CHUYÊN ĐỀ thể tích khối đa diện

CHUYÊN ĐỀ thể tích khối đa diện có lời giải

ñ o n

ñ h

ñ o n

ñ h

Cạnh kềCạnh huyền

CHUYÊN ĐỀ 7 HÌNH HỌC KHÔNG GIAN CỔ ĐIỂNCHỦ ĐỀ 7.4 KHỐI ĐA DIỆN VÀ THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN

A KIẾN THỨC CƠ BẢN

I HÌNH HỌC PHẲNG

1 Các hệ thức lượng trong tam giác vuông:

Cho tam giác ABC vuông tại A, AH là đường cao, AM là đường trung tuyến Ta có:

2 Các tỉ số lượng giác của góc nhọn trong tam giác vuông:

3 Các hệ thức lượng trong tam giác thường:

c Công thức tính diện tích tam giác:

d Công thức tính độ dài đường trung tuyến:

M

A

NM

2 2

(Tỉ diện tích bằng tỉ bình phương đồng dạng)

(R là bán kính đường tròn ngoại tiếp ∆ABC)

A

a R

5 Diện tích đa giác:

a Diện tích tam giác vuông:

Diện tích tam giác vuông bằng ½ tích 2 cạnh

góc vuông

b Diện tích tam giác đều:

Diện tích tam giác đều:

34

SD =

Chiều cao tam giác đều:

32

hD =

c Diện tích hình vuông và hình chữ nhật:

Diện tích hình vuông bằng cạnh bình phương

Đường chéo hình vuông bằng cạnh nhân 2

Diện tích hình chữ nhật bằng dài nhân rộng

d Diện tích hình thang:

SHình Thang 1

2

= (đáy lớn + đáy bé) x chiều cao

e Diện tích tứ giác có hai đường chéo vuông

góc:

Diện tích tứ giác có hai đường chéo vuông góc

nhau bằng ½ tích hai đường chéo

Hình thoi có hai đường chéo vuông góc nhau

tại trung điểm của mỗi đường

II CÁC PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH HÌNH HỌC

1 Chứng minh đường thẳng song song với mặt phẳng :



( )

( )( )

üï

Ë ïïï

¢ ýÞïï

üïïï Þýï

ABC

a S

a h

D

ìïï = ïïï

Þ í

ïï = ïï ïî

C D

Q Q

3 Chứng minh hai đường thẳng song song: Áp dụng một trong các định lí sau

Hai mặt phẳng ( ),a b có điểm chung S và lần lượt chứa 2 đường thẳng song song ,( ) a bthì giao

tuyến của chúng đi qua điểm S cùng song song với a,B.

ïïïïþ

P PP

(Hệ quả trang 57, SKG HH11)

Cho đường thẳng a song song với mặt phẳng ( )a Nếu mặt phẳng ( ) b chứa a và cắt ( ) a theo giao

tuyến b thì b song song với a

( ) ( )

( ),

( )

a

b b

üï

Ì ïï Þýï

ü

ýï

Sử dụng phương pháp hình học phẳng: Đường trung bình, định lí Talét đảo, …

4 Chứng minh đường thẳngvuông góc với mặt phẳng:

Định lý (Trang 99 SGK HH11) Nếu một đường thẳng vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau

nằm trong một mặt phẳng thì nó vuông góc với mặt phẳng ấy

( )

{

( )( )}

Tính chất 1a (Trang 101 SGK HH11) Cho hai đường thẳng song song Mặt phẳng nào vuông góc

với đường thẳng này thì vuông góc với đường thẳng kia

Tính chất 2a (Trang 101 SGK HH11) Cho hai mặt phẳng song song Đường thẳng nào vuông góc

với mặt phẳng này thì cũng vuông góc với mặt phẳng kia

üïïï Þ ^ý

ï

P

Định lý 2 (Trang 109 SGK HH11) Nếu hai mặt phẳng cắt nhau và cùng vuông góc với mặt phẳng

thứ ba thì giao tuyến của chúng vuông góc với mặt phẳng thứ ba đó

^ ïïïï

ïïï

Định lý 1 (Trang 108 SGK HH11) Nếu hai mặt phẳng vuông góc thì bất cứ đường thẳng nào nào

nằm trong mặt phẳng này và vuông góc với giao tuyến đều vuông góc với mặt phẳng kiA.

ïïï

5 Chứng minh hai đường thẳng vuông góc:

Cách 1: Dùng định nghĩa: a^ Ûb ( )a b¶, =90 0

Hay a^ Ûb ar ^ Ûbr abr.r = Û0 a b cos a br r ( )r,r =0

Cách 2: Nếu một đường thẳng vuông góc với một trong hai đường thẳng song song thì phải vuông

góc với đường kia

^ ïï Þ ^ý

ï

Ì ïïþ

Cách 4: (Sử dụng Định lý Ba đường vuông góc) Cho đường thẳng b nằm trong mặt phẳng ( )P và

a là đường thẳng không thuộc ( )P đồng thời không vuông góc với ( )P Gọi a’ là hình chiếu

vuông góc của a trên ( )P Khi đó b vuông góc với a khi và chỉ khi b vuông góc với a’.

B

Cách 2: Theo định lý 1 (Trang 108 SGK HH11):

III HÌNH CHÓP ĐỀU

1 Định nghĩa: Một hình chóp được gọi là hình chóp đều nếu có đáy là một đa giác đều và có chân đường

cao trùng với tâm của đa giác đáy.

Nhận xét:

 Hình chóp đều có các mặt bên là những tam giác cân bằng nhau Các

mặt bên tạo với đáy các góc bằng nhau

 Các cạnh bên của hình chóp đều tạo với mặt đáy các góc bằng nhau

2 Hai hình chóp đều thường gặp:

a Hình chóp tam giác đều: Cho hình chóp tam giác đều S ABC Khi

đó:

 ĐáyABC là tam giác đều.

 Các mặt bên là các tam giác cân tại S

 Chiều cao: SO

 Góc giữa cạnh bên và mặt đáy: ·SAO=SBO· =SCO· .

 Góc giữa mặt bên và mặt đáy: ·SHO

AB

Lưu y: Hình chóp tam giác đều khác với tứ diện đều.

 Tứ diện đều có các mặt là các tam giác đều.

 Tứ diện đều là hình chóp tam giác đều có cạnh bên bằng cạnh đáy.

b Hình chóp tứ giác đều: Cho hình chóp tam giác đều S ABCD

 ĐáyABCD là hình vuông.

 Các mặt bên là các tam giác cân tại S

 Chiều cao: SO

 Góc giữa cạnh bên và mặt đáy: ·SAO =SBO· =SCO· =SDO· .

 Góc giữa mặt bên và mặt đáy: ·SHO

IV THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN

1 Thể tích khối chóp: 1

.3

OI

B

S

O

2 Thể tích khối lăng trụ: V =B h.

:

B Diện tích mặt đáy.

:

h Chiều cao của khối chóp.

Lưu ý: Lăng trụ đứng có chiều cao cũng là

cạnh bên

3 Thể tích hình hộp chữ nhật: V =abc

Þ Thể tích khối lập phương: V =a3

B BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM

không đổi thì thể tích S ABC tăng lên bao nhiêu lần?

2.

A Số các cạnh của mỗi mặt B Số mặt của đa diện.

C Số cạnh của đa diện D Số đỉnh của đa diện.

A Số đỉnh của đa diện B Số mặt của đa diện.

C Số cạnh của đa diện D Số các mặt ở mỗi đỉnh

B

B’

AB

’

C

phẳng vuông góc với mặt phẳng (ABC Tính thể tích khối chóp ) S ABC biết AB a= , AC a= 3

A

3

612

3

64

3

26

3

4

a ×

thuộc mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng (ABCD Tính thể tích khối chóp ) S ABCD biết BD a= ,

là trung điểm H của BC Tính thể tích khối chóp S ABC biết AB a= , AC a= 3, SB a= 2

NHẬN BIẾT – THÔNG HIỂU

không đổi thì thể tích S ABC tăng lên bao nhiêu lần?

2.

Hướng dẫn giải:

Khi độ dài cạnh đáy tăng lên 2 lần thì diện tích đáy tăng lên 4 lần

⇒ Thể tích khối chóp tăng lên 4 lần.

Hướng dẫn giải:

Có 5 khối đa diện đều là: tứ diện đều, hình lập phương, khối 8 mặt đều, khối 12 mặt đều, khối 20mặt đều

A Số các cạnh của mỗi mặt B Số mặt của đa diện.

C Số cạnh của đa diện D Số đỉnh của đa diện.

A Số đỉnh của đa diện B Số mặt của đa diện.

C Số cạnh của đa diện D Số các mặt ở mỗi đỉnh

A

3

212

3

24

Gọi tứ diện ABCD đều cạnh a

Gọi H là hình chiếu của A lên (BCD )

 Diện tích toàn phần: S tp=S xq+2S ñ

 Thể tích khối trụ: =π 2

Câu 2. Gọi , , l h R lần lượt là độ dài đường sinh, chiều cao và bán kính đáy của hình trụ (T) Diện tích xung

quanh S của hình trụ (T) là xq

A. S xq =2πRl B. S xq=πRh C. S xq =πRl D. S xq =πR h2

Câu 3. Gọi , , l h R lần lượt là độ dài đường sinh, chiều cao và bán kính đáy của hình trụ (T) Diện tích toàn

phần S của hình trụ (T) là tp

Câu 5. Cho hình trụ có bán kính đáy 5 cm chiều cao 4 cm Diện tích toàn phần của hình trụ này là

Câu 9. Hình trụ (T) được sinh ra khi quay hình chữ nhật ABCD quanh cạnh AB Biết AC=2a 2 và

·ACB=450 Diện tích toàn phần S của hình trụ(T) là tp

A. S tp =16πa2 B. S tp =10πa2 C. S tp =12πa2 D. S tp =8πa2

Câu 10. Cho hình trụ có bán kính đáy bằng R và chiều cao bằng 3

2

R

Mặt phằng ( )α song song với trục của

hình trụ và cách trục một khoảng bằng

Câu 11. Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có cạnh bên AA’ = 2a Tam giác ABC vuông tại A có BC=2a 3 Thề

tích của hình trụ ngoại tiếp khối lăng trụ này là

Câu 12. Cho lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có cạnh đáy bằng a, mặt bên là các hình vuông Diện tích toàn

phần của hình trụ ngoại tiếp khối lăng trụ là

A.

2

2( 3 1)3

a

2

32

a

π

Câu 13. Cho hình trụ có có bán kính R Gọi AB và CD lần lượt là hai dây cung song song với nhau và nằm

trên hai đường tròn đáy và cùng có độ dài bằng R 2 Mặt phẳng (ABCD) không song song và cũng không chứa trục của hình trụ Khi đó, tứ giác ABCD là hình gì?

A hình chữ nhật B hình bình hành C hình vuông D.hình thoi

Câu 14. Cho hình lăng trụ tam giác đều có cạnh đáy bằng a và chiều cao bằng h Khi đó thể tích của khối trụ

nội tiếp lăng trụ sẽ bằng

ha

43

Câu 16. Một hình trụ ( )T có diện tích xung quanh bằng 4π và thiết diện qua trục của hình trụ này là một

hình vuông Diện tích toàn phần của ( )T là

Câu 17. Cho lăng trụ lục giác đều ABCDEF có cạnh đáy bằng a Các mặt bên là hình chữ nhật có diện tích

bằng 2a Thể tích của hình trụ ngoại tiếp khối lăng trụ là2

Câu 18. Một hình trụ có bán kính 5cm và chiều cao 7cm Cắt khối trụ bằng một mặt phẳng song song với trục

và cách trục 3cm Diện tích thiết diện tạo bởi khối trụ và mặt phẳng bằng

Câu 19. Cho hình trụ có có bán kính R; AB, CD lần lượt là hai dây cung song song với nhau, nằm trên hai

đường tròn đáy và cùng có độ dài bằng R 2 Mặt phẳng (ABCD) không song song và cũng không chứa trục của hình trụ, góc giữa (ABCD) và mặt đáy bằng 30 Thể tích khối trụ bằng0

Câu 20. Khối trụ (T) có bán kính đáy là R và thiết diện qua trục là một hình vuông Thể tích của khối lăng trụ

tứ giác đều nội tiếp khối trụ (T) trên tính theo R bằng

Câu 24. Một hình trụ có chu vi của đường tròn đáy là c , chiều cao của hình trụ gấp 4 lần chu vi đáy Thể tích

của khối trụ này là

Câu 28. Một hình trụ có đường kính của đáy bằng với chiều cao của nó Nếu thể tích của khối trụ bằng 2π thì

chiều cao của hình trụ bằng

Câu 30 Cho hình trụ có hai đáy là hình tròn nội tiếp của hình lập phương cạnh a Diện tích xung quanh của

hình trụ đó bằng

Câu 32. Cho hình trụ có bán kính đáy và chiều cao cùng bằng a Gọi A, B lần lượt nằm trên hai đường tròn

đáy, AB tạo với đáy góc 300 Khoảng cách giữa AB và trục hình trụ đó bằng

Câu 33. Cho hình trụ có hai đáy là hình tròn ngoại tiếp của hình lăng trụ tam giác đều có tất cả các cạnh bằng

a Thể tích của hình trụ đó bằng

Câu 34. Cho hình trụ có hai đáy là hình tròn nội tiếp của hình lăng trụ tam giác đều có tất cả các cạnh bằng a.

Thể tích của hình trụ đó bằng

a

π

Câu 35. Cho hình trụ nội tiếp trong hình lập phương có cạnh bằng x Tỷ số thể tích của khối trụ và khối lập

phương trên bằng

Câu 36. Một hình trụ có chiều cao bằng 6 nội tiếp trong hình cầu có bán kính bằng

5 như hình vẽ Thể tích của khối trụ này bằng

Câu 37. Từ một tâm tôn hình chữ nhật kích thước 50cm × 240cm, người ta làm các

thùng đựng nước hình trụ có chiều cao bằng 50cm theo hai cách sau(xem hình minh họa dưới đây):

 Cách 1: Gò tấm tôn ban đầu thành mặt xung quanh của thùng

 Cách 2: Cắt tấm tôn ban đầu thành hai tấm bằng nhau, rồi gò mỗi tấm đó thành mặt xung quanhcủa một thùng.

Kí hiệu V là thể tích của thùng gò theo cách 1 và 1 V là tổng thể tích của hai thùng gò được theo cách2

2 Tính tỉ số 1

2

V V

A. 1

2

12

Câu 38. Một hình trụ có bán kính đường tròn đáy là r và chiều cao h r= 3 Lấy hai điểm A, B nằm trên

đường tròn đáy của hình trụ sao cho góc giữa đường thẳng AB và trục của hình trụ bằng 30 Khi đó,0

khoảng cách giữa đường thẳng AB với trục của hình trụ bằng

Câu 39. Cho hình trụ có hai đáy là hai đường tròn ( ; )O R và ( '; ) O R Trên đường tròn ( ; ) O R lấy điểm A,

trên đường tròn ( '; )O R lấy điểm B sao cho AB=2R và góc giữa AB với OO’ bằng 60 Tính diện0

tích xung quanh của hình trụ

Câu 41. Cho hình trụ có hai đáy là hai đường tròn ( ; )O R và ( '; ) O R Gọi AB là dây cung của đường tròn

( ; )O R sao cho tam giác O AB' là tam giác đều và mặt phẳng (O AB tạo với mặt phẳng chứa' )

Câu 42. Cho hình trụ có bán kính đáy bằng R , trục OO'= 2.R Gọi AB là dây cung của đường tròn tâm O

sao cho góc ·AOB=1200 Kẻ hai đường sinh AM và BN Tính thể tích tứ diện O’OAN

Câu 43. Người ta bỏ ba quả bóng bàn cùng kích thước vào trong một chiếc hộp hình trụ có đáy bằng hình tròn

lớn của quả bóng bàn và chiều cao bằng ba lần đường kính bóng bàn Gọi S là tổng diện tích của ba1

quả bóng bàn, S là diện tích xung quanh của hình trụ Tỉ số 2 1

Câu 44. Một công ty muốn thiết kế bao bì để đựng sữa với thể tích 1dm Bao bì được thiết kế bởi một trong3

hai mô hình sau: hình hộp chữ nhật có đáy là hình vuông hoặc dạng hình trụ và được sản xuất cùngmột nguyên vật liệu Hỏi thiết kế theo mô hình nào sẽ tiết kiệm được nguyên vật liệu nhất? Và thiết

kế mô hình đó theo kích thước như thế nào?

A Hình trụ và chiều cao bằng đường kính đáy

B Hình trụ và chiều cao bằng bán kính đáy

C Hình hộp chữ nhật và cạnh bên gấp hai lần cạnh đáy

D.Hình hộp chữ nhật và cạnh bên bằng cạnh đáy

Câu 45. Cho hình lập phương có cạnh bằng a và một hình trụ có hai đáy là hai hình tròn nội tiếp hai mặt đối

diện của hình lập phương Gọi S là diện tích 6 mặt của hình lập phương, 1 S là diện tích xung quanh2

của hình trụ Hãy tính tỉ số 2

1

S S

Câu 47. Gọi , ,l h R lần lượt là độ dài đường sinh, chiều cao và bán kính đáy của hình nón (N) Diện tích xung

quanh S của hình nón (N) bằng xq

A. S xq =πRl B. S xq=πRh C. S xq =2πRl D. 2

xq

S =πR h

Câu 48. Gọi , ,l h R lần lượt là độ dài đường sinh, chiều cao và bán kính đáy của hình nón (N) Diện tích toàn

phầnS của hình nón (N) bằng tp

Câu 54. Cho hình hóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a và chiều cao bằng 2a, diện tích xung quanh

của hình nón đỉnh S và đáy là hình tròn nội tiếp ABCD bằng

Câu 55. Thiết diện qua trục của một hình nón là một tam giác vuông cân có cạnh góc vuông bằng a Diện tích

xung quanh của hình nón bằng

Câu 57. Diện tích toàn phần của hình nón có khoảng cách từ tâm của đáy đến đường sinh bằng 3 và thiết

diện qua trục là tam giác đều bằng

Câu 58. Cho hình nón có đường sinh l, góc giữa đường sinh và mặt phẳng đáy là 30 Diện tích xung quanh0

của hình nón này bằng

2

32

Câu 60. Cho hình nón có thiết diện qua trục là tam giác đều cạnh 2a Thể tích và diện tích xung quanh của

hình nón lần lượt à

Câu 61. Thiết diện qua trục của một hình nón là một tam giác vuông cân có cạnh góc vuông bằng a Một thiết

diện qua đỉnh tạo với đáy một góc 60 Diện tích của thiết diện này bằng0

Câu 62. Hình nón có đường cao 20cm, bán kính đáy 25cm Một mặt phẳng (P) qua đỉnh của hình nón và có

khoảng cách đến tâm là 12cm Diện tích thiết diện tạo bởi (P) và hình nón bằng

Câu 64. Một hình nón có thiết diện qua trục là một tam giác đều Gọi V V lần lượt là thể tích của khối cầu1, 2

ngoại tiếp và nội tiếp khối nón trên Khi đó, tỉ số 1

2

V

V bằng

Câu 65. Khối nón (N) có chiều cao là h và nội tiếp trong khối cầu có bán kính R với h<2R Khi đó, thể tích

của khối nón (N) theo h và R bằng

Câu 67. Một hình nón có đường kính của đường tròn đáy bằng 6 m , chiều cao bằng ( ) 4 m Thể tích của( )

khối nón này bằng

A.12π( )m3 B. 36π( )m3 C. 48π( )m3 D.15π( )m3

Câu 68. Cho hình nón có đường kính của đường tròn đáy bằng 8 cm , đường cao ( ) 3 cm , diện tích xung( )

quanh của hình nón này bằng

Câu 73. Trong không gian cho tam giác OIM vuông tại I , góc · IOM =450 và cạnh IM =a Khi quay tam

giác OIM quanh cạnh góc vuông OI thì đường gấp khúc OMI tạo thành một hình nón tròn xoay.Khi đó, diện tích xung quanh của hình nón tròn xoay đó bằng

Câu 74. Cho hình lập phương ABCD A B C D ' ' ' ' có cạnh bằng a Một hình nón có đỉnh là tâm của hình

vuông ABCD và có đường tròn đáy ngoại tiếp hình vuông A B C D' ' ' ' Diện tích xung quanh củahình nón đó là

Câu 75. Thiết diện qua trục của một hình nón là một tam giác vuông cân có cạnh huyền bằng 2 3 Thể tích

của khối nón này bằng

Câu 76. Thiết diện qua trục của một hình nón là một tam giác vuông cân có diện tích bằng 4 Diện tích xung

quanh của hình nón bằng

Câu 77. Một khối nón có thể tích bằng 30π, nếu giữ nguyên chiều cao và tăng bán kính khối nón đó lên 2 lần

thì thể tích của khối nón mới bằng