Chuyên đề thể tích khối đa diện luyện thi THPT quốc gia

Hình chiếu vuông góc của A′ trên mặt phẳng ABC là trung điểm cạnh AC... Thể tích khối tứ diện có đáy là tam giác MNP và đỉnh là một điểm bất kì thuộc mặt phẳng Dễ thấy khoảng cách từ đ

Tài liệu sưu tầm, ngày 8 tháng 12 năm 2020

2 Th ể tích khối đa diện được phân chia :

+) Kh ối chóp tam giác : .

C

B A

S

+) Thể tích khối lăng trụ tam giác : .

,

1.3

ABC MNP ABC A B C

A'

C B

A S

II CÁC DẠNG BÀI TẬP TƯƠNG TỰ

♦ Khối đa diện cắt ra từ một khối chóp

Phân tích hướng dẫn giải

2 HƯỚNG GIẢI:

B1:Tính thể tích khối B EMN theo thể tích khối hộp với E là trung điểm cạnh BB

B2:Hoàn toàn tương tự, tính thể tích 3 khối nhỏ là V C NFP. ;V D GPQ. ;V A MHQ.

B3: Thể tích khối đa diện cần tìm sẽ bằng thể tích khối EFGH ABCD trừ đi thể tích 4 khối nhỏ bằng

Q

D'

D

P N

M

C' B'

A'

C B

A

T ừ đó, ta có thể giải bài toán cụ thể như sau:

L ời giải Chọn B

Gọi E F G H, , , lần lượt là trung điểm của BB CC DD, ,  và AA′

Ta có:

EMNA B C  

3

Câu 1Cho khối lăng trụ đứng ABCD A B C D ′ ′ ′ ′ có đáy là hình thoi cạnh a ,  120 ABC= °

Biết góc giữa hai mặt phẳng (A BC′ ) và (A CD′ ) bằng 60° Tính thể tích V của khối lăng trụ

Kẻ OM ⊥ A C′ tại M thì A C′ ⊥(BDM)⇒A C′ ⊥MD, do đó góc giữa hai mặt phẳng

(A BC′ ) và (A CD′ ) là góc giữa hai đường thẳng MB và MD Vậy  60BMD= ° hoặc

⇒ = (vô lý vì ∆OMC vuông tại M )

TH2:  120BMD= ° thì do tam giác BMD cân tại M nên  60BMO= °

3.cot 60

Câu 2 2H1-3.2-2] Cho lăng trụ ABC A B C ′ ′ ′có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, AC=2a,

cạnh bên AA′ = 2a Hình chiếu vuông góc của A′ trên mặt phẳng (ABC ) là trung điểm cạnh

AC Tính th ể tích V của khối lăng trụ ABC A B C ′ ′ ′

a

Vì ABC là tam giác vuông cân tại B nên trung tuyến BH cũng là đường cao

12

3

ABC= ° Góc giữa cạnh bên AA′ và mặt đáy bằng 60° Đỉnh A′ cách đều các điểm A, B

, D Tính theo a thể tích khối lăng trụ đã cho

A

3

32

a

3

36

a

3

32

Mặt phẳng ( )P ch ứa MN và song song với

A

D

C B

N

Câu 5 Cho hình chóp đều S ABC có đáy là tam giác đều cạnh a Gọi E, F lần lượt là trung điểm của

các cạnh SB , SC Biết mặt phẳng (AEF vuông góc v) ới mặt phẳng (SBC Tính th) ể tích

khối chóp S ABC

A

3

612

a

3

58

a

3

324

a

3

524

a

Lời giải

1 .3

Câu 6 Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC A B C ′ ′ ′ có tất cả các cạnh bằng 1 Gọi E, F lần lượt là

trung điểm các cạnh AA′ và BB′; đường thẳng CE cắt đường thẳng C A′ ′ tại E′, đường thẳng

CF cắt đường thẳng C B′ ′ tại F ′ Thể tích khối đa diện EFA B E F′ ′ ′ ′ bằng

N

Câu 7 Cho hình chóp S ABC. có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B,AC a= 2, cạnh bên SA

vuông góc với đáy và SA a= Gọi G là trọng tâm của tam giác SBC Gọi ( )α là mặt phẳng

chứa AG và song song với BC, chia khối chóp thành hai phần Tính thể tích của khối đa diện không chứa đỉnh S

A

3

49

a

3

427

a

3

29

a

3

554

E'

F E

Trong mặt phẳng (SBC), qua G kẻ đường thẳng song song với BC, lần lượt cắt SC, SB tại

E và F Khi đó, khối đa diện không chứa đỉnh S là ABCEF

Gọi M là trung điểm BC Vì G là trọng tâm của SBC∆ nên 2

Vì ABCD là hình bình hành nên S ABC S ACD

Do đó V S ABCD. 2V S ABC. 2V S ACD.

Ta có

Câu 9 Cho hình chóp S ABCD có SA⊥(ABCD), ABCD là hình chữ nhật SA= AD=2a Góc giữa

33

Câu 10 Cho khối lăng trụ ABCD A B C D ′ ′ ′ ′ có thể tích bằng 12, đáy ABCD là hình vuông tâm O Thể

tích của khối chóp A BCO′ bằng

Lời giải Chọn A

G

M D

C S

Câu 11 Cho khối chóp S ABCD có đáy ABCD là tứ giác lồi, tam giác ABD đều cạnh a , tam giác

SC cắt các cạnh SB , SC , SD lần lượt tại M , N , P Tính thể tích khối chóp S AMNP

A

3

312

a

3

342

a

Lời giải

M

N

P

I O K

a

⇒ tam giác ABC vuông tại B ⇒BC⊥(SAB); AM ⊂(SAB) ⇒BC⊥ AM

Lại có tam giác SAB vuông nên AM SB⊥ ⇒M là trung điểm SB 1

2

SM SB

39

Câu 12 Cho hình chóp tứ giác đều S ABCD Mặt phẳng ( )P qua A và vuông góc SC cắt SC SB SD, ,

lần lượt tại B C D′ ′ ′, , Biết rằng 3SB′ =2SB Gọi V V1, 2 lần lượt là thể tích hai khối chóp ′ ′ ′ ′

V

2

13

V

2

23

V

2

29

V

V = Lời giải

V SC

Câu 13 Cho hình chóp S ABCD có thể tích bằng 18, đáy là hình bình hành Điểm M thuộc cạnh SD

sao cho SM =2MD Mặt phẳng (ABM ) cắt SC tại N Tính thể tích khối chóp S ABNM

Lời giải Chọn C

S ABNM SANM SANB

SABCD SACD SACB

Câu 14 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình bình hành M là trung điểmSC, mặt phẳng

( )P chứa AM và song song với BD, cắt SBvà SDlần lượt tại B′ vàD′ Tỷ số ' '

Gọi là tâm hình bình hành đáy

O

Đường thẳng qua và song song cắt tại

Câu 15 Cho tứ diện S ABC có th ể tích V Gọi M, N và P lần lượt là trung điểm của SA , SB và SC

Thể tích khối tứ diện có đáy là tam giác MNP và đỉnh là một điểm bất kì thuộc mặt phẳng

Dễ thấy khoảng cách từ đỉnh tứ diện cần tính thể tích đến mặt phẳng (MNP ) cũng bằng khoảng cách từ đỉnh S đến mặt phẳng (MNP )

Ta có: .

.

1

Câu 16 Cho hình chóp S ABCD đáy là hình vuông cạnh a , cạnh bên SA vuông góc với đáy, SB hợp

với đáy một góc 45° H, K lần lượt là hình chiếu của A lên SB , SD mặt phẳng (AHK), cắt SC tại

I Khi đó thể tích của khối chóp S AHIK là:

SAMD SACD

V V

A

C B

S

Câu 17 Cho hình chóp tứ giác đều S ABCD có đáy ABCD là hình vuông c ạnh a , cạnh bên tạo với

đáy một góc 60° Gọi M là trung điểm của SC Mặt phẳng đi qua AM và song song với BD

cắt SB tại E và cắt SD tại F Tính thể tích V khối chóp S AEMF

A

3636

a

369

a

366

a

3618

A

D

B

S

Trong tam giác SAC hai trung tuy ến AM SO, c ắt nhau tại I suy ra 2

3

S AFM SADC

S AEM S AFM S AEMF

S ABC S ADC S ABCD

Chọn A

Câu 20 Cho tứ diện ABCD có DA=1; DA⊥(ABC).∆ABC là tam giác đều, có cạnh bằng 1 Trên

cạnh DA DB DC, , lấy 3 điểm M N P, , sao cho 1; 1; 3

DA = DB = DC = Thể tích của tứ diện MNPD bằng

Câu 1 Cho hình chóp S ABCD có đáy là hình vuông cạnh a , SA vuông góc với mặt phẳng đáy

SA = < < Khi đó giá trị của k

để mặt phẳng (BMC chia kh) ối chóp S ABCD thành hai phần có thể tích bằng nhau là

Giả sử (MBC ) cắt SD tại N Khi đó MN//BC//AD suy ra SM SN k k( 0)

= a

Ta có AD′ ⊥(SDC)⇒AD′⊥SD; AB′ ⊥(SBC)⇒AB′⊥SB

Do SC⊥(AB D′ ′)⇒SC⊥AC′

Tam giác S AC vuông cân tại A nên C′ là trung điểm của SC

Trong tam giác vuông S AB′ ta có

2 2

Câu 3 Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng 1 Gọi M , N lần lượt là trung điểm các cạnh AB, BC

Điểm P là một điểm trên cạnh CD sao cho PC=2PD Mặt phẳng (MNP) cắt cạnh AD tại

Q Thể tích của khối đa diện BDMNPQ bằng

Vì M , N lần lượt là trung điểm các cạnh AB, BC nên MN là đường trung bình của tam giác

ABC Khi đó MN//AC⇒(MNP) (∩ ACD)=PQ//MN với P CD∈ và Q AD∈

O

D A

S

B'

Thể tích khối tứ diện đều ABCD là 0 2

SI = SO Mặt phẳng ( )α thay đổi đi qua B và I ( )α cắt các cạnh ,SA SC SD ,

lần lượt tại , ,M N P Gọi m n, lần lượt là GTLN, GTNN của .

+) Đặt

SA x SM SC y SN

36

5

35

320

125

1 4

51

2

.

x x x

x xy xy y

x

y x V

V

ABCD S

BMPN S

=+) Xét ( ) ( 2)

( 2)2

3 2 6

1

0'

x f

525

325115

m n

m n

⇒ =

Câu 5 Cho lăng trụ đều ' ' '

trên cạnh BC ;P Q l, ần lượt nằm trên cạnh AC AB sao cho MNPQ là hình ch, ữ nhật Hình hộp

a

D.

3

64

N

Nên chọn C

Câu 6 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình bình hành Gọi M , N lần lượt là trung điểm của

các cạnh SA , SD Mặt phẳng ( )α chứa MN cắt các cạnh SB , SC lần lượt tại Q, P Đặt

P

N

Q'

M' N' P'

M

N M

C B

S

P Q

Câu 7 Cho hình đa diện như hình vẽ

Biết SA= , 6 SB= , 3 SC= , 4 SD= và      602 ASB=BSC=CSD=DSA=BSD= ° Thể tích khối đa diện S ABCD là

A 10 2 B 6 2 C 5 2 D 30 2

Hướng dẫn giải Chọn C

Trên SA , SB , SC lần lượt lấy các điểm A′, B′, C′ sao cho SA′=SB′=SC′=SD= Ta có 2

2

A B′ ′=B C′ ′=C D′ =DA′= Khi đó hình chóp S A B D′ ′ và hình chóp S CB D′ là các hình chóp tam giác đều có tất cả các cạnh bằng 2

S

Câu 8 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , SA vuông góc với đáy, SA=a 2

Một mặt phẳng đi qua A vuông góc với SC cắt SB , SD , SC lần lượt tại B′, D′, C′ Thể tích khối chóp S AB C D′ ′ ′ là:

=a

Lời giải Chọn D

= a

Ta có AD′ ⊥(SDC) ⇒AD′⊥SD; AB′ ⊥(SBC)⇒AB′⊥SB

Do SC⊥(AB D′ ′)⇒SC⊥ AC′

Tam giác S AC vuông cân tại A nên C′ là trung điểm của SC

Trong tam giác vuông S AB′ ta có

2 2

S

B' A'

O

D A

S

B'

Câu 9 Cho khối tứ diện ABCD có thể tích 2017 Gọi M , N , P, Q lần lượt là trọng tâm của các

tam giác ABC , ABD, ACD , BCD Tính theo V thể tích của khối tứ diện MNPQ

SA a Gọi B D′ ′; lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên các cạnh SB SD, Mặt phẳng

(AB D ′ ′) cắt cạnh SC tại ′ C Tính thể tích của khối chóp ′ ′ ′S AB C D

Ta có V S AB C D. ′ ′ ′ =2V S AB C. ′ ′ ( )1 mà ′ ′ ′ ′ ( )*

=

SAB C SABC

Ta có BC⊥(SAB)⇒BC⊥AB và ′ SB⊥AB suy ra ′ AB′ ⊥(SBC nên ) AB′ ⊥BC

Tương tự AD′ ⊥SC Từ đó suy ra SC ⊥(AB D′ ′) (≡ AB C D nên ′ ′ ′) SC⊥ AC ′

Câu 11 Một hình lăng trụ có đáy là tam giác đều cạnh bằng a , cạnh bên bằng b và tạo với mặt phẳng

đáy một góc α Thể tích của khối chóp có đáy là đáy của lăng trụ và đỉnh là một điểm bất kì trên đáy còn lại là

Chọn D

Gọi H là hình chiếu của A′ trên (ABC) Khi đó α =A AH′

Ta cóA H′ =A A′ sinα =bsinα nên thể tích khối lăng trụ là

2

3 sin

B'

C' A'

H

S

Câu 12 Cho hình chóp S ABCD có đáy là hình bình hành và có thể tích 48 Trên các cạnh SA , SB ,

Ta có V =V SA B C D′ ′ ′ ′ =V S D A B. ′ ′ ′+V S D C B. ′ ′ ′

3 1 3

92

S D C B

V ′ ′ ′ = Vậy V = 9

Câu 13 Cho hình chóp tứ giác đều S ABCD có cạnh đáy bằng a , cạnh bên hợp với đáy một góc 60°

Gọi M là điểm đối xứng của C qua D , N là trung điểm SC Mặt phẳng (BMN ) chia khối chóp S ABCD thành hai phần Tỉ số thể tích giữa hai phần (phần lớn trên phần bé) bằng:

D'

B'

C' A'

D

B A

S

C

Giả sử các điểm như hình vẽ

E=SD∩MN⇒E là trọng tâm tam giác SCM , DF //BC⇒F là trung điểm BM

Câu 14 Cho hình chóp tứ giác đều S ABCD có cạnh đáy bằng a, cạnh bên hợp với đáy một góc 60

Gọi M là điểm đối xứng với C qua D ; N là trung điểm của SC , mặt phẳng (BMN ) chia

khối chóp S ABCD thành hai phần Tính tỉ số thể tích giữa hai phần đó

M F

O

A B

Đặt 1 1

?

SABIKN NBCDIK

SA′ = SA Mặt phẳng qua A′ và song song với mặt đáy của hình chóp cắt các cạnh

1

1

S A BC D

V

Câu 16 Cho khối chóp S ABCD có đáy là hình bình hành ABCD Gọi M , N , P, Q lần lượt là trọng

tâm các tam giác SAB , SBC , SCD , SDA Biết thể tích khối chóp S MNPQ là V , khi đó thể tích của khối chóp S ABCD là:

V

Lời giải Chọn B

S S

S S

S S

 

=  =

 

29

Câu 17 Cho hình chóp tứ giác đều S ABCD , M là trung điểm của SC Mặt phẳng ( )P qua AM và

song song với BD cắt SB , SD tại N , K Tính tỉ số thể tích của khối S ANMK và khối chóp

S ABCD

F

E J

Q P

H

N

K M

I O

D

S

A

B C

29

13

12

35

Gọi H là tâm hình vuông ABCD , E =SH∩AM ⇒ là trọng tâm SAC E ∆

= = Ta có .

.

Câu 18 Cho hình chóp S ABCD có đáy là hình bình hành và có thể tích là V Điểm P là trung điểm của SC,

một mặt phẳng qua AP cắt các cạnh SD và SB lần lượt tại M và N Gọi V1 là thể tích khối chóp

S

V ậy giá trị nhỏ nhất của V1

G3 G2

N

P M

A

B

C S

G1

A B và BC′ ′ Mặt phẳng (DMN) chia hình lập phương thành 2 phần Gọi V 1 là thể tích của

phần chứa đỉnh A V , 2 là thể tích của phần còn lại Tính tỉ số 1

Gọi H = AB∩DN ; MH cắt B B' tại K, cắt A A' tại S; SD cắt A D' ' tại E

Thiết diện tương ứng là ngũ giác DNKME

Phần đa diện chứa A có thể tích là: V1=V S ADH. −V S A EM ' −V K BNH.

Dùng tam giác đồng dạng kiểm tra được: BA=BH; AH =4 'A M ; AD=4 'A E và

A

N

M A'

S

H