Phân loại bài tập số phức có lời giải

Các phép toán về số phức... Số phức bằng nhau... Giải phương trình phức.. Trong phần này chúng ta sẽ vận dụng các phép tính về số phức và định nghĩa hai số phức bằng nhau để giải quyết b

SỐ PHỨC

I LÝ THUYẾT

1. Mỗi biểu diễn dạng za bi a b  , ,i2 1 gọi là một số phức, a gọi là phần thực, b gọi 

là phần ảo. 

2. Cho các số phức za bi z , 'a'b i'  Ta có định nghĩa: 

' '

'

a a

z z

b b

 







3. Mỗi số phức za bi a b  ,    được biểu diễn bởi một điểm  Ma b  trên mặt phẳng tọa ; 

độ. 

4. Môđun của số phức za bi a b  ,    là số thực  z  a bi  a2b2. 

5 Số phức liên hợp của số phức za bi a b  ,    là số phức  z a bi  

6 Phép cộng và trừ hai số phức a bi c , di được định nghĩa theo quy tắc cộng, trừ đa thức: 

a bi   cdi  a c   b d i   

7. Phép nhân hai số phức a bi c , di được định nghĩa theo quy tắc phép nhân đa thức, với lưu 

ý i    2 1

8 Phép chia hai số phức a bi

c di



  được tính bằng: 

2

a bi c di

a bi





9. Trong tập các số phức    căn bậc hai số thực âm a  là các số phức i a  

10 Xét phương trình bậc hai  2  

0 , ,

ax bx c  a b c   và biệt số  b24ac. 

  +)    phương trình có các nghiệm thực 0 1,2

2

b x

a

  

  +)    phương trình có các nghiệm phức 0 1,2

2

b i x

a

II BÀI TẬP

1 Các phép toán về số phức

Bài 1. Tính. 

a) z2 3 i   6 7 ;i       b) z2 9 i  5 4  i  

Giải. 

a) z2 3 i   6 7i  2 6    3 7i  4 4i. 

b) z2 9 i  5 4 i  2 5    9 4i  3 13i. 

Bài 2. Tính. 

a) 3i4   3 2i  4 7 i ;      b) 7 5 i1i  3 2 i; 

c) 3 4 i 2 5 7 i;      d) 2i 3 2i5 4 i; 

e) 2 4 i5 2 i  3 4 i 6 i;      g) 3i31 2 i2. 

Giải. 

a) 3i4   3 2i  4 7 i 3i4 7 9i 

 

2

15 27 1 28

55 15

i i

  

b) 7 5 i1i  3 2 i 7 7 i5i5i23 2 i    

9



  c) 3 4 i 2 5 7 i    7 24i5 7 i 

d) 2i 3 2i5 4 i   4 7i5 4 i 8 51i. 

e) 2 4 i5 2 i  3 4 i 6 i  18 16 i  14 27 i 4 43i. 

3i  1 2 i  27 27 i9i i  1 4 i4i  

21 30

i

  Bài 3 Tính. 

i







  c)  3 4  5 7

6 5

i i

i



3 2

3 2

i i i





Giải. 

3

i

i

i i

Bài 4: Thực hiện phép chia các số phức sau:

(1 )(4 3 )

z



5 6

4 3

i z

i

 



3 4 4

i z

i



   Giải. 

b)  5 6 ( 5 6 )(4 3 ) 2 392 2 2 39

c)  3 4 (3 4 )(4 ) 16 132 16 13

Bài 5. Cho số phức z =  3 1

2 2i  Tìm các số phức sau:  z ; z2  Giải. 

z  i  nên  3 1

z  i 

Ta có 

2

z   i   i  i  i

. 

Bài 6 Tính giá trị biểu thức P1 3i 2 1 3i2  (TN 2008 – lần 1). 

Giải

1 3 2 1 32 1 2 3 32 1 2 3 32 2 6 4

P  i   i   i i   i i      

Bài 7 Tìm số phức liên hợp của:  (1 )(3 2 ) 1

3

i

 Giải: 

53 9

10 10

z  i. 

Bài 8 Cho số phức z 4 3i. Tìm số phức 

2

z z z



   Giải. 

2 2

11 27 4 3

i z

Bài 9 Tìm số phức sau: z1i15. 

Giải. 

Ta có: 1i2 1 2 – 1 i  2i1i14  2i 7  128. i7  128i. 

Nên z1i15  1 i 14 1i 128 1i i 128 1 i128 – 128 i  

Bài 10 Tìm phần thực và phần ảo của số phức sau: 

  a) z 3 i 4 2i

i



z  i  i  ;  c)  7 3 1 5

z

Giải 

a) Ta có z 3 i 4 2i 3 i 4i 2i 1 3i

i



Vậy z 3 i 4 2i

i



    có phần thực là 1 và phần ảo là 3. 

b) Ta có z 7 2i3 2 i2 7 2i 9 12i4i2 2 10i. 

Vậy z 7 2i3 2 i2có phần thực là 2 và phần ảo là 10. 

c) Ta có  7 3 1 5 7 31  1 53 2  10 4 13 13

4

z

   có phần thực là 4 và phần ảo là -1. 

Bài 11 Tìm phần ảo của số phức  z  thỏa mãn  z 2i 2 1 2i.     

(ĐH – A 2010 CB). 

Giải

z i  i   i  i   iz  i. 

Số phức z có phần ảo bằng  2. 

Bài 12 Cho  các  số  phức z1 1 2 ,i z2 2 3i.  Xác  định  phần  thực,  ảo  của  số  phức  z12z2

  (TN 2010 – CB). 

Giải

Ta có z12z2 1 2i2 2 3  i  3 8i. 

Phần thực: -3; phần ảo: 8

Bài 13 Cho các số phức z1 2 5 ,i z2  3 4i. Xác định phần thực, ảo của số phức z z  1 2

  (TN 2010 – NC). 

Giải

Ta có z z1 2 2 5 i3 4 i26 7 i. 

Phần thực: 26; phần ảo: 7

Bài 14. Tìm phần thực và phần ảo của số phức 

3

1

i z

i

  



  (ĐH – B 2011 NC). 

Giải

3 3

3

2

i

z

i

  



1

8 1

8

1

16 16 8

2 2

i i

 

Chú ý: Nếu áp dụng dạng lượng giác của số phức thì tính toán sẽ nhanh hơn

Bài 15  

a) Cho số phức  1

1

i z i





  tính giá trị của 

2010

z   b) Chứng minh: 3(1i)2010 4 (1i i)20084(1i)2006. 

Giải. 

a) Ta có: 

2

i

2010 2010 4.502 2 4.502 2

1( 1) 1

b) Ta có: 

Bài 16

a) Tính tổng sau: 1 i i2i3  i2009. 

b) Cho 2 số phức z1, z2 thỏa mãn  z1  z2  ; 1 z1z2  3 tính  z1z2  

Giải. 

a) Ta có 1i2010 (1i)(1 i i2i3  i2009) 

mà: 1i2010 2 nên: 1 i i2i3  i2009= 2 1

1i i. 

b) Đặt z1a1 b i1 ; z2a2b i2  

Từ giả thiết ta có: 

1







Suy ra: 2(a b1 1a b2 2) 1 (a1a2)2(b1b2)2 1 z1z2   1

2 Số phức bằng nhau

Bài 1. Tìm các số thực x, y biết: 

a) 2x15i  4 3y2i 

b)  (x 2) 4 i 3 (y1)i; 

  c) 2x1  3y2ix2  y4i; 

  d) 1 3 x  y1ixy  2x1i. 

Giải. 

5

7

3

x x

y

y



 



  



3

5

y



Bài 2. Tìm các số thực x, y biết: 

a) x 5 1 2 y i  1 2yy5i; 

b)   x 3 1x i  2 2y2y7i; 

c) 2x 5 1x i   1 y y5i. 

Giải. 

b)

9

4

x x

y







   



c) 

10

3

x

x y

y









Bài 3 Tìm các số thực x, y thỏa mãn: 

  a) 1 2 i x 1 2 y i   ; 1 i

i

2

Giải

a) 

1

1 1

x

x y





 











b)  

10 6 10 2 8

x y

x y

x y

x y x y



 

  



 



 

  



 







c)  

1

2

1

2 1

2





 



 

9

2





 



9

15

2

2

3

6

5







 

  



Thế lần lượt vào  *  ta được nghiệm duy nhất  0

0

x y













Bài 4 Tìm các số thực x, y sao cho  z x yi thỏa mãn  3

18 26

z   i.  Giải

Ta có: 

3 3

x xy

x y y





2

t t y

t t



. 

Từ đó ta có  3

1

x

y











3 Giải phương trình phức

Trong phần này chúng ta sẽ vận dụng các phép tính về số phức và định nghĩa hai số phức bằng nhau để giải quyết bài toán

Bài 1 Giải các phương trình sau: 

a) z 5 7i  ; 2 i

1 3

z

i

i  

c) 3 4 i z  5 10i. 

Giải

a) z 5 7i  2 i z   2 i 5 7i 7 8i. 

1 3

z

5 10 3 4

Bài 2. Tìm số phức  x   biết: 

a)  (5 3 ) i  2x(1 2 )(3 4 ) i  i ; 

b)  (3 7 ) 2 i  ix(4i)(5 2 ) i ; 

c) 5 3 i x 4 3 i. 

Giải. 

a) Ta có: 

(5 3 ) 2 (1 2 )(3 4 ) (5 3 ) 2 11 2

2 2

b) Ta có: 

19 10 10 19

x

i

i 

c) 5 3 4 3 4 3 11 27

i

Bài 3 Cho số phức z thỏa mãn điều kiện 1i 2 2i z   8 i 1 2 i z  Xác định phần thực 

và ảo của số phức  z (CĐ - 2009). 

Giải

1i 2 2i z   8 i 1 2 i z 2 2i i z   8 i 1 2 i z  

2 4i z 1 2i z 8 i

2 3

Số phức z có phần thực bằng 2, phần ảo bằng -3

Bài 4 Tìm số phức z thỏa mãn  z2z2i 3 1i. 

Giải

Giả sử  za bi  Khi đó: 

3 13 9 13 3 9

a b a b





 

 









  



Vậy  13 9

3

z  i. 

Bài 5. Tìm số phức z thỏa mãn  z3z3 2 i 2 2i. 

Kết quả :  11 19

z  i. 

Bài 6. Tìm số phức z thỏa mãn  z3z2i 3 2i. 

Kết quả :  15 10

4

z  i. 

Bài 7. Cho số phức z thỏa mãn điều kiện 2 3 i z 4i z  1 3 i2. Xác định phần thực và 

ảo của z.  (CĐ – D 2010 CB). 

Giải

Giả sử za bi a b,    

2 5

a b



 



 







Số phức z có phần thực -2, phần ảo 5. 

Bài 8. Tìm số phức z thỏa mãn điều kiện  z 5 i 3 1 0

z



    (ĐH – B 2011 CB). 

Giải

Giả sử za bi a b,    

2 2

5 3 1 2 3

i

z

b a a b





 

 



  

 



 



Các số phức z thỏa mãn đề bài là  z  1 3 ,i z 2 3i. 

Bài 9. Tìm số phức z thỏa mãn  z2 3 i z  1 9i      (ĐH – D 2011 CB). 

Giải

Giả sử za bi a b,    

2 1

a b



 







 



Vậy z   2 i

4 Phương trình bậc hai với hệ số thực

Bài 1 Giải phương trình  z24z70. 

Giải

Ta có  '

3 0

     nên phương trình có hai nghiệm phức  z  2 i 3. 

Bài 2 Giải các phương trình sau trên tập số phức. 

  a) 2x25x   4 0   (TN 2006). 

  b) x24x7  0   (TN 2007 – lần 1). 

  c) x26x25  0   (TN 2007 – lần 2). 

x  x      (TN 2008 – lần 2). 

  e) 8z24z   1 0   (TN 2009 – CB). 

  g) 2z26z   5 0   (TN 2010 – BT-THPT). 

Giải: 

Do z = 0 không là nghiệm của (1). Chia hai vế của  phương trình cho  z2 ta được:  

2

          

       

Đặt y z 1

z

   phương trình có dạng: y2 – 2y – 3 = 0   1

3

y y

 



 



Với y = -1  = z + 1

z = -1  z =  1 3

2

i

 

  

Với y = 3  = z + 1

z = 3  z = 

2



 Vậy phương trình đã cho có 4 nghiệm. 

Bài 4. Giải phương trình:  2 2  2 

z z  z  z     Giải. 

Đặt tz2 , khi đó phương trình đã cho có dạng: z

2 2

2

1 23 2

 t  4t – 12 0

1 2

i z

z

z z















 



. 

Vậy phương trình đã cho có 4 nghiệm như trên. 

5 Môdun của số phức

Bài 1 Cho z1 3 i z, 2  2 i. Tìm môdun của số phức z1z z1 2. 

Giải

z z z  i  i i  i  i   Vậy  z1z z1 2 10. 

Bài 2 Tìm mô đun của số phức z, biết:  

a)  z(2 3 )(1 i i) 4 i;        b) (1i) (22 i z)   8 i (1 2 ) i z;  c) z(2 4 ) 2 (1 3 ) i  i  i ;        d) z 1 4i(1i)3. 

Giải. 

a) Ta có z(2 3 )(1 i i) 4 i    Do đó 5 i z  5212  26. 

b) (1i) (22 i z)   8 i (1 2 ) i zz  2 5i  Do đó z  ( 2) 252  29.       

c) Ta có z(2 4 ) 2 (1 3 ) i  i  i  8 6i  Do đó z  8262  10010

d) Ta có (1i)3  2 2i. Suy ra: z  1 2i z  ( 1) 222  5. 

Bài 3

Cho số phức z 3 2i. Tìm mô đun của số phức z2z. 

Giải. 

Ta có z2  z 8 14i  Do đó z  82142  260. 

Bài 4 Tìm mô đun của số phức  2zz  biết  z 3 4i  

Giải. 

Ta có  2z  z 9 4i  Do đó 2  2

Bài 5. Tính Modun của các số phức sau: 

a)  (1 2 )z  i   1 3i;    b)  3 2

1 3

z

i

i  

z



Đáp số. 

5

5

z   

Bài 6 Cho z1 2 3 ,i z2   Tìm môdun của các số phức 1 i 1 2

2

3 , z z ,

z



  z 13 3z2.  Giải

+) z13z2  5 6i z13z2  61. 

i

+)  z133z2 49 6 i z133z2  2437. 

Bài 7 (A - 2009) Gọi z , z  là các nghiệm phức của phương trình 1 2 z22z100. Tính 

z  z  

Giải

Các nghiệm phức của phương trình  2

2 10 0

z  z   là z1,2  1 3i z1  z1  10.  Vậy  z12 z2220. 

Bài 8 Cho số phức z thỏa mãn 1 2 i2z z 4i20. Tính môđun của z. 

(CĐ –  2011 CB). 

Giải

Giả sử za bi a b,    

2

4 3

a b



 











Vậy z 4 3i và  z   5

Bài 9 (A, A1 - 2012) Cho  số  phức  z   thỏa  nãm  5 

2 1

z i

i z



 

 .  Tính  môđun  của  số  phức 

2

1 z z

    

Giải

Giả sử  za bi  Khi đó: 

1 1

a b

a b

  



 











Ta có   1 z z2  2 3i   13. 

Bài 10 (D - 2012) Cho số phức z thỏa mãn 2  2 1 2  7 8

1

i

i



 . Tính môđun của số phức  1

    

Giải

Giả sử  za bi  Khi đó: 

3 2

a b

a b

  



 











Ta có  3 4i    5

Bài 11 (A - 2011) Tính môđun của số phức z biết 2z 1 1  iz1 1  i 2 2i. 

Giải

Giả sử  za bi  Khi đó: 

1 3 1 3

a b a b

           



 

   









  



3

z    

Bài 12 Cho số phức z thỏa mãn  1 3 3

1

i z

i





 . Tìm môđun của số phức  z iz .  (ĐH – A 2010 NC). 

Giải

1 3 3 1 3 3 3.   3 2 3 3 8 9 9

4 4

Khi đó z iz   4 4i i  4 4i  8 8i z iz 8 2. 

Bài 13 (A - 2011) Tìm tất cả các số phức z thỏa mãn  z2  z2  z

Giải

Giả sử  za bi  Khi đó: 

2

2

0

;

;

ab b

a b

 

 





  









    



3

. 

6

  

Bài 15 Tìm số phức z thỏa mãn  z22 z z z2  và 8 z z 2. 

Giải. 

Giả sử z x yi x y ,    

z  z z z   x y  x y   

  z+z z 22x2x1  2  

Từ (1) và (2) tìm được: x1;y   1

Vậy các số phức cần tìm là: 1i, 1i. 

Bài 16 Tìm số phức  z  thỏa mãn  z2i  10 và z z  25  (ĐH – B 2009).  

Giải

Giả sử za bi a b,    

Xét hệ: 

2 2

2 2

25 25

25

z z







 



25



 



3 4 5 0

a b a b

 











 









Các số phức thỏa mãn đề bài là z 3 4 ,i z  5

Bài 17 Tìm số phức z thỏa mãn điều kiện  z  2 và z2 là số thuần ảo. (ĐH – D 2010 CB).  Giải

Giả sử za bi a b,    

Xét hệ 

2 2

2 2

2 2 2

2

1 0

a b

a b

iz

   







Các số phức thỏa mãn đề bài là z 1 i z,   1 i z,   1 i z,  1 i. 

Bài 18. Tìm số phức z thỏa mãn:  z   biết phần ảo nhỏ hơn phần thực 3 đơn vị. 2 i 2

Giải. 

Gọi số phức cần tìm là  za bi  

Theo bài ra ta có: 

2

1 2

a b

b a

b

  



   

 





  







Vậy các số phức cần tìm là: z 2 2  ( 1 2) ;i z 2 2  ( 1 2)i. 

6 Biểu diễn hình học của số phức

Bài 1 Tìm hợp các điểm biểu diễn số phức z sao cho  u z 2 3i

z i

 



  là một số thuần ảo. 

Giải

Giả sử za bi a b,    

2 2

2 2

2 3

1

1

1

u

 



Để u là số thuần ảo thì điều kiện cần và đủ là: 

2

2

; 0;1 , 2; 3

a b





Tập  hợp  các  điểm  biểu  diễn  số  phức  z  là  đường  tròn  tâm  I   1; 1,  bán  kính R  5  trừ  các  điểm 0;1 ,  2; 3. 

Bài 2 Tìm tập các điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn hệ thức  2 3 1

4

 



Giải

Giả sử za bi a b,    

2 3

a b

a b

 



 



Tập các điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn hệ thức  2 3 1

4

 



   là đường thẳng y3x  1

Bài 3 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy tìm tập hợp các số phức z thỏa mãn điều kiện 

z  i    (ĐH – D 2009). 

Giải

Giả sử za bi a b,    

Trong mặt phẳng tọa độ tập các điểm M a b  thỏa mãn phương trình  ;  a32b42 4 

là đường tròn tâm I3; 4  bàn kính R  2

Bài 4 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy tìm tập hợp các số phức z thỏa mãn  z i  1i z  

(ĐH – B 2010 CB). 

Giải

Giả sử za bi a b,    

2

2 2

2 2

1 1

1 2

Trong mặt phẳng tọa độ tập các điểm M a b  thỏa mãn phương trình  ;  2  2

a  b   

là đường tròn tâm I0; 1  bàn kính R  2