Chuyên đề tích phân ôn thi THPT quốc gia 2016 có đáp án chi tiết

Chuyên đề tích phân ôn thi THPT Quốc Gia đầy đủ, chi tiết Chuyên đề tích phân ôn thi THPT Quốc Gia đầy đủ, chi tiết Chuyên đề tích phân ôn thi THPT Quốc Gia đầy đủ, chi tiết Chuyên đề tích phân ôn thi THPT Quốc Gia đầy đủ, chi tiết Chuyên đề tích phân ôn thi THPT Quốc Gia đầy đủ, chi tiết Chuyên đề tích phân ôn thi THPT Quốc Gia đầy đủ, chi tiết Chuyên đề tích phân ôn thi THPT Quốc Gia đầy đủ, chi tiết Chuyên đề tích phân ôn thi THPT Quốc Gia đầy đủ, chi tiết

CHƯƠNG 3 NGUYÊ HÀM – TÍCH PHÂN

1) I (2x 1) cos xdx 2) I xe dx2x 3) I cos 2x.e dx3x

1) Ta có: (2x 1) cos x (2x 1)(sin x) ' (2x 1) 'sin x 2sin x   

(2x 1) sin x ' 2(cos x) ' (2x 1) sin x 2 cos x '

2 2

Ta có: 2

11x

 với P(x) là đa thức có bậc không nhỏ hơn 2

Với dạng này ta thực hiên phép chia đa thức

2

mx nP(x) g(x)

Trường hợp 4: Q(x) là đa thức có bậc không nhỏ hơn 2

a) Nếu Q(x) có m nghiệm phân biệt x , x , , x1 2 m, ta có

  tan xdx ln cos x C   cot xdxln sin x C.

Sử dụng phép đổi biến số để chuyển tích phân hàm lượng giác về tích phân hữu tỉ

Ví dụ 3.3.1 Tìm họ các nguyên hàm

4

I (8sin x 2 cos 5x sin 3x)dx

Lời giải.

Ta có: 8sin x4 2 1 cos 2x  2 2 4 cos 2x 2 cos 2x 2  3 4 cos 2x cos 4x

và 2 cos 5x sin 3x sin 8x sin 2x

Suy ra: I 3x 2sin 2x 1sin 4x 1cos 8x 1cos 2x C

Ta có: 8 cos 2x3 2 cos 6x 3cos 2x  8 cos 2xdx3 1sin 6x 3sin 2x C '

Ví dụ 3.3.7 Tìm họ nguyên hàm

sin xdxI

Mặt khác: dx d(cos x)2 1ln 1 cos x C ln tanx C

Ta có: cos x 8sin x 9  2 2 cos x sin x   3 cos x 2sin x 3  

Nên I 2d(cos x 2 sin x 3) 3 dx

5sin x 10 cos x 4  a(2 cos x sin x 1) b( 2sinx cos x) c     

( a 2b) sin x (2a b) cos x a c

Tổng quát: Để tìm nguyên hàm dạng trên ta thực hiện phép đổi biến số t tanx 2dt2 dx

Thay vào ta được một nguyên hàm của hàm số hữu tỉ

Trong một số trường hợp riêng ta có một số phương pháp giải khác

b) Một số trường hợp đổi biến

 Nếu R( sin x, cos x)  R(sin x, cos x) ta đặt tcos x

 Nếu R(sin x, cos x)  R(sin x, cos x) ta đặt t sin x

 Nếu R( sin x, cos x) R(sin x, cos x) R(sin x, cos x) ta có thể sử dụng công thức hạ bậc hoặc đặt

ttan x ( hoặc tcot x)

Bài toán 2: Tìm họ nguyên hàm I f (tan x)dx (hoặc I f (cot x)dx)

Để tìm nguyên hàm dạng này ta có thể đặt ttan x ( tcot x) và chuyển về bài toán tìm nguyênhàm:I f (t)dt2

3) I (2sin x.cos 4x 4 sin 3x)dx 3 4) I cos 2xdx4

5)I  2 tan x sin xdx2 2 6) I tan xdx3

3) Ta có: 2sin x cos 4x sin 5x sin 3x  và 4 sin 3x3 3sin 3x sin 9x

Nên I sin 5x 2sin 3x sin 9x dx 1cos 5x 2cos 3x 1cos 9x C

17) Ta có: 4 sin 3x sin 4x2 2(1 cos 6x) sin 4x

sin x cos 2xtan x cot 2x

cos x sin 2x

sin 4x 2 cos 6x 2 sin 2x sin 6x sin 2x 2 cos 6x.sin 2x 2 sin 2x

Suy ra: I 16 sin x.cos x cos xdx 4 6

Đặt t sin x dtsin xdx nên ta có:

Chuyên đề 4 Nguyên hàm của hàm mũ và logarit 4.1 Phương pháp

2) Ta có: 2 3

ln x ln x 1.

xx

ln x 11

10) Đặt

2

dxdu

2 1

1

dxdu

Suy ra I cos x ln(cos x) sin xdx

cos x ln(cos x) cos x C

Với dạng này ta đặt tnax b  I  g (t)dt1 , với g (t)1 là hàm hữu tỉ theo t

  và chuyển về nguyên hàm của hàm số lượng giác.

 Nếu c 0 ta có thể thực hiện phép đổi biến số:

4 2

2 3

2 1

3

3 3

Nên 4

0 0

x dxI

1) I (x x2x 1)dx 2)

1

0

dxI

I cos 2xdx



3 2 6

4 2

2 4

0 0

5 5

0 0

10 3 12(3 tan x cot x)

I f x dx ta thực hiện các bước sau

Bước 1: Đặt xu t  (với u t  là hàm có đạo hàm liên tục trên  ; 

Bước 2: Thay vào ta có: I f u t u ' t dt      g t dt  G t   G  G 

Một số dạng thường dùng phương pháp đổi biến số dạng 1

* Hàm số dưới dấu tích phân chứa a2b x2 2 ta thường đặt x asin t

7.1.2 Phương pháp đổi biến số loại 2

Tương tự như nguyên hàm, ta có thể tính tích phân bằng phương pháp đổi biến số (ta gọi

là loại 2) như sau

(x 1)dxI

4 2 2 32

dxI

xdxI

dx2) I

x dxI

1) 3

0

dx I

2 0

3 3

0 0

2 0,5

dxI

x 4 dxI

dxA

dxI

1 3

dxI

2 2

3 3

2 4

8 4

dd

6 x 3 cos x.sin x 4 1 sin x

2 0

0 0

3 3

6

dx3)I

2

3 0

x eI

x dxI

10.1 Phương pháp

Cho hàm số yf x  liên tục trên a; b

  Khi đó diện tích S của hình phẳng (D) giới hạnbởi: Đồ thị hàm số yf x ; trục Ox: (y0) và hai đường thẳng xa; xb là:

www.boxtailieu.net

 cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt sao cho hình phẳng giới hạn bởi  Cm với trục hoànhphần phía trên Ox có diện tích bằng 96

Vậy, m5 thỏa bài toán

2 Đồ thị hàm số cắt Ox tại 4 điểm phân biệt x4m22 x 2m2 1 0   hay

x21 x 2m210 có 4 nghiệm phân biệt, tức m0

Với m0 thì phương trình   có 4 nghiệm phân biệt  1; m21

Diện tích phần hình phẳng giới hạn bởi  Cm với trục hoành phần phía trên trục hoành là:

độ xM 1, Tiếp tuyến tại M cắt đồ thị  C tại điểm thứ hai N ( khác M) , Tiếp tuyến tại

N cắt đồ thị  C tại điểm thứ hai P ( khác N) Gọi S1 là diện tích hình phẳng giới hạn bởi

đồ thị  C và đường thẳng MN, S2 là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị  C vàđường thẳng NP Tính tỉ số 1

2

S.S

Tiếp tuyến tại M có phương trình :

Vậy, 1

4 2

S 108m 16

10.3 Bài tập vận dụng

Bài 3.10.1 Tính diện tích hình phẳng D biết:

1) D được giới hạn bởi: P : yx2 x 3 và đường thẳng y2x 1

2) D được giới hạn bởi: y x24x 3 và y x 3

3) D được giới hạn bởi:yx ; y2  2 x 2

4) D được giới hạn bởi: yx ; x2  y2

5) D được giới hạn bởi: y 4 x2

4

4 2



6) D được giới hạn bởi: y(e 1)x; y (1 e )x x

7) D được giới hạn bởi:  

Bài 3.10.2 Cho (P) : yx2 Gọi A, B là hai điểm di động trên (P) sao cho AB2 Tìm

A, B sao cho diện tích của phần giới hạn bới (P) và cát tuyến AB lớn nhất?

Bài 3.10.3 Xét hình phẳng (H) bị chắn phía dưới bởi Parabol (P) :yx2và phía trên bởiđường thẳng đi qua A(1; 4) có hệ số góc k Tìm k để (H) có diện tích nhỏ nhất?

Bài 3.10.4 Tìm m để đồ thị (C) :yx42mx2m 2 cắt Ox tại bốn điểm phân biệt vàdiện tích hình phẳng nằm trên Ox giới hạn bởi (C) và Ox bằng diện tích hình phẳng phíadưới trục Ox giới hạn bởi (C) và Ox

Hướng dẫn giải Bài 3.10.1.

1) Parabol (P) và đường thẳng d : y2x 1 cắt nhau tại hai điểm lần lượt có hoành độ

x 1; x2

Trên đoạn 1; 2

  ta thấy đường thẳng d nằm trên

Parabol (P) nên ta có diện tích cần tính là:

2

2 1

2xy

y

x

1 -1

www.boxtailieu.net

2 a

Đường thẳng  đi qua A, hệ số góc k có phương trình : yk(x 1) 4  kx k 4 

Phương trình hoành độ giao điểm của (P) và : x2 kx k 4   x2kx k 4  0 (1)

Dễ thấy (1) luôn có hai nghiệm x1x2

S  (kx k 4 x )dx  

2

1

x 3 2

2.1.1 Tính thể tích của vật thể

Cắt một vật thể C bởi hai mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc với trục Ox lần lượt tại

xa, xb (ab) Một mặt phẳng bất kì vuông góc với Ox tại điểm x (a x b) cắt Ctheo một thiết diện có diện tích S(x) Giả sử S(x) là hàm liên tục trên [a; b] Khi đó thể tíchcủa vật thể C giới hạn bởi hai mp(P) và (Q) được tính theo công thức: b

Chú ý: Nếu hình phẳng D được giới hạn bởi các đường yf (x), yg(x), xa, xb;

f (x), g(x)0   x a; b thì thể tích khối tròn xoay sinh bởi khi quay D quanh trục Ox

awww.boxtailieu.net

đường yf (x), ya, yb, Oy quanh trục Oy

Từ phương trình yf (x) ta tìm được xg(y) Khi đó thể tích cần tính là:

b 2 a

3) Xét hình phẳng giới hạn bởi đường cong y b2(x a) 2

và Ox Thể tích khối tròn xoay cần tính bằng thể tích khối tròn

xoay sinh bởi khi quay hình phẳng trên quanh trục Ox, do đó ta

a b

x(b a )x ax

www.boxtailieu.net

2 0

2 0 0

Ví dụ 3.11.3 Tính thể tích của khối tròn xoay tạo nên do ta quay D quanh trục Oy, với D

là hình giới hạn bởi các đường:

1) y x, y 2 x, y0 2) (x 2) 2y2 1

Lời giải.

1) Ta có D giới hạn bởi các đường xy ; x2  2 y; y0

Đường xy2 cắt đường x 2 y tại điểm y1

2) Hình phẳng D được giới hạn bởi hai đường: x 2 1 y 2 và x 2 1 y 2

Do D đối xứng qua Ox, nên thể tích cần tính là:

Bài 3.11.1 Tính thể tích của khối tròn xoay được sinh ra khi cho D quay quanh Ox Biết

D được giới hạn bởi các đường:

5) y 0; y 1 sin x cos x; x4 4 0, x

2



Bài 3.11.2 Tính thể tích của khối tròn xoay được sinh ra khi cho D quay quanh Oy Biết D

được giới hạn bởi các đường:

1) y(x 2) , y 2 4 2) y2 x, xy2 3) y  x 2, y x

Hướng dẫn giải Bài 3.11.1.

1) Phương trình hoành độ giao điểm:

2

x 2x  0 x 0, x2.Thể tích vật thể cần tính là:

2 D

www.boxtailieu.net