BÀI TẬP SỐ PHỨC

BÀI TẬP SỐ PHỨC

TÓM TẮC LÝ THUYẾT

1.Hai số phức bằng nhau: a + bi = c + di  a = c và b = d

Hai số phức liên hợp: cho z = a + bi thì z= a – bi

2.Môđun của số phức: cho z = a + bi thì |z| =

3.Các phép toán với số phức

(a + bi)  (c + di) = (a  c) + (b  d)i z 1  z 2  z 1  z 2

(a + bi)(c + di) = (ac – bd) + (ad + bc)i ; z 1 z 2 = z 1.z 2 ; z.z= |

z|2

= ; = z1

2

1 2

1

z

z z

z















4.Căn bậc hai của một số phức:

Cho số phức z = a + bi

*nếu b ≥ 0 thì = 

*nếu b < 0 thì = 

4.Dạng lượng giác của số phức

*Cho z = a + bi thì môđun r và argument  được tính bởi công thức sau:

r = ; cos = ; sin =

* Cho z = a + bi thì có thể viết z = r(cos + i.sin)

5.Công thức MOAVRƠ

Cho hai số phức z1 = r1(cos1 + i.sin1) và z2 = r2(cos2 + i.sin2)

khi đó: z1.z2 = r1.r2[cos(1 + 2) + i.sin(1 + 2)]

= [cos(– ) + i.sin(– )]

= [cos(1 – 2) + i.sin(1 – 2)]

Công thức MOAVRƠ:

Cho z = r(cos + i.sin) thì zn = rn(cosn + i.sinn)

căn bậc n của z có n giá trị là n số phức được xác định như sau:

zk = (cos+ i.sin) với k = 0,1,….n – 1

BÀI TẬP

1.Thực hiện các phép tính sau:

a) (3 – 5i) + (2 + 4i) b) (11 – 6i) – (2 – 4i) c) (2 – 4i)(3 + i)

d) – 2i(3 – 8i) e) (3 + 2i)(1 – i) + (3 – 2i)(1 + i)

f) g) h) g) +

h) g) + 4 – 3i

2.Tính các biểu thức sau:

a) i15,i30 ,i37 ,i28 Từ đó suy ra cách tính i n với n  N

b) (1 + i)2 ,(1 + i)3 ,(1 + i)4 ,(1 + i)5 , (1 + i)2006 , (1 – i)2006

c) ()33 + (1 – i)10 + (2 + 3i)(2 – 3i) +

e) (– 4i) f) 4.Giải các phương trình sau:

a) (3 + 4i)x = (1 + 2i)(4 + i) b) 2ix + 3 = 5x + 4 c) 3x(2 – i) + 1 = 2ix(1 + i) + 3i d) x =

e) [(2 – i) + 3 + i](iz + ) = 0 f) x + 2 = 2 – 4i 4.a)Chứng minh rằng số phức z là số thực  z = b)không thực hiện các phép tính,hãy giải thích vì sao các số phức sau là số thực: + và –

3.Giải các phương trình sau trong C:

a) z2 + |z| = 0 b) z2 + = 0 c) z2 + 2 = 0 b) 2ix2 – 3x + 4 + i = 0

c) x2 – x + 3 = 0 d) x6 – 9x3 + 8 = 0 e) x2 + 2(1 + i)x – (3 + 2i) = 0 f) 2x2 + 3x + 5 = 0

g) x2 – (2 + i)x + (7i – 1) = 0 h) x2 + (3 – 2i)x + (5 – 5i) = 0 i) x4 – 3x2 + 4 = 0

j) x3 – 2(1 + i)x2 + 3ix + 1 – i = 0 k) z2 + ( – 1 – i)z – (1 + i) = 0 l) z4 – 8(1 – i)z2 + 63 – 16i = 0 m) z4 – 24(1 – i)z2 + 308 – 144i = 0 n)z4 – z3 + + z + 1 = 0 o)z3 + + – = 0 p) 8z4 + 8z3 – z – 1 = 0 p) 1

i z

i

z 4



















3.a) Cho z = Tính |z|

b) Tìm số phức z sao cho z2 = 4.Tính z = và tìm căn bậc 5 của – i 5.Cho z1, z2 là hai nghiệm của phương trình : x2 + (2 – i)x + 3 + 5i = 0 Không giải phương trình ,hãy tính:

a) z1 + z2 b) z1 + z2 c) d) z1z2 + z2z1

6.Tính căn bậc hai của các số phức sau:

a) 8 + 6i b) – 1 + 2i c) 16 – 30i d) i e) 1 – i

7.Tính các giá trị của các căn thức sau trong C

a) b) c) d) 7.Viết các số phức sau dưới dạng lượng giác:

a) – 1 + i b) – 1 – i c) 1 – i d) 1 e) 8i f) 3+ 4i g) 1 + i h) 4 – 4i i) – 125i

8.Viết các số phức sau dưới dạng lượng giác:

a) (cos– i.sin) b)– (cos+ i.sin) c)3(– cos+ i.sin)

d) – cos+ i.sin e) 2(sin+ i.cos) f) – sin– i.cos)g) sin + 2i.sin2 h) cos + i(1+ sin) i) ( – i)100

j) []6 k) l) ()20 m)

9.Tìm phần thực và phần ảo của các số phức sau:

a) (1 – i)6.( + i)8 b) (cos – i.sin).i5.(1 + i)6

c) d) e) z2006 + biết z + = 1

10.Cho số phức z có mođun bằng 1,biết một acgumen của z là 

Hãy tìm một acgumen của số phức sau:

a) 2z2 b) – c) d) – z2

e) z + f) z2 + z g) z2 – z h) z2 +

11 Tìm số nguyên n để cácsố phức sau là số thực hoặc số ảo:

a)

n

i

3

3

i

3

3













b)

n

i 3 4

i 7

















12.Giải hệ phương trình sau:

a)













1 z i

z

z i

2

z

b) 













i 2 5 z z

i 4 z z

2 2 2 1

13.a)Tìm các số thực a, b sao cho:

z4 – 4z2 – 16z – 16 = (z2 – 2z – 4)(z2 + az + b) ,  z C

b) Giải phương trình : z4 – 4z2 – 16z – 16 = 0

14.Tìm số nguyên dương n sao cho

n

i 3 3

i 3 3

















a) là một số thực b) là một số ảo

15.Cho z = cos + sin

a) Hãy tìm zn + n ; zn – n n Z+

b)Dùng các khai triển của (z + )3 và(z – )3 để tìm sin3 và cos3 theo sin

và cos

c)Tìm các biểu diễn của sin4 , cos4 , sin5 , cos5 theo sin và cos 16.a) Cho z = cos + sin, chứng minh rằng  n Z+ ta có:

zn + = 2cosn zn – = 2isinn

b)Chứng minh rằng: cos4 = (cos4 + 4cos2 + 3)

sin5 = (sin5 – 5sin3 + 10sin)

17.Tính các tổng sau:

a) f(x) = 1 + cosx + cos2x + … + cosnx n  Z

b) f(x) = sinx + sin2x + sin3x + … + sinnx

c) f(x) = cosx + cos3x + cos5x + … + cos(2n – 1)x

d) f(x) = sinx + sin3x + sin5x + … + sin(2n – 1)x

e) f(x) = cos2x + cos22x + cos23x + … + cos2nx

f) f(x) = sin2x + sin22x + sin23x + … + sin2nx