TRƯỜNG THPT TÂN CHÂU SỐ PHỨC BÀI TẬP 1.. Tìm phần thực và phần ảo của mỗi số phức sau: a.. Xác đỉnh tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn các số z thỏa m điều kiện sau: a.. Các
Trang 1TRƯỜNG THPT TÂN CHÂU SỐ PHỨC
* i2= -1 số phức Z= a + b.i (a; b ∈ R)
a: là phần thực; b: là phần ảo
* M(a; b) biểu diễn số phức Z
OM= (a; b) biểu diễn số phức Z
* Phép toán số phức
i
b
a
z= + và z'=a'+b'.i ∈
∈
R b a
R b a
'
;'
;
Ta có:
* Số phức đối nhau:cho Z= a + b.i (a,b∈R)
.số -Z= - a – b.i là số phức đối với: Z
* Số phức liên hợp: Z =a−b.i
Chú ý ( Zn) = ( Z )n; i = − i ; − i = i
• Z là số thực ⇔ Z =Z
• Z là số ảo ⇔ Z = −Z
* Môđun số phức Z=a + b.i (a; b ∈ R)
môđun số phức Z là: Z = a2+b2
z z b a OM
Chú ý: Z = Z ∀ ∈ Cz
* Số phức nghịch đảo: 2
1
Z
Z
Z = Z ≠0
* Thương 2 số phức
'
'
'
Z
Z Z Z Z
Z Z
Z
Z = = Z ≠0
* Căn bậc hai số phức: W= a + b.i
)
;
+ Số 0 có duy nhất 1 căn bậc hai là 0
+ a>0: W có 2 căn bậc hai là
a và − a
+ a<0 : W có 2 căn bậc hai là
−a i và − −a i
• W= a + b.i (b ≠0)
Z= x + y.i (x; y ∈ R) là căn bậc hai
của W trong đó x; y là nghiệm hệ pt:
=
=
−
b xy
a y x
2
2 2
* Phương trình bậc hai:
Az2 + Bz + C= 0 (1) ≠
∈ 0
, ,
A
C C B A
Lập ∆ =B2 − 4AC
• ∆= 0 thì phương trình có 1 nghiệm kép
A
B Z
Z
2 2 1
−
=
=
• ∆≠0 thì phương trình có 2 nghiệm
+
−
=
−
−
=
A
B Z
A
B Z
2
2 2
1
δ
δ
* Định lý Viet: phương trình (1) có 2 nghiệm Z1
và Z2 ta có:
A
B Z
Z1 + 2 = − ;
A
C Z
Z1 2 =
* Dạng lượng giác số phức:
Số phức: Z =a+b.i (a;b∈R) có dạng lượng
giác là z=r(cosϕ+i sinϕ)
Trong đó
=
=
>
=
r b r a
Z r
ϕ
ϕ sin cos
0
|
|
) ,
=
• Cho Z có một acgumen là ϕthì:
Z có 1 acgumen là −ϕ
- Z có 1 acgumen là π +ϕ
Z
1
có 1acgumen là −ϕ
* Cho Z =r(cosϕ+i sinϕ)
) ' sin ' (cos '
Ta có:
• Z.Z'=r.r'[cos(ϕ+ϕ')+i.sin(ϕ+ϕ') ]
• '= '[cos(ϕ' −ϕ)+i sin(ϕ' −ϕ) ]
r
r Z Z
• Z n =r n[cosnϕ+i.sinnϕ]
• Z có hai căn bậc hai:
=
=
⇔
=
'
' '
b b
a a z z
* z±z'=a±a'+(b±b').i
*z.z'=a.a'−b.b'+(a.b'+a'.b).i
(δ là một căn bậc hai của ∆)
Trang 2TRƯỜNG THPT TÂN CHÂU SỐ PHỨC
BÀI TẬP
1 Tìm phần thực và phần ảo của mỗi số phức sau:
a (1+i)2 −(1−i)2; b
i
i i
+
1 3
2
1
7
−
i
i
i i i i
i
3 2 3 2 1
1
2
+
− + +
− +
− +
2 Tìm nghiệm phức của mỗi phương trình sau:
2
3 1
1
2
i
i z
i
i
+
+
−
=
−
+
2
1 3
+ + +
−
i iz i z i
3.Tính :
a.1+(1+i)+(1+i)2+(1+i)3+…….+(1+i)20 b 1+i+i2+i3++……+i2011
4 Xác đỉnh tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn các số z thỏa m điều kiện sau:
a |z+z+3|=4; b |z−z+1−i|=2;
c (2−z) ( )i+z là số ảo tùy ý; d 2|z−i|=|z−z+2i|;
5 Các vectơ u>,u>'trong mặt phẳng phức theo thứ tự biểu diễn các số phức z, z’.
a Chứng minh rằng tích vô hướng ( ' ')
2
1 ' u z z z z
u> >= + ;
b Chứng minh rằng u>,u>' vuông góc khi và chỉ khi |z+z|'=|z−z|'
6 Xác định tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn các số phức z thỏa mãn
,
k i z
z =
−
(k là số thực dương cho trước)
7 Tìm số phức z thỏa mãn đồng thời
1
1 =
−
−
i
z
z
và 3 =1
+
−
i z
i z
8 Tìm số phức z thỏa mãn
1
4
=
−
+
i z
i z
9 Tìm các căn bậc hai của mỗi số phức sau:
10 Giải các phương trình sau trên C :
a (z−i) (z2+1)(z3+i)=0 b (z2 +z) (2 +4 z2+z) −12=0
11 Tìm phần thực ;phần ảo ;mô đun :1 tan
1 tan
i i
α α
+
−
12 Giải các phương trình sau trên C :
2
2
3
4−z +z +z+ =
z bằng cách đặt ẩn số phụ
z z
w= −1 ;
b (z2 +3z+6)2 +2z(z2 +3z+6)−3z2 =0
c (z2+1)2+(z+3)2=0
13 Giải hệ phương trình hai ẩn phức z1, z2 sau :
−
= +
+
= +
i z
z
i z
z
2 5
4
2 2
2 1 2
Trang 3TRƯỜNG THPT TÂN CHÂU SỐ PHỨC
14 Giải hệ phương trình hai ẩn phức z1, z2 sau :
+
−
= +
−
−
=
i z
z
i z
z
2 5
5 5
2 2
2 1
2 1
15 Tìm một acgumen của mỗi số phức sau :
a.-1-i 3 ; b
4
sin 4 cosπ −i π
8
cos 8 sinπ −i π
− d 1−sinϕ+icosϕ ;
2
<ϕ<π
16 Cho PT : z2+ kz+1=0 (-2<k<2) Chứng minh rằng các điểm biểu diễn nghiệm PT đã cho thuộc đường tròn đơn vị
17 Xác định tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn các số phức z thỏa mãn điều kiện sau :
z−2z+ − = +1 i z 3
18 Tìm phần thực và phần ảo của mỗi số phức sau:
3
sin
3
cos i i5 + i 7
b ( )
10
3
1
i
i
+
+
; c 2000 20001
z
z + biết rằng +1=1
z z
19 Viết dạng lượng giác của mỗi số phức sau:
a
2 sin
2
sinϕ+i 2ϕ
b cosϕ+i(1+sinϕ)
20 CMR:3(1+i)2011= 4i(1+i)2009- 4(1+i)2007
21 Cho số phức z có môđun bằng 1 Biết một acgumen của z là ϕ, hãy tìm một acgumen của
mỗi số phức sau :
2
1
z
z
z
d −z2z;
e z+z; f z2+z; g z2−z; h z2+z
22 Hỏi với số nguyên dương n nào, số phức
n
i
i
−
− 3 3
3 3
là số thực, là số ảo?
23 Viết dưới dạng lượng giác các số phức sau:
a 2-2 3I b.-2(cosα -isinα ) c.1+cos sin
24 a Cho z=cosϕ+isinϕ (ϕ∈R) Chứng minh rằng với mọi số nguyên n≥ 1, ta có
ϕ
n z
z n + 1n =2cos ; i nϕ
z
z n − 1n =2 sin
b Từ câu a chứng minh rằng
(sin5 5sin3 10sin )
16
1
sin
, 3 2 cos 4 4 cos
8
1
cos
5
4
ϕ ϕ
ϕ ϕ
ϕ ϕ
ϕ
+
−
=
+ +
=
25 Tìm dạng lượng giác của các căn bậc hai của các số phức sau:
a cosϕ−isinϕ; b sinϕ+icosϕ; c sinϕ−icosϕ. với ϕ∈R cho trước.
26.Viết dạng lượng giác số z=1 3
2− 2 i.Suy ra căn bậc hai số phức z
GV biên soạn: Hoa Hoàng Tuyên