
⇔ x2 – (1 – m)x + (1 – m)2 – 1 ≥ 0 (4)
Ta có ( 1 m )2−4 1 m( )2− =1 4 3 1 m ( )2
Trường hợp ∆ ≤ 0 ⇔ − 4 3 1 m ( − )2 ≤ 0
(1 m)2 ≥ 4 3
Trang 2Lúc đó bất phương trình (4) thỏa mãn với ∀ ∈ x0 ¡ Vậy nghiệm của hệ là 0
0
x x
y 1 m x
= ∈
= − −
¡
Trường hợp ∆ > 0 ⇔ −4 3 1 m( − )2 > 0 ⇔ −1 23 < m < +1 23
Với điều kiện (3) ta có 0 m 1 2
3
≤
⇔ < + Lúc đó bất phương trình (4)
( ) ( )
2
2
⇔
≤
≥
*) Với 1 m 4 3 1 m( )2
y 1 m x
2
= − − ≥
*) Với x 1 m 4 3 1 m( )2
2
2
= − − ≤ Vậy nghiệm của hệ là:
1 m 4 3 1 m 1 m 4 3 1 m
1 m 4 3 1 m 1 m 4 3 1 m
Hướng phát triễn bài toán
Nếu thay bất phương trình (2) bởi bất phương trình x2 + y2 + xy < 0 thì
trường hợp ∆ < 0 bất phương trình vô nghiệm Nên ta chỉ xét trường hợp
0
∆ ≥ , cách lấy nghiệm tương tự
Bài 3 Giải hệ bất phương trình
x 2xy y 0 (1) 2x 3xy y 1 (2)
≤
Giải
a) Nếu x = 0 thì hệ là:
2
2
−
≤
= hệ vô nghiệm.
b) Nếu x 0 ≠ đặt y = t x Điều kiện t 0 ≠
Vì t = 0 thì y = 0 lúc đó hệ là
2 2
1
≤
= hệ vô nghiệm Thay y = tx vào bất phương trình (1) ta có: x 2 – 2tx2 – t2x2 ≤ 0 ⇔ (1 – 2t – t2)x2 ≤ 0⇔
t2 + 2t – 1 ≥ 0 ⇔ ≤ − − t 1 2 t ∨ ≥ − + 1 2(*)
Thay y = tx vào phương trình (2) ta được: 2x2 – 3tx2 + t2x2 = 1 ⇔(2– 3t + t2)x2 = 1 (3) a) Nếu: 2– 3t + t2 ≤ 0 ⇔1 t 2 ≤ ≤ thì hệ vô nghiệmVì vế phải của (3) luôn dương
b) Nếu: 2– 3t + t2 > 0 ⇔ t < 1 hoặc t > 2
Thì từ điều kiện (*) ta có t ≤ − − 1 2 hoặc t > 2
Trang 3Suy ra x2 2 1 x 2 1
Vậy nghiệm của hệ là:
2
2
1 t
t > 2
x
t 3t 2 y
t 3t 2
=
=
− +
− +
≤ − −
hoặc
2
2
1 t
t > 2
x
y
= −
= −
− +
− +
≤ − −
Hướng phát triễn bài toán
Nếu ở bất phương trình (1) ta thay dấu “≤” bởi dấu “≥” thì cách lập luận không thay đổi, chỉ có sự thay đổi ở điều kiện (*)
Bài 4 Giải hệ bất phương trình
3x 2xy y 0
≤
Giải Rõ ràng về mặt hình thức đây là bài toán phức tạp hơn Ta thực hiện việc giải bài toán như giải hệ phương trình đẳng cấp
a) Nếu x = 0 thì hệ là:
2
2
−
≤
≥ Thì hệ có nghiệm
x 0 y
=
∈ ¡ b) Nếu x ≠0 đặt y = tx Điều kiện t ≠0
Vì t = 0 thì y = 0 ⇒ x = 0 (vô lí)
Do đó ta có thể viết lại hệ là:
x 3xy 2y m, m 0 (2)
=
≤
Thay y = tx vào phương trình (1) ta có: 3x2 - 2tx2 – t2x2 ≤ 0
⇔ t2 + 2t – 3 ≥ 0 t 1
≥
⇔ ≤ − (*) Từ bất phương trình (2) ta có x2 – 3tx2 + 2t2x2 = m (3)
a) Nếu 2t2 – 3t + 1 < 0 1 t 1
2
⇔ < <
Thì hệ vô nghiệm vì không thỏa mãn điều kiện (*)
b) Nếu 2t2 – 3t + 1 = 0
1
t 2
t 1
=
⇔
= Từ Điều kiện (*) ta có t = 1 Lúc đó m = 0 Phương trình (3) thỏa mãn
c) Nếu 2t2 – 3t + 1 > 0 t 1 t 1
2
⇔ < ∨ >
Từ phương trình (2) ta có x2 2 m x 2 m
2t 3t 1⇔ 2t 3t 1
Vậy nghiệm của hệ 2
2
1
m x
2t 3t 1 m
y t 2t 3t 1
< ∨ >
=
− +
=
− +
2
1
m x
2t 3t 1 m
2t 3t 1
< ∨ >
= −
− +
= −
− +
Trang 4Vấn đề 2 Tìm điều kiện cần và đủ để hệ phương trình, hệ bất phương
trình có nghiệm duy nhất.
Lưu ý khi giải:
- Chú ý đến tính đối xứng giữa hai ẩn x và y
- Nếu cặp (x0; y0) là một nghiệm thì cặp (- x0; - y0) cũng là nghiệm của hệ hoặc(y0; x0) cũng là nghiệm…
- Tìm điều kiện cần lưu ý x0 = y0 ( x0 = -x0 và y0 = - y0)… Từ điều kiện cần ta tìm được giá trị của tham số
- Thay trực tiếp giá trị tham số vào hệ để có điều kiện đủ
Bài 5 Xác định giá trị tham số m để hệ bất phương trình sau có nghiệm duy nhất
x 2xy 2y m (1)
(Đề thi TTPHHSG Khối 10 Tỉnh ĐakLak – 2000)
Giải Ta thấy nếu (x0; y0) là nghiệm của hệ thì (-x0; -y0) cũng là nghiệm
Điều kiện cần để hệ có nghiệm duy nhất là 0 0 0
Lúc đó hệ phương trình là: m 0 m 0 m 0⇒
a) Trường hợp m > 0 Ta có x 0
y 0=
=
là một nghiệm của hệVà
y 0
=
=
cũng là một nghiệm của hệ Suy ra hệ không thể có nghiệm duy nhất
Vậy m > 0 không thỏa mãn
b) Trường hợp m = 0
x y 0
x 0
y 0
y 0
+ =
=
=
=
Vậy m = 0 hệ bất phương trình có nghiệm duy nhất
Bài 6 Xác định giá trị tham số m để hệ bất phương trình sau có nghiệm duy nhất
x y m
+
≤
Giải Nhận thấy nếu (x0; y0) là một nghiệm của hệ thì (y0; x0) cũng là nghiệm của hệ
Điều kiện cần để hệ có nghiệm duy nhất là x0 = y0
Lúc đó hệ là: 0
4 0
2 2
m x
m 0 m
x
≤
≥
*) Trường hợp m > 0
0
0 0
2
m
≤
Vậy nghiệm của hệ là một khoảng Hệ không thể có nghiệm duy nhất
Trang 5*) Trường hợp m = 0 Lúc đó hệ phương trình là: x y 04 4 2 2 (1)
+
≤
Mà x4 + y4 ≥ 2x2y2 ⇒2x2y2 ≤ x2y2 ⇔x2y2 ≤ 0
x2y2≤ 0 x 0
y 0
⇔
=
= Với x = 0 từ bất phương trình (1)⇒y 0 ≤ Từ bất phương trình (2) y 0 x 0
y 0
=
Tương tự với y = 0 ta cũng có x 0 x 0
y 0
=
Vậy m = 0 thì hệ có nghiệm duy nhất
Vấn đề 3 Áp dụng điều kiện S 2 ≥ 4P tìm tham số để hệ phương trình đối
xứng loại I có nghiệm.
Lưu ý khi giải:
- Biến đổi hệ chỉ chưa tổng x + y và xy
- Gọi S = x + y và P = xy Tacó hệ theo S và P
- Khử một trong hai biến S hoặc P ta được phương trình bậc hai của cùng một ẩn
Bài 7 Xác định giá trị của tham số m để hệ phương trình
2 2
x y xy m
+ + = + =
(Trích Bộ đề tuyển sinh Đại học- Đề 1/II) Giải Ta có hệ phương trình là:
x y xy m
+ + =
Đặt P =S x y = + xy Lúc đó hệ là 2
S
S P m (1) 2P m (2)
+ =
− = Điều kiện S2 ≥ 4P (*)Từ (*) và (2) ta có S2 ≥ 4P⇔m + 2P ≥ 4P
⇔ 2P ≤ m kết hợp phương trình (1)
Ta có 2(m – S) ≤ m ⇔ S m
2
≥ (3)Mặt khác từ hệ phương trình ta có: S2 – 2(m – S) – m = 0
⇔ S2 + 2S – 3m = 0 Gọi f(S) = S2 + 2S – 3m
Ta cần tìm m để f(S) có nghiệm thỏa mãn điều kiện (3)
Giả sử f(S) có hai nghiệm S1; S2 và S1 ≤ S2
Ta có f(S) có hai nghiệm thỏa mãn S m
2
m S S 2
m
2
⇔
≤
< ≤
≤
Trang 6a) Trường hợp 1: 1 2
0
2 m
2 2
⇔ ÷
∆ ≥
− >
2
1 3
< −
< −
Vô
nghiệm
b) Trường hợp 2: S1 m S2
2
≤ ≤ ⇔ 1.fm 2 ÷ 0
4
⇔ + − > ⇔ ≤ ≤ Vậy 0 m 8 ≤ ≤ thì hệ phương trình có nghiệm
Bài 8 Xác định m để hệ phương trình x y xy 12 2
x y y x m
+ + = + = có nghiệm Giải
Ta có hệ phương trình ( )
x y xy 1
xy x y m
+ + =
S x y
P xy
= +
= Điều kiện S2 ≥ 4P (*) Lúc đó hệ phương trình là: S P 1 (1)
SP m (2)
+ =
= Từ (1) ta có SP = S(1 – S) ⇒S(1 – S) = m ⇔S2 = S – m (3)
từ (*) và (3): S – m ≥4P = 4(1 – S) ⇔5S ≥ m + 4 ⇔S ≥ m 4
5 + (4)
Ta cần tìm m để f(S) = S2 – S + m có nghiệm thỏa mãn (4)
Giả sử S1, S2 là hai nghiệm của f(S), S1 ≤ S2
a) Trường hợp 1 m 4
5 + < S1 ≤ S2
0
m 4
1 m 4
∆ ≥
+ >
+
>
2
1 4m 0
2 m 4 5
+ − > ≤ − − + <
b) Trường hợp 2 S1 ≤ m 4
5 + ≤ S2 ⇔ 1.f m 4 0
5
+ ≤
2
m 28m 4 0⇔ 14 10 2 m≤ 14 10 2
Vậy m ≤ − + 14 10 2 thì hệ phương trình có nghiệm