Chuyên đề Tích phân ôn thi THPT

Tuy nhiên, để có thêm một tài liệu tham khảocho học sinh, tôi muốn tổng hợp lại một số dạng tích phân và ph-ơng phápcơ bản tính tích phân trong đề tài: Ph-ơng pháp tính một số dạng tích

Lời cảm ơnTrong quá trình thực hiện đề tài, tôi đã nhận đ-ợc sự giúp đỡ, tạo điều kiện tốtnhất từ Ban Giám hiệu, các tổ chuyên môn, các tổ chức đoàn thể trong nhà tr-ờng,

đặc biệt là các thầy cô trong tổ Toán - Lý - Tin đã đóng góp những ý kiến quý báu

để đề tài hoàn thiện hơn

Nhân dịp này, tôi xin đ-ợc bày tỏ lòng biết ơn tới Ban Giám hiệu, các tổ chuyênmôn, các tổ chức đoàn thể trong nhà tr-ờng THPT Nguyễn Thị Giang, đặc biệt làcác thầy cô trong tổ Toán - Lý - Tin nói chung, các thầy cô trong nhóm Toán nóiriêng, đã giúp đỡ tôi trong quá trình nghiên cứu

Đề tài này chắc chắn không tránh khỏi những khiếm khuyết, tôi rất mong nhận

đ-ợc sự đóng góp của các thầy cô và các độc giả để đề tài đ-ợc hoàn thiện hơn

Vĩnh T-ờng, ngày 15/04/2014

Ng-ời thực hiện đề tài:

Hạ Trọng Liên

Mục lục

Mở đầu 5

1 Kiến thức liên quan 8 1.1 Nguyên hàm và tích phân bất định 8

1.1.1 Định nghĩa 8

1.1.2 Các công thức tính họ nguyên hàm (tích phân bất định) 10 1.1.3 Một số ph-ơng pháp tìm họ nguyên hàm 11

1.2 Tích phân xác định 21

1.2.1 Định nghĩa 21

1.2.2 Tính chất 22

1.2.3 Ph-ơng pháp tính tích phân xác định I = b R a f (x)dx 22

2 Ph-ơng pháp giải một số dạng tích phân xác định 25 2.1 Tích phân của các hàm hữu tỉ và các hàm có thể hữu tỉ hóa 25

2.1.1 Ph-ơng pháp tam thức bậc hai 26

2.1.2 Ph-ơng pháp phân tích 26

2.1.3 Ph-ơng pháp đổi biến số 28

2.1.4 Ph-ơng pháp tích phân từng phần 30

2.1.5 Sử dụng các ph-ơng pháp khác 31

2.2 Tích phân của các hàm vô tỉ 33

2.2.1 Sử dụng nguyên hàm cơ bản 33

2.2.2 Ph-ơng pháp đổi biến 34

2.2.3 Ph-ơng pháp tích phân từng phần 38

2.2.4 Sử dụng các ph-ơng pháp khác 39

2.3 Tích phân của các hàm l-ợng giác 42

2.3.1 Biến đổi, sử dụng các nguyên hàm cơ bản 43

2.3.2 Ph-ơng pháp đổi biến 46

2.3.3 Ph-ơng pháp từng phần 48

2.3.4 Sử dụng nguyên hàm phụ 49

2.4 Tích phân của các hàm siêu việt 51

2.4.1 Biến đổi, sử dụng các nguyên hàm cơ bản 51

2.4.2 Ph-ơng pháp đổi biến 52

2.4.3 Ph-ơng pháp tích phân từng phần 53

2.4.4 Kết hợp nhiều ph-ơng pháp 55

2.5 Tích phân của các hàm chứa giá trị tuyệt đối 57

2.6 Công thức tích phân truy hồi 60

2.6.1 Ph-ơng pháp phân tích 60

2.6.2 Ph-ơng pháp đổi biến 61

2.6.3 Ph-ơng pháp từng phần 63

Phép tính tích phân là một trong những nội dung chủ yếu của ch-ơng trìnhtoán THPT Vì vậy, việc học tốt nội dung này là rất cần thiết đối với các emhọc sinh Phép tính tích phân là một trong những phép tính cơ bản của giảitích Không những thế, phép tính tích phân còn giúp chúng ta giải lớp các bàitoán về tính diện tích và thể tích của các vật thể, lớp các bài toán về giới hạn

và rất nhiều các bài toán khác Từ đó, ta thấy đ-ợc tầm quan trọng của bàitoàn tích phân Tuy nhiên, để sử dụng ứng dụng của tích phân một cách triệt để

thì việc thành thạo các dạng tích phân, ph-ơng pháp giải của chúng là điều vôcùng quan trọng Cho đến nay, ph-ơng pháp giải các dạng tích phân đã đ-ợcnghiên cứu đầy đủ và sâu sắc Tuy nhiên, để có thêm một tài liệu tham khảocho học sinh, tôi muốn tổng hợp lại một số dạng tích phân và ph-ơng phápcơ bản tính tích phân trong đề tài: Ph-ơng pháp tính một số dạng tích phân trong ch-ơng trình THPT.

II Mục đích và nhiệm vụ

1. Mục đích

Với những lí do ở trên, tôi đặt ra mục đích đi nghiên cứu và trình bày cơ sở

lí thuyết của các ph-ơng pháp tính một số dạng tích phân có ví dụ minh hoạ,cuối cùng là đ-a ra một số bài tập đề nghị

2. Nhiệm vụ

Nhiệm vụ cơ bản khi thực hiện đề tài là:

- S-u tầm và nghiên cứu các tài liệu tham khảo có liên quan đến các vần đềcủa đề tài

- Xây dựng đề c-ơng tổng quát và đề c-ơng chi tiết

- Thực hiện các nội dung nghiên cứu của đề tài: tập hợp và trình bày chính xáccác kiến thức liên quan đến tích phân và ph-ơng pháp giải

- Thông qua nội dung nghiên cứu đề xuất h-ớng pháp triển tiếp theo của đề tài

III Ph-ơng pháp nghiên cứu

- Ph-ơng pháp nghiên cứu lí thuyết: Tập hợp, s-u tầm nghiên cứu tài liệu, nhấtquán hoá và trình bày hoàn chỉnh những nội dung kiến thức liên quan đến đềtài

- Ph-ơng pháp thảo luận nhóm, tham khảo ý kiến chuyên gia

IV Cấu trúc của đề tài

Nội dung của đề tài đ-ợc trình bày thành hai ch-ơng Ch-ơng một là một

số kiến thức liên quan: tôi trình bày một số kiến thức liên quan nh- nguyên

hàm, các công thức nguyên hàm, một số ph-ơng pháp tính nguyên hàm, địnhnghĩa tích phân xác định, tính chất và ph-ơng pháp tính của nó Ch-ơng hai tôitrình bày nội dung chính của đề tài là ph-ơng pháp giải một số dạng tích phânxác định nh-: Tích phân các hàm hữu tỉ, Tích phân các hàm vô tỉ, Tích phâncác hàm l-ợng giác, Tích phân các hàm siêu việt, Tích phân các hàm chứa trịtuyệt đối

Ch-ơng 1

Kiến thức liên quan

1.1 Nguyên hàm và tích phân bất định

1.1.1.1 Nhắc lại khái niệm vi phân

Cho hàm số y = f (x) xác định trên khoảng (a; b) và có đạo hàm tại x ∈ (a; b) Cho x số gia ∆x sao cho: x + ∆x ∈ (a; b) Khi đó ta gọi tích f0(x)∆x hoặc y0∆x là vi phân của hàm số y = f (x) tại x ứng với số gia ∆x và kí hiệu

a) Định nghĩa Hàm số F (x) đ-ợc gọi là một nguyên hàm của hàm số f (x)

trong khoảng (a; b) nếu F0(x) = f (x), ∀x ∈ (a, b)

b) Định lý (Ta thừa nhận định lý này)

Nếu F (x) là một nguyên hàm của hàm số f (x) trên khoảng (a; b) thì:

i) Với mọi hằng số C, F (x) + C cũng là nguyên hàm của f (x) trên khoảng đó.

ii) Ng-ợc lại, nếu G(x) là một nguyên hàm bất kì của f (x) trên khoảng (a.b) thì có thể viết G(x) = F (x) + C (C = const) Khi đó: {F (x) + C, C ∈ R}

đ-ợc gọi là họ nguyên hàm của f (x) trên khoảng (a; b).

c) Tính chất

Tính chất 1 Nếu F (x) là một nguyên hàm của hàm số f (x), H(x) là nguyên

hàm của hàm số h(x) thì:

i) F (x) + H(x) là một nguyên hàm của hàm số f (x) + h(x)

ii) F (x) − H(x) là một nguyên hàm của hàm số f (x) − h(x)

Tính chất 2 Nếu F (x) là nguyên hàm của hàm số h(x), k là một số thực thì

kF (x) là nguyên hàm của hàm số kf (x)

Tổng quát: ∀k1, k2, , kn là các số thực và F1(x), F2(x), , Fn(x) lần l-ợt là nguyên hàm của các hàm số f1(x), f2(x), , fn(x) thì k1F1(x)±k2F2(x)±ã ã ã±

knFn(x) là một nguyên hàm của hàm số k1f1(x) ± k2f2(x) ± ã ã ã ± knfn(x).

1.1.1.3 Định nghĩa tích phân bất định

a) Định nghĩa Họ các nguyên hàm của hàm số f (x) trong khoảng (a; b) gọi

là tích phân bất định của hàm f (x) Kí hiệu: R

f (x) Hàm số d-ới dấu tích phân bất định.

f (x)dx biểu thức vi phân d-ới dấu tích phân bất định.

Chú ý. Họ nguyên hàm của hàm số f (x) trong khoảng (a; b) là tích phân bất

định của f (x) trong khoảng đó.

Ph-ơng pháp 1. Biến đổi, áp dụng các công thức họ nguyên hàm

Ph-ơng pháp này ta dùng với những bài tập cơ bản, ta dùng các phép biến

đổi thông th-ờng để đ-a về các nguyên hàm cơ bản

Ví dụ 1 Tính họ các nguyên hàm sau:

sin3x cos xdx = R

sin3xd(sin x) = sin

4x

4 + Cc) Ta cã: R e2x

e2x + 3dx =

12

(i = 1, n)

B-ớc 2: áp dụng tính chất 7 của tích phân bất định Ta có:

x + 1

+

1

x + 1 + C

Chú ý. Ph-ơng pháp dùng tích phân bất định trên là một trong những ph-ơngpháp cơ bản để tính tích phân hàm hữu tỉ

x x22 − 3x + 1 + 5x + 1

5 −1

5 ln |4 cos x + 3 sin x| + C

Ph-ơng pháp 3. Xác định họ nguyên hàm bằng ph-ơng pháp đổi biến

Kiến thức cơ bản: Ph-ơng pháp đổi biến số đ-ợc sử dụng phổ biến trong việctính các tích phân bất định cũng nh- tích phân xác định (ta xét ở ch-ơng sau).Ph-ơng pháp đổi biến để tính nguyên hàm có hai dạng dựa trên định lí sau:

2) Nếu hàm số f (x) liên tục thì khi đặt x = ϕ(t) trong đó ϕ(t) cùng với

đạo hàm ϕ0(t) là những hàm số liên tục thì R

x = |a| sin t với − π2 ≤ t ≤ π2

x = |a| cos t với 0 ≤ t ≤ π

x = |a| tan t với − π2 < t < π2

x = |a| cot t với 0 < t < π

VÝ dô 1 TÝnh hä nguyªn hµm sau: I = R dx

t − 1

t + 1

x − 5

x + 1

2 0

1 0

= 1 + 1

2 ln

43

Cũng nh- hai ph-ơng pháp trên, ph-ơng pháp đổi biến số đã đ-ợc xét ởch-ơng 1 phần 1.1.3 Tuy nhiên ở phần này chúng ta cần chú ý khi đổi biếnphải đổi cận lấy tích phân

Ta thực hiện phép đổi biến sau

Đặt t = xk ⇒ dt = dxk = kxk−1dx

Đổi cận x = x0 ⇒ t = t0 = xk0, x = x1 ⇒ t = t1 = xk1

R

√ 6+√10 2

2 ⇒ t =√6; x = 1 ⇒ t = 0 VËy I =

2 tan2u + 2 du =

1

√2

0

R

π 3

du = √1

2u

0

π 3

= − π3

√2

3(1 + tan2t) dt =

1

√3

π 3

R

π 4

dt = π

12

√3

d) Ta có I =

√ 3

√ 3

2 1

= 265

Cơ sở lí thuyết của ph-ơng pháp này đã đ-ợc trình bày ở ch-ơng 1 phần1.1.3 Tuy nhiên, ph-ơng pháp này ít đ-ợc sử dụng đối với hàm hữu tỉ, nh-ngchúng ta cũng cần xét một số bài cụ thể: