Chuyên đề tích phân ôn thi đại học (Gia sư Thành Được)

Sau đó dùng đồng nhất thức... Chúng ta cần phải nhớ những đẳng thức nầy và xem nó như 1 bổ đề áp dụng... 2 Từ bài toán trên , bạn đọc có thể mở rộng bài toán sau.. Cho hàm số f x liên

CHUYÊN ĐỀ TÍCH PHÂN

Bảng công thức tích phân bất định :

1 1

x x

dx a

1 1

2 2

 x2 a dx x x2 aalnx x2a C

2 2

Phương pháp biến số phụ :

Cho hàm số f (x) liên tục trên đoạn  a; b có nguyên hàm là F (x)

Giả sử u (x) là hàm số có đạo hàm và liên tục trên đoạn   ,  và có miền giá trị là  a; b

1

x x

e

dx e

x

dx x I

1 3

ln 1

Bài làm :

a) Đặt

2 2

1

xdx xdx

dt x

1 0

t x

t x

2

1 ln 2

1 2

1 1

2 1 2

1

2 1 2

xdx I

b) Đặt te x 1  dte x dx

Gia sư Thành Được www.daythem.com.vn

1 1

2

e t x

e t x

1

1

1 1

1 1

0

2

2 2

dx e I

e

e e

e x

x

x tdt x

t e x

t x

Tích phân lượng giác :

Dạng 1 : 





nxdx mx

cos sin

1

1 cos

1

2 sin

2 tan

t

t x t

t x x

Dạng 4 :  



dx x d x c

x b x a

cos sin

cos sin

Cách làm :

Đặt :

x d x c

x d x c B A x d x c

x b x a

cos sin

) sin cos ( cos

sin

cos sin

m x b x a

cos sin

cos sin

Cách làm :

) 1 2 2 ( 3

2 3

2 ln

1

2 1

2 3 1

3    t dt t  

x

dx x

I

e

Đặt :

n x d x c

C n

x d x c

x d x c B A n x d x c

m x b x a

sin

) sin cos ( cos

sin

cos sin

Sau đó dùng đồng nhất thức

BÀI TẬP Tính tích phân :

a) 2 

0

4 1

) 1 (sin

1 0

t x

t x



Vậy :

24

7 3

1 )

1 (sin

1 3 2

1 4 2

0 0

t x

t x

2 5

2 1

1 cos

1

0

1

0 3 5

1 0

1 0

2 4 2

2 2

0

5 2

dt t t dt

t xdx

0 0

t x

t x



Vậy :

4 15

13 3

5

1

1 1 1

tan

4 0 1

0

3 5

1 0

1 0

2 2

4 2

6 4

0

6 3

t t

dt t

t t t

dt t xdx I

Gia sư Thành Được www.daythem.com.vn

.

cos sin



dx x b

x a

x x

0

2

2 cos 2 cos



dx x

2

0

b t x

a t x



Nếu a  b

b a a b

b a t

a b

t

dt a b

dx x b x a

x x I

2

1 cos

sin

cos sin

2 2 2

2

2 0

2 2 2

2 1

xdx a

a

xdx x

dx x b

x a

x x I

2

1 2

cos 4

1 2

sin 2

1

cos sin cos

sin

.

cos sin

2 0

2 0

2 0 2

0 0

t x

t x

1 2

3 2

cos 2

cos

t

dt t

dt dx

x

x I



2

3 cos

3

2 0





u t

u t

Vậy :

2 4 2

1 2

1

cos 1 2 3

sin 2 3

2 1

2

3 2 1

u

udu

t

dt I

4

1



dx x x

0 2

5 cos 3 sin 4

6 cos 7 sin



dx x x

x x

2

tan 2

dx

x dt

x t

0 0

t x

t x



6

1 2 1

1 5

1

1 3 1

2 4

1 2

1 0

1 0

2 1

0

2 2 2

2 1

t

t t

t

t I

b)Đặt :

5 cos 3 sin 4 5 cos 3 sin 4

sin 3 cos 4 5

cos 3 sin

4

6 cos 7 sin

C x

x

x x

B A x

x

x x

9 ln 2 5

cos 3 sin 4 ln

5 cos 3 sin 4

1 5

cos 3 sin 4

sin 3 cos 4 1 5

cos 3 sin 4

6 cos 7 sin

1 2 0

2 0 2

x x

dx x

x x

x

x x

dx x x

x x

0 3

2 sin



x dx I

Gia sư Thành Được www.daythem.com.vn

c) 2 

0

3 3

1 cos

sin

4



dx x

x

0 5

3 cos 2 sin

1



dx x x

0 6

3 cos 2 sin

1 cos sin



dx x x

x x

1

với  a,n CN  0 , 1 ta có :

Nếu n 1 , aR ta có : x C

a x

, , , , 2

ac b

R c b a

dx b

a a

dx c bx ax

b ax a

dx c bx ax

b

a b ax

a

I

2 2

2

2 2

2 2

2 2

n n

n

t

dt a

a dx c bx ax

dx I

2

1 2

4

x P I

b

a x a x

a x

Q

x

P

n n

m m n

x Q

x R x A x Q

x P

n

r n

m n

n n

x m

a x

A a

x

A a

x

A a

i n

i

i i

m

a x

A

a x

x P

1 1

2 ) )(

)(

D c

x

C b x

B a x

A c

x b x a x

*Qt 2':  

n n n

n n

n m

c bx ax

B x A c

bx ax

B x A c

bx ax

B x A c

bx ax

x P

1 1

2 1 1

i i n

m t

c bx ax

B x A x

A c

bx ax x

x P

A c

bx ax x

1 1 2

2

c bx ax

C x B c

bx ax

C x B x

A c

bx ax x

2

2

3x x

0 1

1 2

1 2

dx x

x

dx x

1

0

2 2

2

2 1

2 2

1 1

1 2

1 1 1

2 1

2 4

dx x

a x

dx

I0 2 2 1arctan với a  0

x x

x x

dx x

1 0

2 2

2 2 1

1 2

1 3 1 3

3

9 2 3

2 3

arctan 3

1 arctan

Gia sư Thành Được www.daythem.com.vn

2 2

1 2

1 2

2 4

2 2

A C C B x B A x x

C Bx x

A x

0 2

4 2

0

C B A

A C

C B

B A

2 2

2

1

2 2

2 2

1

2 4

dx x

x x

dx x

x

x

I b) 5  

2 2 2

3

2x x

dx

x x

2

3x dx x

B x

A x

x

x

b)

3 1

3 2

1

2      x

B x

A x

4 1

x

x x

x

x

d)

2 2

1 1

2

3 24

C x

B x

A x

x x

Đẳng thức tích phân :

Muốn chứng minh đẳng thức trong tích phân ta thường dùng cách đổi biến số và nhận xét một số đặc điểm sau

* Cận tích phân , chẵn lẻ , tuần hoàn , cận trên + cận dưới, …

Chúng ta cần phải nhớ những đẳng thức nầy và xem nó như 1 bổ đề áp dụng

BÀI TẬP

Chứng minh rằng : 1       

0

1 0 1

Đặt : t  1 x  dt dx  dx dt

1 0

t x

t x

Vậy :           

0 1

1 0 1

0

1 1

a t a x

0 2

Cho a 0 và f x là hàm chẵn , liên tục và xác định trên R

x f

x

0 1

t t

x

a

t f a dt a

t f dx a

x f dx a

x f dx

a

x

f

x x

x

Gia sư Thành Được www.daythem.com.vn

1

x f dx a

x f a dx a

x f

x x

t x

sin

f x

dx x f dx x f x

0 0

sin 2

sin

sin sin

2

Từ bài toán trên , bạn đọc có thể mở rộng bài toán sau

Nếu hàm số f x liên tục trên  a, b và fabx f x Thì ta luôn có :

b       

a

dx x f b a dx x f

x



0 2

Cho hàm số f x liên tục,xác định , tuần hoàn trên Rvà có chu kì T

Chứng minh rằng :      

T a

a

T

dx x f dx x f

a

T a

x

f

0 0

Vậy ta cần chứng minh a   aT  

T

dx x f dx x f

0

Xét a f x dx

0

Đặt txT  dtdx

T t

x 0

Vậy : aT       

T

T a

T

dt t f dt T t

0

(đpcm)

Từ bài toán trên , ta có hệ quả sau :

Nếu hàm số f x liên tục,xác định , tuần hoàn trên Rvà có chu kì T, thì ta luôn

cos 4

9

sin

.

dx x

x x

I d)  

0

2 4

cos 1

sin

dx x

x x

sin





dx x x

sin

dx x

x x

udv

Trong lúc tính tính tích phân từng phần ta có những ưu tiên sau :

*ưu tiên1: Nếu có hàm ln hay logarit thì phải đặt u lnxhay u loga x

*ưu tiên 2 : Đặt u ?? mà có thể hạ bậc

BÀI TẬP

Tính các tích phân sau :

Gia sư Thành Được www.daythem.com.vn

e v dx

e dv

dx du x

u

0 1

0

1 0 1

xdx dv

xdx du

x u

sin cos

2 2

4 sin

2 cos

2 0 2

0

2 2

0 1

xdx x

x x dx e x

Ta đi tính tích phân 2

0 sin



xdx x

xdx dv

dx du x

u

cos sin

0 2 0 2

0

2 0 2

x xdx x

Thế vào (1) ta được :

4

8

2 1

0 1

dv

dx x du x

0 1 1

1 1

3 e  ee  e e 

x x x dx x

x xdx I

cos



dx x

xdx dv

dx e du e

cos sin

Vậy :           

0 0 0

1 e sinxdx e cosx e cosxdx e 1 J 1

xdx dv

dx e du e

sin cos

Vậy : J e x xdxe x x e x xdx I

0 0 0

sin sin

cos

.

Thế vào (1) ta được :

2

1 1

dx x dv

dx du x

u

tan cos

1 2

2

2 ln 4 cos

ln 4 tan

tan cos

4 0 4

0

4 0 4

x x dx x

x I

dv

dx x x

du x

Vậy : I  x dx x  x  x dx e  J

e e e

dv

dx x x

du x

1 1 1

3 sin lnx dx x sin lnx cos lnx dx 0 I

I

e e e

2 3    3   

I e

1

e

dx x x

I h)  2 

0

7

cos 1

sin 1



dx e x x

Gia sư Thành Được www.daythem.com.vn

Tích phân hàm trị tuyệt đối, min , max :

Muốn tính b  

a

dx x f

I ta đi xét dấu f x trên đoạn  a, b , khử trị tuyệt đối

Muốn tính b      

a

dx x g x f

I max , ta đi xét dấu f   x g x trên đoạn  a, b

Muốn tính b      

a

dx x g x f

I min , ta đi xét dấu f   x g x trên đoạn  a, b

2

1 x 2x 3dx I

1

2 4

2 2

1 4

1

2 2

2 2

1 2 2

0 2 2

3 3

3

2

1

3 2 1

0

3 2

1 2

3

a ax

x dx ax x dx a x x

1

0

2 2 3

1 3 2 3

2

3 2 1

3 2 0

3 2

a a x

ax x

1

1 2

3

a ax

x dx ax x dx

a x x

I a

Tính : a)   

2 0

2

1 min 1 ,x dx

I   

3 0

2

2 max x ,x dx I

, 1

1 2

0

3 2

1 1

0 2 2

2 ,

max

3

1

3 1

0

2 3

1 2 1

0 3

Nguyên hàm , tích phân của hàm số vô tỷ :

Trong phần nầy ta chỉ nghiên cứu những trường hợp đơn giản của tích phân Abel Dạng 1: Rx, ax2 bxcdx ở đây ta đang xét dạng hữu tỷ

a c bx ax

a

Gia sư Thành Được www.daythem.com.vn

R

b ax t

1 ,

a c bx ax a

R

b ax t

1 ,

4 0

a c bx ax a

R

b ax t

1 ,

bx ax x

2 2

a t

x a c

bx ax

c bx ax x

x t c bx ax

c c xt c bx ax

b ax

7

4x x

dx I

2

3 7

dt x

x

dx

Đặt : t  3 tanu  dt 3tan2u 1du

udu u

du u I

tan 3 tan

2

cos 3

1 1 tan 3 3

1 tan 3

C x

x

x C

t

t C

2 3

1 1

3

1 sin

3

1

2 2

Tính : a)   

1 2

x x

xdx

1 2 2

x x x

dx I

2 22

1 3 2

1

4

3 2

1

t

dt t

t

x

xdx x

x

xdx

C x

x x

x

x

C t

t t

dt t

t I

1 ln 2

1 1

1 ln

2

1 1 2

3 1

1 3

2

1

2 2

2 2

t t

dt x

2 1

2

C

x C

1 1

2 3 5

1 1 6

6 1

dt t x

x

dx I

C x

x x

x

C t

t t t

6 1

3 1

2

1 ln 6 6 3 2

6 6

3

2 3

x dx

x

x x x

2

1 2

1 1

1 1

2 1

Gia sư Thành Được www.daythem.com.vn

 1 1

2

1 2

1

dx x

x x

t dx

t

x x

x

2 2

1

2 1

1 1

x

x

x

x t

t x t

x

2 2

2

2

9 2

x x x

x

C t

t

t dt

t t t

dt t

t dt

t

t t

t t

t I

4 2

4 4

5 3

5

2 4 2

2 2 2

2 2 1

9 4

6561 9

ln 162 4

9 16

1

4

6561 ln

162 4 16

1 6561

162 16

1

81 16

1 4

9 2

9

2 9

t

t dx t

t x t

x

2 2

2

2

4 2

x x x

x

C t

t

t dt t t

t

dt t

t dt t

t t

t t

4 2

4 4

5 3

5

2 4 2

2 2 2

2 2

4

64 4

ln 36 4

4

64 ln 36 4

256 36

16 4

4 2

4

2

4 16

2

1 x dx x

dx

2 1

dx x

0 2

1



t x

t x

0 2

0 2

1 2 cos 1 8

1 cos

2 3

t x

t x

Vậy :         





3 2 2 3

2 2 8

3

2

1

2 1

2

dt t

t

tdt dx

x x

dx I

Bạn đọc tự làm :

1 2

4

x

dx I

d)I4  1 x2dx d)    

dx x

x I

1 1

1 1

1 2 6

0 0

1 ln 1

1 ln

3 2

Gia sư Thành Được www.daythem.com.vn

2 21

2 1

1 1

1 1

1

0

1 0

1

1 2 2 2

x

x x

f

x

x x

1 1

f f

Vậy :

 

2

1 1 5

2

2

1 1 5

2

2 , 1 2

1 1 5

2

2 1 2

2 1 2

1 2 2

1 2

x

dx dx

x

x dx

x x

x

Áp dụng Bunhicopxki ta có :

 0 , 1 2

1 1 1 1 1

1 x x  2  2 x x  x

Vậy :  1 1  21 0

1 0

      

1

0

2 1

Chứng minh rằng :

e

dx x

x

e x

12 1

sin 3 1 2

1 2

1

1 1

sin

dx x

e

dx x

4 1





t x

t x

x

c)

8

2 4

6 3

6

3 2

0

2 1

0

.g x dx f x dx g x dx x

x

e x

Gia sư Thành Được www.daythem.com.vn

b x x

2)Tính thể tích :

Nếu diện tích S x của mặt cắt vật thể do mặt phẳng vuông góc với trục tọa độ , là hàm số liên tục trên đoạn  a, b thì thể tích vật thể được tính :

 x dx f V

y

b x a

i

i i

i i x

i i

x x

n

i f n

1

n

i f n

n

i n

4)Tính độ dài cung đường cong trơn:

Nếu đường cong trơn cho bởi phương trinh y f x thì độ dài đường cung nó được tính như sau :

Hình1a hình1b

hình1c hình1d

BÀI TẬP Tính diện tích hình tròn , tâm O , bán kính R

Bài làm : (hình 1a)

Phương trình đường tròn có dạng :

2 2 2

2 2

x R y

R y



t R x

t x



t R x

t x

Vậy :

dvdt

R t

x R

dt t R

tdt R t R

S

2 2 0 2

2 0 2 2

0

2 2

2 sin 2

1 2

2 cos 1 2 cos sin

Gia sư Thành Được www.daythem.com.vn

Xét hình chắn phía dưới bởi Parabol 2

1

4 2

3 4

1

1 2 2

1 2 1 2 2 1

2

2 3

2

2

1 2

x k x

x x x x

x

x k x

k x dx x x

k S

4

4

2 1 2

2 1 2 2 1 2

1 2

1 2

k k x x x

x x

x

k x x

k x x

Thế vào  * ta được :

 4 16

16 4 6

1

4 2

1 4 4 3

1 16 4

2 2

2 2

k k

k k k

Vậy : minS 4 3 khi k  2

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường :

x ay

y ax

2

a

x ay

a y x y x

n a x

a

x ay

y

x

0 0

n a x

a

x ay

a ax x

a

x ay

a y

x

0 0

2 2

2

a a

x y

ax y

a

x ay

y ax

Vậy diện tích cần tính là :

 dvtt a

a

x x a

dx a

x x a dx

a

x ax S

a

a a

2 0

3 2 3

0

2 2 1 0

2

3

1 3

0 1

y

x y

x y

y x

1 2 2 2 2

b a b

y a

x

Hình vẽ tương ứng ↓↓↓

hình a hình b

Gia sư Thành Được www.daythem.com.vn

hình c hình d

Với mỗi số nguyên dương n ta đặt :

6

5 5

5 5

3 2 1

5 5

5 5

.

1

3 2

n n

0 x0x1x2 x n1x n và chiều dài phân hoạch

n x x

x x

n

i n

i

i i i

6

1 lim

lim

1 0

S

n n l

n

Với mỗi số nguyên dương n ta đặt :

n n n

n n

1 1 1

1 3

1 1 2

1 1 1

n n

Ta lập phân hoạch đều trên  0 , 1 với các điểm chia :

1

0 x0x1x2 x n1x n và chiều dài phân hoạch

n x x

1 lim

1 1

1

n

i n f

x x

n

i n

i

i i i

2 ln 1 ln 1 lim

0 1

0 0

S

n n l

n