Hàm số lũy thừa, hàm số mũ và hàm số logarit

Luỹ thừa với số mũ nguyên: Cho n là một số nguyên dương... Tính chất: Nắm chắc để vận dụng Cho n là số nguyên dương, k là một số nguyên, a b, là hai số không âm... Bài giải: Nhận xét:

Page: CLB GIÁO VIÊN TRẺ TP HUẾ CÁC CHUYÊN ĐỀ TRẮC NGHIỆM TOÁN 12

Môn:GIẢI TÍCH 12

Chương 2 -

HÀM SỐ LŨY THỪA HÀM SỐ MŨ VÀ HÀM SỐ LÔGARIT

Chủ đề 1: LŨY THỪA, MŨ VÀ SỐ LÔGARIT

I - TỔNG QUAN LÝ THUYẾT :

* LUỸ THỪA

1 Luỹ thừa với số mũ nguyên:

Cho n là một số nguyên dương Với a là một số thực tuỳ ý, luỹ thừa bậc n của a là tích

của n thừa số a : n

n

a   a a a

Tính chất: n

n

a a

a

1, 

a b  ab 3  n m n m

a a .

4

m

m n n

a

a a



a b a b 6

n n

n

 

 

 

* Cho m n, là những số nguyên Ta có:

* Với a1 thì: a ma n  * Với m n 0 a 1 thì: a ma n   m n

2 Căn bậc n: Cho số thực b và số nguyên dương n n( 2) Số a được gọi là căn bậc n của số

b nếu a n b

Quy tắc:

TH1: Với n lẽ và b  : Có duy nhất một căn bậc n của b: n b

TH2: Với n chẵn và b0: Không tồn tại căn bậc n của b

n chẵn và b0: Có một căn bậc n của b là số 0

n chẵn và b0: Có hai căn bậc n của b tái dấu là số n b, n b

Tính chất: (Nắm chắc để vận dụng)

Cho n là số nguyên dương, k là một số nguyên, a b, là hai số không âm Khi đó:

 

n

n

k

a b a b b

b b

a a k a a k a a

* Đối với hai số a b, tuỳ ý mà 0   và n là số nguyên dương: a b n an b

3 Luỹ thừa với số mũ hữu tỉ:

r xác định bởi:

m n

r n m

a a  a

Lưu ý: Luỹ thừa với số mũ hữu tỷ có đầy đủ tính chất như luỹ thừa với số mũ nguyên

4 Luỹ thừa với số mũ vô tỉ: Cho a0 và  là một số vô tỉ Gọi ( )r n là một dãy số hữu tỉ hội

n

a lim a





* Tính chất: Cho a b, là những số thực dương; x y; là những số thực tuỳ ý:

x

x

y

x x

x

a

a a a a

a

a a ab a b

b b

 



* Với a1 thì: a xa y   * Với x y 0 a 1 thì: a ma n   m n

* LÔGARIT

5 Định nghĩa:

Cho hai số dương a b, với a1 Số  thỏa mãn a  được gọi là lôgarit cơ số a của b b

Kí hiệu : log b a

a

log b  a b

6 Nhận xét:

Không có lôgarit của số âm và số 0 Tức là : Đk có nghĩa của log b là : a b

a

0

 



  

7 Tính chất:

 

a

b

a

alog b a

a) Các phép toán: Giả sử các hằng số a b A B, , , là các số dương, a1

A B A B

Mở rộng:

* loga A A1 2 A nloga A1loga A2  loga A n

A

1

* log log log log  log

Lưu ý: Với A B 0, 0 a 1

A B A B

A

A B

B

b) Tính chất:

n

1 log  log  log  log 0 1, 0

Lưu ý: * 0 a 1, b0,n* : log a b2n2 logn a b

c) Công thức đổi cơ số:

a

b

 

a

b

c a

* b a b

a

b c x x a b c x

* alog clog a b c

1

log

8 Lôgarit thập phân, lôgarit tự nhiên

a) Lôgarit thập phân có cơ số 10 Kí hiệu : log hay b lg b

b) Lôgarit tự nhiên có cơ số e2,72 với

n

n

e

n

1 lim 1





   

  Kí hiệu : lnb

II - MỘT SỐ BÀI TẬP MINH HỌA :

Bài tập 1: Với giá trị nào của x thì đẳng thức đúng?

a) x3 3 x b) x6 6 x c) x4 4  x d) x7 7  x

Bài giải:

Nhận xét: n * : 2n1a2n1 a a, 2n 2n  a

a) Do 3 x3  nên từ giả thiết ta có x x  x x 0

b) Do x6 6  x nên từ giả thiết ta có x    x x 0

c) Do x4 4  x nên từ giả thiết ta có   x

d) Do x7 7  nên từ giả thiết ta có x   x

Bài tập 2: Cho a b, là các số dương Rút gọn các biểu thức sau :

a)

P

a a a











Bài giải:

 

a a a

11 2

3 3 3 3

12 11 12

1

1





b) Ta có :  

 

 





Bài tập 3: Cho a b, là các số dương Hãy viết và rút gọn các biểu thức sau dưới dạng lũy thừa :

1

1 1 4 3

2 c) a a

7 3

5

3 : 6

Bài giải:

Với a b, là các số dương, ta có :

5  5 2  5 2  10

4

2  2 4     12

2 3

3 :  3 : 3  3 3 

Bài tập 4: Tính giá trị các biểu thức sau :

Bài giải:

Do các giá trị của a b, đã cho là những số dương nên ta có :

1 1 5

12 5

Nhận xét: Học sinh hoàn toàn có thể sử dụng MTCT để tính ra kết quả nhanh chóng

Bài tập 5: Không sử dụng máy tính cầm tay, hãy so sánh các cặp số sau :

1,4

1 3

 

 

 

2

1 3

 

 

 



 

 

 

  và e

3,14

1

 

 

 

d) 310 và 5 20 e) 4 5 và 37

Bài giải:

Nhận xét: Biến đổi đưa về cùng cơ số và sử dụng tính chất đơn điệu của lũy thừa để giải quyết đơn

giản

a) Ta có số mũ  7 3 và cơ số 51 nên 5 7 5 3

3

   

c) Ta có số mũ  3,14 và cơ số

e

1

0 1 nên

3,14

   

d) Đưa hai căn đã cho về cùng căn bậc 15 (bội chung nhỏ nhất của 3 và 5), ta được:

15 5

310 10 15100000 và 5 2015203 158000

Do 100008000 nên 310520

e) Tương tự, ta có: 451253 12125 và 371274 122401

Do 1252401 nên 4 537

Bài tập 6: Không sử dụng máy tính cầm tay, tính :

a) 5log 2 7

1

2

Bài giải:

5 5log 2 log 2 5

b) log log 325 2 log log 25 2 5 log 55  1

2

1

2

4

36.45

20

Nhận xét: Học sinh hoàn toàn có thể dùng MTCT để kiểm tra lại kết quả

Bài tập 7:

a) Cho log 5 2 m Hãy tính log 12504 theo m

b) Cho log 18 12 a, log 54 24 b Chứng minh rằng ab5a b   1

Bài giải:

log 1250 log 2.5 log 2 log 5 1 4 log 5



b) Ta có : a 2 2

12

log 18



a a

2

2 1 log 3

2





( do 2 a 0 vì log 1812 log 1212 2 ) 2

24

log 54



b b

2

3 1 log 3

3





( do 2 b 0 vì log 5424 log 2424 3  ) 3

2 1 3 1

Bài tập 8: Không sử dụng máy tính cầm tay, hãy so sánh các cặp số sau :

a) log 13 và 2 1 log 6 2 b) log0,415 và 2log0,4100

c) 1 log 3

2



2



Bài giải :

a) Ta có : 1 log 6 2 log 122 , do 1312 và cơ số 21 nên log 132  1 log 6.2

b) Ta có : 2log0,4100log0,40,42log0,4100log0,40.4 1002 log0,416, do 1516 và

cơ số 00,4 nên 1 log0,415 2 log0,4100

và b log19 log 2 log19 19 10b

2 2

Ta so sánh 3 10và 19

3 10 90

4

  và

2

 

 

Suy ra : 10a10b   , vậy a b 1 log 3 log 19 log 2

2

2



Ta có :

2

2

8

2



Suy ra : 10a10b   , vậy a b log5 7 log 5 log 7



Bài tập 9: Chứng minh rằng: b c b a

alog clog (*) với a b c, , thỏa điều kiện để biểu thức tồn tại

Bài giải :

c

log log log log log

b c b a a c a c a b a

VT(*)alog alog .log  alog log clog VP(*)

Cách 3: Lấy logarith cơ số a hai vế (1), ta được:

 b c  b a

a alog a clog b c a a b a a c

log clog loga c log c (đúng)

ax

a

bx

x

1 log





thức tồn tại

Bài giải :

ax

ax

Bài tập 11: Chứng minh rằng : a

a ab

N

b N

log

tồn tại

Bài giải :

N

Cách 2: a N

a ab

a

N N

ab

log log

log

(*)

kiện để biểu thức tồn tại

Bài giải :

abc

abc

Từ (1), (2) suy ra đ.p.c.m

Bài tập 13: Cho a b, là độ dài hai cạnh góc vuông, c là cạnh huyền Với c b 1, c  b 1 Chứng minh rằng: logc b alogc b a2logc b a.logc b a

Bài giải :

Giả thiết ta có c2a2 Dựa vào giả thiết chứa c b b2  1, c  , nên có thể biến đổi b 1

  

a2  c2 b2 a2  c b cb

Lại do biểu thức cần chứng minh, với các cơ số khác nhau nhưng biểu thức trong

logarith lại giống nhau nên, ta “mượn” tạm biểu thức giống nhau này làm cơ số cho phép biến đổi đổi tiếp theo

Chứng minh:

Ta có: c2 a2b2 a2 c2 b2 a2  c b c b (*)

Lấy logarith cơ số a hai vế (*), ta được:

c b c b

c b c b c b c b

2

2 log log

Bài tập 14: (Trích Đề minh họa 2017) Đặt alog 3,2 blog 35 Biểu diễn log 456 theo a b, ta được

A a ab

ab

6

2 log 45 

ab

2

6

ab b

6

2

a ab

ab b

2

6

2 2 log 45 



Bài giải :

a

1 log 3 log 2 và a

b

1 log 3 log 5

 

b

b ab

a

6

1

log 45

1

1

Bài tập 15: (Trích Đề minh họa 2017) Cho hai số thực a , b với 1 a b Khẳng định nào dưới đây là đúng ?

A loga b 1 logb a B 1loga blog b a

C logb aloga b1 D logb a 1 log a b

Bài giải :

Ta có 1   a b 0 loga aloga b 1 loga b (do a1) (*)

và 1   a b 0 logb alogb b 0 logb a (do 1 b1) (**)

Từ (*) và (**) ta có đáp án cần tìm là D

III - BÀI TẬP TỰ LUYỆN:

* MŨ LŨY THỪA

Bài tập 1: Với giá trị nào của x thì đẳng thức đúng?

a) x3 3 x b) x6 6 x c) x4 4  x d) x7 7  x

Bài tập 2: Tính:

1

16

4

3

3 15; ; ; (3.5 ) ; ; ; ; (0,004) (0;125)





       

2 7 1 7

10

8 : 8 3 3 ; 5 (0; 2) ; 2 8 ; 3 : 9 ; ; 4 4 2

2 5



   



 

Bài tập 3: Cho a b, là các số dương Hãy viết và rút gọn các biểu thức sau dưới dạng luỹ thừa:

a) a a

1

1 1 6

8 3

1

3 : 12

Bài tập 4: Đơn giản các biểu thức:

a) a3 3 a (a2 0) b) a5 56a (a6 0) c) a4 4 27 a (a7 0) d) a3 3 38 a a8 ( 0)

Bài tập 5: Cho a b, là các số dương Đơn giản biểu thức:

a b b a

a a a

2 2







2





Bài tập 6:Đơn giản các biểu thức sau:

a a

1 4

3 1

4 2

1

1

1

2

Bài tập 7: Tìm điều kiện để các biểu thức sau xác định:

a) x b) x c) x ; d) x x e) x f) x

2

Bài tập 8: Hãy so sánh các cặp số sau:

a) 4 ; 4 b) 2 ; 2 c) 10; 20 d) 17; 28 e) 5; 7

Bài tập 9: Tìm tất cả giá trị x thoả mãn:

 x

x

) 4 ) 3 9 ) 2 16 ) 3 9 27 3 3

) 3 ) 2 ) 3 2 ) 3 2 ) 4 3.2 2 0

 



Bài tập 10: Cho hàm số:

x x

f x( ) 4

4 2



 CMR: Nếu a b 1 thì f a f b 1 Từ đó nêu cách

       

* LÔGARIT

Bài tập 1: Tính giá trị các biểu thức sau:

log 2 log 5

1 log 27

2 log 3

1 2

2







Bài tập 2: Tính giá trị các biểu thức sau:

1 5

8

1 2

27

6 log

9

log 2 2

log 6 log 8

1 log 4 2 log 3 log 27



C

log 5 1 log 2 log 36

4

2 2



2

9 1 2

2 log 3

3

4

3





Bài tập 3: Tính:

4 1

log 4 log 9 3log 5

log 3 log 6 3log 9

1 5log 3

39

27 3

2

4

6 6

log 13 2 2log 9

1 27



  f)

log 3 log 11

Bài tập 4: So sánh mỗi cặp số sau:

a b e c

d e f



Bài tập 5: a) Biết: log 14 2 a, tính log 3256 b) Biết: log 5 3 a, Tính log 4575

c) Biết: log 5 1 a

2 3

1 log

5 = a

Bài tập 6:

a) Tính log 830 biết log 330 a; log 530 b b) Tínhlog 1449 biết log 9828 = a

c) Tính log 16854 biết log 127 a, log 2412 b d) Tính 3

5

27 log

25 biết log 35 = a

Bài tập 7: a) Biết logab a4, Tính ab a

b

3

log b) Biết loga a b2 3  Tính 1 a b a b

ab

2 2

5 3 2

3

Bài tập 8: Chứng minh rằng: (giả sử các biểu thức luôn xác định)

n

a a a a a a a a n a a n

 

n

a b a

N





a b c

abc

x

log

IV - CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM :

Câu 1 Chọn khẳng định sai trong các khẳng định sau :

A lnx  0 x 1 B log2x    0 0 x 1

3  2 và logb3 logb4

Câu 3 Biến đổi



       

I II III IV

12

4 4

Câu 4 Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng, khẳng định nào sai ?

A log 52  0 B log0,20,8 0 C 1

5

log 70 D log 43 log4 1

3



Câu 5 Giá trị của a4loga2 5 a a 

Câu 6 Nếu log 6 12 a và log 7 12 b thì :

a

2 log 7

1



 B

a b

2 log 7

1



 C

a b

2

log 7

1



b a

2 log 7

1





Câu 7 Nếu log 3  thì log 9000 bằng : a

Câu 8 Nếu log 3  thì a

81

1 log 100 bằng :

8 C 2a D 16a

Câu 9 Nếu a a

4 3 5

4  và logb 1 logb 2

Câu 10 Nếu a a

15 13 8

7  và logb 2 5log 2b  3 thì :

Câu 11 Nếu  x

Câu 12 Giá trị của loga3a a 0, a1 bằng :

3 C 3 D 1

3



Câu 13 Giá trị của aloga4 a 0, a bằng : 1

2

Câu 14 Nếu log 2 m và ln 2 n thì :

m

n

1

ln 20 

C n n

m

ln 20   D n m

m

ln 20  

Câu 15 Kết quả phép tính 25 5 bằng số nào sau đây ? 3 2

Câu 16 Cách viết nào sau đây có nghĩa ?

5

Câu 17 Sử dụng lũy thừa với số mũ nguyên của 10 để biểu diễn một số thì số 3410,03 được viết thành :

A 3410,033.1044.1031.1023.102

B 3410,033.1034.1021.103.101

C 3410,033.1034.1021.103.102

D 3410,033.1034.1021.103.10 3

Câu 18 Giá trị của biểu thức

0,75 2

0,5

16



 



Câu 19 Với a, b là những số dương phân biệt, biểu thức a ab a b

4

Câu 20 Biểu thức 5.1034.1021.103.1009.1017.102 là biểu thị số thập phân :

Câu 21 Cho x0. Dạng lũy thừa với số mũ hữu tỉ của biểu thức x x.3 là :

A x

1

1

5

2

3

Câu 22 Viết dưới dạng lũy thừa thì 5 2 2 23 bằng :

A

17

10

7 10

3 10

7 30

2

Câu 23 (Đề minh họa 2016) Cho các số thực dương a b, với a1 Khẳng định nào sau đây là đúng ?

A a2 ab a b

1 log log

2

 B loga2 ab  2 2 log a b

1 log log

4

1 1

2 2

 

Câu 24 Cho hai số thực a , b với 0  a 1 b Khẳng định nào dưới đây là đúng ?

A logb a 0 loga b1 B 1loga blog b a

Câu 25 Cho các số thực a , b, c với 0   a b c 1 Khẳng định nào dưới đây là đúng ?

C 0loga b 1 log a c D loga b 0 loga c1

Câu 26 Kết quả nào sau đây sai ?

10  10

C

2

4 2

10

10

3

2

10

10

10 

Câu 27 Với a, blà những số dương, biểu thức  a b 

a b

4

4 3 2

3 12 18

bằng :

A a

b B ab C a b5 10

1

a b15 25

1

Câu 28 Cho m0 Biểu thức m

m

3 2

3 1



 

 

 

Câu 29 Với x0, biểu thức x.4 x2 :x4 bằng:

A x

1

2 B x x

1

2  2

Câu 30 Mệnh đề nào sau đây là mệnh đề đúng ?

A Cơ số của lôgarit là một số thực bất kì

B Cơ số của lôgarit phải là số nguyên

C Cơ số của lôgarit phải là số dương

D Cơ số của lôgarit phải là số dương khác 1

Câu 31 Số nguyên dương x nào thỏa mãn log2xlog 7x log 72 ?

Câu 32 Số a nào sau đây thỏa mãn a a2

0,5 0,5

4

 B 5

4 C

4

5 D

2 3

Câu 33 Nếu x  log 8 2

8

log 2

Câu 34 Với số thực a0 thì 3 a a.4 bằng :

Câu 35 Với số thực a0 thì a

a

3 4

4 3 bằng :

Câu 36 Cho log 530 và  log 330 Xét hai lập luận sau :

(I) log 230 log 5 log 330  30   

(II) 30

log 2

Chọn khẳng định đúng

Câu 37 Cho ba số dương a b c, , Hãy chọn khẳng định sai trong các khẳng định sau ?

c

2

3

c

3 2

1

2

b

2

Câu 38 Chọn khẳng định sai trong các khẳng định sau :

A 2 3 21,7 B

   

3,14



   

2

2 1024

Câu 39 Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau :

   

Câu 40 Với a0, a , biểu thức 1 Q a a

a

1

1









a

2

a

2

a

2

1

Câu 41 Cho a, m n,  Tập tất cả các giá trị a để mệnh đề m m n

n

a a a



Câu 42 Tập tất cả các giá trị a để mệnh đề : a Ma NM đúng, là : N

A 0;  \ 1 B  0;1 C 1;  D 

Câu 43 Chọn khẳng định sai trong các khẳng định sau ?

32 2

 D 2112832

Câu 44 Cho ab Khẳng định nào sau đây đúng ?

Câu 45 Trong bốn số 3

log 5 log 2 log 4 2log 2 1 1

A log 4 3

0 ,5

log 2

1 16

 

 

 

2

log 5

1 4

 

 

 

Câu 46 Biết log log log3 4 2y  0 thì y2  bằng : 1

Câu 47 Biết log log log4 2 3z  0 thì z2

bằng :

A 81 B 64 C 36 D 9

Câu 48 Biết log 2a , log 3 thì log 45 tính theo a và b bằng : b

Câu 49 Biết log 2  thì a 4 32

log

5 tính theo a bằng :

A 1a6 

1

4 

C 16a 1

4  D 16a 1 

4 

Câu 50 Tập tất cả các giá trị x để biểu thức A x

x

2

1 log log

1





A 1;1 B   ; 1 1;

HẾT

BẢNG ĐÁP ÁN:

Do thời gian không cho phép nên chúng tôi chưa thể làm hướng dẫn đáp án và phân tích các câu vận dụng cấp thấp, cấp cao được Thời gian tới, những bản update sẽ hoàn thiện hơn về nội dung, hình thức và chất lượng

Đáp án

Đáp án

Đáp án

Đáp án

Đáp án

Xin phép quý thầy cô là những người sở hữu các câu hỏi có trong tài liệu, cho phép chúng em biên tập và sử dụng để giúp cho các em học sinh có tư liệu học tập Vì mục đích không kinh doanh nên mong quý thầy cô đồng ý ạ, chúng em xin chân thành cảm ơn!

CLB sử dụng hệ thống sách chất lượng của NXBGD VN 2007, 2008

P/S: Trong quá trình sưu tầm và biên soạn chắc chắn không tránh khỏi sai sót, kính mong quí thầy cô và các bạn học sinh thân yêu góp ý để các bản update lần sau hoàn thiện hơn! Xin chân thành cảm ơn

CLB GIÁO VIÊN TRẺ TP HUẾ

Phụ trách chung: Giáo viên LÊ BÁ BẢO

Đơn vị công tác: Trường THPT Đặng Huy Trứ, Thừa Thiên Huế

Email: beckbo1210@yahoo.com Facebook: Lê Bá Bảo

Số điện thoại: 0935.785.115