bài tập và bài giải chi tiết toán lũy thừa, bài tập mũ, bài tập logarit- bản màu đẹp

LŨY THỪA Giả sử các biểu thức có nghĩa: Chú ý: + Khi xét lũy thừa với số mũ 0 và số mũ nguyên âm thì cơ số phải khác 0.. + Khi xét lũy thừa với số mũ không nguyên thì cơ số phải dương..

CÔNG THỨC BIẾN ĐỔI

(Trang 1 – 11 ) ĐẠO HÀM (Trang 13 – 16 )

GIỚI HẠN ( Trang 16 – 17 )

TÍNH ĐƠN ĐIỆU VÀ CÁC BẤT ĐẲNG THỨC ( Trang 18 – 43 )

HÀM SỐ LŨY THỪA, HÀM SỐ MŨ VÀ HÀM SỐ LÔGARIT

1 LŨY THỪA (Giả sử các biểu thức có nghĩa):

Chú ý: +) Khi xét lũy thừa với số mũ 0 và số mũ nguyên âm thì cơ số phải khác 0

+) Khi xét lũy thừa với số mũ không nguyên thì cơ số phải dương

I CÁC CÔNG THỨC BIẾN ĐỔI

Ví dụ 1: Tính giá trịcác biểu thức sau:

GV: THANH TÙNG

F3 12 3 36 3 847.F 12 5F  F3 5F 12 0  F 3 F 2 3F 4 0 27     F = 3 hoặc F23F 4 0 (vô nghiệm) Vậy F= 3 Ví dụ 2: Đơn giản các biểu thức sau (giảsửcác biểu thức có nghĩa): 1) A= 3a2 4a 2) B=         7 b a a b 5 35 4 3) C=         a4 a b2 4 a4 b4  3 1 1 1 1 a b a b a       2 2 1 1 :    a4 b4 1 1 1 b  a a  1 12  1 12  b b2 4) D=     1 2  :  b b a b  2 2 5) E=     a2b2 :b2b       a a  1 12     a3b3  a b   ab  4 ab b 1 6) F= 3ab : 2    3 3 b a 7) G=     ab  a ab : a b . b4ab 8) H=           a b    a b a b 2 2 2 2 2 2 3 3 1 1 1 1    ab2 1      a b  2 9) I= a ab b 2 2 3  3 a a b b 2 4 4 1 3 3 3 8 1 2         3   a 1 a 2 3 1 1 3 24  2 13  93 1 Giải: 1) A= a a a a 4 a4 a2  a     35 35  14 5 2) B =         7 b a a a a a b a b b b b b a 5 4                                                       1  1 5 5 1 7  4 4    1 1  1 1 1   1  a b a2 b2   1 1 a a b a2b2  1 1 b     3) C=     a4 a b2 4 a4 b4  a4 b4 3 1 1 1 1 1 1     :    :      a4 b4 a4 b4 b   a a2 a4 b4  1 1 1            1 1 1  1 1 a b a  a b2 2 a b2 a2 b2 a b a 1   1

a2 a4 b4 a4 b4

1 1 1  1 1

a2 a2 b2



4) D=

1 2 a a:a2 b2 1 a  : a  b  . 2 

5) E=  

 a b2 a 2 a

b a b b

Trang 3

4 0,75 7

GV: THANH TÙNG 9 –

2 LÔGARIT: Giả sử các biểu thức có nghĩa loga b có nghĩa khi 0 1 0 a b          1) log 1 0a  2) loga a 1 3) loga bloga clog (a bc) 4) loga b loga c loga b c  

5) loga b a b 6)

log log log log 1 log log a a a a a a b b b b b b                

7)

1 log log 1 log log log log log log log log a b a b a b a a b a b a b a b c c c c b             Chú ý: +) Lôgarit thập phân : log10blogblgb +) Lôgarit tự nhiên ( lôgarit Nêpe) : loge blnb (e 2, 71828 ) A CÁC VÍ DỤ MINH HỌA

Ví dụ 1: Tính giá trịcác biểu thức sau:

1) A = log log3 2 2 2

3

27 1

3

1 1

3 2 9 log 27 log1  12581

3 2 2   log 29 log 278

1 1

7) G = lg 25 log 65 49log 87

 eln3 8) H = 9log 36 4log 28 10log99 9) I = lg 81 27 3 

log 53 log 369 2log 719

10) J = 41 2log 247 36log 26 810,25 0,5log 9 7

11) K = log (log 8)3 2

12) L = log2013log (log 256) log4 2  0,25log (log 64)9 4   13) M log 2.log 3.log 4.log 5.log 6.log 73 4 5 6 7 8

14) N lg(tan1 )0 lg(tan 2 ) lg(tan 88 ) lg(tan 89 )0   0  0

Giải:

1) A = log3log2 2 2 log3 log 2 log3 log3 log 33 2

 2 2 

3 6

1

6 2

3) C = log 5.log1 25 log 15.log2 3  ( 5). .log 5.log 33 5 

3log 53 3

 2 2

4) D = 392log 35 33 3log 53 5

1 1

2 9 log 27 log1  12581 1 1 log 3 3  log 3 4 1 2log 3 8log 3 1 2log 3 log 32

Trang 5

Ví dụ 2: Đơn giản các biểu thức sau (giả sử các biểu thức đều có nghĩa): 1) A = logaa2 4a3 5a 2) B = loga blogb a2 log a blogab blogb a1

3) C = 3 5 1 lg log a a a 4) D =         2 2 4 2 2 2 3 2 2 2 log log 1 1 log 2 log log 2 log 3log 1 1 a a a a a a a a     

3 2 2   log 29 log 278 3 2 2  3 2 2 

3 log 23 log 3

3 2 2    3 2 2 

log 23 log 32 2

  3 2 2  1 

 log 65 log 87 

2 2

lg 6 2 82 3 lg102     3 2 3 1

1 1

8) H = 9log 36  4log 28 10log99 32log 63  22 log 82 993log 632 2log 82 2 9962 8299 1

log 53 log 369 2log 719 3

  4log 53 3 log26 

2 2log 71

2

log 53 4 log 63 3 log 713

10) J 41 2log 247 36log 26 810,25 0,5log 9 7  2  6  3

 21 2log 247  2log 26  4 0,25 .log3 2 7

2

24log2

47

3log 73 7 7

11) K = log (log 8)3 2 log3log 22 3 log 3 13 



12) L = log2013log (log 256) log4 2  0,25log (log 64)9 4   log2013log (log 2 ) l4 2 8  0,25 9 4 3

og log (log 4 )

log2013log 8 log4  0,25log 39  log2013log 2 log  log2013  log201310

3

1

13) M log 2.log 3.log 4.log 5.log 6.log 73 4 5 6 7 8 log 7.log 6.l8 7 og 5.log 4.log 3.log 26 5 4 3 log 28 

3

14) N lg(tan1 )0 lg(tan 2 ) lg(tan 88 ) lg(tan 89 )0   0  0

lg(tan1 ) lg(tan 89 )0  0 lg(tan 2 ) lg(tan 88 )0  0  lg(tan 44 ) lg(tan 46 )0  0 lg(tan 45 )0

lg tan1 tan 89 0 0 lg tan 2 tan 880 0  lg tan 44 tan 46 0 0  0

lg tan1 cot1 0 0 lg tan 2 cot 20 0  lg tan 44 cot 44 0 0 lg 0

lg1 lg1 lg1 lg1      0 0 0 0  0

Trang 6

x c

 3)

2 3 3 3

x c

145

log b12  1  log b12 log b

3) C= lg log1 a a lg log1 a a 2 lg log1 a lg log 3a lg lg  1

a3 a3 a3  a 10 10log22a2 log2a a log22a4

  logalog2a1 

log 15

1

a a

3log 10 log (2.5) 1 log 5 1 2 3

6

2 3log

log (21, 6)

a b a

Ví dụ4: Hãy biểu diễn theo a( hoặc cảb hoặc c) các biểu thức sau:

1) A= log 0,1620 biết log 52 a 2) B= log 1525 biết log 315 a

 1 

3) C= log 40 biết log

2  a 4) D= log (21, 6)6 biết log 32 a và log 52 b

 35

5) E= log 2835 biết log 714 a và log 514 b 6) F= log 2425 biết log 156 a và log 1812 b

7) G= log12530 biết lg 3 a và lg 2 b 8) H= log3 5

49biết log 725 a và log 52 b 8

9) I= log14063biết log 32 a; log 53 b; log 72 c 10) J=log 356 biết log 527 a;log 78 b;log 32 c

Giải:

2log

1) A = log 0,1620 biết log 52 a Ta có: A = log 0, 0420 log20 23  2  1 3

2

53 1 3log 5 2  a

5 log (2 5)2 2 log 5 2 2a

Trang 8

8 biết log 725 a và log 52  b

2 2

9) I = log14063 biết log 32 a; log 53 b; log 72  c

Ta có : log 52 log 3.log 52 3 ab I =  

2 2

6) F= log 2425 biết log 156 a và log 1812 b

log 152 log 3 log 52  2 log 182 log22.32 1 2 log 32

Ví dụ 6: Chứng minh rằng (với giả thiết các biểu thức đều có nghĩa):

1) log ( ) log log

log log

t b

b b t

6) Nếu a log 1812 ; b log 5424 thì: ab5(a b ) 1

Ta có:       2 2 2 2 12 2 2 2 2 2 2 2 log 2.3 log 18 1 2 log 3 1 2 log 18 2 log 3 1 2 log 3 log 3 log 12 log 2 3 2 log 3 2 a a a a               (1)  

    3 2 2 2 24 3 2 2 2 2 2 2 log 2.3 log 54 1 3log 3 1 3 log 54 3 log 3 1 3log 3 log 3 log 24 log 2 3 3 log 3 3 b b b b               (2)

Từ (1) và (2) 1 2 1 3 1 2  3 1 3  2 5( ) 1 2 3 a b a b b a ab a b a b                 (đpcm) 7) 2 2 loga b loga c c  b

Ta có : 2 2 1 2 2 2 2 loga b loga b loga c loga c loga c loga c c c b b b b                                  (đpcm)

GV: THANH TÙNG

4)Nếu a24b212ab thì log2013(a 2 ) 2 logb  201321 (log2013alog2013b) 2 2 a2b2 Ta có: a24b2 12ab a24ab4b216aba2b 16ab   ab  4  log2013  log2013 2 log2013 2 2 log20132 log2013 log2013   a b 4 2 2 ab  a b  a b 1 log2013(a 2 ) 2 logb  20132 (log2013alog2013b) (đpcm)

2

5)Nếu a 101 lg  b; b 101 lg  c thì c 101 lg  a

Ta có: a101 lg b lgalg101 lg b  1 lgb 1 1 lga 1 (1)

b101 lg c lgblg101 lg c  1 (2)

1 lg c

Từ(1) và (2) lga1 1 lgc  1 lga  1 10lg c 101 lg a c 101 lg a (đpcm)

lga 1 lg c lga1 1 lg a

8)Trong ba số: log2a c; log2b a và log2c b luôn có ít nhất một sốlớn hơn 1

Áp dụng công thức ởý 7) ta có: log2 log2

loga logb logc loga logb logc loga logb logc  1 1

 Trong ba sốkhông âm: log2a c; log2b a và log2c b luôn có ít nhất một sốlớn hơn 1

Trang 11

Bài 1: Tính giá trị các biểu thức sau:

1) A = 4

1 25

9  6) F = log 32 log 3 2

4 9 7) G =

log 53 log 37 log 29

log loglog

log 28 biết log 27 a 2) B = log 166 biết log 2712 a 3) C = log 3249 biết log 142 a

4) D = log 168 biết 54 log 127 a và log 2412  5) E = b log 1350 biết 30 log 330 a và log 530  b

6) F = 3 7

121log

8 biết log 1149 a và log 72 b 7) G = log 1353 biết log 52 avà log 32 b

Bài 4: Tính giá trị của biểu thức:

c biết loga b 5 và loga c 3

Bài 5: Chứng minh rằng (với giả thiết các biểu thức đều có nghĩa):

GV: THANH TÙNG 9 –

II ĐẠO HÀM 1)      1 1 1 ' ' ' ' ' n n n x x u u u u u n u                  

2)         ' ln ' ' ln ' ' ' x x u u u u x x a a a a u a a e u e e e         

3)         1 log ' ln ' ' log ' ln ' ln 1 ln ' a a x x a u u u u u a u x x             

Chú ý : 4)  u v 'u v.( ln ) 'v u (Tổng quát của (1) và (2)) A CÁC VÍ DỤ MINH HỌA

Ví dụ 1: Tính đạo hàm của các hàm sốsau:

1) y 3 x x

2) y e x e3x 1

5cosxsinx 3)yx2 x e

2 2 x

4) ylnx21 log x2 x 1

 2  5) y 3ln2x 6)y log2 

x

x 

4 4

7)y log  

 2 x 

8)y  

10)y 



 

 11)ylnx 1x2 log (sin 2 )x

 3 12)ylog (2x x1) 13)y(2x1)x1

Giải:

1

1 

1) y3 x x y' 2 x 

2 x 1

(áp dụng công thức n u'  u'

1 )

2) y e x e3x15cosxsinx

 y' e 3.e3x 1 ( sinxcos ).5x cosx sinx ln 5 e 3e3x 1(sinxcos ).5x cosx sinx ln 5

3) yx22x2e x y'2x2e x x2 2x2e x x e2 x

4) ylnx21 log x2 x 1

 2   y'  2x  2x 1

x21 x2 1 ln 2x 

1

5) y 3ln2x  y'  

2.(ln )

3 ln3

x

4

x

x

3x3lnx

2

8

x 4 x 42 8

6)y log2 

x 4 y'  

x 4ln 2 x216 ln 2

x 4

Trang 13

9) ln(2 1)

x y

y'' excosxsinxexsinxcosx 2excosx

y'' 2 ' 2 y  y 2excosx2excosxsinx2exsinx0 (đpcm)

2) xy' 1 e với y ln  

1x

Trang 14

1 ln 1

11

'

x x

' ( ln 1)1

x xy

Bài 1: Tính đạo hàm của các hàm số sau:

1) y3 x2 x 1 2) y(2x1)e3x1 3)

1 3

e x

x x

2

x x

x x

lim2

x

x x

lim2

x x

1 1

x x

e x





  8) 0

ln(1 2 )lim

tan

x

x x





9)

10

lg 1lim

10

x

x x

x x

1lim3

x x

e x

a b b

a b

a b

57

0, 7 và

1 3

80 và 12

1log

4) log 23 và log 32 Ta có: log 23 log 3 1 log 23   2 log 32 log 23 log 32

5) log 32 và log 113 Ta có: log 32 log 42 2log 93 log 113 log 32 log 112

IV TÍNH ĐƠN ĐIỆU VÀ CÁC BẤT ĐẲNG THỨC

3 2

hay 2logn1nlogn1n2 (1)

+) Áp dụng BĐT Cauchy ta có : logn1nlogn1n22 logn1n.logn1n2 (2)

( (2) không xảy ra dấu '' vì " logn1nlogn1n2)

+) Từ (1) và (2) 22 logn1n.logn1n2 1 logn1n.logn1n2

Trang 20

14) log 15013 và log 29017 Ta có: log 15013 log 16913 2log 28917 log 29017 log 15013 log 29017

15) log 4 và 3 log 11 10

Ta luôn có : log (a a1)loga1(a2) với 0a (*) Thật vậy :… 1

(các bạn xem phần chứng minh ở ý 13) hoặc cách khác ở Ví dụ 4 ý 4) )

Áp dụng liên tiếp (*) ta được :

log 43 log 54 log 65 log 76 log 87 log 98 log 109 log 1110 hay log 43 log 1110 (đpcm)

Ví dụ 2: Xác định dấu của các biểu thức sau: A 5 15

1 3

2

Ta có:

1 2

2 2 ;  

1 2

5

5 1 5

3log log log64 6 2 2

1

2 2

2 ; 26



; 2 ;  3 log6454

2

Ví dụ 4: Chứng minh các bất đẳng thức sau:

a b a b

 với a 1; b 1 2) loga bloga c b với ,a b  và 1 c 0

3) loga bloga c (b c ) với 1a và b c  4) 0 log (a a1)loga1(a2) với 0a 1

5) logb c logc a loga b 33

a b c  abc với , ,a b c dương và khác 1

2) loga bloga c b với ,a b  và 1 c  0

Dấu " xảy ra khi : " c  0

3) loga bloga c (bc) với 1 a b và c 0

Ta có : loga bloga c (b c ) loga b 1 loga c(b c) 1 loga b loga c b c

Trang 22

4) log (a a1)loga1(a2) với 0a 1

Theo kết quả ý 3) ta có : loga bloga c (b c ) với 1 a  và b c  0

Áp dụng với ba và 1 c  ta được : 1 log (a a1)loga1(a2) (đpcm)

3

c a b

b c a

a b c  abc với a b c, ,  1

Ta có : alogb c clogb aalogb ccloga b clogb acloga b2 clogb a.cloga b 2 clogb aloga b (1)

Vì ,a b  nên áp dụng BĐT Cauchy cho 2 số không âm 1 logb a và loga b ta được :

loga blogb a2 loga b.logb a2 (2)

Từ (1) và (2) alogb ccloga b2 c2 2c hay alogb ccloga b 2c

Chứng minh tương tự ta được : alogb cblogc a 2a

blogc acloga b2b

  log log log   

2 a b cb c ac a b 2 a b c  hay alogb cblogc acloga ba b c  (*)

Mặt khác theo BĐT Cauchy ta có : a b c  33abc (2*)

Từ (*) và (2*) log log log 3

Áp dụng BĐT Cauchy ta được : log 3 log 22  3 2 log 3.log 22 3  (1) 2

( (1) không có dấu " vì " log 32 log 23 )

x y

x y

Ví dụ 9: Tìm GTLN, GTNN (nếu có) của các hàm số sau:

1) f x( )3 x x 2) f x ( ) 0, 5sin2x 3) f x( )2x 123 x 4) f x ( ) 5sin2x5cos2x

Trang 26

2) f x ( ) 0, 5sin2x

max ( ) 11

Cách 2: Đặt tsin2x với t  0;1  f x( )0,5t g t( ) với t  0;1

Ta có: g t '( ) 0, 5 ln 0, 5t  0, 5 ln 2t  với 0  t  0;1  hàm số nghịch biến với  t  0;1

Dấu “=” xảy ra khi: sin2 cos2 2 2 1 cos 2 1 cos 2

GV: THANH TÙNG 9 –

Trang 27

Ví dụ 10: Tìm GTLN, GTNN (nếu có) của các hàm số sau:

1) f x( )e2 3 x trên đoạn [0; 2] 2) f x( )e x33x3 trên đoạn [0; 2]

(1) 04( )9( )

y x

34

11

t

t t





( )1

+) Với t 1: (3*1)

 2 ( )1

+) Với n  : 1 f x1( )e x  1 x  f1'( )x e x  với 1 0   và x 0 f '( )x 0 khi x  0

 hàm số f x1( )đồng biến với  x 0 f x1( ) f1(0)0 Vậy (*) đúng với n  1

+) Giả sử (*) đúng với n hay k f x  k( ) 0

+) Ta cần chứng minh (*) đúng với nk hay 1

k x

Theo phương pháp quy nạp

hay ln 1 x x 0 với   (đpcm) x 0

 

 với   x 0 Xét hàm số: ( ) ln( 1) 2

x

 với  x 0 (đpcm)

x x

x x

Xét hàm số: ( )f x lnx luôn đồng biến với   x 0

Khi đó với , ,a b c 0 ta luôn có:

Xét hàm số: f x ( ) 2x luôn đồng biến với x  

Khi đó với , ,a b cR ta luôn có:

Cộng 2 vế của (*) với 2a ab.2bc.2c ta được: 3a.2ab.2bc.2ca b c 2a2b2c (đpcm)

Trang 42

Ví dụ 16: Cho , ,a b c  thỏa mãn: 1 a b b c c    a  a b c  32 Chứng minh rằng:

log log log 3

2

Giải:

Với hai số ,x y  và 1 z  ta luôn có: 0 logx ylogx z yz và dấu "" xảy ra khi : z  hoặc x0  y (*)

Thật vậy: … (các bạn xem lại cách chứng minh ở Ví dụ 4 – ý 3)

Áp dụng (*) ta có: logaa b loga c a b c  0loga b aloga b c  a c 

Tương tự ta có: logb c bloga b c  a b 

3 8) 53

3log

4 và 34

2log

log 2 và log0,20, 34 13) log 809 và log 52 14) log 163 và log 72916

Bài 2: Xác định dấu của các biểu thức sau: A 4 1

2

1log log 53

Bài 3: Chứng minh các bất đẳng thức sau:

4

b c a c a b a b c với a b c, ,  2; 2

2) log 1 44  alog92a9a với a  0

3) log 1 log 1 log 1 6