BÀI TẬP SỐ PHỨC

01 CÁC DẠNG TOÁN TRỌNG TÂM VỀ SỐ PHỨC

Bài 1 : Xét số phức z thỏa mãn điều kiện : z− =3i 1, tìm giá trị nhỏ nhất của z

Lời giải:

z− = ⇔i x + −y =

x + −y = ta có 2

(y−3) ≤ ⇔ ≤ ≤1 2 y 4

Do đó z = x2+y2 ≥ 0 2+ 2 =2

Vậy giá trị nhỏ nhất của z bằng 2 đạt khi z = 2i

Bài 2: Gọi z và 1 z là hai nghiệm phức của phương trình 2 ( ) 2 ( )

2 1+i z −4 2−i z− − =5 3i 0 Tính z12+ z2 2

Lời giải:

' 4 2 i 2 1 i 5 3i 16

Vậy phương trình có hai nghiệm phức là 1 3 5 , 2 1 1

Do đó z12+ z22 =9

Bài 3: Tìm số phức z thỏa mãn (1 3 )− i z là số thực và z− +2 5i =1

Lời giải:

Giả sử z= +x yi, khi đó (1 3 )− i z= −(1 3 )(i a bi+ )= + + −a 3b (b 3 )a i

(1 3 )− i z là số thực ⇔ −b 3a= ⇔ =0 b 3a

Ta lại có z− +2 5i = ⇔ − + −1 a 2 (5 3 )a i = ⇔1 (a−2)2+ −(5 3 )a 2 =1







z= + i z= + i

Bài 4: Tìm số phức z sao cho 2

z là số thuần ảo và z−2i =4

Lời giải:

Gọi z= +a bi Ta có 2 ( )2

z− i = a + −b , z2 =a2− +b2 2abi

2 2

0





0 0

a b

=



=

 hoặc

2 2

a b

=





=

 hoặc

2 2

a b

= −





=

 Vậy z=0,z= +2 2 ,i z= − +2 2i là các số phức cần tìm

Bài 5: Tìm số phức z thỏa mãn z2+z2 =6 và 1 1

2

z− + =i

Lời giải:

Giả sử z= +x yi, ( ,x y∈ℝ )

Ta có: z2+z2 = ⇔ +6 (x yi)2+ −(x yi)2 = ⇔6 x2−y2 =3

2

−

Khi đĩ ta cĩ hệ phương trình

2 2

2

2, 1

3

,



4 4

z= +i z= − − i là các số phức cần tìm

Bài 6: Tìm mơđun của số phức z+1, biết ( )

( )2

1 3 (3 ) 1

z

+ +

=

−

Lời giải:

( )( )

2 2

5 4

i i

Suy ra, z+ = −1 1 5i⇒ z+ =1 12+52 = 26

Bài 7: Tìm số phức z thỏa mãn z− +2 2i =2 2 và z 1 1

z+ =i

Lời giải:

Giả sử z= +x yi x y, ( , ∈ℝ )

Từ giả thiết ta cĩ z− +2 2i =2 2 ⇔ (x− + +2) (y 2)i =2 2 ⇔ −(x 2)2+ +(y 2)2 =8

Mặt khác, z 1 1 (x 1) yi x (1 y i) (x 1)2 y2 x2 (1 y)2 x y

+

Ta được hệ phương trình

x y

x y

Vậy z= −4 4 ;i z =0 là các số phức cần tìm

Bài 8: Tìm số phức z thỏa mãn z+ = +1 z i và 1

z z

+ là số thực

Lời giải:

2

1

Vì là số

z

z

− + = + + = + + = +  + −  ≠

+

Như vậy có 2 số phức thỏa mãn bài toán là và

x

− = ⇔ = ±

Bài 9: Gọi z1 và z2 là hai nghiệm của phương trình: z2− +[(1 3) ( 3 1) ]+ − i z+2 3+ =2i 0

Tìm phần thực và phần ảo của số phức z12011+z22011

Lời giải:

Ta cĩ ∆=

2 2

[(1+ 3) ( 3 1) ]+ − i −4(2 3+2 )i = −4 3− =4i (1− 3) (1+ + 3)i

+ Phương trình cĩ hai nghiệm: z1 = 3−i z; 2 = +1 i 3

⇒ 2011 2011

1

2011 3 1 2

2 2i

+ 2 1 3 π π

2

Suy ra 12011 22011 2011 1 3 1 3

2

Vậy phần thực là 22010(1− 3) và phần ảo là 22010(1+ 3)

Bài 10: Giả sử z1, z2, z3 là ba nghiệm của phương trình 3

10 0

z + + =z Tính giá trị của biểu thức z12+ z22+ z32

Lời giải:

z + +z = ⇔ +z z − z+ = ⇔ +z z− + i z− − i =

Do đó ta có thể giả sử z1= −2;z2 = −1 2 ;i z3 = +1 2i suy ra

Vậy z12+ z22+ z32=14

Bài 11: Cho các số phức z1, z2, z thỏa mãn 3 z1 = z2 = z3 = 1

Chứng minh rằng: z z1 2+z z2 3+z z3 1 = + +z1 z2 z3

Lời giải:

Ta có z z1 1=z z2 2 =z z3 3 =1 nên 1 2 3

1 2 3

1 2 3

1 2 2 3 3 1

1 2 2 3 3 1

1 2 2 3 3 1

z z z z z z

Bài 12: Cho số phức

11

1 1

i z

i

−

+

  Tính mô đun của số phức

2010 2011 2016 2021

Lời giải:

Ta có :

2 2

i

Suy ra z = (− i)11 = − i11 = − i4.2+3 = −[ (i4)2.i3] = − i3 = i

Ta có w = z2010(1 +z +z6 + z11) = i2010( 1 + i + i6 + i11) = i2010(1 + i −1 − i) = 0

Suy ra w =0

Bài 13: Tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn z− −(5 3i) <3

Lời giải:

Gọi z= +x yi x y, ,( ∈ℝ )

Khi đó điểm biểu diễn số phức z làM x y ( );

Từ giả thiết, ta có z− −(5 3i) < ⇔ − + +3 x 5 (y 3)i <3

⇔ (x−5) (2 + +y 3)2 <3 ( ) ( )2 2

Vậy tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là hình tròn tâm I(5; -3), bán kính R = 3, không kể biên

Ghi chú: cần nói rõ không kể biên

Bài 14: Tìm số phức z thỏa mãn z2+ =z z

Lời giải:

Giả sử z= +x yi, khi đó z2+ = ⇔ +z z (x yi)2+ x2+y2 = −x yi

2



= −



2

4−y + 4+y = − ⇔2 4+y =y −4

2

2

3

3 0

5 2 5 4

4

y

y

y





− ≥



TH2 y=0⇒x2+ = ⇔ =x x x 0⇒x= =y 0

Vậy có 3 số phức thỏa mãn là : z = 0 ; 1 5 2 5

Bài 15: Gọi z z z z là bốn nghiệm của phương trình 1, 2, 3, 4 z4− −z3 2z2+6z− =4 0 trên tập số phức

S

Lời giải:

Ta có z4− −z3 2z2+6z− =4 0 ( )( ) ( 2 )

⇔ − + − + = (1) Không mất tính tổng quát ta gọi 4 nghiệm của (1) là z1=1;z2 = −2;z3= +1 i z; 4 = −1 i

Thay và biểu thức

S

Bài 16: Tìm tất cả các số thực ,b c sao cho số phức ( ) ( )

12

− + là nghiệm của phương trình

2

z + bz+ c=

Lời giải:

Ta có ( )3

1+ 3i = +1 3 3i+3.3i +3 3i = −8

1− 3i = −1 3 3i+3.3i −3 3i = −8; ( )2

1+i =2i

12

4

8 1 2 8 16

i i

−

Theo giả thiết ta có ( )2 ( )

8 16+ i +8b 8 16+ i +64c=0

Bài 17: Tìm số phức z thỏa mãn z− =1 5 và 17(z+ −z) 5z z=0

Lời giải:

z− = ⇔ a− +b = ⇔a + −b a=

5

z+ −z z z= ⇔a +b = a

Thay (2) vào (1) được 24 24 5

5 a= ⇔ =a Kết hợp với (1) có b2 = ⇔ =9 b 3,b= −3

Bài 18: Trong các acgumen của số phức ( )8

z= − i , tìm acgumen có số đo dương nhỏ nhất

Lời giải:

Ta có 1 3 2 1 3 2 cos( ) i sin( )

2 cos( ) i sin( )

Từ đó suy ra z có họ các acgumen là 8 2 ,

π

Ta thấy với k = 2 thì acgumen dương nhỏ nhất của z là 4

3

π

Bài 19: Giải phương trình trong tập số phức: z2+ =z 0

Lời giải:

Gọi z = x + iy ( , x y∈R),

Ta có z2+ = ⇔z 0 x2−y2+ x2+y2 +2xyi=0 22 20 2 2

0

xy

=



Giải rat a được (x;y) = (0;0); (0;1) ; (0;-1)

Vậy z=0;z= ±i là các số phức cần tìm

Bài 20: Tìm số phức z thỏa mãn: 2 z i− = − +z z 2i và z2 −( )z 2 =4

Lời giải:

Giả sử z= +x yi x y( , ∈ℝ )

Từ giả thiết ta có: 2 2

x y i y i

x yi x yi

 + − = +







1

xy



=



2 2

3

0

4 1

4

x y

xy

x



=

3 3

4 2 2

x y

 = ±



⇔

=





Vậy

3

4 2

Bài 21: Tìm số phức z thỏa mãn

2 2

1







z z

Lời giải:

Gọi số phức cần tìm là z = x + iy (với , x y∈ℝ)

Ta có z= −x iy z; 2= z2=z z=x2+y 2

2

1

2

+ = ⇔ + + − = ⇔ = ⇔ =

Khi đó (1) 1 2 2 7

⇔ +y = ⇔ = ±y

Vậy các số phức cần tìm là 1 7 ; 1 7

Bài 22: Giải phương trình phức 2 2

(z −z z)( +5z+6)=10, (với z là ẩn)

Lời giải:

Ta có 2 2

(z −z z)( +5z+ =6) 10⇔z z( −1)(z+3)(z+ =2) 10

(z 1)(z 3) z z( 2) 10 (z 2z 3)(z 2 ) 10z

Đặt 2 2 ( 3) 10 0 2 3 10 0 5

2

t

t

=



= + ⇒ − − = ⇔ − − = ⇔

= −



Với 2 2

t= ⇒z + z= ⇔ +z = ⇔ = − ±z

t= − ⇒z + z= − ⇔ +z = − = ⇔ = − ±i z i

Vậy phương trình đã cho có 4 nghiệm là z= − ±1 6;z= − ±1 i

Bài 23: Cho số phức z thoả mãn 1 7

2

− + =

−

z z

z Tính

2

+

−

z i

Lời giải:

Điều kiện z≠2 Từ giả thiết ta có: z2−2z+ = ⇔ −5 0 (z 1)2= − =4 (2 )i 2⇒z= ±1 2i

+ Với z = 1 – 2i ta được: 2 1 1 1

+ Với z = 1 + 2i ta được: 2 1 4 1 4 17

1 3 1 3 10

i

+

Bài 24: Tìm phần thực và phần ảo của số phức

3

1

i z

i

+

Lời giải:

Ta có

3

2 cos sin

2 cos sin

i

i

i i

+

=   = =   − +  − = +

+ +

Vậy phần thực của z là 2 và phần ảo của z là 2

Cách khác: Ta có

2 3

1 3 3 9 3 3 4

2 2

Bài 25: Trong các số phức z thỏa mãn hệ thức z+ − = − +1 i z 2 2i , tìm số phức có mô-đun nhỏ nhất

Lời giải:

Giả sử z= +x yi x y,( , ∈ℝ )

Ta có z+ − = − +1 i z 2 2i ⇔ + + − = − − +x yi 1 i x yi 2 2i

(x 1) (y 1)i (x 2) (2 y i)

⇔ + + − = − + −

(x 1) (y 1) (x 2) (2 y) 6x 2y 6 0 y 3(1 x)

Vậy quỹ tích các số phức z là đường thẳng d: y = 3(1 – x).

Khi đó 2 2 2 9(1 )2 10 2 18 9 10 2 9 9

5 10

2

10 100 10

x

=  −  + ≥

Vậy min 3 10

10