Cách gải các bài toán thể tích khối đa diện trong các đề thi đại học từ năm 2002 đến nay

Tuy nhiên nhiều bài toán tính thể tích của khối đadiện, tính khoảng cách và góc đòi hỏi người học phải nắm vững cách xác địnhhình chiếu của một điểm lên mặt phẳng để tính khoảng cách, từ

SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO THỪA THIấN HUẾ

trong các đề thi đại học

Họ và tờn: lê-viết-hòa Tổ: Toỏn

Đơn vị: Trường THPT Vinh Xuõn

Vinh Xuõn, thỏng 03 năm 2013

MỤC LỤC

Trang

Phần 1 - MỞ ĐẦU……… …… …… ……2

1.1 - Lý do chọn đề tài 1.2 - Mục đích nghiên cứu đề tài 1.3 - Phạm vi nghiên cứu đề tài 1.4 - Nhiệm vụ nghiên cứu của đề tài 1.5 - Phương pháp nghiên cứu đề tài Phần 2 - NỘI DUNG ……… … … 4

2.1 - CƠ SỞ LÝ THUYẾT……… ……4

2.2 - BA BÀI TOÁN CƠ BẢN VỀ XÁC ĐỊNH HÌNH CHIẾU CỦA MỘT ĐIỂM LÊN MẶT PHẲNG ……….… 5

2.3 - CÁC VÍ DỤ MINH HỌA……… ……6

2.4 - BÀI TẬP ……… … 15

Phần 3 - KẾT LUẬN – KIẾN NGHỊ ……… …… …16

DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO 17

     — — –     

Phần 1 - MỞ ĐẦU 1.1 - Lý do chọn đề tài

Bài toán “Tính thể tích của khối đa diện, khoảng cách và góc” trong

chương trình môn Toán ở trường Trung học phổ thông (THPT) thường xuấthiện trong các đợt kiểm tra cuối học kỳ, kỳ thi tốt nghiệp THPT và thi tuyểnsinh Đại họcCao đẳng Tuy nhiên nhiều bài toán tính thể tích của khối đadiện, tính khoảng cách và góc đòi hỏi người học phải nắm vững cách xác địnhhình chiếu của một điểm lên mặt phẳng để tính khoảng cách, từ đó mới tínhđược thể tích của khối đa diện; xác định được khoảng cách và góc

Mặt khác, các dạng toán về tính thể tích của khối đa diện, tính khoảngcách và góc lại đa dạng, phong phú mà trong thời lượng có hạn ở lớp thì giáoviên cũng khó truyền đạt hết được Hơn nữa kỹ năng xác định hình chiếu củamột điểm lên mặt phẳng đòi hỏi học sinh phải nắm vững các kỹ năng cơ bản

về quan hệ vuông góc, quan hệ song song ở chương trình môn toán lớp 11 mà

đa số học sinh không theo kịp

1.2 - Mục đích nghiên cứu đề tài

Đề tài “Ứng dụng của phương pháp xác định hình chiếu một điểm lên

mặt phẳng để giải các bài toán hình học không gian trong các đề thi đại học”

này sẽ giúp học sinh hệ thống được cách xác định hình chiếu của một điểmlên mặt phẳng; rèn luyện cho học sinh hệ thống kỹ năng giải quyết các bàitoán tính thể tích của khối đa diện, tính khoảng cách và góc thường gặp trongchương trình Toán THPT thông qua việc xác định hình chiếu một điểm lênmặt phẳng

1.3 - Phạm vi nghiên cứu đề tài

1.3.1 Khách thể: Chương trình môn Toán THPT.

1.3.2 Đối tượng: Các bài toán về “Hình học không gian trong các đề thi đại

học-cao đẳng”

1.4 - Nhiệm vụ nghiên cứu của đề tài

Đề tài “Ứng dụng của phương pháp xác định hình chiếu một điểm lên

mặt phẳng để giải các bài toán hình học không gian trong các đề thi đại học”

cung cấp cho học sinh về phương pháp, kỹ năng và hệ thống bài tập về “Tính

thể tích của khối đa diện, khoảng cách và góc” từ các bài toán đã được ra

trong các đề thi Đại học-Cao đẳng

1.5 - Phương pháp nghiên cứu đề tài

Đề tài được nghiên cứu bằng phương pháp phân tích và tổng hợp lý

thuyết

Phần 2 - NỘI DUNG

2.1 - CƠ SỞ LÝ THUYẾT

2 1.1 Khái niệm về hình chiếu

a Phép chiếu song song

Cho mặt phẳng () và đường thẳng  cắt ()

Với mỗi điểm M trong không gian, đường thẳng

đi qua M và song song với  sẽ cắt () tại điểm

M’ xác định Điểm M’ được gọi là hình chiếu của điểm M trên mặt phẳng

() theo phương của đường thẳng  hay nói gọn là theo phương 

(Hình học 11, trang 72, nxb GD 2007)

b Phép chiếu vuông góc

Cho đường thẳng  vuông góc với mặt phẳng

() Phép chiếu song song theo phương của  lên

mặt phẳng () được gọi là phép chiếu vuông góc

lên mặt phẳng ()

(Hình học 11, trang 102, nxb GD 2007)

2 1.2.Nhận xét: Từ khái niệm về phép chiếu vuông góc, ta có nhận xét sau:

+ Nếu điểm A’ là hình chiếu của điểm A trên mặt phẳng () thì AA’() Như vậy để chứng tỏ A’ là hình chiếu vuông góc của điểm A trên mp() thì ta phải chứng minh đường thẳng AA’() và điểm A’().

+ Cho đường thẳng d không vuông góc với

mp() Nếu đường thẳng d cắt mặt phẳng () tại

điểm O, ta lấy điểm A tùy ý trên đường thẳng d

khác điểm O Gọi H là hình chiếu vuông góc của

điểm A trên mp() và  là góc giữa d và ().

Khi đó —AOH 

+ Giả sử hai mặt phẳng () và () cắt nhau theo

giao tuyến d và  là số đo góc của hai mặt phẳng

A'

(φ α)

d

O H

đường thẳng d và xác định hình chiếu H của M trên mp() Khi đó

a Bài toán 1: Xác định hình chiếu của điểm S lên mặt phẳng (P) khi đã

biết một đường thẳng  vuông góc với mặt phẳng (P) đó

b Bài toán 2: Xác định hình chiếu của điểm S lên mặt phẳng (P) khi đã

biết điểm S thuộc mặt phẳng (Q) mà (Q)(P).

c Bài toán 3: Xác định hình chiếu của điểm S lên mặt phẳng (P) khi đã

biết hai mặt phẳng (Q) và (R) cắt nhau, cùng vuông góc với (P)

2 2.2.Các bước xác định hình chiếu của điểm S lên mặt phẳng (P)

Bước 1 Xác định đường thẳng (P);

+ Ở bài toán 1 thì đường thẳng  đã có sẵn;

+ Ở bài toán 2 thì đường thẳng  là đường thẳng nằm trong mặt phẳng

(Q) qua S và  vuông góc với giao tuyến m của hai

thẳng d với mặt phẳng (P), trong đó d là đường thẳng qua S và d song song

với ;

2.3 - CÁC VÍ DỤ MINH HỌA

Trong các đợt kiểm tra định kỳ, kiểm tra học kỳ, thi tốt nghiệp THPT,thi tuyển sinh Đại học, cao đẳng các bài toán hình học không gian thườngđược khai thác nhiều là hình (khối) chóp và hình (khối) lăng trụ Do đó các ví

dụ sau đây chủ yếu sẽ xoay quanh hai loại hình (khối) chóp và hình (khối)lăng trụ

2 3.1.Hình (khối) chóp, lăng trụ có một cạnh bên vuông góc với đáy

Ví dụ 1: Cho tứ diện ABCD có cạnh AD vuông góc với mặt phẳng (ABC);

AC=AD=4cm, AB=3cm, BC=5cm Tính khoảng cách từ A tới

mp(BCD).

(Đề thi Đại học, Cao đẳng năm 2002-Khối D)

Giải:

+ Gọi I là hình chiếu của A trên BC Khi đó DI BC

Suy ra: (ADI)(BCD) (*).

Gọi H là hình chiếu của A trên DI Từ (*) suy ra

Ví dụ 2: Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có độ dài cạnh bên bằng 2a, đáy ABC là

tam giác vuông tại A, AB=a, AC=a 3 và hình chiếu vuông góc của đỉnh A’ trên mp(ABC) là trung điểm của cạnh BC Tính theo a thể tích khối chóp A'.ABC và tính côsin góc giữa hai đường thẳng AA’

và B’C’.

(Đề thi Đại học, Cao đẳng năm 2008-Khối A)

Giải:

+ Gọi H là trung điểm của BC Khi đó A’H(ABC).

Theo giả thiết, ta có tam giác ABC vuông tại A nên

+ Gọi  là góc giữa hai đường thẳng A’A và B’C’

Xét tam giác A’B’H vuông tại A’ nên B’H=2a, do đó tam giác BB’H cân tại

B’.

Từ đó, ta có  — 'B BH (vì A’A//BB’) Suy ra cos 1

4

  

Nhận xét: Bài toán này có thể sử dụng phương pháp tọa độ để giải

2 3.2.Hình (khối) chóp, lăng trụ có một mặt bên vuông góc với đáy

Ví dụ 1: Cho hình chóp tam giác S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, mặt

bên SAD là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy Gọi M, N, P là trung điểm của SB, BC, CD Chứng minh AM vuông góc với BP và tính thể tích của khối tứ diện CMNP.

(Đề thi Đại học, Cao đẳng năm 2007-Khối A)

Giải:

+ Gọi H là hình chiếu của S trên cạnh AD Khi đó

H là trung điểm của AD và SH(ABCD)

B

C A B'

K M

D S

Trong hình vuông ABCD, ta có BPHC (2).

(Đề thi Đại học, Cao đẳng năm 2008-Khối B)

Giải:

+ Do ABCD là hình vuông nên BDACBDMN.

Gọi H là hình chiếu của S trên AB, khi đó

SH(ABCD).

Xét tam giác SAB có AB2 SA2 SB2tam giác

SAB vuông tại S; có SH là đường cao của tam giác

32

a

3

AD tại E, khi đó SAAE và

a a

 

Vậy cos 5

5

Ví dụ 3: Cho hình hộp đứng ABCD.A'B'C'D' có đáy là hình vuông, tam giác

A'AC vuông cân, AC'=a Tính thể tích của khối tứ diện ABB'C' và

khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (BCD ') theo a.

(Đề thi Đại học năm 2012-Khối D)

Giải:

+ Theo giả thiết ABCD.A'B'C'D' là hình hộp đứng

có đáy là hình vuông, nên ta có B’C’(ABA’B’)

Vì tam giác A’AC vuông cân tại A nên

Ví dụ 4: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC đỉnh S, có độ dài cạnh đáy bằng

a Gọi M và N lần lượt là trung điểm của SB, SC Tính theo a diện

tích tam giác AMN, biết rằng mp(AMN) vuông góc với mp(SBC).

(Đề thi Đại học, Cao đẳng năm 2002-Khối A)

Gọi E là trung điểm của BC, gọi I=MNSE Khi đó I

là trung điểm của MN và là trung điểm của SE.

Do S.ABC là hình chóp đều nên SABSAC AM=AN Do đó AIMN

(1)

Theo giả thiết, ta có (AMN)(SBC) (2).

Từ (1) và (2), ta có AI(SBC) AISE Nên tam giác SAE cân tại A.

Xét tam giác ABC đều cạnh a nên có đường cao 3

2

a

32

N

B S

2 3.3.Hình (khối) chóp, lăng trụ khi có hai mặt cắt nhau cùng vuông góc

với đáy

Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và

D; AB=AD= 2a , CD=a; góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABCD)

bằng 600 Gọi I là trung điểm của cạnh AD Biết hai mặt phẳng (SBI) và (SCI) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD), tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a

(Đề thi Đại học năm 2009-Khối A)

ICD

a

S  

232

IBC ABCD IAB ICD

a

Gọi F là trung điểm của AB khi đó BC DF a  5

Xét tam giác IBC, ta có 1

Ví dụ 1: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC với SA=2a, AB=a Gọi H là

hình chiếu vuông góc của A trên cạnh SC Chứng minh SC vuông góc với mặt phẳng (ABH) Tính thể tích của khối chóp S.ABH theo

a

C

B I

A F D

S

K

(Đề thi Đại học năm 2012-Khối B)

Giải:

+ Gọi O là hình chiếu của S trên mp(ABC), D là

trung điểm của cạnh AB Khi đó O là trọng tâm của

tam giác đều ABC và DOAB.

a

3

Nhận xét: Đây là bài toán về hình chóp đều nên nó có hình chiếu của đỉnh lên

mặt đáy trùng với tâm của đáy

Ví dụ 2: Cho lăng trụ ABCD.A1 B 1 C 1 D 1 có đáy ABCD là hình chữ nhật,

phẳng (ABCD) trùng với giao điểm của AC và BD Góc giữa hai mặt phẳng (ADD 1 A 1 ) và (ABCD) bằng 600 Tính thể tích khối lăng

trụ đã cho và khoảng cách từ điểm B 1 đến mặt phẳng (A 1 BD) theo a.

(Đề thi Đại học năm 2011-Khối B)

O D

A

S

B C H

Giải:

+ Gọi O=ACBD, khi đó A 1 O(ABCD)

Gọi E là hình chiếu của O trên AD Khi đó:

Do A 1 O(ABCD) nên (A 1 BD)(ABCD).

Gọi H là hình chiếu của C trên BD khi đó, ta có: CH(A1BD) (2)

B A BD

a

Ví dụ 3: Cho hình chóp S.ABC đỉnh S, đáy là tam giác cân với

AB=AC=3a,BC=2a Biết rằng các mặt bên (SAB), (SBC), (SCA) hợp với

mặt đáy (ABC) một góc 600 Kẻ đường cao SH của hình chóp

a) Chứng minh rằng H là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC và SABC b) Tính thể tích của khối chóp S.ABC.

O E

C B

Giải:

a) + Gọi H là hình chiếu của điểm S trên mp(ABC)

Gọi I, J, K lần lượt là hình chiếu của S trên các cạnh AB, BC, CA Từ đó, suy ra:

HIAB, HJBC, HKCA; góc của các mặt bên (SAB), (SBC), (SCA) với mặt đáy

(ABC) lần lượt là SIH SJH SKH— , — , — và SIH— SJH— SKH— 600

Xét tam giác SHI vuông tại H, ta có:

Từ (1), (2) và (3), ta có: HI=HJ=HK hay H là tâm

đường tròn nội tiếp của tam giác ABC (đpcm)

Do tam giác ABC cân tại A nên ba điểm A, H, J thẳng hàng, suy ra: AHBC

b) Ta có ABC là tam giác cân tại A nên AJ vừa là trung tuyến vừa là đường cao của tam giác ABC, do đó JA AB2  BJ2 2a 2

Nhận xét: Đây là bài toán về hình chóp có các mặt bên tạo với mặt đáy các

góc bằng nhau nên nó có hình chiếu của đỉnh lên mặt đáy là tâm của đườngtròn nội tiếp đa giác đáy

2.4 - BÀI TẬP

1. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB=a, AD a 2,

SA=a và SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD) Gọi M và N lần lượt là trung

điểm của AD và SC; I là giao điểm của BM và AC Chứng minh rằng mặt phẳng (SAC) vuông góc với mặt phẳng (SMB) Tính thể tích của khối tứ diện ANIB.

2. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, BA = 3a, BC = 4a; mặt phẳng (SBC) vuông góc với mặt phẳng (ABC) Biết SB2a 3 và

— 300

phẳng (SAC) theo a

3. Cho lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông, AB=BC=a, cạnh

bên AA'a 2 Gọi M là trung điểm của cạnh BC Tính theo a thể tích của khối lăng trụ ABC.A'B'C' và khoảng cách giữa hai đường thẳng AM, B'C

4. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a Gọi E là điểm đối xứng của D qua trung điểm của SA, M là trung điểm của AE, N là trung điểm của BC Chứng minh MN vuông góc với BD và tính (theo a) khoảng cách giữa hai đường thẳng MN và AC.

5. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA=a; hình chiếu vuông góc của đỉnh S trên mặt phẳng (ABCD) là điểm H thuộc đoạn

6. Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A'B'C' có BB'=a, góc giữa đường thẳng BB' và mặt phẳng (ABC) bằng 600; tam giác ABC vuông tại C và BAC — 600 Hình

chiếu vuông góc của điểm B' lên mặt phẳng (ABC) trùng với trọng tâm của tam giác ABC Tính thể tích khối tứ diện A'ABC theo a.

Phần 3 - KẾT LUẬN – KIẾN NGHỊ

1 Đề xuất-Kiến nghị.

Đề tài “Ứng dụng của phương pháp xác định hình chiếu một điểm lên

mặt phẳng để giải các bài toán hình học không gian trong các đề thi đại học” đã đề cập đến ứng dụng của ba bài toán cơ bản về vấn đề xác định

hình chiếu của một điểm lên mặt phẳng để tính thể tích của khối đa diện,tính khoảng cách và góc Tuy nhiên, vấn đề tính thể tích của khối đa diện,tính khoảng cách và góc lại phong phú, đa dạng và được khai thác nhiềutrong các đợt kiểm tra, thi tốt nghiệp, thi tuyển sinh Đại học, cao đẳng Do

đó chúng ta cần thiết dạy kỹ cho học sinh kỹ năng xác định hình chiếu củamột điểm lên mặt phẳng ngay từ lớp 11 mà không phải đợi đến lớp 12 mớidạy

2 Kết luận.

Qua đề tài “Ứng dụng của phương pháp xác định hình chiếu một điểm

lên mặt phẳng để giải các bài toán hình học không gian trong các đề thi đại học” đã giới thiệu được ứng dụng của ba bài toán cơ bản về vấn đề xác

định hình chiếu của một điểm lên mặt phẳng để tính thể tích của khối đadiện, tính khoảng cách và góc Các dạng toán liên quan đến thể tích củakhối đa diện, tính khoảng cách và góc vẫn là chủ đề được quan tâm, khaithác nhiều qua các đợt kiểm tra và thi cử

Trong khi viết đề tài này, tôi chân thành cám ơn quý đồng nghiệp, đặcbiệt là các giáo viên trong tổ đã động viên và đóng góp nhiều ý kiến quýbáu để đề tài được hoàn thành

Rất mong quý thầy cô trong tổ và đồng nghiệp vui vẻ đóng góp ý kiến

để các đề tài lần sau tôi viết được tốt hơn

Một lần nữa tôi chân thành cám ơn!

Vinh Xuân, tháng 03 năm 2013

Người thực hiện

Lê Viết Hòa

DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO

1 Hình học 11, nxb GD 2007

2 Hình học Nâng cao 11, nxb GD 2007

3 www.moet.edu.vn

PHẦN ĐÁNH GIÁ VÀ XẾP LOẠI CỦA HỘI ĐỒNG XÉT SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM CỦA TRƯỜNG THPT VINH XUÂN

(Chủ tịch HĐ xếp loại, ký và đóng dấu)

………

………

………

………

………

………

………

………

Xếp loại: ………

Vinh Xuân, ngày … tháng ….năm … …

CHỦ TỊCH HỘI ĐỒNG PHẦN ĐÁNH GIÁ VÀ XẾP LOẠI CỦA HỘI ĐỒNG XÉT SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM SỞ GD&ĐT THỪA THIÊN HUẾ ………

………

………

………

………

………

………

………